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广东省广州育才教育集团2024—2025学年下学期九年级级二模联考 数学试题
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是无理数，故A符合题意；
B、是分数，属于有理数，故B不符合题意；
C、，是分数，属于有理数，故C不符合题意；
D、 是小数，属于有理数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题考查了无理数的识别，根据无限循环小数是无理数对各选项进行判断即可．
2．某几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体左视图是：
故选：．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选答案为：C．
【分析】本题考查立方根，二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方运算，根据立方根的意义可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据合并同类项可判断选项C；根据幂的乘方运算法则可判断选项D．
4．下列命题中，真命题的是（　　） ．
A．4的平方根是2
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
D．数据2，0，3，2，3的方差是
【答案】D
【知识点】菱形的判定；全面调查与抽样调查；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、4的平方根是，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原命题是假命题，不符合题意；
D、数据2，0，3，2，3的平均数为，
∴数据2，0，3，2，3的方差为，原说法是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了判断命题真假，求一个数的平方根，菱形的判定，调查方式的判断，求方差，根据相关运算法则逐项进行判断即可．
5．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
6．2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是，
∴A选手的平均速度为，
∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，即可求出答案.
7．已知，，若点与点在反比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点在反比例函数的图象上，
，
整理得，
故选：B．
【分析】将点坐标代入解析式建立方程，化简即可求出答案.
8．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0，a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
观察反比例函数图象知，
A、由图象知，抛物线开口向下交y轴于正半轴，则，则与已知矛盾；
B、由图象知，抛物线开口向下交y轴于正半轴，则，则与已知矛盾；
C、由图象知，抛物线开口向上交y轴于负半轴，且对称轴在y轴左侧，则；而一次函数经过一、三、四象限，则，结论成立；
D、由图象知，抛物线开口向上交y轴于负半轴，且对称轴在y轴左侧，则；而一次函数经过二、三、四象限，则，则互相矛盾．
10．如图，正方形的对角线上有一点E，且，点F在的延长线上，连接，过点E作，交的延长线于点G，连接并延长，交的延长线于点P，若，，求线段的长（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作于．
四边形是正方形，，
，，
，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
在中，，
，
∴G、E、F、C四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】本题考查正方形的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，过点作于，根据四边形是正方形得出，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，求出，，求出，证明，可得，代入相关数据可求出的长．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录，156.36亿用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．据此解答即可．
12．分解因式　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，发现多项式的两项均有公因式，提取公因式，剩下的部分符合平方差结构特征，运用平方差公式进行分解即可．
13．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则　 　．
【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个根分别为，，
则，，
根据题意得：，即，
解得或；
当时，原方程为，；
当时，原方程为，，舍去．
∴．
故答案为：1．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式，设方程的两个根分别为，，得，，根据“ 两根之积是两根之和的2倍 ”得，解得或，再进行取值即可．
14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为　 　．
【答案】15
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得：．
故答案为：15．
【分析】利用扇形弧长和圆锥底面的周长相等列出方程，再求出即可．
15．将矩形ABCD纸片先对折，然后展开，折痕为MN，点E是BC上一点，把矩形ABCD沿AE折叠，使B点落在MN上的点处，设AE与MN交于点G，若，则线段的长为　 　．
【答案】1
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
∴，
∴，
，
∵折痕，
∴，
∴
由折叠得
∴
设
由勾股定理，
即
解得：（舍去）
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，由折叠可得 ，求出，证明，得，设，由勾股定理得，即，可求出，即可得出的长 ．
16．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+b（a>0），
∴对称轴为直线x=1，图象开口向上.
∵y1∴若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，有2n+3<1、n-1>1、1-(2n+3)若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧时，有2n+3>1、n-1<1、1-(n-1)>2n+3-1，
解得-1故答案为：-1【分析】根据抛物线解析式可得：对称轴为直线x=1，图象开口向上，然后分点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行解答.
