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第二章　
机械振动
第2节　简谐运动的描述
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 认识描述简谐运动的几个物理量(振幅、周期、频率、圆频率、相位).
2. 能写出简谐运动的数学表达式，并能与振动图像进行转换．
活 动 方 案
在上一节的学习中，我们知道做简谐运动物体的振动位移随时间按正弦函数规律变化，在数学课上我们学习过正弦函数x＝A sin (ωt＋φ)，下面我们将结合弹簧振子模型，对简谐运动进行描述．
活动一：认识描述简谐运动的几个物理量
如图所示，O点是水平弹簧振子的平衡位置，M点和M′点是振子在平衡位置右端及左端的最远位置．
1. 振幅
因为|sin (ωt＋φ)|≤1，所以|x|≤A，则|OM|＝|OM′|＝A.
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．常用字母A表示．
(2)物理意义：表示振动的强弱．振幅是____________(选填“标量”或“矢量”).
标量
2. 周期和频率
(1)阅读教材“周期和频率”部分，理解“一次全振动”．结合上面水平弹簧振子示意图，在右图中画出以下三种情况下振子做一次全振动的轨迹图(已经画出部分轨迹．因为轨迹有重合，所以可以画曲线，将轨迹分离开来，便于观察振子的振动过程).
①振子向右通过O点开始画轨迹．
②振子从M′点开始画轨迹．
③振子向右通过P0点开始画轨迹．
【答案】
(2)完成表格填空：
周期 频率
定义 简谐运动的物体完成____________所需要的时间，叫作振动的周期 单位时间内完成____________的次数，叫作振动的频率
单位
物理意义
关系式
一次全振动
全振动
秒(s)
赫兹(Hz)
表示物体振动快慢的物理量
(3)演示实验：根据教材 “做一做” 中的器材和实验步骤测量小球振动的周期．通过这个实验，你发现弹簧振子的振动周期与其振幅有什么关系？
【答案】无关．
(4)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm.已知振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)
A. 振子从B经O到C完成一次全振动
B. 振子的振动周期是2 s，振幅是5 cm
C. 经过两次全振动，振子运动的路程是20 cm
D. 从B开始经过3 s，振子运动的路程是40 cm
【解析】振子从B经O到C，然后从C点返回再次回到B点时，完成一次全振动，A错误；由题意可知，振子的振动周期是T＝2 s，振幅是A＝BO＝OC＝5 cm，B正确；经过两次全振动，振子运动的路程是x＝8A＝40 cm，C错误；从B开始经过3 s＝1.5T，振子运动的路程是s＝6A＝30 cm，D错误．
【答案】B
3. 圆频率
根据正弦函数规律，(ωt＋φ)在每增加2π的过程中，函数值循环变化一次，这一变化过程所需要的时间是简谐运动的周期T.
(1)请推导出ω与T的关系；
(2)根据推导出的关系式，思考ω(简谐运动的圆频率)可以表示简谐运动的快慢吗？
4. 相位
(1)物理学中把____________叫作相位．其中φ是t＝0时的相位，称为初相位，或初相．相位是一个角度，单位是____________．
(2)若相位确定时，sin (ωt＋φ)的值就确定了，那么相位有什么物理意义呢？
【答案】表示做简谐运动的物体处于一个运动周期中的哪个状态．
(3)实际上，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差．
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin (ωt＋φ1)，x2＝A2sin (ωt＋φ2)，则：
①请求出它们的相位差Δφ.
【答案】Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
ωt＋φ
弧度(或度)
②当φ2>φ1，常说2的相位比1的相位超前Δφ，或者说1的相位比2的相位____________Δφ.
当Δφ＝____________时，两振动物体振动步调一致；当Δφ＝____________时，两振动物体振动步调完全相反．
③演示实验：如图所示，观察并列悬挂的两个相同弹簧振子的振动，体会“超前”“落后”“步调一致”“步调完全相反”的含义．
落后
0
π
活动二：理解与应用简谐运动的振动方程
1. 若一个简谐运动的振幅为A，周期为T，初相位为φ0.请写出做该简谐运动的物体在任意时刻t的位移x.
