资源简介

金陵、海安、南外 2026届高三年级 5月联考
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 (解析来源于锤子数学)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.命题“ x∈ R , x2≥ 0”的否定为
A. x∈ R , x2≥ 0 B. x∈ R , x2< 0 C. x∈ R , x2< 0 D. x∈ R , x≤ 0
2.已知 i为虚数单位,且复数 z满足 1+ i z= 2 ,则 z =
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2

3.在△ABC中,若 AB CB= AB 2 ,则△ABC是
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
4.将函数 y= cosx 的图象向右平移 φ φ>0 个单位长度得到 y= sinx 的图象,则 φ的最小值为
A. π π4 B. 2 C. π D.
3π
2
5. 3人观看表演，现有 5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
log6. f x = 3x, x>0已知函数 ,若 fx a = log3 , x≤0 3 f a ,则 a的取值范围是
A. -∞,1 B. -∞,1
C. -∞,0 ∪ 1,+∞ D. -∞,0]∪ 1,+∞
7.已知圆O : x2+ y2= 1与 x轴的交点为 A ,C ,与 y轴的交点为 B ,D , P为圆O在第一象限内圆弧上一点,
记 A到 PD的距离为 d1 ,C到 PD的距高为 d2 ,则
A. d d + PB2= 1 B. d d + PD2= 1 C. PD2+ PB21 2 1 2 = 4d1d 22 D. PD -PB2 = 4d1d2
8.已知三棱柱 ABC- A1B1C1 ,D是棱CC1上的一个动点 (不含端点) ,点 A1在平面 ABD上的投影为M ,则
点M的轨迹为
A. 线段 B. 圆弧 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分
数学试题 第 1 页 共 4 页
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.下列说法正确的是
A. 残差是预测值减去观测值
B. 一组数据: 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6的 25百分位数是 2
C. 在独立性检验中.零假设是“分类变量 X与 Y独立”
D. 在线性回归分析中,决定系数 R2用来刻画拟合的效果,若 R2值越小,则模型的拟合效果越好

10.在△ABC中,已知 AB= 2 , ∠C= π3 , E为线段 AB中点, F在线段 BC上,且 BF= 2FC ,则
A. S 3△BEF的最大值为 3 B. △ABC周长的最大值为 6
C. EF 2 23+8 7的最大值为 27 D. EF
2 19+8 3的最小值为 39
11.设函数 f x = xlnx- ax- b , x∈ 1, e .则
A. 若 a= b= 0 , f x 0, e则 的值域为 2
B. 若函数 f x 存在极小值点,则 1< a< 32
C. 若对任意实数 1< a< 32 ,都有 f x ≥ 0 ,则实数 b的取值范围为 -∞,-1 ,
D. 若函数 f x 存在零点,且满足 0≤ a- 2b≤ 2 , 2则实数 a的取值范围为 0, 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12.函数 f x = ln x+1 - ln 1-x 的对称中心坐标为 .
13.设抛物线C : x2= 2py ,已知斜率为 2的直线 l交抛物线C于 A , B两点,点D为 AB中点，P为抛物线C上
一点且 PD y轴，则直线OP的斜率为 .
14.有 n n∈N * 张正方形纸片依次叠放在一起,且第 i张纸片的边长为 i i∈N * ,设第 i张纸片与第 i+ 1张
759
纸片重叠面积为 Si.且 Si与 Si+1之和恰好为第 i张纸片面积,若 S20= 4 .则 S16= .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E是棱CD上的一个动点 (不含端点).
(1)求证:平面 AC1E⊥平面 B1CD1；
(2)若平面 BB E 3 101 和平面 BB1D1夹角的余弦值为 10 ，求 cos∠AEC1.
数学试题 第 2 页 共 4 页
16.已知函数 f x = x- alnx- 1 a∈R .
(1)求函数 f x 的单调区间；
(2) 1若函数 f x 有两个不同的零点 x1 , x2，且 x1-x2 < 2 ，求 a的取值范围.
17.某商业综合体对场内 81家美食店进行满意度调查，已知每店均已获得 n(n为正整数)位顾客的星级评价
( 1一星至五星评价)，且每店获得任一顾客五星评价的概率均为 2 .假设顾客给予评价时互不影响.
(1)当 n= 20时，记某店获得的五星评价率 (五星评价数与评价人数之比)为 X .求随机变量 X的分布列和
数学期望:
(2)随机选择一店了解评价情况，当 n为奇数时，求该店五星评价率超过 50%的概率.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18. C : x
2 y2
已知双曲线 2 - 2 = 1 a>0,b>0
4 3
的离心率为 3，且顶点到渐近线的距离为 .a b 3
(1)求C的方程:
2
(2)已知点 A , B ,M ,N在双曲线C : x2- y1 2 = 1上，点 P m,n 在C上，若 AM = 2MP , BN = 2NP.
(i)求直线 AB的方程 (用m , n表示) :
(ii)求△PAB的面积.
19.已知 tanαcos α-β = 1+ sin α-β .
(1)证明: sinβ= cosα ;
(2)设 α= an , β= a πn+1，已知 an+1-an ≤ 2 ，且对 i≠ j i, j∈N
* , ai≠ a j.
(i)若 a = π1 4 ,求数列 an 的前 n项和 Sn :
(ii)若存在无数个 a1使得满足条件的数列 an 有且只有 1个,求 a1的所有取值.
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. C
【解析】 x∈ R , x2≥ 0 ,否定 x∈ R , x2< 0.
2. B
【解析】 1+ i z = 2 ,∴ z = 2.
3. C

