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第5节　实验：用单摆测量重力加速度
1. 掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．
2. 会用多种方法处理实验数据．
3. 学会误差分析并掌握减小误差的方法．
惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度．我们也可以采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度数值．
1. 实验原理
单摆在偏角很小时的摆动，可以看成是简谐运动．根据周期公式T＝2π，可得g＝________．据此，只要测出摆长l和周期T，即可计算出当地的重力加速度数值．
2. 实验器材
摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等．
3. 实验步骤
(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记．
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球的直径d，则单摆的摆长l＝________．
(3)测周期：如图所示，将摆球从平衡位置拉开一个很小的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过________位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝________．
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T，并将数据记入活动二的表格内．
1. 平均值法：
实验表格
实验次序 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g＝＝________
2
3
　2. 图像法：由T＝2π得T2＝l，作出T2-l图像，即以T2为纵轴，以l为横轴．其斜率k＝________，由图像的斜率即可求出重力加速度g.
1. 实验误差分为系统误差和偶然误差．
(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．
只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到_____________________________________________________________的程度．
(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期).要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2…，在数“0”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．
为了减小偶然误差，应______________________________．
2. 实验注意事项
(1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在________左右，小球应选用密度________的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.
(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线滑动、摆长________的现象．
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向应________．可通过估算振幅的办法掌握．
(4)摆球振动时，要使之保持在同一个________________，不要形成圆锥摆．
(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过________时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时计数．
1. 在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学测完摆长，再测周期，最后发现测得的g值偏大，可能是因为________．
A. 单摆摆动时摆角较小
B. 把摆线的长作为摆长进行计算
C. 摆线上端未固定牢固，摆动中出现松动，摆线变长
D. 摁下秒表开始计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间
2. 在“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)下列做法中正确的是________．
A. 测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B. 测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C. 要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D. 单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°
(2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为________cm，则单摆的摆长为________cm(该结果保留4位有效数字)；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示，为________s.
(3)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出lT2图像，如图丙所示．实验得到的lT2图像是________(选填“a”“b”或“c”).
甲 乙 丙
3. 某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
甲 乙 丙
(1)下列叙述正确的有________．
A. 长度不同的1 m和30 cm的同种细线，选用1 m的细线作摆线
B. 如图乙中A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式更好
C. 当单摆经过平衡位置开始计时，可用60次经过平衡位置的时间除以60作为单摆振动的周期
D. 如图丙中，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，求出的重力加速度与实际值相比偏大
(2)如图丁中游标卡尺的读数为________mm.
丁
(3)若某同学实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l、摆球直径为d，则当地的重力加速度g＝________(用测出的物理量表示).
(4)小组内其他同学测量了多组实验数据，作出了周期的平方与摆长(T2L)的关系图像如图戊所示，已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点．对于图线a、b、c，下列分析正确的是________．
A. 出现图线c的原因可能是使用的摆线比较长
B. 出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L
C. 由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，由图线c计算出的g值偏小 戊
4. 某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度．该同学将小铁球从最低点移开一小段距离由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆的简谐运动．
甲 乙 丙
具体步骤如下：
①用游标卡尺测量小球的直径d；
②用秒表测量小铁球的运动周期T；
③更换不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制如图乙所示的T2- 图像，横纵轴截距分别为a、b.
(1)测量小铁球运动周期时，开始计时的位置为图甲中的________(选填“A”“O”或“A′”).
(2)由T2- 图像可得当地的重力加速度g＝________，圆弧的半径R＝________．
(3)该同学查阅资料得知，单摆做简谐运动的周期T0是初始摆角很小时的近似值，实验过程中初始摆角对周期T有一定的影响， 与初始摆角θ的关系如图丙所示．若实验时该同学释放小铁球的位置离O点较远，初始摆角接近15°，若只考虑初始摆角的影响，重力加速度的测量值会________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
第5节　实验：用单摆测量重力加速度
【活动方案】
活动一：
1. 　3. (2)l线＋　(3)平衡　
活动二：
1. 略　2.