2. 如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm.小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点．
(1)画出小球在第一个周期内的xt图像；
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移．
总结：振动物体路程的计算方法．
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程．
检 测 反 馈
1
1. 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)　
A. 质点振动的频率是4 Hz
B. t＝3 s时，质点的振幅为0
C. t＝3 s时，质点的速度最大
D. t＝1 s与t＝5 s时，质点的相位相同
【解析】由图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以B错误；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以C正确；时刻不同，相位不同，所以D错误．
【答案】C
1
2
2. 周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
A. 15次，2 cm　 B. 30次，1 cm
C. 15次，1 cm　 D. 60次，2 cm
【解析】在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过的路程s＝4A×15＝60A＝60 cm，故振幅A＝1 cm，B正确.
【答案】B
3
3. 有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A. 1∶1，1∶1　 B. 1∶1，1∶2
C. 1∶4，1∶4　 D. 1∶2，1∶2
【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1.振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关．B正确．
【答案】B
4
4. 如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
【答案】B
4
5
5. 如图所示，一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，求该小球做简谐运动的可能周期．
6
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图中作出该振子的位移—时间图像；
(3)写出振子的振动方程．
6
谢谢观看
Thank you for watching第2节　简谐运动的描述
1. 认识描述简谐运动的几个物理量(振幅、周期、频率、圆频率、相位).
2. 能写出简谐运动的数学表达式，并能与振动图像进行转换．
在上一节的学习中，我们知道做简谐运动物体的振动位移随时间按正弦函数规律变化，在数学课上我们学习过正弦函数x＝A sin (ωt＋φ)，下面我们将结合弹簧振子模型，对简谐运动进行描述．
如图所示，O点是水平弹簧振子的平衡位置，M点和M′点是振子在平衡位置右端及左端的最远位置．
1. 振幅
因为|sin (ωt＋φ)|≤1，所以|x|≤A，则|OM|＝|OM′|＝A.
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫作振动的振幅．常用字母A表示．
(2)物理意义：表示振动的强弱．振幅是________(选填“标量”或“矢量”).
2. 周期和频率
(1)阅读教材“周期和频率”部分，理解“一次全振动”．结合上面水平弹簧振子示意图，在右图中画出以下三种情况下振子做一次全振动的轨迹图(已经画出部分轨迹．因为轨迹有重合，所以可以画曲线，将轨迹分离开来，便于观察振子的振动过程).
①振子向右通过O点开始画轨迹．
②振子从M′点开始画轨迹．
③振子向右通过P0点开始画轨迹．
(2)完成表格填空：
周期 频率
定义 简谐运动的物体完成________所需要的时间，叫作振动的周期 单位时间内完成________的次数，叫作振动的频率
单位 ________ ________
物理意义 ____________________________________________________________________
关系式 ________________________________
(3)演示实验：根据教材 “做一做” 中的器材和实验步骤测量小球振动的周期．通过这个实验，你发现弹簧振子的振动周期与其振幅有什么关系？
　　(4)如图所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm.已知振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是(　　)
A. 振子从B经O到C完成一次全振动
B. 振子的振动周期是2 s，振幅是5 cm
C. 经过两次全振动，振子运动的路程是20 cm
D. 从B开始经过3 s，振子运动的路程是40 cm
3. 圆频率
根据正弦函数规律，(ωt＋φ)在每增加2π的过程中，函数值循环变化一次，这一变化过程所需要的时间是简谐运动的周期T.
(1)请推导出ω与T的关系；
(2)根据推导出的关系式，思考ω(简谐运动的圆频率)可以表示简谐运动的快慢吗？
4. 相位
(1)物理学中把________叫作相位．其中φ是t＝0时的相位，称为初相位，或初相．相位是一个角度，单位是________．
(2)若相位确定时，sin (ωt＋φ)的值就确定了，那么相位有什么物理意义呢？
(3)实际上，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差．
若两个简谐运动的表达式为x1＝A1sin (ωt＋φ1)，x2＝A2sin (ωt＋φ2)，则：
①请求出它们的相位差Δφ.