【解析】AB CB= AB CB cosB= AB2 ,∴ acosB= c,
∴ sinAcosB= sinC= sinAcosB+ sinBcosA ,∴ cosA= 0 , A= π2 ,
∴△ABC为直角三角形.
4. B
【解析】y= cosx 向右移 φ个单位变为 cos x-φ = sinx π , φmin= 2 .
5. A
【解析】2个空位连续有 4种情形，位置空下来后再给 3人排序 A3个结果 4A33 3= 4× 6= 24.
6. D
【解析】f a > 0 ,∴ a≤ 0或 a> 1 ,排除 A , B.
a= 0时 f 0 = 1 , f f a = f 1 = 0 , log3 f 0 = log31= 0.
7. D
【解析】P cosθ,sinθ ,D 0,1 , PD : sinθ-1 x- ycosθ+ cosθ= 0,
1-sinθ+cosθA -1,0 ,C 1,0 , d = = 1-sinθ+cosθ 1
sinθ-1 2 +cos2θ 2-2sinθ
sinθ-1+cosθd = = sinθ-1+cosθ2
sinθ-1 2 +cos2θ 2-2sinθ
cos2θ- 1-sinθ 2d d =
2sinθ 1-sinθ
1 2 2-2sinθ = = sinθ2 1-sinθ
PB2= cos2θ+ sinθ+1 2 = 2+ 2sinθ , d 21d2+ PB ≠ 1 , A错.
PD2= cos2θ+ sinθ+1 2 = 2- 2sinθ , d1d2+ PD2≠ 1 , B错.
PB2+ PD2= 4≠ 4d1d2 ,C错. PB2-PD2 = 4sinθ= 4d1d2,D对.
8. B
参考答案 1 页 共 9 页
【解析】方法一:∵ A1在平面 ABD上的投影为M ,∴ A1M⊥平面 ABD
∴ A1M⊥MA M在以 AA1为直径的球O1上运动
且 A1M⊥ BM M在以 A1B为直径的球O2上运动且球O1∩球O2为一个圆,
∴M在圆上运动,M的轨迹为圆弧, B正确.
方法二:设N为 A1在 AB上的投影,过 A1作平面 β⊥ AB ,则N= β∩ AB.
M为 A1在平面 ABD上的投影, AB在平面 ABD.
A1M⊥平面 ABD , AB在平面 ABD ,所以 A1M⊥ AB ,即M在平面 β.
设直线 l为平面 β与平面 ABD的交线,则N∈ l ,M∈ l.
又 A1M⊥平面 ABD , l在平面 ABD ,所以 A1M⊥ l.
于是 A1M⊥MN ,即∠A1MN= 90°.所以M在以 A1N为直径的圆上.
D在CC1上运动时,平面 ABD绕 AB转动,交线 l过N转动,M在上述圆上连续运动.
故M的轨迹为圆弧.
9. BC

