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青海西宁市2026年普通高等学校招生全国统一考试高三年级复习检测（二） 数学试卷
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知为两条不同直线，为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．已知数列满足，若，则为（ ）
A．3 B．9 C．27 D．81
5．如图，在圆中，已知弦的长度为2，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数的最小正周期为，若，且，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知曲线：，过点作该曲线的条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有个，则在的展开式中，的系数为（ ）
A．15 B．20 C．35 D．45
二、多选题
9．为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示：
直播间展示时长 1 2 3 4 5
即时下单量 12 18 25 30 34
若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（ ）
A．
B．回归直线过点
C．
D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63
10．已知是定义在上的奇函数，且对任意，有，当时，，则（ ）
A．是以4为周期的周期函数
B．点是函数的一个对称中心
C．
D．函数有4个零点
11．在圆锥中，轴截面是边长为2的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点A）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则（ ）
A．圆的面积为 B．椭圆的长轴长为
C．抛物线的焦点到准线的距离为1 D．双曲线的离心率为
三、填空题
12．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________.
13．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左焦点为，点在双曲线上，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为________.
14．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为______．
四、解答题
15．在中，角对应边分别是．已知成等差数列，且．
(1)求的值；
(2)若，求的面积．
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．
(1)求证：；
(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．
17．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．第四道工序中智能自动检测正确率为，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．
(1)求前三道工序后产品芯片的次品率；
(2)求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率；
(3)某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人，其中对开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人．判断是否有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？
附：
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18．已知函数．
(1)当时，若，求实数的取值范围；
(2)若，求证：．
19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点.
(1)求E的方程；
(2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比；
(3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
参考答案
1．C
【详解】由复数，得，
所以.
2．C
【详解】，则.
3．D
【详解】对于选项A：
若，所以可能平行也可能异面，所以A错误；
对于选项B：
若，所以可能与平面平行，也可能在平面内，所以B错误；
对于选项C：
若，那么，也可能平面相交，所以C错误；
对于选项D：
根据平行平面的传递性，若，则.所以D正确.
故选：D.
4．B
【详解】因为，所以，
所以数列为等比数列，公比为，因为，
所以，则，
即，解得，所以，，
所以.
5．B
【详解】过点作，则，所以，
所以，
故选：B.
6．D
【详解】因为函数的最小正周期为，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，
所以，因为，
所以的最小值是4.
7．D
【详解】曲线：，即，
所以曲线是以为圆心，为半径的圆，
因为，
所以在圆内，且，
所以过点的最短弦，最长弦，
从而公差，
又因为数列是递增的，所以，
所以公差的取值范围是．
8．C
【详解】可知满足，则，此时不同的五位数的个数为，
的展开式含的项为，
则的系数为.
9．ACD
【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大，
因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确；
对于B，由数据可知，，，
则回归直线过中心点，不过点，故B错误；
对于C，将点代入，可得，解得，故C正确；
对于D，由C知，与的经验回归方程为，
则时，，故D正确.
10．BC
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
又因为，所以函数的图象关于直线对称.
所以，
所以.
所以函数是周期为8的周期函数，所以选项A错误；
因为，，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故选项B正确；
因为函数是周期为8的周期函数，所以， ，所以，故选项C正确；
当时，，所以.
由；由.
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
且，，.
作出函数与函数的图象，如图所示：
可知两个函数的图象有3个交点，因此函数有3个零点，所以选项D错误.
故选：BC
11．AD
【详解】由题意底面半径为1，圆锥高，
对于A，为母线的中点，截面圆的半径为底面圆的半径的，
即截面圆半径为，则圆的面积为，A正确；
对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作，垂足为，
为母线的中点，，，
椭圆的长轴长，B错误；
对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为，
以为原点，为x轴，在平面中建立平面直角坐标系，
则，，
设抛物线方程为，则，解得：，
则抛物线的焦点到准线的距离为，C错误.
对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点到底面的距离相等，且在轴上，
则点坐标为，双曲线与底面圆的一个交点为，其坐标为，
设双曲线方程为，
则，将代入双曲线方程得，解得，
所以，故双曲线的离心率为，D正确.
12．an＝
【详解】由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
显然a1不符合上式，
所以数列{an}的通项公式为an＝.
所以本题答案为an＝.
13．/
【详解】设右焦点为，连接，过作轴于，
因为双曲线关于轴对称，四边形为菱形，所以，
则，则，所以，
则为等边三角形，则，所以，所以，
根据双曲线的定义可知，所以.
故答案为：.
14．
【详解】由，得，得．
令，因为，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，即在上恒成立．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，即，
由题意可知，所以，
可知.
（2）当时，，
因为，所以，
则.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在梯形ABCD中，
由，，，得，
所以，所以，
又因为平面ABCD，且平面ABCD，则，
因为平面，平面PAC，且，
所以平面PAC．
又平面PAC，
所以．
（2）由（1）知，
所以，解得，
又因为平面，平面ABCD，则，
因为，所以，
因为平面，平面PAB，且，
所以平面PAB，
故PB是PC在平面PAB上的投影，
所以即为直线PC与平面PAB所成的角的平面角，
在中，解得，
所以，
所以直线PC与平面PAB所成角正切值为.
17．(1)
(2)，
(3)有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关
【详解】（1）芯片的次品率为；
（2）设芯片智能自动检测合格为事件，芯片为合格品为事件，
由全概率公式，
所以，
所以；
（3）由数据可建立22列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度 未安装 已安装 合计
不满意 12 3 15
满意 28 57 85
合计 40 60 100
根据列联表得：
，
因此，有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关．
18．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）已知时，，即，
设，，则，
当时，因为，所以，所以，
在上单调递增，所以，满足；
当时，，解得，
时，，单调递减，
此时，不满足；
当时，，在上单调递减，
此时，不满足；
综上，实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，对恒成立，
令，则，
所以，，，…，，
将以上不等式左右分别相加得，
因为，且在上单调递增，所以，
所以．
19．(1)
(2)数列是等比数列，公比为
(3)直线恒过定点
【详解】（1）由题意得，，
故E的方程为.
（2）设，直线的方程为，
由，消去，整理得，
，
直线的斜率之积为
，
设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零，
由经过E的右焦点，知①，
由经过E的左焦点，知②，
②①得，故数列是等比数列，公比为.
（3）直线的方程为，由（2）知，
故，解得，
故直线恒过定点.

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