17．解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解．
【答案】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解是-3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集，最后在不等式解集范围内确定不等式组的最大整数解即可．
18．等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：．
【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，根据等边三角形性质得，，进而得，再证明，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
19．已知．
（1）化简A；
（2）若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
解得：，
∴．
【知识点】分式的值为零的条件；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
（1）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）根据分式的值为0的条件得到，求得，然后把x的值代入计算即可．
（1）解：
；
（2）解：，
，
解得：，
∴．
20．近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图．
（2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？
（3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率．
【答案】（1）200；
补全条形统计图如图：
（2）解：（名），
答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，
∴2人恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次一共调查了（位）同学，
“节能减排”的人数为（人），
【分析】
（1）根据扇形统计图和条形统计图，用水资源保护的人数除以所占的百分比，可求出本次一共调查的人数，求出节能减排的人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校总人数乘以有意愿参与植树造林的学生人数所点的百分比即可求解；
（3）列出表格，根据表格得出共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，即可求解．
（1）解：（1）本次一共调查了（位）同学，
“节能减排”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：200；
（2）解：（名），
答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，
∴2人恰好都是女生的概率为．
21．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【知识点】垂径定理；切线的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，BE，根据垂径定理可得OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，根据等边对等角可得∠ODB＝∠CBD，再根据直线平行判定定理可得ODBE，根据圆周角定理的推论可得∠CEB＝90°，再根据直线平行性质可得AD⊥OD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，根据正切定义可得BE，再根据边之间的关系可得CE，根据勾股定理可得BC，根据正弦定义可得OA，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
22．综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
23．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
【答案】（1）解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据旋转性质可得，，则，再根据待定系数法将点C'代入反比例函数表达式即可求出答案.
（2）作轴于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，则，过作轴于，根据，结合三角形面积即可求出答案.
24．正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接．
（1）尺规作图，作交边于F；
（2）作的角平分线，直线交线段于点H．
①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值；
②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度．
【答案】（1）解：如图，作交边于F，即为所求作；
（2）解：①平分，
，
，，
，
，
四边形是正方形，正方形的边长为6，
，，
，的中点为的外接圆圆心，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
当时，有最大值，
过点作于点，
∵，，为的外接圆圆心，
，，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，此时的最大值为，
该圆心离边的最大值为；
②当点E在点K处时，，
与①同理可证：，
，
∵线段长为1，
∴，
，
，解得：，
当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时，
当点E从运动到点C时，．
所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为．
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，二次函数的性质等知识点．
（1）作即可；
（2）①设，则，证明，结合可证明得，代入数据得，根据二次函数的性质可得的最大值，设的外接圆圆心为点，过点作于点，通过证明得到，求出的最大值即可解答；
②先探索出点H的运动路径，再求出路径长即可．
（1）解：如图，作交边于F，即为所求作；
（2）解：①平分，
，
，，
，
，
四边形是正方形，正方形的边长为6，
，，
，的中点为的外接圆圆心，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
当时，有最大值，
过点作于点，
∵，，为的外接圆圆心，
，，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，此时的最大值为，
该圆心离边的最大值为；
②当点E在点K处时，，
与①同理可证：，
，
∵线段长为1，
∴，
，
，解得：，
当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时，
当点E从运动到点C时，．
所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为．
25．已知，是抛物线上的两点．
（1）当A为时，求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）．
（2）当时，对于，，都有，求a的取值范围．
（3）如图，若A为，B为，C为抛物线与y轴交点，点D在y轴负半轴，且，点Q在抛物线上，，E，F分别为边，上的动点，且，记的最小值为m，点P为第二象限抛物线上的一动点，，求k的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线，
对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当，恒成立，
①当时，，
∴恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②时，，
∴恒成立 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：a的取值范围或；
（3）解：∵A为，B为
∴，
解得：，
∴抛物线表达为，
当，
∴，
∵，点在轴负半轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
过点作轴于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
∴，
在右侧，过点作，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点M，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，设，
∴
，
设，则代入，
则，
∴，
，
∴，
∴，
∵，当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点．（1）把代入得到，再根据抛物线对称轴公式即可求解；
（2）由得，代入得，求得对称轴为直线，由，得到，而，化简得到，即当，恒成立，分和两种情况讨论求解即可；
（3）运用待定系数法求出二次函数解析式，求出点，得，；过点作轴于点，则，求出，在右侧，过点作，且，在，则，那么，故当点三点共线时，取得最小值，可求，过点作轴于点M，过点作轴于点，求出，过点作轴交于点，设，则，求得，则，故，即可求解．
（1）解：把代入得，
，
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线，