【解析】残差为 e= y- y, A错误;
6× 25%= 1.5，所以第 25百分位数为第 2个数 2, B正确；
零假设为H0 : X与 Y独立，C正确；
R2越接近 1 ,拟合效果越好,D错误.
10. ABC
【解析】4= a2+ b2- 2ab 12 = a
2+ b2- ab≥ 2ab- ab= ab ,
∴ ab≤ 4, S 1△ABC= 2 absinC≤ 3 ,
S△DEF = DF = 1S ,△BEF BF 4
令 S△DEF= x ,则 S△BEF= 4xS△BDE= 3x , S△ABC= 12x≤ 3 ,
∴ x≤ 312 , S
3
△BEF= 4x≤ 3 , A对.
c2= a2+ b2
3
= 2abcosC= a+b 2- 3ab≥ a+b 2-
a+b 2 a+b 2= 4 4
∴ a+ b≤ 4 ,周长 a+ b+ c≤ 6, B对.
参考答案 2 页 共 9 页
2
以 E为坐标原点建系, A -1,0 , B 1,0 ,C点轨迹: x2+ y- 33 =
4
3
设C x0,
2y
y 1+2x 0 2 3 3 2 30 ,则 F 03 , 3 , x0= 3 cosθ , y0= 3 + 3 sinθ ,C对,D错.
11. AB
e
【解析】方法一:对于 A , f x = xlnx , f x 在 1, e 上单调递增, f 1 = 0 , f e = 2 ,∴ f x 值域
为 0, e2 , A正确.
对于 B , f x = lnx+ 1- a ,∵ f x 在 1, e 上存在极值点,
∴必有 1< ea-1< e 1< a< 32 , B正确.
对于 0 ,∵ f x = xlnx- ax- b≥ 0恒成立 b≤ xlnx- ax对 x∈ 1, e ,
x∈ 1, 32
3
恒成立,而 xlnx- ax> xlnx- 2 x ,令 g x = xlnx-
3
2 x
g x = lnx+ 1- 3 = lnx- 1 2 2 ≤ ln e-
1
2 = 0 ,∴ g x 在 1, e 上单调递减
∴ g x ≥ g e = e 3 2 - 2 e=- e ,∴ b≤- e ,C错.
对于D ,解法 1 :∵ f x 存在零点,令 xlnx- ax- b= 0 xlnx= ax+ b
∴ g x = ax+ b与 h x = xlnx在 1, e 上有交点
而 g - 1 1 12 =- 2 a+ b=- 2 a-2b ∈ -1,0 ,作出 g x , h x 大致图象如下
图中 A - 12 ,-1 , B -
1
2 ,0 , P e ,
e
2 ,Q 1,0
e +1
当直线 g x 为图中 PA时, g 2 e+2 x 斜率 a最大, amax= kPA= 1 = 当直线 g x2 e+1
为图中 BQ
e+ 2
时, g x 斜率 a最小, amin= kBQ= 0,
∴ a∈ 0,
e+2 ,D错.2 e+1
解法 2 :∵ f x 存在零点,设其零点为 x0 ,∴ x0lnx0- ax0- b= 0 , x0∈ 1, e
由 0≤ a- 2b≤ 2 0≤ a- 2x lnx + 2ax ≤ 2 2x0lnx0 ≤ a≤ 2+2x0lnx00 0 0 1+2x0 1+2x0
x 2x0lnx0 2+2x0lnx00∈ 1, e 使之成立,∴ a≥ 1+2x = 0 x0=1时取“=” a≤0 min 1+2x ,0 max
参考答案 3 页 共 9 页
2+2xlnx 2lnx+2 1+2x -2 2+2xlnx 2 lnx+2x-1令 F x = 1+2x , F x =
= > 0
1+2x 2 1+2x 2
∴ F x 在 1, e 上单调递增,∴ F x max= F e =
2+ e ,∴ a≤ 2+ e
1+2 e 1+2 e
综上: a∈ 0,
2+ e
1+2 e
,选: AB.
方法二:对 A , a= b= 0 , f x = xlnx , f x = lnx+ 1> 0
f e 1 = 0 , f e = 2 ,所以 A正确.
对 B , f x = lnx+ 1- a , f 1 x = x > 0 ,函数存在极小值点,
则导函数零点在 1, e 内, 1< ea-1< e , 1< a< 32 ,所以 B正确.
对C ,令 ga x = xlnx- ax , g' ''
1
a x = lnx+ 1- a , ga x = x > 0
当 1< a< 32 时，e
a-1∈ 1, e ，g ea-1a =-ea-1
若对任意 a∈ 1, 3 恒有 f x ≥ 0，则 b≤-ea-12 ，所以 b≤- e，C错误.
