资源简介

广东省深圳市福田区外国语学校 2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1． 以下几组长度（单位：米)的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ )
A．5， 7， 2 B．5， 9， 3
C．5， 7， 3 D．4， 5， 10
2． 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到0. 0000000025m. 数据“0. 0000000025”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3． 2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（　　)。
A． B． C． D．
4．下列各式运算正确的是（ )
A． B． C． D．
5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上（∥），若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．25° C．60° D．65°
6． 数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A、B之间的距离，他们设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点 A 和点B 的一点C；连接BC并延长，使CE=BC；连接AC并延长，使CD=AC，连接DE并测量其长度， DE的长度就是A，B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　)
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
7．下列说法正确的个数是（ )
①“汽车累计行驶40000km，从未出现故障”是不可能事件，②如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直角三角形的三条高线交于直角顶点，④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8． 如图，在长方形纸片ABCD中， AB∥CD，点E， F分别在边AB， CD上，将纸片沿EF折叠， A， D两点的对应点分别为A1， D1. 若∠1=2∠2，则∠3的度数是（　　)
A．36° B．60° C．72° D．108°
9． 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图)，他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的　 　.
10． 如果一个角的补角是110°，那么这个角的余角的度数是　 　.
11． 若a+b=8， ab=10，则 　 　.
12． 消防云梯（如图1)的示意图如图2所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整。如图，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相平行，且∠EFG=131°， ∠EDF =72°，则此时∠BCE =　 　.
13．如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD，BC于点F，E，连接CF.若DF=2，AF=6，BE：EC=3：1，则S△ABC=　 　.
14． 计算：
（1）
（2）
15． 先化简，再求值： 其中x、y满足
16． 完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据.
已知：如图∠1 =∠2， ∠4=∠B， ∠ADF=90°，求证： GF⊥BC.
证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥ ▲ （ )
∴∠2=∠3（ )
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥ ▲ （同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD= ▲ （ )
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（ )
17． 本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形)，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
指针落在“谢谢参与”区域的频率m 0. 29 0. 3 0. 31 a 0. 296
（1）填空： a=　 　； b=　 　；
（2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　 　；（结果精确到 0. 1)
（3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗 为什么
18． 如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.
（1）求证： ∠ABE=∠C；
（2）若∠BAE的平分线AF交BE于点F， FD∥BC交AC于点D，求证：
（3）在（2）的条件下，若AB =6， AC =8，则DC的长为　 　.
19． 根据以下素材，探索完成任务.
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式.
素材 如图，大正方形的边长是（a+b)，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和. 根据等面积法，我们可以得到一个等式：
问题解决
任务 1 （1）观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1： ▲ ； 方法2： ▲ ； 根据方法1、方法2，你可以得到一个 等式： ▲ .
任务 2 （2）如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c. 用两种方法计算大正方形ABCD的面积， 方法1： ▲ ； 方法2： ▲ ； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的 等式： ▲ .
任务3 （3） 如图3， 在△ABC中， 点D， P分别在边AB， AC上， 且PA=PB， DE⊥BP，DF⊥AC，垂足分别为E， F. 若DE+DF=7，求BC的值 .
20． 【实践与探究】
材料：一副直角三角尺，记作： △ABC和△DEF，其中∠ACB=∠EFD=90°，∠BAC=30°，∠DEF =45°.
（1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为MN、PQ，AB与DE 相交于点O，则∠BOE 为　 　°.
（2）操作二：保持MN、PQ 不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在MN上，点F在PQ上，点A与点E 重合，点C与点D 重合，若∠NBC=4∠PFA，求∠PFA的度数.
（3）操作三：将图①位置的三角尺DEF 绕点F 以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当0≤t≤90时，请完成下面两个问题：
① 三角尺ABC 不动，当边AB 与三角尺DEF 的直角边EF 平行时，求出t的值.