对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当，恒成立，
①当时，，
∴恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②时，，
∴恒成立 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：a的取值范围或；
（3）解：∵A为，B为
∴，
解得：，
∴抛物线表达为，
当，
∴，
∵，点在轴负半轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
过点作轴于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
∴，
在右侧，过点作，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点M，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，设，
∴
，
设，则代入，
则，
∴，
，
∴，
∴，
∵，当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州育才教育集团2024—2025学年下学期九年级级二模联考 数学试题
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．某几何体如图所示，其左视图是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列命题中，真命题的是（　　） ．
A．4的平方根是2
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对载人航天器零部件的检查适合采用抽样调查
D．数据2，0，3，2，3的方差是
5．如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．已知，，若点与点在反比例函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（　　）
A． B． C． D．
9．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正方形的对角线上有一点E，且，点F在的延长线上，连接，过点E作，交的延长线于点G，连接并延长，交的延长线于点P，若，，求线段的长（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共18分）
11．至2025年4月14日，在全球热映的国产动画片《哪吒之魔童闹海》票房收入已经突破156.36亿元，创造了国产电影的票房最高记录，156.36亿用科学记数法表示为　 　．
12．分解因式　 　．
13．已知方程的两根之积是两根之和的2倍，则　 　．
14．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为　 　．
15．将矩形ABCD纸片先对折，然后展开，折痕为MN，点E是BC上一点，把矩形ABCD沿AE折叠，使B点落在MN上的点处，设AE与MN交于点G，若，则线段的长为　 　．
16．已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是　 　．
17．解不等式组：并写出该不等式组的最大整数解．
18．等边三角形中，点D，E，F分别在，，的延长线上，且，连接，，求证：．
19．已知．
（1）化简A；
（2）若x的值刚好使分式的值为0，求A的值．
20．近年来，环保教育越来越受到重视．为了提高学生的环保意识和参与度，某中学计划开展一系列环保活动，在活动开始前，为了解学生对于不同环保主题的参与意愿，学校对学生进行了一次环保参与意愿调查，根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次一共调查了_______位同学，请补全条形统计图．
（2）若该校有2000名学生，请你估计有意愿参与植树造林的学生有多少名？
（3）为了进一步提升学生绿色出行的意识，学校从4名同学（两男两女）中随机抽取2人参与“绿色出行”知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法求出2人恰好都是女生的概率．
21．如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．
22．综合实践
背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．
素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．
素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架．
问题解决
任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？
任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本．
23．如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点．将绕着点逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图象经过、两点，求的面积．
24．正方形的边长为6，E为边上的动点（点E不与点B、C重合），连接．
（1）尺规作图，作交边于F；
（2）作的角平分线，直线交线段于点H．
①当点E从点B运动到点C的过程中，的外接圆圆心随之运动，求该圆心离边的最大值；
②设一点K在线段上，且线段长为1，当点E从点K运动到点C的过程中，求点H运动的路径长度．
25．已知，是抛物线上的两点．
（1）当A为时，求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）．
（2）当时，对于，，都有，求a的取值范围．
（3）如图，若A为，B为，C为抛物线与y轴交点，点D在y轴负半轴，且，点Q在抛物线上，，E，F分别为边，上的动点，且，记的最小值为m，点P为第二象限抛物线上的一动点，，求k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：A、，是无理数，故A符合题意；
B、是分数，属于有理数，故B不符合题意；
C、，是分数，属于有理数，故C不符合题意；
D、 是小数，属于有理数，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】本题考查了无理数的识别，根据无限循环小数是无理数对各选项进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：几何体左视图是：
故选：．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选答案为：C．
【分析】本题考查立方根，二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方运算，根据立方根的意义可判断选项A；根据二次根式的性质可判断选项B；根据合并同类项可判断选项C；根据幂的乘方运算法则可判断选项D．
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；全面调查与抽样调查；方差；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、4的平方根是，原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；
C、对载人航天器零部件的检查适合采用全面调查，原命题是假命题，不符合题意；
D、数据2，0，3，2，3的平均数为，
∴数据2，0，3，2，3的方差为，原说法是真命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查了判断命题真假，求一个数的平方根，菱形的判定，调查方式的判断，求方差，根据相关运算法则逐项进行判断即可．
5．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵是的直径，，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOC，再根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：∵在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍， B选手的平均速度是，
∴A选手的平均速度为，
∵总赛程约为，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，
，
∴．
故答案为：B．
【分析】20分钟化为小时，根据时间差20分钟列出方程，即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：点与点在反比例函数的图象上，
，
整理得，
故选：B．
【分析】将点坐标代入解析式建立方程，化简即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0，a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【分析】
观察反比例函数图象知，
A、由图象知，抛物线开口向下交y轴于正半轴，则，则与已知矛盾；
B、由图象知，抛物线开口向下交y轴于正半轴，则，则与已知矛盾；
C、由图象知，抛物线开口向上交y轴于负半轴，且对称轴在y轴左侧，则；而一次函数经过一、三、四象限，则，结论成立；
D、由图象知，抛物线开口向上交y轴于负半轴，且对称轴在y轴左侧，则；而一次函数经过二、三、四象限，则，则互相矛盾．
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，作于．
