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甘肃天水市第二中学等校2025-2026学年高一第二学期期中检测数学试题
一、单选题
1．已知复数，则的虚部是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，且，则等于（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2 D．3
5．如图，在中，，为CD的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，，从点测得．已知山高，则山高（单位：）为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．z的虚部为 B．z的共轭复数为
C． D．z在复平面内对应的点位于第一象限
10．已知平面向量，，则（ ）
A． B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为
11．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ).
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题
12．______.
13．若，则__________.
14．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则___________．
四、解答题
15．已知向量与的夹角为，且.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求向量与向量的夹角.
16．设，，，为平面内的四点，已知，，.
(1)若四边形为平行四边形，求点的坐标；
(2)若，，三点共线，，求点的坐标.
17．已知，，且．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
19．已知，，．
(1)求函数的解析式；
(2)求在上的最大值和最小值．
(3)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值．
1．A
根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果.
【详解】 ，∴z的虚部为：2
故选：A
2．D
【详解】因为，所以.
3．C
由向量平行的充要条件即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，解得.
故选：C.
4．D
【详解】由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
5．D
根据向量的线性运算结合条件即可得答案.
【详解】由已知得
.
故选：D.
6．D
根据，代入即可求解.
【详解】因为，
由.
故选：D.
7．B
根据二倍角公式化简，再根据特殊角的三角函数值判断的大致范围选择即可
【详解】根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故
故选：B
8．A
计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.
【详解】在中，，为直角，则，
在中，，，则，
由正弦定理，可得，
在中，，，.
故选：A.
9．ACD
【详解】先对复数进行实数化，则： ，那么
对于选项A：复数的虚部为，故A正确；
对于选项B， 的共轭复数为，故B错误；
对于选项C， ，故C正确；
对于选项D，在复平面内对应的点为，横、纵坐标均为正，属于第一象限，故D正确.
10．BC
【详解】对A：，则，故A错误；
对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
11．AD
利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为锐角，
但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确.
故选：AD.
12．
利用两角和的正切公式计算，整理即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13．
平方后利用二倍角公式可得
【详解】，，
解得.
故答案为：.
14．
根据给定条件，取为基底，利用向量数量积公式求解作答.
【详解】在中，令，，则，
所以，
因为、边上的两条中线，相交于点，则，，
于是.
15．(1)
(2)
(3)
（1）根据题意，利用向量的数量积的定义即可求解；
（2）根据题意，利用向量的数量积的运算律，直接计算，即可求解；
（3）根据题意，利用向量的夹角公式，直接计算，即可求解.
【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，
则.
（2）因为向量与的夹角为，且，且.
可得.
（3）设向量与向量的夹角为，
可得，
因为，可得，所以向量与向量的夹角为.
16．(1)
(2)
（1）设，利用，可求点的坐标；
（2）利用三点共线，可得，可得，利用数量积可求点的坐标.
【详解】（1）因为，，，所以，
因为四边形为平行四边形，所以，
设，所以，
所以，所以
（2）因为，，三点共线，，
所以设，
又，所以，所以，
又
所以.
17．(1)
(2)
（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值；
（2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得.
【详解】（1）因为，所以，
则，，
又因为，，
所以，，
所以
，
因为，所以；
（2）由（1）知，，，
故，
，
所以．
18．(1)
(2)．
（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解；
（2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）在中，，
由正弦定理得，．
又，，
，，，
，．
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
的面积为．
19．(1)
(2)最大值，最小值
(3)
【详解】（1）由，
则.
（2）当时，.
则当（即）时，取得的最大值为1；
当（即）时，取得的最小值为.
故的最大值为，最小值为.
（3），即，
为的内角，. 故.
. 则.
又，由余弦定理，
得，即.
由均值不等式得：，
即，从而，
当且仅当时取等号，此时为等边三角形．
周长最大值：.

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