② 如图③，同时将三角尺ABC 绕点B 以每秒1°的速度顺时针旋转，当边AB 与三角尺DEF 的一条直角边EF 平行时，t= ▲ . （直接写出所有满足条件的值)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：因为5+2=7，不能围成三角形，所以A不符合题意；
B：因为5+3＜9，不能围成三角形，所以B不符合题意；
C：因为5+3＞7，能围成三角形，所以C符合题意；
D：因为4+5＜10，不能围成三角形，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边之间的关系定理逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0. 0000000025 =2.5×10-9.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值小于1 的数的科学记数法的表示方法：形式a×10n（其中1≤a＜10.n为负整数，且等于原数第一个非零实数前的所有0的个数），正确表示出来即可。
3．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选到《飞驰人生3》的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边两项不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B：，原式计算不正确，所以B不正确；
C ：，原式计算不正确，所以C不正确；
D ： ，原式计算正确，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据同底数幂的乘法可得出B不正确；根据积的乘方和幂的乘方可得出C不正确；根据同底数幂的除法可得出D正确。
5．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，∵∠1＝25°，∠3与∠1互余，
∴∠3=90° 25°＝65°，
又∥
∴∠2＝∠3=65°．
故选：D．
【分析】根据题意可得，∠3与∠1互余，得到∠3=65°，然后根据平行线的性质，可得∠2＝∠3即可求解．
6．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在和中：
所以(SAS）
∴AB=DE.
故答案为：A.
【分析】根据SAS即可得出，进而得出AB=DE。
7．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；事件的分类；平行公理；三角形的高
【解析】【解答】解：①“汽车累计行驶40000km，从未出现故障”是偶然事件，所以①不正确；
②如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；，所以②不正确；
③直角三角形的三条高线交于直角顶点 ，所以③正确；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；所以④不正确；
⑤直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离. 所以⑤不正确。
所以只有1个说法正确。
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类可得出①不正确；根据平行线的性质可得出②不正确；根据三角形高线的特征可得出③正确；根据平行公理可得出④不正确；根据点到直线的距离定义，可得出⑤不正确。即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，由折叠性质得：∠DFE=∠1+∠2，
∵ ∠1=2∠2，
∴∠DFE=3∠2，
∵∠DFE+∠1=180°，
∴5∠2=180°，解得：∠2=36°，
∴∠1=72°
∵AB∥DC，
∴ ∠3 =∠1=72°。
故答案为：C.
【分析】首先根据折叠性质可得出∠DFE=3∠2，进而根据邻补角的定义可得出5∠2=180°，解得：∠2=36°，进而得出∠1=72°，进一步根据平行线的性质即可得出∠3 =∠1=72°。
9．【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 儿童座椅的主体框架成三角形 ，原理是三角形的稳定性。
故答案为：稳定性.
【分析】儿童座椅的主体框架成三角形，根据三角形的稳定性，即可得出答案。
10．【答案】20°
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角为x°，
根据题意，可得出：x+110=180，
解得：x=70，
所以这个角的余角为：90-x=90-70=20.
故答案为：20°.
【分析】设这个角为x°，首先根据补角的定义可得出x+110=180，解方程求得x的值，进而根据余角的定义，即可得出答案。
11．【答案】44
【知识点】完全平方公式及运用；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab，
∵ a+b=8， ab=10，
∴原式=82-2×10=44.
故答案为：44.
【分析】首先把原式进行变形a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab，然后再把a+b=8， ab=10整体代入，即可得出答案。
12．【答案】59°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：在中： ∠EDF =72°， ∠EFG=131°，
∴∠DEF=∠EFG-∠EDF=131°-72°=59°，
由题意知：BC∥EF，
∴ ∠BCE = ∠DEF=59°。
故答案为：59°.
