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聊城市2026年高考模拟试题
数学（三）
注意事项：
1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置上．
2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，只将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数在复平面内表示的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合，，则
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，则与的夹角为
A． B． C． D．
4．已知点在抛物线C：上，则C的准线方程为
A． B． C． D．
5．上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为，侧面积为，则该圆锥形模型的内切球的半径为
A． B． C． D．
6．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为
A． B． C． D．
7．记等差数列的前n项和为，则“的公差为2”是“为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，的定义域均为R，且，，若是偶函数，且，则
A．4 B．5 C．6 D．7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．设随机变量，，则
A． B．
C． D．
10．若函数的图象在点处的切线的斜率为0，则
A．有3个不同的零点 B．在区间上单调递增
C．， D．，
11．点P为圆C：上的动点，点，线段AP的垂直平分线l与直线
CP交于点Q，点Q的轨迹与x轴交于点，，则
A．的最小值为1
B．点Q不在x轴上时，直线，的斜率之积为
C．当时，
D．当于点M时，动点M的轨迹是圆
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．等比数列中，，，则________．
13．高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答）
14．在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程、演算步骤．
15．（13分）
在中，内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a，b，c，已知，且A为锐角．
（1）求A；
（2）若，求的值．
16．（15分）
已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）当时，求的极大值点．
17．（15分）
为研究某疾病患病情况，某研究机构调查了1000户三口之家，得到户内患病人数与对应户数的数据如下表：
户内患病人数 0 1 2 3
对应户数 530 360 90 20
（1）求本次调查的总体患病率（总体患病率总患病人数总调查人数）；
（2）假设各户患病人数X均服从二项分布，且，其中p为（1）中的总体患病率，求户内患病人数所对应的概率以及对应的户内患病人数为的理论预期户数，，，，．
（3）为检验（2）中假设是否合理，统计学上常用卡方来检验二项分布的拟合优度，其中卡方统计量的定义为：．小概率值0.05的卡方拟合优度检验的临界值，当时，认为数据服从二项分布；反之认为不服从二项分布，说明患病情况存在家庭聚集性．计算卡方统计量的值，并判断该疾病患病情况是否存在家庭聚集性．
18．（17分）
如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，分别为，的中点，沿将折起，得到四棱锥，如图2．
（1）若平面与平面的交线为，证明：；
（2）证明：平面平面；
（3）若平面与平面夹角的余弦值为，求二面角的余弦值．
19．（17分）
已知椭圆E：的离心率为，上、下顶点分别为A，B，左、右顶点分别为C，D，
（1）求E的方程；
（2）点列，在E上，且直线过E的右焦点F，其中，，，若，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．

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