②当φ2>φ1，常说2的相位比1的相位超前Δφ，或者说1的相位比2的相位________Δφ.当Δφ＝________时，两振动物体振动步调一致；当Δφ＝________时，两振动物体振动步调完全相反．
③演示实验：如图所示，观察并列悬挂的两个相同弹簧振子的振动，体会“超前”“落后”“步调一致”“步调完全相反”的含义．
1. 若一个简谐运动的振幅为A，周期为T，初相位为φ0.请写出做该简谐运动的物体在任意时刻t的位移x.
2. 如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20 cm.小球经过B点时开始计时，经过0.5 s首次到达C点．
(1)画出小球在第一个周期内的xt图像；
(2)求5 s内小球通过的路程及5 s末小球的位移．
总结：振动物体路程的计算方法．
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四倍振幅，则在n个周期内通过的路程必为n×4A；②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅；③振动物体在 内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时， 内通过的路程才等于振幅．
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程．
1. 一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图所示，由图可知(　　)
A. 质点振动的频率是4 Hz
B. t＝3 s时，质点的振幅为0
C. t＝3 s时，质点的速度最大
D. t＝1 s与t＝5 s时，质点的相位相同
2. 周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
A. 15次，2 cm　 B. 30次，1 cm
C. 15次，1 cm　 D. 60次，2 cm
3. 有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A. 1∶1，1∶1　 B. 1∶1，1∶2
C. 1∶4，1∶4　 D. 1∶2，1∶2
4. 如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系．t＝0时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为ω，则P做简谐运动的表达式为(　　)
A. x＝R sin 　　 B. x＝R sin
C. x＝2R sin 　　 D. x＝2R sin
5. 如图所示，一个小球在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O点开始计时，经过3 s小球第一次经过M点，再继续运动，又经过2 s它第二次经过M点，求该小球做简谐运动的可能周期．
有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过 周期振子有负向最大位移．
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图中作出该振子的位移—时间图像；
(3)写出振子的振动方程．
第2节　简谐运动的描述
【活动方案】
活动一：
1. (2)标量
2. (1)
(2)一次全振动　全振动　秒(s)　赫兹(Hz)　表示物体振动快慢的物理量　T＝　(3)无关．
(4)B　振子从B经O到C，然后从C点返回再次回到B点时，完成一次全振动，A错误；由题意可知，振子的振动周期是T＝2 s，振幅是A＝BO＝OC＝5 cm，B正确；经过两次全振动，振子运动的路程是x＝8A＝40 cm，C错误；从B开始经过3 s＝1.5T，振子运动的路程是s＝6A＝30 cm，D错误．
3. (1)ω＝.
(2)可以．
4. (1)ωt＋φ　弧度(或度)
(2)表示做简谐运动的物体处于一个运动周期中的哪个状态．
(3)①Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
②落后　0　π
活动二：
1. x＝A sin .
2. (1)
(2)2 m　0.1 m
【检测反馈】
1. C　由图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以A错误；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移的大小，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以B错误；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以C正确；时刻不同，相位不同，所以D错误．
2. B　在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过的路程s＝4A×15＝60A＝60 cm，故振幅A＝1 cm，B正确.
3. B　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1.振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关．B正确．
4. B　由图可知，影子P做简谐运动的振幅为R，以向上为正方向，设P的振动方程为x＝R sin (ωt＋φ)，当t＝0时，P的位移为R，代入振动方程解得φ＝，则P做简谐运动的表达式为x＝R sin (ωt＋)，故B正确．
5. 如果小球由O点出发向右运动，则小球运动的周期为16 s；如果小球由O点出发向左运动，则小球运动的周期为 s.
6. (1)由题意可知
A＝＝ cm＝10 cm，T＝＝＝0.2 s.
(2)由振子经过平衡位置开始计时，经过 周期振子有负向最大位移，可知位移—时间图像如图所示．
(3)由A＝10 cm，T＝0.2 s，ω＝＝10π rad/s，
故振子的振动方程为x＝10sin (10πt＋π)cm.

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