【分析】首先根据三角形外角的性质得出∠DEF=∠EFG-∠EDF=131°-72°=59°，进而根据平行线的性质即可得出∠BCE = ∠DEF=59°。
13．【答案】84
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为的中线，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
根据，列方程，
解得，
．
故答案为：84．
【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．
14．【答案】（1）解：原式=-7-7+9-2
=5
（2）解：原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据零整数指数幂，负整数指数幂，以及乘方的意义，绝对值的性质把各项进行化简，然后再进行有理数加减即可；
（2）首先根据幂的相关性质进行计算，然后再合并同类项即可。
15．【答案】解：原式
=4x+3y
∴x=1， y=2，
∴原式=4×1+3×2=10.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行整式的乘法运算，然后把括号内的进行整式的加减，进而再根据多项式除以单项式法则进行除法运算，即可得出化简结果；然后再根据非负数的性质，求得x，y的值，代入化简后的式子中，进行求值即可。
16．【答案】证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等)
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（垂直的定)
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等)
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（垂直的定义)。
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义。
【分析】首先根据平行线的判定同位角相等，两直线平行，可得出AB∥DE，进而再根据平行线的性质两直线平行，内错角相等得出∠2=∠3，进而得出∠1 =∠3，即可判定AD∥GF，进而得出∠ADF+∠GFD=180°，再根据∠ADF=90°，即可得出∠GFD=90°，根据垂直定义即可得出结论。
17．【答案】（1）0. 305；148
（2）0.3
（3）解：游戏公平，理由如下：
观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份.
∴ P（小明获胜) P（小红获胜)
∵ P（小明获胜)=P（小红获胜)，
∴这个游戏公平。
【知识点】频数与频率；游戏公平性；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1))由表格可得，a=122÷400=0.305，b=500 x0.296 =148，
故第1空答案为：0.305；第2空答案为：148；
(2)由扇形统计图可知，一共有10种等可能性，其中转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的可能性有3种，
∴转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为=0.3，
故答案为：0.3；
【分析】（1）根据频率计算公式即可得出a。b的值；
（2）根据概率计算公式即可得出答案；
（3）根据频率计算公式，分别计算小明获胜 和小红获胜的概率，通过比较计算结果的大小，即可得出结论。
18．【答案】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∠ABE+∠BAC+∠AEB=180°，
又∵∠AEB=∠ABC
∴∠ABE=∠C
（2）证明：∵FD∥BC
∴∠ADF=∠C
∵∠ABE=∠C
∴∠ADF=∠ABF
∵AF平分∠BAE
∴∠BAF=∠DAF
在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF（AAS)
（3）2
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3））由（2）知：△ABF≌△ADF，
∴AB=AD=6，
∵AC=8，
∴DC=AC-AD=8-6=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据三角形内角和可得出∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∠ABE+∠BAC+∠AEB=180°，进而结合∠AEB=∠ABC，根据等式的性质，即可得出∠ABE=∠C；
（2）根据AAS即可得出△ABF≌△ADF；
（3）由（2）知：△ABF≌△ADF，可得出AB=AD=6，进而即可得出DC=AC-AD=8-6=2.
19．【答案】解：任务1：（a+2b）（a+b）；；
任务2：c2 ； （b-a)2+2ab ： a2+b2=c2
任务3：如图，连接DP，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
即AP·BC=DE·BP+DF·PA，
∵PB=PA，
∴BC=DE+DF=7
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：任务1：大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为（（a+2b)（a+b)；
大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为
故答案为：（a+2b）（a+b）；；
任务2：大正方形ABCD的面积=c2；
大正方形ABCD的面积=（b-a）2+4×=a2+b2，
∴c2= a2+b2。
故答案为：c2；a2+b2，c2= a2+b2。
【分析】任务1：用两种不同的方法表示大长方形面积：（a+2b）（a+b）和，即可得出等式
任务2：用两种不同的方法表示大正方形ABCD的面积：c2；（b-a）2+4×=a2+b2，即可得出c2= a2+b2；
任务3：如图，连接DP，根据割补法可得出，即再根据PB=PA，即可得出BC=DE+DF=7。
20．【答案】（1）105
（2）解：设∠PFA=x°，则∠NBC=4∠PFA=4x°，过点C作CG∥MN，如图所示：
∴∠GCB=∠NBC=4x°，
∵MN∥PQ， CG∥MN
∴CG∥PQ，
∴∠GCF+∠PFC=180°，即90°+x°+∠GCF=180°，
∴∠GCF =180°-90°-x°=90°-x°，
∵∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°，
∴90°-x°+4x°=135°，
解得x=15，即∠PFA=15°；
（3）解：①t的值为15s或60s
当EF在PQ 上方时，延长BA交PQ 于点H ，如图所示：
根据题意得∠PFE=4t°，
当AB∥EF 时， ∠PFE=∠PHB，
∵MN∥PQ，
∴∠CBA=∠PHB，
∴∠PFE=∠CBA=60°，
即4t°=60°，
解得t=15；
当EF 在PQ 下方时，如图所示：
此时
解得t=60，
综上所述， t =15s或60s.
