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第二章　
机械振动
第3节　简谐运动的回复力和能量
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握简谐运动的动力学特征和简谐运动的判断方法．
2. 理解简谐运动中各物理量的变化规律，知道振动的能量与振幅的关系．
活 动 方 案
活动一：分析简谐运动的回复力
前面，我们从运动学的角度研究了简谐运动，下面将从动力学角度和能量角度研究简谐运动．
1. 弹簧振子的模型如图所示，O点为平衡位置．
(1)当把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动．请分析小球在运动过程中所受的合力方向有什么特点？合力的作用效果是什么？
【答案】小球所受的合力方向总是指向平衡位置，它的作用效果总是把振子拉回到平衡位置．
(2)当小球偏离平衡位置时，都会受到一个指向平衡位置的力，这种力叫作回复力．与圆周运动的向心力类似，回复力是根据力的_______命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(3)以平衡位置为坐标原点，水平向右为位移x的正方向，建立一维坐标．设弹簧的劲度系数为k，小球受到的回复力为F，请写出力F与小球位移x的关系．
【答案】F＝－kx，“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
效果
(4)理论上可以证明，如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．所以，判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．
如图所示，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
【答案】证明：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧的形变量为x0，根据胡克定律及平衡条件有mg－kx0＝0，当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力(即合外力)为F ＝mg－k(x＋x0)，综上解得F ＝－kx，可知振动时的受力符合简谐运动的条件，所以竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
提示：首先确定平衡位置；其次找任意一个偏离平衡位置距离为x的位置，并写出该位置的回复力表达式；最后判断回复力是否满足F＝－kx的形式．
2. 做简谐运动的物体，在运动的过程中，加速度是如何变化的？
活动二：理解简谐运动的能量
1. 如图所示，作为一个振动系统，弹簧振子的势能与弹簧的伸长量有关，动能与小球的速度有关．请在下表中补充完整弹簧振子在各位置的能量变化．某量取最大值、最小值用文字表示，某量为零用数字0表示，增加和减少分别用斜向上的箭头和斜向下的箭头表示．
位置 A A→O O O→B B
大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向
位移
回复力
加速度
速度
动能
势能
总机械能
最大
向左
向左
0
/
?
向右
最大
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最大
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最大
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最大
0
最大
0
最大
保持不变
2. 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
思考：对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的弹簧振子，系统机械能与振幅有什么关系？
【答案】振幅越大，机械能越大．
3. 如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内回答下列问题．
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
(4)哪段时间的加速度在减小？
(5)哪段时间的势能在增大？
【答案】
(1)0.6 s、1.2 s、1.4 s.　
(2)0.2 s、1.0 s、1.2 s.　
(3)0、0.2 s、0.6 s、0.8 s、1.0 s、1.2 s、1.4 s.
(4)0.1～0.3 s、0.5～0.7 s、0.9～1.1 s、1.3～1.5 s.　
(5)0～0.1 s、0.3～0.5 s、0.7～0.9 s、1.1～1.3 s.
检 测 反 馈
1
1. 关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，下列说法正确的是(　　)
A. k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度
B. k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C. 对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的伸长或压缩量决定
【答案】B
2
2. 某同学用粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝后竖直悬浮在装有盐水的杯子中，如图甲所示．现把木筷向上提起一段距离后放手并开始计时，之后木筷做简谐运动．以竖直向上为正方向作出木筷振动的xt图像，如图乙所示，不计水的阻力，则(　　)
A. 木筷振动的回复力由水对木筷和铁丝的浮力提供
B. 从0.1 s至0.2 s过程中，木筷的动量逐渐变大
D. t＝0.45 s时，木筷和铁丝的重力大于其所受的浮力
【解析】木筷振动的回复力由水对木筷和铁丝的浮力以及重力提供，故A错误；根据图像可知，从0.1 s至0.2 s过程中木筷向最大位移处运动，速度逐渐变小，则动量p＝mv逐渐变小，故B错误；根据图像可知
2
【答案】D
2
3
3. 如图所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉下一半(即物体质量减少一半)，此后振动系统的振幅的变化为(　　)
A. 振幅不变　 B. 振幅变大
C. 振幅变小　 D. 条件不够，不能确定
【解析】当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后，新的系统将继续做简谐运动，机械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点．但是，由于振子质量的减少，新的平衡位置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大．B正确．
【答案】B
4
4. 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与水平轻质弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)
【答案】D
4
5
5. 把图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开．假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动．
【答案】小球静止时受到重力、斜面的支持力和弹簧拉力的作用．平衡时弹簧伸长了x0，则 mg sin θ＝kx0.
