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青海西宁市大通回族土族自治县第二完全中学2025~2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题
一、单选题
1．某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片 2部文艺片 3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（ ）
A．18 B．9 C．8 D．7
2．已知，则（ ）
A．12 B．9 C．1 D．－5
3．（ ）
A．84 B．112 C．168 D．224
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
6．已知为函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．从由0，1，2，3，4所组成的无重复数字的三位数中随机抽取一个数，则该数为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正四棱柱的体积为1000，则其所有棱长的和的最小值为（ ）
A．120 B． C．144 D．
二、多选题
9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．函数在区间上单调递增
C．在处，函数取得极值
D．在处，函数取得极值
10．已知，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．当且时，
B．若，则
C．若只有1个零点，则
D．若的一个极值点为，且，其中，则
三、填空题
12．函数在区间上的平均变化率为______．
13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________.
14．为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛．某小组7名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，每个项目至少有1人参加，则这7名同学有______种不同的参加方法．
四、解答题
15．已知.
(1)求的值；
(2)求的二项展开式中的常数项.
16．（1）2名女生和4名男生排成一排，若女生不相邻，有多少种排法？
（2）从5名男生和4名女生中选出4人参加一项无人机表演赛，如果这4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
17．已知函数在处取得极小值.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
18．已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30.
(1)求的值；
(2)记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率.
19．已知函数.
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)当时，求证： .
参考答案
1．C
【详解】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为.
故选：C
2．B
【详解】由，得，
所以．
3．B
【详解】.
4．C
【详解】，故A错误；，故B错误；
，故C正确；，故D错误.
5．C
【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得，
所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项．
6．B
【详解】由，得，
所以，解得.
7．D
【详解】由0，1，2，3，4可组成无重复数字的三位数的个数为个，
若个位为0，有个 ；若个位为2或4，有为个.
故偶数共有 个，
故所求概率为.
故选：D.
8．A
【详解】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，即，
正四棱柱的棱长之和，定义域为，
则，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时，取到极小值，也是最小值，
即正四棱柱的所有棱长的和的最小值为120.
9．BC
【详解】对于A，由图象知，当时，，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，当时，，
所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，是导函数的一个变号零点，
故当时，函数取得极值，故C正确；
对于D，不是导函数的一个变号零点，
故当时，函数不能取得极值，故D错误.
10．BC
【详解】令，得，故A错误；
令，得，故B正确；
令，得，故C正确；
将与这两式的左右两边分别相加，
得，解得，故D错误.
故选：BC.
11．ABD
【详解】，
令，得或．
对于A，因为，所以，当时，单调递增，
因为，所以，，故A正确；
对于B，因为，
所以，所以，故B正确；
对于C，，
当时，单调递增，只有1个零点，
此时，
当时，，故C错误；
对于D，因为的一个极值点为，所以，即，
由，得，
即，因为，所以，即，故D正确．
12．4
【详解】函数在区间上的平均变化率为．
13．
【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立,
又在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围是.
14．8400
【详解】先将7名同学分成四组，有1，1，1，4；1，1，2，3和1，2，2，2这三种情况，
当分组为1，1，1，4时，不同的参加方法有；
当分组为1，1，2，3时，不同的参加方法有；
当分组为1，2，2，2时，不同的参加方法有．
综上所述，满足题意的不同的参加方法有种．
15．(1)
(2)
【详解】（1）由，得，即，解得，
由，得且，所以；
（2）由（1），得，
的二项展开式中通项公式为，
令，得，
所以的二项展开式中，常数项为.
16．（1）480；（2）120
【详解】（1）先排4名男生，有种排法，
这4名男生之间和两端有5个位置，从中选取2个位置排女生，有种排法，
因此共有种不同排法．
（2）若这4人中有1个男生，3个女生，则有种选法；
若这4人中有2个男生，2个女生，则有种选法；
若这4人中有3个男生，1个女生，则有种选法．
综上，一共有种选法．
17．(1)
(2)，
【详解】（1）解：（1）由题意知，
又在处取得极小值，所以，
解得或.
当时，，令，解得或，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，不符合题意；
当时，，令，解得或，
令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意.
综上，.
（2）由（1）知，又，，
，，
所以，.
18．(1)
(2)
【详解】（1）第3项与第项的二项式系数之和为，
即，解得或，
又，所以.
（2）由（1）得，则的通项公式为，
所以，
所以当时，，当时，，
所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为.
19．(1)
(2)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
(3)证明见解析
【详解】（1）当时， ，所以，，
所以 ，
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）的定义域为，，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，即，，所以在上单调递增；
若，即，令，解得或，
令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（3）当时，，要证 ，即证.
令，则，易得在上单调递增，
又 ，，
所以，使得，故，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以 ，所以 .

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