②20秒或80秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∠OAD=30°，∠ODA=45°，
∴∠AOD=180°-30°-45°=105°，
∴∠BOE=∠AOD=105°；
故答案为：105；（3） ②当AB∥EF，且 EF在PQ 上方时，如图，延长BA交PQ 于点H ，
根据题意得： ∠NBC=t°， ∠PFE=4t°，
由条件可知∠PHB=∠HBN=60°+t°=∠PFE，
即
解得t=20；
当AB∥EF，且EF在PQ下方时，如图，延长EF交MN 于点K.
∴∠MBA=∠BKF=∠KFQ=∠PFE=180°-60°-t°=120°-t°，
解得： t=80；
综上，t的值为20秒或80秒
【分析】（1）首先根据三角新的内角和求得∠AOD=180°-30°-45°=105°，再根据对顶角相等即可得出∠BOE=∠AOD=105°；
（2）设∠PFA=x°，则∠NBC=4∠PFA=4x°，过点C作CG∥MN，根据平行线的性质可得出∠GCF =∠QFC=180°-90°-x°=90°-x°，进而根据∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°，可得出90°-x°+4x°=135°，解方程即可得出答案；
（3）①当EF在PQ 上方时，延长BA交PQ 于点H ，根据平行线的性质可推导得出t=15；当EF 在PQ 下方时，°，可得出t=60，综上所述， t =15s或60s. ②当AB∥EF，且 EF在PQ 上方时，如图，延长BA交PQ 于点H ，t=20；当AB∥EF，且EF在PQ下方时，如图，延长EF交MN 于点K. t=80；综上，t的值为20秒或80秒。
1 / 1广东省深圳市福田区外国语学校 2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
1． 以下几组长度（单位：米)的绳索首尾顺次相接能围成三角形场地的是（ )
A．5， 7， 2 B．5， 9， 3
C．5， 7， 3 D．4， 5， 10
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A：因为5+2=7，不能围成三角形，所以A不符合题意；
B：因为5+3＜9，不能围成三角形，所以B不符合题意；
C：因为5+3＞7，能围成三角形，所以C符合题意；
D：因为4+5＜10，不能围成三角形，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据三角形三边之间的关系定理逐项进行判断，即可得出答案。
2． 长征二号丁遥四十五运载火箭在太原卫星发射中心点火升空，成功将高光谱综合观测卫星送入预定轨道，该卫星搭载的可见短波红外高光谱相机最高光谱分辨率达到0. 0000000025m. 数据“0. 0000000025”用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0. 0000000025 =2.5×10-9.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值小于1 的数的科学记数法的表示方法：形式a×10n（其中1≤a＜10.n为负整数，且等于原数第一个非零实数前的所有0的个数），正确表示出来即可。
3． 2026年春节档某影院热播了四部电影：《飞驰人生3》《镖人：风起大漠》《惊蛰无声》《·年年有熊》。从中随机选择一部影片观看，则恰好选到《飞驰人生3》的概率是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得：
选到《飞驰人生3》的概率是
故答案为：C
【分析】根据概率公式即可求出答案.