弹簧拉长后，设离开平衡位置的位移为x，规定x方向为正方向，则弹簧的拉力 F弹＝－k(x＋x0)，
小球沿斜面方向受的合力
F＝F弹＋mg sin θ＝－k(x＋x0)＋mg sin θ＝－kx，
所以小球的运动是简谐运动．
6
6. 如图所示，将质量为m＝100 g的平台A连接在劲度系数k＝200 N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置质量也为m的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5 cm.A的厚度可忽略不计，g取10 m/s2.
(1)求平衡位置距地面的高度；
(2)当振幅为0.5 cm时，求A对B的最大支持力大小．
【答案】(1)振幅很小时，A、B间不会分离，将A与B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得kΔx0＝(mA＋mB)g，
解得形变量Δx0＝1 cm，
平衡位置距地面高度h＝l0－Δx0＝4 cm.
(2)当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A，此时最大加速度
取B为研究对象，有N－mBg＝mBam，
得A对B的最大支持力N＝mB(g＋am)＝1.5 N．
6
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Thank you for watching第3节　简谐运动的回复力和能量
1. 掌握简谐运动的动力学特征和简谐运动的判断方法．
2. 理解简谐运动中各物理量的变化规律，知道振动的能量与振幅的关系．
前面，我们从运动学的角度研究了简谐运动，下面将从动力学角度和能量角度研究简谐运动．
1. 弹簧振子的模型如图所示，O点为平衡位置．
(1)当把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动．请分析小球在运动过程中所受的合力方向有什么特点？合力的作用效果是什么？
(2)当小球偏离平衡位置时，都会受到一个指向平衡位置的力，这种力叫作回复力．与圆周运动的向心力类似，回复力是根据力的________命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供．
(3)以平衡位置为坐标原点，水平向右为位移x的正方向，建立一维坐标．设弹簧的劲度系数为k，小球受到的回复力为F，请写出力F与小球位移x的关系．
(4)理论上可以证明，如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．所以，判断一个物体是否做简谐运动，可找出回复力F与位移x之间的关系，若满足F＝－kx，则物体做简谐运动，否则就不是简谐运动．
如图所示，试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
提示：首先确定平衡位置；其次找任意一个偏离平衡位置距离为x的位置，并写出该位置的回复力表达式；最后判断回复力是否满足F＝－kx的形式．
2. 做简谐运动的物体，在运动的过程中，加速度是如何变化的？
1. 如图所示，作为一个振动系统，弹簧振子的势能与弹簧的伸长量有关，动能与小球的速度有关．请在下表中补充完整弹簧振子在各位置的能量变化．某量取最大值、最小值用文字表示，某量为零用数字0表示，增加和减少分别用斜向上的箭头和斜向下的箭头表示．
位置 A A→O O O→B B
大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向
位移
回复力
加速度
速度
动能
势能
总机械能
2. 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型．
思考：对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的弹簧振子，系统机械能与振幅有什么关系？
3. 如图所示为某物体做简谐运动的图像，在0～1.5 s范围内回答下列问题．
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
(4)哪段时间的加速度在减小？
(5)哪段时间的势能在增大？
1. 关于简谐运动的动力学公式F＝－kx，下列说法正确的是(　　)
A. k是弹簧的劲度系数，x是弹簧长度
B. k是回复力跟位移的比例常数，x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
C. 对于弹簧振子系统，k是劲度系数，它由弹簧的伸长或压缩量决定
D. 因为k＝，所以k与F成正比
2. 某同学用粗细均匀的一根木筷，下端绕几圈铁丝后竖直悬浮在装有盐水的杯子中，如图甲所示．现把木筷向上提起一段距离后放手并开始计时，之后木筷做简谐运动．以竖直向上为正方向作出木筷振动的xt图像，如图乙所示，不计水的阻力，则(　　)
甲 乙
A. 木筷振动的回复力由水对木筷和铁丝的浮力提供
B. 从0.1 s至0.2 s过程中，木筷的动量逐渐变大
C. 木筷的位移—时间关系式为x＝5sin m
D. t＝0.45 s时，木筷和铁丝的重力大于其所受的浮力
3. 如图所示，竖直悬挂的弹簧振子做振幅为A的简谐运动，当物体到达最低点时，物体恰好掉下一半(即物体质量减少一半)，此后振动系统的振幅的变化为(　　)
振幅不变　 B. 振幅变大
C. 振幅变小　 D. 条件不够，不能确定
4. 如图所示，质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上，B与水平轻质弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于(　　)
A. 0　 B. kx　 C. kx　 D. kx
5. 把图中倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开．假设空气阻力可忽略不计，试证明小球的运动是简谐运动．
6.如图所示，将质量为m＝100 g的平台A连接在劲度系数k＝200 N/m的弹簧上端，弹簧下端固定在地面上，形成竖直方向的弹簧振子，在A的上方放置质量也为m的物块B，使A、B一起上下振动，弹簧原长为5 cm.A的厚度可忽略不计，g取10 m/s2.
