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内蒙古包头市第八十一中学2025-2026学年高二年级第二学期期中考试数学试题
一、单选题
1．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
2．的展开式中的系数是（ ）
A．10 B． C．5 D．
3．2026年泡泡玛特旗下的IP“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”．把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（ ）种不同的装法．
A．180 B．150 C．100 D．90
4．若离散型随机变量的分布列如下图所示．
0 1
则实数的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．已知函数的定义域为，对任意恒成立，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．某高校决定从甲、乙等7支队伍中选出4支队伍参加全国的数学建模大赛，已知甲队被选出，则乙队也被选出的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B．2 C． D．
8．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知随机变量，且，的分布列如下：
0 1 2
若，则（ ）
A． B． C． D．
10．在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．二项式系数最大的项为 B．常数项为2
C．第6项与第7项的系数相等 D．含的项的系数为480
11．已知是函数的极值点，则（ ）
A．有1个零点
B．当时，
C．曲线关于点对称
D．过点与曲线相切的直线有2条
三、填空题
12．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.
13．设为两个随机事件，已知，则__________.
14．若不等式 对于任意恒成立，则实数a的取值范围是_________．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．
16．已知.
(1)求展开式中所有项的二项式系数之和；
(2)求；
(3)求.
17．设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．
(1)现从甲、乙两个袋内各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
(2)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率．
18．高尔顿板是英国生物数学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞.且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右流下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.
(1)若进行一次高尔顿板试验，求这个小球掉入2号球槽的概率；
(2)若进行5次高尔顿板试验，记小球掉入偶数号球槽的次数为.求的分布列与期望.
19．已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)证明：当时，；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．D
【详解】因为切线方程为，故且，
故.
2．D
【详解】的通项公式为，
当时，，
当时，，
故展开式中的系数为.
故选：D
3．B
【详解】把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种：
①按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组，
可得不同的分组数为；
②按分组：先从5个中选2个为一组，再将剩下的个中选个为一组，最后个为一组，可得不同的分组数为，
最后分配到3个不同的盒内，共有种不同的装法.
4．C
【详解】依题意，，解得，
所以实数的值为.
故选：C
5．C
【详解】令，所以，故在上单调递增，
又，所以当时，，即，
所以的解集为.
故选：C.
6．A
【详解】记甲队被选出为事件，乙队被选出为事件，则，，
所以.
故选：A
7．A
【详解】因为，所以当切点满足斜率时，曲线上的点到直线的距离是最短距离，
所以，所以切点为，所以切点到直线的距离是，
所以曲线上的点到直线的最短距离是.
故选：A.
8．D
【详解】因为函数的定义域为，
且，可知函数为奇函数，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知函数在定义域内单调递增，
若，则，
可得，解得，
所以实数的取值范围是.
9．ABC
【详解】对于A：由题意知，解得，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，故D错误.
10．AC
【详解】因为，所以二项式系数最大的项为，，A正确；
因为展开式的通项为，
令，得常数项为1，B错误；
第6项为，第7项为，
第6项与第7项的系数相等，C正确：
含的项为，其系数为448，D错误．
故选：AC．
11．ACD
【详解】由得，则，
解得，则，当时，，
当时，，所以在，上单调递增，
在上单调递减，所以的极小值为，极大值为，
满足是函数的极值点，
又，由零点存在定理得有1个零点，A正确；
由，得，，所以，又在上单调递增，所以，故B错误；
因为
，所以曲线关于点对称，C正确；
设过点的直线与曲线相切于点，
所以切线方程，
将点代入切线方程为，
整理得，即，解得，或，
过点的直线与曲线相切于点或，
因此过点与曲线相切的直线有2条，D正确．
故选：ACD．
12．36
【详解】特殊位置优先考虑，先考虑末尾，有种，在考虑首位非零有种，
剩下的两个位置有种，
则由分布乘法计数原理，得到共有奇数种，
故答案为:36.
13．/
【详解】根据条件概率公式 ，代入已知，
得：.
由条件概率公式 ，变形得，
代入，
得：.
14．
【详解】首先对参数的取值范围进行分类讨论.
∵ 当时，若，则，故 .
当时， ，不满足 对任意恒成立，故.
∵ 当时， ，不等式恒成立，故只需考虑的情况.
当时，对 两边同时取自然对数，得，即对任意恒成立.
设，则.
令，解得.
∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减.
∴ .
要使恒成立，又，故解得.
综上，实数的取值范围是.
15．(1)
(2)的单增区间为，，单减区间为；极大值为，极小值为.
【详解】（1），，
所以，又，
所以函数在处的切线方程为，即；
（2）函数的定义域为，，
令得，
则的变化入下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故函数的单增区间为，，单减区间为；
函数的极大值为，极小值为.
16．(1)32
(2)121
(3)405
【详解】（1）因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为.
（2）因为，
令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即.
（3）对两边求导，
可得，
令，可得，
即.
17．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）的所有可能取值为，
；；
；；
.
故的分布列为
0 1 2 3 4
.
（2）记事件从甲袋中取出2个红球，从甲袋中取出2个白球，从甲袋中取出1个红球和1个白球，从乙袋中取出2个红球.
两两互斥，且即“从甲袋中任取2个球”的样本空间.
由全概率公式得，
.
故从乙袋中取出的是2个红球的概率是.
18．(1)
(2)分布列答案见解析，数学期望
【详解】（1）设这个小球掉入2号球槽为事件A.
掉入2号球槽，需要向右1次向左5次,
所以
所以这个小球掉入2号球槽的概率为.
（2）小球掉入偶数号球槽的概率为,
由题意知，且的可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,
由，，
可得分布列为：
0 1 2 3 4 5
P
19．(1)若，函数在定义域内单调递增；
若，函数在内单调递增，在内单调递减.
(2)证明见详解
(3)
【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且，
若，则，可知函数在定义域内单调递增；
若，令，解得；令，解得；
可知函数在内单调递增，在内单调递减；
综上所述：若，函数在定义域内单调递增；
若，函数在内单调递增，在内单调递减.
（2）当时，可知函数在内单调递增，在内单调递减，
则，
令，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
所以当时，.
（3）令，，
原题意等价于不等式对恒成立，
因为，且，
则，解得，
若，令，，则，
令，，则在内单调递增，
可得，可知在内单调递增，
则，即，
可知在内单调递增，则，即，
可知在内单调递增，则，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.

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