对D ,设零点为 x1∈ 1, e ,则 b= x1lnx1- ax1
由 0≤ a- 2b≤ 2得 0≤ a 1+2x
2x lnx 2+2x lnx
1 - 2x 1 1 1 11lnx1≤ 2 ,所以 1+2x ≤ a≤1 1+2x1
p x = 2xlnx , q x = 2+2xlnx , p x = 2lnx+2+4x令 1+2x 1+2x 则 > 0 1+2x 2
q x = 2lnx+4x-2 2 > 0 ,又 p 1 = 0 , p e =
e < 2 = q 1 , q e = 2+ e
1+2x 1+2 e 3
1+2 e
a∈ 0, 2+ e 2+ e 2所以, 且 > ,D错误.1+2 e 1+2 e 3
12. 0,0
【解析】f -x = ln -x+1 - ln 1+x =- f x , f x 关于 0,0 对称,对称中心坐标 0,0 .
13. 1
x2=2py
【解析】l : y= 2x+m, y=2x+m ,消 y可得 x
2= 4px+ 2pm即 x2- 4px- 2pm= 0,
令 A x1,y1 , B x2,y2 , x1+ x2= 4p , xD= 2p , PD y轴,则 xP= 2p , yP= 2p , kOP= 1.
14. 4794
【解析】方法一: Si+ Si+1= i2①, Si+2+ Si+1= i+1 2 ②,
②-① Si+2- Si= 2i+ 1
n≥ 2时, S2n= S2+ S4- S2+ S6- S4+ +S2n- S2n-2= S2+ 5+9+ +4n-3
= S +
4n+2 n-1
2 2 = S2+ 2n+1 n-1 ,
n= 1上式也成立,∴ S2n= S2+ 2n+1 n-1
S = S + 21× 9= 75920 2 4 S =
3
2 4 ,∴ S16=
3 479
4 + 17× 7= 4 .
方法二:由题目条件为 Si+ Si+1= i2
S = 192- S = 361- 759 = 685 , S = 182- S = 324- 685 61119 20 4 4 18 19 4 = 4
S = 172- S = 289- 611 = 545 217 18 4 4 , S16= 16 - S17= 256-
545 479
4 = 4 .
参考答案 4 页 共 9 页
15. (1)证明:由三垂线定理，易知 AC1⊥ B1C , AC1⊥CD1
而 B1C ,CD1 平面 B1CD1 , B1C∩CD1=C ,∴ AC1⊥平面 B1CD1
∵ AC1 平面 AC1E ,∴平面 AC1E⊥平面 B1CD1.
(2) ∵ BB1⊥平面 ABCD ,∴ BB1⊥ BE , BB1⊥ BD
∴∠DBE即为平面 BB1E与平面 BB1D1的夹角,
cos∠DBE= 3 1010 , sin∠DBE=
10
10
∴ sin∠BED= sin π4 +∠DBE =
2 × 3 10 + 2 × 10 2 52 10 2 10 = 5 ,
设 AB= 2，在△BDE DE = 2 2中，
10 2 5
10 5
DE= 1，∴ AC1= 2 3 , AC=C1E= 5cos∠AEC = 5+5-121 =- 12× 5× 5 5
.
16. (1) f x = 1- a = x-a x x
当 a≤ 0时, f x > 0 , f x 在 0,+∞ 上单调递增
当 a> 0时,令 f x = 0 x= a
且 f x 在 0,a 上单调递减; a,+∞ 上单调递增
综上: a≤ 0时, f x 单增区间为 0,+∞ ,无单减区间
a> 0时, f x 单减区间为 0,a ,单增区间为 a,+∞ .
(2)由 (1)知，当 a≤ 0时，f x 在 0,+∞ 上单调递增，至多一个零点，舍去
当 a> 0时,注意到 x> 0且 x→ 0时, f x →+∞ ; x→+∞时, f x →+∞
要使 f x 有两个零点,只需 f x min= f a = a- alna- 1< 0
lna> 1- 1a ,∴ a> 0且 a≠ 1
若 a> 1时, f x 大致图象如下,设 x1< x2 ,∴ x1= 1
参考答案 5 页 共 9 页
∴ x2- 1< 12 x2<
3
2 ,结合图像,
f 3只需 2 > 0
3
2 - aln
3
2 - 1> 0 1< a<
1
.
2ln 32
当 0< a< 1 , f x 大致图象如下,设 x1< x2 ,∴ x2= 1
1- x 1 1 1 1 11< 2 x1> 2 ,只需 f 2 > 0 - 2 + aln2> 0 2ln2 < a< 1
综上: a 1 1的取值范围为 2ln2 ,1 ∪