4．下列各式运算正确的是（ )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：左边两项不是同类项，不能合并，所以A不正确；
B：，原式计算不正确，所以B不正确；
C ：，原式计算不正确，所以C不正确；
D ： ，原式计算正确，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则可得出A不正确；根据同底数幂的乘法可得出B不正确；根据积的乘方和幂的乘方可得出C不正确；根据同底数幂的除法可得出D正确。
5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上（∥），若∠1=25°，则∠2的度数为（ ）
A．55° B．25° C．60° D．65°
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，∵∠1＝25°，∠3与∠1互余，
∴∠3=90° 25°＝65°，
又∥
∴∠2＝∠3=65°．
故选：D．
【分析】根据题意可得，∠3与∠1互余，得到∠3=65°，然后根据平行线的性质，可得∠2＝∠3即可求解．
6． 数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A、B之间的距离，他们设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点 A 和点B 的一点C；连接BC并延长，使CE=BC；连接AC并延长，使CD=AC，连接DE并测量其长度， DE的长度就是A，B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　)
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在和中：
所以(SAS）
∴AB=DE.
故答案为：A.
【分析】根据SAS即可得出，进而得出AB=DE。
7．下列说法正确的个数是（ )
①“汽车累计行驶40000km，从未出现故障”是不可能事件，②如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③直角三角形的三条高线交于直角顶点，④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；事件的分类；平行公理；三角形的高
【解析】【解答】解：①“汽车累计行驶40000km，从未出现故障”是偶然事件，所以①不正确；
②如果两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；，所以②不正确；
③直角三角形的三条高线交于直角顶点 ，所以③正确；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；所以④不正确；
⑤直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离. 所以⑤不正确。
所以只有1个说法正确。
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类可得出①不正确；根据平行线的性质可得出②不正确；根据三角形高线的特征可得出③正确；根据平行公理可得出④不正确；根据点到直线的距离定义，可得出⑤不正确。即可得出答案。
8． 如图，在长方形纸片ABCD中， AB∥CD，点E， F分别在边AB， CD上，将纸片沿EF折叠， A， D两点的对应点分别为A1， D1. 若∠1=2∠2，则∠3的度数是（　　)
A．36° B．60° C．72° D．108°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，由折叠性质得：∠DFE=∠1+∠2，
∵ ∠1=2∠2，
∴∠DFE=3∠2，
∵∠DFE+∠1=180°，
∴5∠2=180°，解得：∠2=36°，
∴∠1=72°
∵AB∥DC，
∴ ∠3 =∠1=72°。
故答案为：C.
【分析】首先根据折叠性质可得出∠DFE=3∠2，进而根据邻补角的定义可得出5∠2=180°，解得：∠2=36°，进而得出∠1=72°，进一步根据平行线的性质即可得出∠3 =∠1=72°。
9． 周末小高同学全家去饭店吃饭，他发现饭店房间里放着一个儿童座椅（如图)，他观察这个儿童座椅的主体框架成三角形，从而保证儿童坐上去会很安全，这样的设计利用的数学原理是三角形的　 　.
【答案】稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解： 儿童座椅的主体框架成三角形 ，原理是三角形的稳定性。
故答案为：稳定性.
【分析】儿童座椅的主体框架成三角形，根据三角形的稳定性，即可得出答案。
10． 如果一个角的补角是110°，那么这个角的余角的度数是　 　.
【答案】20°
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角为x°，
根据题意，可得出：x+110=180，
解得：x=70，
所以这个角的余角为：90-x=90-70=20.
故答案为：20°.
【分析】设这个角为x°，首先根据补角的定义可得出x+110=180，解方程求得x的值，进而根据余角的定义，即可得出答案。
11． 若a+b=8， ab=10，则 　 　.