(1)求平衡位置距地面的高度；
(2)当振幅为0.5 cm时，求A对B的最大支持力大小．
第3节　简谐运动的回复力和能量
【活动方案】
活动一：
1. (1)小球所受的合力方向总是指向平衡位置，它的作用效果总是把振子拉回到平衡位置．
(2)效果
(3)F＝－kx，“－”号表示回复力的方向与偏离平衡位置的位移的方向相反．
(4)证明：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧的形变量为x0，根据胡克定律及平衡条件有mg－kx0＝0，
当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力(即合外力)为F ＝mg－k(x＋x0)，
综上解得F ＝－kx，可知振动时的受力符合简谐运动的条件，所以竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动．
2. 加速度a＝＝－，其大小与位移x成正比，方向总与位移方向相反(简谐运动是一种变加速的往复运动).
活动二：
1.
A A→O O O→B B
大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向 大小 方向
最大 向左 ↘ 向左 0 / ↗ 向右 最大 向右
最大 向右 ↘ 向右 0 / ↗ 向左 最大 向左
最大 向右 ↘ 向右 0 / ↗ 向左 最大 向左
0 / ↗ 向右 最大 向右 ↘ 向右 0 /
0 ↗ 最大 ↘ 0
最大 ↘ 0 ↗ 最大
保持不变
2. 振幅越大，机械能越大．
3. (1)0.6 s、1.2 s、1.4 s.
(2)0.2 s、1.0 s、1.2 s.
(3)0、0.2 s、0.6 s、0.8 s、1.0 s、1.2 s、1.4 s.
(4)0.1～0.3 s、0.5～0.7 s、0.9～1.1 s、1.3～1.5 s.
(5)0～0.1 s、0.3～0.5 s、0.7～0.9 s、1.1～1.3 s.
【检测反馈】
1. B
2. D　木筷振动的回复力由水对木筷和铁丝的浮力以及重力提供，故A错误；根据图像可知，从0.1 s至0.2 s过程中木筷向最大位移处运动，速度逐渐变小，则动量p＝mv逐渐变小，故B错误；根据图像可知T＝0.4 s，所以ω＝＝5π rad/s，木筷的位移—时间关系式为x＝5sin cm，故C错误；t＝0.45 s时，根据图像可知，斜率代表速度，从正向最大位移处向平衡位置运动，向负方向加速，加速度向下，木筷和铁丝的重力大于其所受的浮力，故D正确．
3. B　当物体到达最低点时掉下一半(即物体质量减少一半)后，新的系统将继续做简谐运动，机械能也是守恒的，所以还会到达原来的最低点．但是，由于振子质量的减少，新的平衡位置将比原来的平衡位置高，所以振幅变大．故B正确．
4. D　当物体离开平衡位置的位移为x时，弹簧弹力的大小为kx，以整体为研究对象，此时A与B具有相同的加速度，根据牛顿第二定律得 kx＝(m＋M)a，故a＝.以A为研究对象，使A产生加速度的力即为B对A的静摩擦力Ff，由牛顿第二定律可得Ff＝ma＝kx.故D正确．
5. 小球静止时受到重力、斜面的支持力和弹簧拉力的作用．平衡时弹簧伸长了x0，则
mg sin θ＝kx0.
弹簧拉长后，设离开平衡位置的位移为x，规定x方向为正方向，则弹簧的拉力
F弹＝－k(x＋x0)，
小球沿斜面方向受的合力
F＝F弹＋mg sin θ＝－k(x＋x0)＋mg sin θ＝－kx，
所以小球的运动是简谐运动．
6. (1)振幅很小时，A、B间不会分离，将A与B整体作为振子，当它们处于平衡位置时，根据平衡条件得kΔx0＝(mA＋mB)g，
解得形变量Δx0＝1 cm，
平衡位置距地面高度h＝l0－Δx0＝4 cm.
(2)当A、B运动到最低点时，有向上的最大加速度，此时A、B间相互作用力最大，设振幅为A，此时最大加速度
am＝＝＝5 m/s2，
取B为研究对象，有N－mBg＝mBam，
得A对B的最大支持力N＝mB(g＋am)＝1.5 N.

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