1,

3 .
2ln 2
17. (1) 1设获得五星评价人数为 ξ ,∴ ξ B 20, 2 ,
20
P 1 ξ=k =Ck20 2 , k= 0 , 1 , , 20
X= ξ而 20 ,∴ X
1
的所有可能取值为 0 , 20 ,
2 3
20 , 20 , , 1,
k 1 20P X= k20 =C20 2 , k= 0 , 1 , , 20 ,∴ X的分布列为
X 0 1 2 1920 20 ... 20 1
1 20 20 20 20 20P C0 C120 2 20
1
2 C220
1
2 ... C19
1 C20 120 2 20 2
E X ξ 1 1 1 1 = E 20 = 20 E ξ = 20 × 20× 2 = 2 .
n+1 n n+3 n n n
(2)超过 50% 1的概率为C 2n 2 +C 2
1 + +Cn-1 1 +Cn 1n 2 n 2 n 2 = x
n-1 n+1
而C0=Cnn n ,C1 n-1n=Cn , ,C 2 2n =Cn
1 n 1 n n-1 n
记C0n 2 +C1n 2 + +C 2n
1
2 = y , x= y
n n
且 x+ y= 12 C0n+C1+C2+ +Cn =
1 2nn n n 2 = 1 ,
∴ 2x= 1 , x= 12
∴ n 1为奇数时,该店五星评价率超过 50%的概率为 2 .
18.方法一:
c a = 3
(1) a=2 2由题意知
ab = ab = 4 3
b=4 ，
a2+b2 c 3
2
∴ x y
2
C的方程为: 8 - 16 = 1.
参考答案 6 页 共 9 页

( ) ( ) , = x1+2m , y1+2n2 i 设 A x1 y1 ，由 AM 2MP M 3 3
y2 x1+2m 2M , A
y +2n 21
由 均在双曲线 x2- 2 = 1上 9 - 18 = 1
y2 2+ + 2- 1+4ny1+4n
2
x1 4mx1 4m 2 = 9
∴ 4mx 2 2 2 21+ 1+ 4m - 2ny1- 2n = 9 ,而 4m - 2n = 32
4mx1- 2ny1+ 32- 9+ 1= 0 2mx1- ny1+ 12= 0
同理可得 2mx2- ny2+ 12= 0 ,∴直线 2mx- ny+ 12= 0
既过 A点也过 B点即直线 AB方程为 2mx- ny+ 12= 0.
(ii) 2mx-ny+12=0 2x2-y2=2 n
2-2m2 x2- 24mx- 72- n2= 0
16x2+ 24mx+ 72+ n2= 0 ,Δ= 24m 2 - 64 72+n2 = 64 9m2-n2-72
2 2 2
∴ AB = 1+ 2mn
8 9m -n -72
16
= 4m
2+n2 9 2 2 2 n
2+72-n2-72= 14 4m +n
2 n 4
2m2-n2+12P到 AB的距离 d= = 28
4m2+n2 4m2+n2
∴ S 1 14 2 2 28 7 14△PAB= 2 4 4m +n = .4m2+n2 2
c
方法二: (1)e= 2a = 3 , c = a
2+ b2 ,∴ b2= 2a2 , b= 2a
渐近线为 y=± 2 x ,顶点 a,0 2a 4 3 到渐近线的距离为 = 3 ,∴ a= 2 2 , b= 43
x2 2∴C : 8 -
y
16 = 1
2 2
(2)由 P m,n ∈C m，得 - n = 1 2m28 16 - n
2= 16