【答案】44
【知识点】完全平方公式及运用；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab，
∵ a+b=8， ab=10，
∴原式=82-2×10=44.
故答案为：44.
【分析】首先把原式进行变形a2+b2=a2+b2+2ab-2ab=（a+b）2-2ab，然后再把a+b=8， ab=10整体代入，即可得出答案。
12． 消防云梯（如图1)的示意图如图2所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行，为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整。如图，使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相平行，且∠EFG=131°， ∠EDF =72°，则此时∠BCE =　 　.
【答案】59°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：在中： ∠EDF =72°， ∠EFG=131°，
∴∠DEF=∠EFG-∠EDF=131°-72°=59°，
由题意知：BC∥EF，
∴ ∠BCE = ∠DEF=59°。
故答案为：59°.
【分析】首先根据三角形外角的性质得出∠DEF=∠EFG-∠EDF=131°-72°=59°，进而根据平行线的性质即可得出∠BCE = ∠DEF=59°。
13．如图，在△ABC中，已知BD为△ABC的中线，过点A作AE⊥BD分别交BD，BC于点F，E，连接CF.若DF=2，AF=6，BE：EC=3：1，则S△ABC=　 　.
【答案】84
【知识点】三角形的面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：为的中线，
，，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
根据，列方程，
解得，
．
故答案为：84．
【分析】根据为的中线，可得，，通过题中条件可求得，根据，可得，，设，则，，故，根据，列方程，即可解答．
14． 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=-7-7+9-2
=5
（2）解：原式
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）首先根据零整数指数幂，负整数指数幂，以及乘方的意义，绝对值的性质把各项进行化简，然后再进行有理数加减即可；
（2）首先根据幂的相关性质进行计算，然后再合并同类项即可。
15． 先化简，再求值： 其中x、y满足
【答案】解：原式
=4x+3y
∴x=1， y=2，
∴原式=4×1+3×2=10.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式进行整式的乘法运算，然后把括号内的进行整式的加减，进而再根据多项式除以单项式法则进行除法运算，即可得出化简结果；然后再根据非负数的性质，求得x，y的值，代入化简后的式子中，进行求值即可。
16． 完成下面推理过程，填空并在括号内写明依据.
已知：如图∠1 =∠2， ∠4=∠B， ∠ADF=90°，求证： GF⊥BC.
证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥ ▲ （ )
∴∠2=∠3（ )
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥ ▲ （同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD= ▲ （ )
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（ )
【答案】证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等)
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（垂直的定)
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】证明： ∵∠4=∠B（已知)
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行)
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等)
∵∠1 =∠2（已知)
∴∠1 =∠3（等量代换)
∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行)
∴∠ADF+∠GFD=180°（两直线平行，同旁内角互补)
又∵∠ADF=90°（已知)
∴∠GFD=90°
∴GF⊥BC（垂直的定义)。
故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；180°；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义。
【分析】首先根据平行线的判定同位角相等，两直线平行，可得出AB∥DE，进而再根据平行线的性质两直线平行，内错角相等得出∠2=∠3，进而得出∠1 =∠3，即可判定AD∥GF，进而得出∠ADF+∠GFD=180°，再根据∠ADF=90°，即可得出∠GFD=90°，根据垂直定义即可得出结论。
17． 本学期学校组织了爱心义卖活动，某班在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被分成面积相等的小扇形)，如图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 300 400 500
指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b
指针落在“谢谢参与”区域的频率m 0. 29 0. 3 0. 31 a 0. 296
（1）填空： a=　 　； b=　 　；
（2）当转动转盘的次数n很大时，估计转动转盘一次，转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为　 　；（结果精确到 0. 1)
（3）小明和小红想玩转动转盘游戏，约定游戏规则：得到奖品“贴纸”则小明获胜，否则小红获胜，请问这个游戏公平吗 为什么
【答案】（1）0. 305；148
（2）0.3
（3）解：游戏公平，理由如下：
观察转盘可知转盘被分成10等份，其中奖品“贴纸”有5份，不是“贴纸”有5份.