活动三：
1. (1)可忽略不计
(2)进行多次测量后取平均值
2. (1)1 m　较大　(2)变化(或改变)　(3)很小
(4)竖直平面内　(5)平衡(最低)位置
【检测反馈】
1. D　单摆摆动时摆角较小，对g值的测量无影响，故A错误；根据T＝2π，可得g＝＝，式中d为摆球直径，l0为摆线长，若把摆线的长l0作为摆长l进行计算，则g值将偏小，故B错误；若摆线上端未固定牢固，摆动中出现松动，摆线变长，导致相对于原来的单摆，周期的测量值将偏大，根据g＝ 可知，g值的测量值将偏小，故C错误；摁下秒表开始计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间，而实际完成全振动的次数应为(n－1)次，将导致单摆的测量周期偏小，根据g＝可知，g值的测量值偏大，故D正确．
2. (1)C　(2)2.125　98.49　100　(3)c
解析：(1)测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球球心的距离，故A错误；测量周期时，选取平衡位置作为计时起点与终止点，因为摆球通过平衡位置时速度最大，相等的距离误差时，引起的时间误差较小，测量的周期精确，故B错误；要保证单摆在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，故C正确；单摆摆动时，对摆角的大小有要求，摆角的大小不超过5°，故D错误．
(2)游标卡尺的精度为0.05 mm，其读数为主尺与游标尺的读数之和，故摆球直径d＝21 mm＋5×0.05 mm＝21.25 mm＝2.125 cm；单摆摆长等于摆线长加摆球的半径，即L＝(97.43＋) cm≈98.49 cm；由秒表读得50次全振动的时间为t＝90 s＋10 s＝100 s.
(3)摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长L，若将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，则L＝l－r，由单摆周期公式有T＝2π，得l＝T2＋r，由图丙可知，实验得到的lT2图像应该是c.
3. (1)AD　(2)10.60　(3)　(4)B
解析：(1)长度不同的1 m和30 cm的同种细线，选用1 m的细线作摆线，故A正确；如图乙中A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选C方式更好，用夹子夹住摆线可防止摆长发生变化，故B错误；当单摆经过平衡位置时开始计时，60次经过平衡位置时振动了30个周期(第一次经过平衡位置时记作0)，则可用60次经过平衡位置的时间除以30作为单摆振动的周期，故C错误；若为圆锥摆，则根据mg tan θ＝mL sin θ，解得T＝2π，可知测得的周期偏小，根据T＝2π，解得g＝，可知，求出的重力加速度与实际值相比偏大，故D正确．
(2)由图丁可知游标卡尺读数为10 mm＋12×0.05 mm＝10.60 mm.
(3)若某同学实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t，则周期T＝，摆线长为l，摆球直径为d，则摆长L＝l＋，根据T＝2π，解得当地的重力加速度g＝＝.
(4)根据图线c可知，在T2取为0时，L不为0，表明选择的L的长度比实际的摆长大一些，即有可能是将摆线的长与摆球的直径之和作为摆长L，摆长取值偏大，则图线右移；同理出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L，摆长取值偏小，图线左移，故A错误；B正确；根据T＝2π，可得T2＝L，三条直线的斜率均为k＝，由三条直线计算出的g值都相同，故C错误．
4. (1)O　(2)　a　(3)偏小
解析：(1)在O点时小铁球运动速度最快，造成的时间误差最小，故从O点开始计时．
(2)由单摆周期公式可得T＝2π，变形可得T2＝－·＋，由T2 图像可知 ＝，＝b，解得g＝，R＝a.
(3)根据单摆周期公式有T＝2π，T0＝2π，解得g测＝，g真＝，由题意得T>T0，故g测第二章　
机械振动
第5节　实验：用单摆测量重力加速度
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 掌握用单摆测定重力加速度的原理和方法．
2. 会用多种方法处理实验数据．
3. 学会误差分析并掌握减小误差的方法．
活 动 方 案
惠更斯在推导出单摆的周期公式后，用一个单摆测出了巴黎的重力加速度．我们也可以采用同样的办法，测量所在地区的重力加速度数值．
活动一：理解实验原理和步骤
1. 实验原理
2. 实验器材
摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等．
3. 实验步骤
(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结．然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记．
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l线，用游标卡尺测量出摆球
的直径d，则单摆的摆长l＝____________．
(3)测周期：如图所示，将摆球从平衡位置拉开一个很小的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过____________位置时开始用秒表计时，测量N次(一般取30～50次)全振动的时间t，则周期T＝
____________．
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T，并将数据记入活动二的表格内．
平衡
活动二：处理实验数据
1. 平均值法：
实验表格
实验 次序 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值
/(m·s-2)
1
2
3
【答案】略
活动三：进行误差分析
1. 实验误差分为系统误差和偶然误差．
(1)系统误差：主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等．
只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远小于偶然误差而达到______________的程度．
(2)偶然误差：主要来自时间(即单摆周期)的测量上．因此，要注意测准时间(周期).要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2…，在数“0”的同时按下秒表开始计时．不能多计或漏计振动次数．
可忽略不计
为了减小偶然误差，应_________________________．
进行多次测量后取平均值
2. 实验注意事项
(1)选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在______左右，小球应选用密度________的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm.