设M x1,y1 ,由 AM = 2MP ,得 A 3x1-2m,3y1-2n
2 3y -2n 2
又 A ,M∈C1 , x21-
y1 = 1 , 3x -2m 2- 1 2 1 2 = 1
两式相减,得 8x2- 4y2- 12mx + 6ny + 4m2- 2n21 1 1 1 = 0
∴ 8- 12mx1+ 6ny1+ 32= 0 ,∴ 6mx1- 3ny1= 20
同理,设N x2,y2 ,得 6mx2- 3ny2= 20
∴MN : 2mx- ny= 203
(i)设 X x,y ∈ AB , X+2P则对应点 3 ∈MN
2m x+2m - y+2nn 20 2 23 3 = 3 ,∴ 2mx- ny+ 4m - 2n = 20
又 2m2- n2= 16 ,∴ AB : 2mx- ny+ 12= 0
2m2-n2+12(ii)d 28P AB= =
4m2+n2 4m2+n2
3m 3n
设 AB上点 X - 4 + tn,- 4 +2mt
参考答案 7 页 共 9 页
- 3n
2
3m 2 4 +2mt
代入C1 , - 4 + tn - 2 = 1
∴ 9 2 2 2 2 2 9 232 2m -n + n -2m t = 1 ,∴ 2 - 16t = 1
∴ t=± 14 ,∴ AB = 148
2
4 4m +n
2
∴ S = 1 14 2△PAB 2 4 4m +n
2 28 = 7 14 .
4m2+n2 2
19.方法一: (1)证明:由 tanαcos α-β = 1+ sin α-β
sinαcosα cos α-β = 1+ sin α-β
∴ sinαcos α-β = cosα+ cosαsin α-β ,∴ sin α- α-β = cosα,即 sinβ= cosα
(2) (i) π解法 1 :∵ α= an , β= an+1 ,∴ cosan= sinan+1= sin 2 -an
∴ a = π πn+1 2 - an+ 2kπ或 an+1+ 2 - an= π+ 2kπ,
π π
即 an+1= 2 - an+ 2kπ , k∈ Z或 an+1- an= 2 + 2kπ
an∈ kπ,
π
2 +kπ
π
,∴ an+1= 2 - an+ 2kπ an+1-an =
π
2 -2an+2kπ ≤
π
2
= 1
∞
∑ (-1)
n 1 1 ∞, = ∑ (-1)
n
f x 1 π n=1 n 2nx
f x
1+ π n=1 n 1+ 2nx
, k∈ Z+ 1
3 3
若 a π π π πn+1- an= 2 + 2kπ an+1-an = 2 +2kπ ≤ 2 k= 0 ,∴ an+1- an= 2 ②
a π π若 1= 4 ,则若代入① k= 0 , a2= 4 , a1= a2与条件 ai≠ a j矛盾,舍
∴ a = 3π 5π代入②， 2 4 ，接着只能代入② a3= 4 ，
以此类推,知 an 各项只能满足②式
∴ π π an 为等差数列,且首项为 4 ,公差为 2 ,
π π 2n-1 π 2a n πn= 4 + n-1 2 = 4 , Sn= 4
解法 2 : a1= π4 , a =
π
若 k 4 + kπ , k∈ Z,
π π
如若代入①式 ak+1= 2 - 4 +kπ + 2kπ=
π
4 + kπ , ak= ak+1这与 i≠ j , ai≠ a j矛
盾,求 a 3π π2只能代入② a = 2 4 kπ, 2 +kπ

