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第4节　单　　摆
1. 理解单摆模型．
2. 知道单摆振动时回复力的来源和单摆做简谐运动的条件．
3. 了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式．
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动．在如图所示的装置中，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．
单摆由一线、一球构成，请总结构建单摆这个理想化模型时的条件．
单摆摆动时，摆球在做振动，它是不是在做简谐运动？可以用两种不同方法来研究这个问题．
1. 方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反．
如图所示，单摆摆长为 l、摆球质量为 m．将摆球拉离平衡位置 O 后释放，摆球沿圆弧做往复运动．当摆球沿圆弧运动到某一位置 P 时，摆线与竖直方向的夹角为 θ.此时摆球受到重力 G 和摆线拉力 FT的作用．重力 G 沿圆弧切线方向的分力 F＝mg sin θ充当了回复力，请证明：F 满足F＝－kx的形式．
2. 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系．
演示实验：如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁．当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样．
结论：_______________________________________.
1. 定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响．
如图所示，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照下列三种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期．
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下)；
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同；
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同．
比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？
2. 定量探究单摆的周期与摆长的关系．
(1)测量周期：用秒表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t(在小偏角下)，利用T＝ 计算它的周期．
(2)测量摆长：用刻度尺测出细线长度l0，用游标卡尺测出小球直径D，利用l＝l0＋ 求出摆长．
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出Tl、Tl2或T 图像，得出结论．
实验结论：____________________________________________________.
3. 单摆的周期公式：
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家________首先提出的．
(2)公式：________________________．
　　
(3)惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟．如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，如图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在甲地走时准确的摆钟移到乙地，未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是(　　) 甲　　　乙
A. 甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B. 甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C. 乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D. 乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
4. 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆做全振动30次用的时间t＝60.8 s，问：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s)，摆长应怎样改变？改变多少？
1. 在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)
A B C D
2. 如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(可视为质点)组成了所谓的双线摆，若摆长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，其周期为(　　)
A. 2π　 B. 2π　 C. 2π　 D. 2π
3. 如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长．甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处．则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　)
A. 乙先到，然后甲到，丙最后到　 B. 丙先到，然后甲、乙同时到
C. 丙先到，然后乙到，甲最后到　 D. 甲、乙、丙同时到
4. 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，它在月球上做50次全振动要用多少时间？
5.甲、乙两个单摆在同一地点摆动的振动图像如图所示．
(1)写出甲、乙两个单摆位移随时间的变化关系式；
(2)求甲、乙两个单摆的摆长之比．
6. 如图甲所示，质量为m的小球用细线悬挂，悬点到球心的距离为l.将小球偏离竖直方向一定角度(≤5°)由静止释放，小球摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，细线对小球的拉力大小为F，F随cos θ变化的F-cos θ图像如图乙所示(F1、F2为未知量).已知重力加速度大小为g，将小球静止释放时记为0时刻，求：
(1)小球到达最低点的时刻；
(2)细线对小球的最小拉力F1；
(3)细线对小球的最大拉力F2.
甲 乙
第4节　单　　摆
【活动方案】
活动一：
忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细且不可伸长的线．
活动二：
1. 在偏角很小时，sin θ≈，又回复力F＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F＝－x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，l表示单摆的摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动．
3. 单摆在摆角很小的情况下做简谐运动
活动三：
1. 单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关．
2. T与摆长l的二次方根成正比
3. (1)惠更斯　(2)T＝2π (g为重力加速度)
(3)C　由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，因T＝2π ，则重力加速度变大，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动．
4. (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式
T＝2π ，
由此可知g＝，
因为T＝＝ s＝2.027 s，
所以g＝＝ m/s2＝9.79 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s，设其摆长为l0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有 ＝，
故有l0＝＝ m＝0.993 m，
所以其摆长要缩短Δl＝l－l0＝1.02 m－0.993 m＝0.027 m．
【检测反馈】
1. A
2. D　根据公式T＝2π ，本题中l′＝l sin α，故T＝2π，D正确．
3. B　对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝gt，解得t3＝，对于甲、乙两球，做简谐运动，其运动周期为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动 周期，则t1＝t2＝＝，故丙先到，然后甲、乙同时到．故B正确．
4. 摆长约为1 m，50次全振动约250 s.
5. (1)根据图像可知T甲＝8 s，T乙＝4 s，甲的振幅为8 cm，乙的振幅为4 cm，根据x＝A sin (＋φ)，通过将图像中的坐标代入，解得
x甲＝8sin (t＋) cm，
x乙＝4sin cm.
(2)根据T＝2π，得 ＝，解得 ＝.