四边形是正方形，，
，，
，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
在中，，
，
∴G、E、F、C四点共圆，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】本题考查正方形的性质，四点共圆，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，过点作于，根据四边形是正方形得出，由勾股定理求出，证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，求出，，求出，证明，可得，代入相关数据可求出的长．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿，
故答案为：．
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．据此解答即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，发现多项式的两项均有公因式，提取公因式，剩下的部分符合平方差结构特征，运用平方差公式进行分解即可．
13．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的两个根分别为，，
则，，
根据题意得：，即，
解得或；
当时，原方程为，；
当时，原方程为，，舍去．
∴．
故答案为：1．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式，设方程的两个根分别为，，得，，根据“ 两根之积是两根之和的2倍 ”得，解得或，再进行取值即可．
14．【答案】15
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的底面周长，
则：，
解得：．
故答案为：15．
【分析】利用扇形弧长和圆锥底面的周长相等列出方程，再求出即可．
15．【答案】1
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
∴，
∴，
，
∵折痕，
∴，
∴
由折叠得
∴
设
由勾股定理，
即
解得：（舍去）
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，由折叠可得 ，求出，证明，得，设，由勾股定理得，即，可求出，即可得出的长 ．
16．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=ax2-2ax+b（a>0），
∴对称轴为直线x=1，图象开口向上.
∵y1∴若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧时，有2n+3<1、n-1>1、1-(2n+3)若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧时，有2n+3>1、n-1<1、1-(n-1)>2n+3-1，
解得-1故答案为：-1【分析】根据抛物线解析式可得：对称轴为直线x=1，图象开口向上，然后分点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，根据距离对称轴越远的点对应的函数值越大进行解答.
17．【答案】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解是-3．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点，分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”确定不等式组的解集，最后在不等式解集范围内确定不等式组的最大整数解即可．
18．【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，即，
在和中，
，
，
．
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，根据等边三角形性质得，，进而得，再证明，由此可依据“”判定，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
解得：，
∴．
【知识点】分式的值为零的条件；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，分式的值为零，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
（1）先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；
（2）根据分式的值为0的条件得到，求得，然后把x的值代入计算即可．
（1）解：
；
（2）解：，
，
解得：，
∴．
20．【答案】（1）200；
补全条形统计图如图：
（2）解：（名），
答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，
∴2人恰好都是女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次一共调查了（位）同学，
“节能减排”的人数为（人），
【分析】
（1）根据扇形统计图和条形统计图，用水资源保护的人数除以所占的百分比，可求出本次一共调查的人数，求出节能减排的人数，补全条形统计图即可；
（2）用学校总人数乘以有意愿参与植树造林的学生人数所点的百分比即可求解；
（3）列出表格，根据表格得出共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，即可求解．
（1）解：（1）本次一共调查了（位）同学，
“节能减排”的人数为（人），
补全条形统计图如图：
故答案为：200；
（2）解：（名），
答：估计有意愿参与植树造林的学生约600名；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中2人恰好都是女生的结果有2种，
∴2人恰好都是女生的概率为．
21．【答案】（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
【知识点】垂径定理；切线的判定；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接OD，BE，根据垂径定理可得OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，根据等边对等角可得∠ODB＝∠CBD，再根据直线平行判定定理可得ODBE，根据圆周角定理的推论可得∠CEB＝90°，再根据直线平行性质可得AD⊥OD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，根据正切定义可得BE，再根据边之间的关系可得CE，根据勾股定理可得BC，根据正弦定义可得OA，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：如图，连接OD，BE，
∵点D为的中点，
∴，
∴OD⊥CE，∠CBD＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠EBD，
∴ODBE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠CEB＝90°，
∴CE⊥BE，
∵ADCE，OD⊥CE，
∴AD⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵DGCE，
∴∠BFE＝∠GDB，∠A＝∠ECB，
∵tan∠GDB＝2，
∴tan∠BFE＝2，
在Rt△BEF中，EF＝3，tan∠BFE＝，
∴BE＝6，
∵EF＝3，CF＝5，
∴CE＝EF+CF＝8，
∴BC＝，
∴OD＝OC＝5，
在Rt△BCE中，sin∠ECB＝，
∴sinA＝sin∠ECB＝，
在Rt△AOD中，sinA＝，OD＝5，
∴OA＝，
∴AC＝OA﹣OC＝．
22．【答案】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷由题意可得：
解得：
经检验：是原分式方程的根，
答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷．
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，
由题意可知：
解得：
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当，（万元）
此时B型无人机（台）．
答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，根据 A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等，可列分式方程，求解即可；
任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田 可得不等式：
，求出；并根据总费用= A型无人机 费用+B型无人机费用，可得：，根据一次函数的性质即可求解。
23．【答案】（1）解：∵点的坐标是，点为中点，
∴，，
将绕着点逆时针旋转得到，
即，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
故将代入，求得，
∴反比例函数的表达式为．
（2）解：作轴于，如图：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
过作轴于，如图：
∴
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据两点间距离可得，，再根据旋转性质可得，，则，再根据待定系数法将点C'代入反比例函数表达式即可求出答案.