∴ P（小明获胜) P（小红获胜)
∵ P（小明获胜)=P（小红获胜)，
∴这个游戏公平。
【知识点】频数与频率；游戏公平性；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：(1))由表格可得，a=122÷400=0.305，b=500 x0.296 =148，
故第1空答案为：0.305；第2空答案为：148；
(2)由扇形统计图可知，一共有10种等可能性，其中转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的可能性有3种，
∴转盘停止后指针落在“谢谢参与”区域的概率为=0.3，
故答案为：0.3；
【分析】（1）根据频率计算公式即可得出a。b的值；
（2）根据概率计算公式即可得出答案；
（3）根据频率计算公式，分别计算小明获胜 和小红获胜的概率，通过比较计算结果的大小，即可得出结论。
18． 如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC.
（1）求证： ∠ABE=∠C；
（2）若∠BAE的平分线AF交BE于点F， FD∥BC交AC于点D，求证：
（3）在（2）的条件下，若AB =6， AC =8，则DC的长为　 　.
【答案】（1）证明：∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∠ABE+∠BAC+∠AEB=180°，
又∵∠AEB=∠ABC
∴∠ABE=∠C
（2）证明：∵FD∥BC
∴∠ADF=∠C
∵∠ABE=∠C
∴∠ADF=∠ABF
∵AF平分∠BAE
∴∠BAF=∠DAF
在△ABF和△ADF中，
∴△ABF≌△ADF（AAS)
（3）2
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（3））由（2）知：△ABF≌△ADF，
∴AB=AD=6，
∵AC=8，
∴DC=AC-AD=8-6=2.
故答案为：2.
【分析】（1）根据三角形内角和可得出∠ABC+∠BAC+∠C=180°，∠ABE+∠BAC+∠AEB=180°，进而结合∠AEB=∠ABC，根据等式的性质，即可得出∠ABE=∠C；
（2）根据AAS即可得出△ABF≌△ADF；
（3）由（2）知：△ABF≌△ADF，可得出AB=AD=6，进而即可得出DC=AC-AD=8-6=2.
19． 根据以下素材，探索完成任务.
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式.
素材 如图，大正方形的边长是（a+b)，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和. 根据等面积法，我们可以得到一个等式：
问题解决
任务 1 （1）观察图1，用两种方法计算拼成的大长方形的面积， 方法1： ▲ ； 方法2： ▲ ； 根据方法1、方法2，你可以得到一个 等式： ▲ .
任务 2 （2）如图2，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，最长的边为c. 用两种方法计算大正方形ABCD的面积， 方法1： ▲ ； 方法2： ▲ ； 根据方法1、方法2，你可以得到一个化简后的 等式： ▲ .
任务3 （3） 如图3， 在△ABC中， 点D， P分别在边AB， AC上， 且PA=PB， DE⊥BP，DF⊥AC，垂足分别为E， F. 若DE+DF=7，求BC的值 .
【答案】解：任务1：（a+2b）（a+b）；；
任务2：c2 ； （b-a)2+2ab ： a2+b2=c2
任务3：如图，连接DP，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
即AP·BC=DE·BP+DF·PA，
∵PB=PA，
∴BC=DE+DF=7
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；三角形的面积；勾股定理的证明；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：任务1：大长方形面积等于其长乘以其宽，即大长方形面积为（（a+2b)（a+b)；
大长方形的面积等于边长为a的正方形面积加上2个边长为b的正方形面积，加上3个长为a，宽为b的长方形面积，即大长方形面积为
故答案为：（a+2b）（a+b）；；
任务2：大正方形ABCD的面积=c2；
大正方形ABCD的面积=（b-a）2+4×=a2+b2，
∴c2= a2+b2。
故答案为：c2；a2+b2，c2= a2+b2。
【分析】任务1：用两种不同的方法表示大长方形面积：（a+2b）（a+b）和，即可得出等式
任务2：用两种不同的方法表示大正方形ABCD的面积：c2；（b-a）2+4×=a2+b2，即可得出c2= a2+b2；
任务3：如图，连接DP，根据割补法可得出，即再根据PB=PA，即可得出BC=DE+DF=7。
20． 【实践与探究】
材料：一副直角三角尺，记作： △ABC和△DEF，其中∠ACB=∠EFD=90°，∠BAC=30°，∠DEF =45°.