6. (1)该单摆的摆动周期T＝2π，
由摆动的周期性可知小球在 T、T、T…时刻到达最低点，
即小球到达最低点的时刻
t＝T＋T(n＝0，1，2，3…)，
解得t＝π(n＝0，1，2，3…).
(2)由题意及图可知，释放小球时cos θ1＝0.996，此时拉力最小，对小球受力分析可得F1＝mgcos θ1，即F1＝0.996mg.(3)在最低点时cos θ2＝1，由机械能守恒定律得mgl－mglcos θ1＝mv2，根据牛顿第二定律F2－mg＝m，解得F2＝1.008mg.(共27张PPT)
第二章　
机械振动
第4节　单　　摆
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解单摆模型．
2. 知道单摆振动时回复力的来源和单摆做简谐运动的条件．
3. 了解影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式．
活 动 方 案
活动一：了解单摆及其组成
生活中经常可以看到悬挂起来的物体在竖直平面内往复运动．在如图所示的装置中，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．
单摆由一线、一球构成，请总结构建单摆这个理想化模型时的条件．
【答案】忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细且不可伸长的线．
活动二：探究单摆的振动是否为简谐运动
单摆摆动时，摆球在做振动，它是不是在做简谐运动？可以用两种不同方法来研究这个问题．
1. 方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反．
如图所示，单摆摆长为 l、摆球质量为 m．将摆球拉离平衡位置 O 后释放，摆球沿圆弧做往复运动．当摆球沿圆弧运动到某一位置 P 时，摆线与竖直方向的夹角为 θ.此时摆球受到重力 G 和摆线拉力 FT的作用．重力 G 沿圆弧切线方向的分力 F＝mg sin θ充当了回复力，请证明：F 满足F＝－kx的形式．
2. 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系．
演示实验：如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装上墨汁．当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在木板上的墨汁图样．
3. 结论：______________________________________．
单摆在摆角很小的情况下做简谐运动
活动三：探究单摆的周期
1. 定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响．
如图所示，在铁架台的横梁上固定两个单摆，按照下列三种情况，把它们拉起一定角度后同时释放，观察两摆的振动周期．
(1)两摆的摆球质量、摆长相同，振幅不同(都在小偏角下)；
(2)两摆的摆长、振幅相同，摆球质量不同；
(3)两摆的振幅、摆球质量相同，摆长不同．
比较三种情况下两摆的周期，可以得出什么结论？
【答案】单摆做简谐运动的周期与摆长有关，摆长越长，周期越大；单摆的周期与摆球质量和振幅无关．
2. 定量探究单摆的周期与摆长的关系．
实验结论：____________________________________．
T与摆长l的二次方根成正比
3. 单摆的周期公式：
(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家________首先提出的．
(2)公式：____________________________．
惠更斯
(3)惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟．如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，如图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在甲地走时准确的摆钟移到乙地，未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是(　　)
A. 甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
B. 甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
C. 乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动
D. 乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动
【答案】C
4. 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，已知单摆做简谐运动，单摆做全振动30次用的时间t＝60.8 s，问：
(1)当地的重力加速度是多大？
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s)，摆长应怎样改变？改变多少？
检 测 反 馈
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1. 在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【答案】A
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2. 如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(可视为质点)组成了所谓的双线摆，若摆长为l，两线与天花板的左、右两侧夹角均为α，当小球垂直纸面做简谐运动时，其周期为(　　)
【答案】D
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3. 如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长．甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处．则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　)
A. 乙先到，然后甲到，丙最后到
B. 丙先到，然后甲、乙同时到
C. 丙先到，然后乙到，甲最后到
D. 甲、乙、丙同时到
【答案】B
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4. 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，它在月球上做50次全振动要用多少时间？
【答案】摆长约为1 m，50次全振动约250 s．
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5. 甲、乙两个单摆在同一地点摆动的振动图像如图所示．
(1)写出甲、乙两个单摆位移随时间的变化关系式；
(2)求甲、乙两个单摆的摆长之比．
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6. 如图甲所示，质量为m的小球用细线悬挂，悬点到球心的距离为l.将小球偏离竖直方向一定角度(≤5°)由静止释放，小球摆动过程中，细线与竖直方向夹角为θ，细线对小球的拉力大小为F，F随cos θ变化的Fcos θ图像如图乙所示(F1、F2为未知量).已知重力加速度大小为g，将小球静止释放时记为0时刻，求：
(1)小球到达最低点的时刻；
(2)细线对小球的最小拉力F1；
(3)细线对小球的最大拉力F2.
6
(2)由题意及图可知，释放小球时cos θ1＝0.996，
此时拉力最小，对小球受力分析可得F1＝mg cos θ1，
即F1＝0.996mg.
(3)在最低点时cos θ2＝1，
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