（2）作轴于，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系可得，则，过作轴于，根据，结合三角形面积即可求出答案.
24．【答案】（1）解：如图，作交边于F，即为所求作；
（2）解：①平分，
，
，，
，
，
四边形是正方形，正方形的边长为6，
，，
，的中点为的外接圆圆心，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
当时，有最大值，
过点作于点，
∵，，为的外接圆圆心，
，，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，此时的最大值为，
该圆心离边的最大值为；
②当点E在点K处时，，
与①同理可证：，
，
∵线段长为1，
∴，
，
，解得：，
当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时，
当点E从运动到点C时，．
所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为．
【知识点】正方形的性质；三角形的外接圆与外心；尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆，二次函数的性质等知识点．
（1）作即可；
（2）①设，则，证明，结合可证明得，代入数据得，根据二次函数的性质可得的最大值，设的外接圆圆心为点，过点作于点，通过证明得到，求出的最大值即可解答；
②先探索出点H的运动路径，再求出路径长即可．
（1）解：如图，作交边于F，即为所求作；
（2）解：①平分，
，
，，
，
，
四边形是正方形，正方形的边长为6，
，，
，的中点为的外接圆圆心，
，
，
，
设，则，
，
解得：，
当时，有最大值，
过点作于点，
∵，，为的外接圆圆心，
，，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，此时的最大值为，
该圆心离边的最大值为；
②当点E在点K处时，，
与①同理可证：，
，
∵线段长为1，
∴，
，
，解得：，
当点E从点K运动到的中点时，达到最高，由①可知此时，
当点E从运动到点C时，．
所以点E的运动路径为从到点C的距离为处到最高点（），再返回点C（），路径的长为．
25．【答案】（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线，
对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当，恒成立，
①当时，，
∴恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②时，，
∴恒成立 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：a的取值范围或；
（3）解：∵A为，B为
∴，
解得：，
∴抛物线表达为，
当，
∴，
∵，点在轴负半轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
过点作轴于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
∴，
在右侧，过点作，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点M，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，设，
∴
，
设，则代入，
则，
∴，
，
∴，
∴，
∵，当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点．（1）把代入得到，再根据抛物线对称轴公式即可求解；
（2）由得，代入得，求得对称轴为直线，由，得到，而，化简得到，即当，恒成立，分和两种情况讨论求解即可；
（3）运用待定系数法求出二次函数解析式，求出点，得，；过点作轴于点，则，求出，在右侧，过点作，且，在，则，那么，故当点三点共线时，取得最小值，可求，过点作轴于点M，过点作轴于点，求出，过点作轴交于点，设，则，求得，则，故，即可求解．
（1）解：把代入得，
，
∴，
∴，
∴对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴，
∴抛物线，
对称轴为直线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即当，恒成立，
①当时，，
∴恒成立，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②时，，
∴恒成立 ，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：a的取值范围或；
（3）解：∵A为，B为
∴，
解得：，
∴抛物线表达为，
当，
∴，
∵，点在轴负半轴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
过点作轴于点，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
则，
解得：或（舍去），
∴，
在右侧，过点作，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作轴于点M，过点作轴于点，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点作轴交于点，设，
∴
，
设，则代入，
则，
∴，
，
∴，
∴，
∵，当时，当时，
∴，
∴，
∴，
∴．
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