（1）操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为MN、PQ，AB与DE 相交于点O，则∠BOE 为　 　°.
（2）操作二：保持MN、PQ 不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在MN上，点F在PQ上，点A与点E 重合，点C与点D 重合，若∠NBC=4∠PFA，求∠PFA的度数.
（3）操作三：将图①位置的三角尺DEF 绕点F 以每秒4°的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当0≤t≤90时，请完成下面两个问题：
① 三角尺ABC 不动，当边AB 与三角尺DEF 的直角边EF 平行时，求出t的值.
② 如图③，同时将三角尺ABC 绕点B 以每秒1°的速度顺时针旋转，当边AB 与三角尺DEF 的一条直角边EF 平行时，t= ▲ . （直接写出所有满足条件的值)
【答案】（1）105
（2）解：设∠PFA=x°，则∠NBC=4∠PFA=4x°，过点C作CG∥MN，如图所示：
∴∠GCB=∠NBC=4x°，
∵MN∥PQ， CG∥MN
∴CG∥PQ，
∴∠GCF+∠PFC=180°，即90°+x°+∠GCF=180°，
∴∠GCF =180°-90°-x°=90°-x°，
∵∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°，
∴90°-x°+4x°=135°，
解得x=15，即∠PFA=15°；
（3）解：①t的值为15s或60s
当EF在PQ 上方时，延长BA交PQ 于点H ，如图所示：
根据题意得∠PFE=4t°，
当AB∥EF 时， ∠PFE=∠PHB，
∵MN∥PQ，
∴∠CBA=∠PHB，
∴∠PFE=∠CBA=60°，
即4t°=60°，
解得t=15；
当EF 在PQ 下方时，如图所示：
此时
解得t=60，
综上所述， t =15s或60s.
②20秒或80秒
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（1）由题意知：∠OAD=30°，∠ODA=45°，
∴∠AOD=180°-30°-45°=105°，
∴∠BOE=∠AOD=105°；
故答案为：105；（3） ②当AB∥EF，且 EF在PQ 上方时，如图，延长BA交PQ 于点H ，
根据题意得： ∠NBC=t°， ∠PFE=4t°，
由条件可知∠PHB=∠HBN=60°+t°=∠PFE，
即
解得t=20；
当AB∥EF，且EF在PQ下方时，如图，延长EF交MN 于点K.
∴∠MBA=∠BKF=∠KFQ=∠PFE=180°-60°-t°=120°-t°，
解得： t=80；
综上，t的值为20秒或80秒
【分析】（1）首先根据三角新的内角和求得∠AOD=180°-30°-45°=105°，再根据对顶角相等即可得出∠BOE=∠AOD=105°；
（2）设∠PFA=x°，则∠NBC=4∠PFA=4x°，过点C作CG∥MN，根据平行线的性质可得出∠GCF =∠QFC=180°-90°-x°=90°-x°，进而根据∠ACB+∠ACF=90°+45°=135°，可得出90°-x°+4x°=135°，解方程即可得出答案；
（3）①当EF在PQ 上方时，延长BA交PQ 于点H ，根据平行线的性质可推导得出t=15；当EF 在PQ 下方时，°，可得出t=60，综上所述， t =15s或60s. ②当AB∥EF，且 EF在PQ 上方时，如图，延长BA交PQ 于点H ，t=20；当AB∥EF，且EF在PQ下方时，如图，延长EF交MN 于点K. t=80；综上，t的值为20秒或80秒。
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