,只能代入② a3=
5π
4 ,
依据上述递推结果,求 a4也只能代入②, ,
∴ an 各项只能满足②式,以下同上.
(ii)由 (i)知若 a1= π4 + kπ ,或 a1=
3π+kπ
4 , k∈ Z ,可使 a
π
n 有且只有 1个若 a1= 2 + kπ ,
a , a = π - π则求 2 若代入①, 2 2 2 +kπ + 2kπ= kπ,
π
此时 a3= 2 + kπ(代入①②相同的结果) ,此时 a1= a3矛盾了.
∴求 a2只能代入② a2= π+ kπ；
a3= π2 - π+kπ + 2 k+1 π=
3π
2 + kπ(代入①②同一结果)
此时由前递推之和后面算 an 各项只能代入②式,这样的 an 唯一
参考答案 8 页 共 9 页
若 a1= kπ ,由上一种分类,显然 an 也唯一.
∴ a = kπ1 4 , k∈ Z都是符合的,其他经检验均不合题意,
2k+1a
π
即 n 可在①②之间来回穿梭且可与之前项均不同,结合定义域,∴ a1= 4 , k∈ Z.
方法二: (1)证明: tanα有意义,∴ cosα≠ 0.
tanαcos α-β = 1+ sin α-β ,∴ sinαcos α-β = cosα+ cosαsin α-β
∴ sinαcos α-β - cosαsin α-β = cosα ,∴ sin α- α-β = cosα
∴ sinβ= cosα.
(2)由 (1)知 sinan+1= cosan= sin π2 -an
∴ an+1= π2 - an+ 2kπ或 an+1=
π
2 + an+ 2kπ.
由 an+1-an ≤ π2 ,
π
第二类只能取 k= 0 ,得 an+1= an+ 2 .
π第一类满足 2 -2an+2kπ ≤
π
2
∴ kπ≤ a ≤ kπ+ π a = 2kπ+ πn 2 且 n+1 2 - an.
(i)a = π1 4 .若取第一类,则 a2= a1 ,
π
与 a1≠ a2矛盾,∴ a2= a1+ 2 .
a = kπ+ π当 n 4 时,第一类仍得 an+1= an ,不合题意;
3π π π 2n-1 π
当 an= kπ+ 4 时,第一类不满足 kπ≤ an≤ kπ+ 2 .∴ an+1= an+ 2 ,∴ an= 4
∴ S = π
2
n 4 1+3+ + 2n-1 =
n π
4 .
(ii) x = 2a令 nn π .原式中含有 tanan ,所以 xn≠ 2k+ 1.
上面的两类递推化为 xn+1= xn+ 1或 xn+1= 4k+ 1- xn , 2k≤ xn≤ 2k+ 1.
若 x =m+ 11 2 .当 xn= 2k+
1
2 时,第二类得到 xn+1= xn ,不合题意;
x = 2k+ 3 1当 n 2 时,第二类不成立.,∴ xn+1= xn+ 1 ,∴ xn=m+ n- 2
此时满足条件的数列有且只有 1个.
若 x1为整数:当 x1= 2k+ 1时, tana1无意义;
当 x1= 2k时,只能得到 x2= 2k+ 1 ,于是 tana2无意义.故不合题意.
1
若 x1=m+ r ,其中m为整数, 0< r< 1 ,且 r≠ 2 .先取 xn= x1+ n- 1
可得一个满足条件的数列.
再取 q= 0或 q= 1 ,使 x1+ q= 2k+ r ,
则可令 yi= x1+ i- 1 , 1≤ i≤ q+ 1, yq+2= 2k+ 1- r , yn= 2k+ 1- r+ n- q- 2 , n≥ q+ 2.
r≠ 1由于 2 ,且前一段小数部分为 r ,后一段小数部分为 1- r,
所以各项互异,也不出现 2k+ 1.
于是又得到一个满足条件且不同于 xn 的数列,不满足有且只有 1个.
2m+1 π
综上,必须且只需 x1=m+ 1 .∴ a =

2 1 4 ,其中m为整数.
参考答案 9 页 共 9 页

展开更多......

收起↑