(2)单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线滑动、摆长_________________的现象．
(3)注意摆动时控制摆线偏离竖直方向应____________．可通过估算振幅的办法掌握．
(4)摆球振动时，要使之保持在同一个________________，不要形成圆锥摆．
1 m
较大
变化(或改变)
很小
竖直平面内
(5)计算单摆的振动次数时，应从摆球通过___________________时开始计时，为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记．以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时计数．
平衡(最低)位置
检 测 反 馈
1
1. 在“用单摆测定重力加速度”的实验中，某同学测完摆长，再测周期，最后发现测得的g值偏大，可能是因为________．
A. 单摆摆动时摆角较小
B. 把摆线的长作为摆长进行计算
C. 摆线上端未固定牢固，摆动中出现松动，摆线变长
D. 摁下秒表开始计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间
【答案】D
1
2
2. 在“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)下列做法中正确的是____________．
A. 测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B. 测量周期时，从小球到达最大振幅位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C. 要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D. 单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°
【解析】测量摆长的方法：用刻度尺量出从悬点到摆球球心的距离，故A错误；测量周期时，选取平衡位置作为计时起点与终止点，因为摆球通过平衡位置时速度最大，相等的距离误差时，引起的时间误差较小，测量的周期精确，故B错误；要保证单摆在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，故C正确；单摆摆动时，对摆角的大小有要求，摆角的大小不超过5°，故D错误．
C
(2)某同学先用米尺测得摆线长为97.43 cm，用游标卡尺测得摆球直径如图甲所示，为__________cm，则单摆的摆长为____________cm(该结果保留4位有效数字)；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示，为____________s.
2.125
98.49
100
2
(3)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出lT2图像，如图丙所示．实验得到的lT2图像是____________(选填“a”“b”或“c”).
c
2
2
3
3. 某实验小组用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度”的实验．
(1)下列叙述正确的有____________．
A. 长度不同的1 m和30 cm的同种细线，选用1 m的细线作摆线
B. 如图乙中A、B、C，摆线上端的三种悬挂方式，选A方式更好
C. 当单摆经过平衡位置开始计时，可用60次经过平衡位置的时间除以60作为单摆振动的周期
D. 如图丙中，由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，求出的重力加速度与实际值相比偏大
AD
3
3
(2)如图丁中游标卡尺的读数为____________mm.
【解析】由图丁可知游标卡尺读数为10 mm＋12×0.05 mm＝10.60 mm.
10.60
3
(3)若某同学实验中测出单摆做n次全振动所用时间为t、摆线长为l、
摆球直径为d，则当地的重力加速度g＝____________(用测出的物理量表示).
3
(4)小组内其他同学测量了多组实验数据，作出了周期的平方与摆长(T2L)的关系图像如图戊所示，已知图线a、b、c平行，图线b过坐标原点．对于图线a、b、c，下列分析正确的是____________．
A. 出现图线c的原因可能是使用的摆线比较长
B. 出现图线a的原因可能是误将摆线长记作摆长L
C. 由图线b计算出的g值最接近当地的重力加速度，由图线a计算出的g值偏大，由图线c计算出的g值偏小
B
3
3
4
4. 某同学利用如图甲所示的一半径较大的固定光滑圆弧面测定当地重力加速度．该同学将小铁球从最低点移开一小段距离由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆的简谐运动．
具体步骤如下：
①用游标卡尺测量小球的直径d；
②用秒表测量小铁球的运动周期T；
(1)测量小铁球运动周期时，开始计时的位置为图甲中的____________(选填“A”“O”或“A′”).
【解析】在O点时小铁球运动速度最快，造成的时间误差最小，故从O点开始计时．
O
4
a
4
偏小
4
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