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广东江门市恩平市2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8
3．化简的结果是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．
4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∠ADB=30°， AB=4，则OA=（　　）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
5．如图，为了测量池塘边A、B两点之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得AC=AD， BC=BE.若测得DE=26m，则A， B间的距离为（　　）
A．13 B．16 C．18 D．20
6．如图，在Rt△OAB中， ∠OAB=90°， OA=2， AB=1.以点O为圆心， OB为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点 P，则点 P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算或化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
9．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　 　.
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=8，BC=6，则EC的长等于　 　 .
14．比较大小　 　（填“>”“<”或“=”）；
15．如图，在长方形 内，两个小正方形的面积分别为 ， ，则图中阴影部分的面积等于　 　.

16．计算：．
17．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，BE=DF，求证：四边形AECF 是平行四边形.
18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE．
19．已知 求下列各式的值：
（1）
（2）
20．综合与实践.
【背景】据历史资料记载，中国最早的箭头出自山西朔县峙峪旧石器遗址.它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已有28000年之久，如图1所示.历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型.
【素材】长短不一的木条若干、胶水等.
【操作】操作一：把6根木条用胶水粘合成两个全等的△ABD与△ACD；
操作二：将全等的△ABD与△ACD粘合在一起，过点B和AD边上的点E粘一根木条，使BE∥AC，过点C和点E也粘一根木条；
操作三：把木条AB，AE，AC剪掉，即可作出箭镞的形状.
【探究】请你判断制作过程中四边形ABEC的形状，并说明理由.
21．在菱形ABCD中，对角线相交于点 O点 E为AD的中点，连接OE，分别过点 E、O作AB的垂线，垂足为F、G.
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若OE=10， EF=8，求△OGB的面积.
22．上午 8时，一条渔船从港口 A出发，以每小时 15海里的速度向正北方向AN航行，上午 10时到达海岛 B处.从 A， B望海岛 C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°(如图所示) .
（1） 求海岛B到海岛C的距离；
（2） 这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
（3） 渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
23．【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图 2，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE， EF为边作矩形DEFG.
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图 1，当∠AED=90°时，点F与点C重合，此时可以证明矩形DEFG是正方形.
【探究发现】
（1）博学小组发现，如图 2，当∠AED>90°时，点F落在BC边上，此时，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，通过证明△EMF≌△END，进而可以证明出矩形DEFG是正方形，请你帮助博学小组完成证明.
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图 3，当∠AED<90°时，点F落在BC的延长线上.
①此时矩形DEFG还是正方形吗 如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
②当∠AED=75°，且DE=2时，直接写出AD的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。根据最简二次根式的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为6，7，8的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=3
故答案为：A
【分析】根据二次根式性质即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∠ADB=30°
∴ABC=90°，∠DBC=∠ADB=30°，AO=BO
∴∠ABO=90°-∠DBC=60°
∴△ABO为等边三角形
∴AO=AB=4
故答案为：4
【分析】根据矩形性质可得ABC=90°，∠DBC=∠ADB=30°，AO=BO，根据角之间的关系可得∠ABO，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC=AD， BC=BE
∴
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴点P所表示的数是
故答案为：C
【分析】根据勾股定理可得BO，根据题意可得OP=OB，再根据两点间距离，及数轴上点的位置即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故正确．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设这只铅笔在笔筒外面部分长度为h，
当竖立在笔筒时，外面部分长度最大，h=18-12=6cm，
当斜放在笔筒时，外部部分长度最小，由勾股定理得，(18-h)2=92+122，解得，h=3，
即3≤h≤6，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出h的最小值，再根据题意计算出h的最大值，即可求得.
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】4或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：题目所给条件未明确说明两边的关系，需分情况讨论：
①当5为斜边，3为直角边时，则第三边长为4；
②当5和3均为直角边时，则第三边长为；
故答案为：4或。
【分析】根据题目所给条件，要分析出所给两边的关系，在利用勾股定理进行求解即可。
13．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC=6，DC=AB=8，∠DEC=∠BAE
∵AE为∠A的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∴∠DAE=∠BAE
∴DE=AD=6
∴EC=DC-DE=2
故答案为：2
【分析】根据平行四边形性质可得AD=BC=6，DC=AB=8，∠DEC=∠BAE，再根据角平分线定义可得∠DAE=∠BAE，则∠DAE=∠BAE，根据等角对等边可得DE=AD=6，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】对两数分别平方，再比较大小即可求出答案.
15．【答案】4
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵两个小正方形的面积分别为 ， ，
∴小正方形的边长为 ，大正方形边长为3 ，
∴阴影部分的长为3 - =2 ，宽为 ，
∴阴影部分的面积=2 × =4，
故答案为：4.
【分析】根据正方形的面积公式可得大、小正方形的边长，进而求得阴影部分的长、宽，接下来根据长方形的面积公式计算即可.
16．【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算即可求出答案.
17．【答案】证明：∵BE=DF ，
∴BE+DB=DF+DB，即DE=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中
∴AE=CF，∠AED=∠CFB.
∴AE∥CF.
∴四边形AECF 是平行四边形.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据边之间的关系可得DE=BF，再根据平行四边形性质可得AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得，则AE=CF，∠AED=∠CFB，再根据直线平行判定定理可得AE∥CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．【答案】证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵E为 CD边上的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE (SAS) ，
∴AE=BE.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得AD=BC，∠D=∠C=90°，再根据线段中点可得DE=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
= xy(x+y)
（2）解：
= xy(x+y)
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；求代数式的值-整体代入求值；二次根式的乘法
【解析】【分析】（1）根据二次根式加减可得x+y，二次根式乘法可得xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）根据二次根式加减可得x+y，二次根式乘法可得xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
20．【答案】解：四边形 ABEC是菱形.理由如下：
∵△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAE.
∵BE∥AC，
∴∠CAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA，
∴BE=AC，
∴四边形 ABEC是平行四边形，
又∵AB=AC，
∴平行四边形 ABEC是菱形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据全等三角形性质可得AB=AC，∠BAE=∠CAE，根据直线平行性质可得∠CAE=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，格努等角对等边可得BE=BA，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵点E为AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFG=90°，EF∥OG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：由(1)可知， OE是△ABD的中位线，四边形OEFG为矩形，
∴AB=2OE=2×10=20，OG=EF=8，FG=OE=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=20，
∵点E为AD的中点，
∴AE=10，
∵EF⊥AB， OG⊥AB，
∴∠EFA=∠OGB=90°，
∴BG=AB-AF-FG=20-6-10=4，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得OB=OD，根据三角形中位线定理可得OE∥AB，再根据直线平行判定定理可得EF∥OG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得AB，再根据矩形性质可得OG，FG，再根据菱形性质可得AD=AB=20，根据线段中点可得AE，再根据勾股定理可得AF，根据边之间的关系可得BG，再根据三角形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）解：由题意可得：AB=15×2=30
∵∠NAC=30°，∠NBC=60°
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°
∴BC=AB=30
答：海岛B到海岛C的距离30海里
（2）解：过 C作CH⊥AN于点 H，
又∠NBC=60°，
(海里) ，
∴从 B处到 H处需要15÷15=1小时，
∴答：小船与灯塔 C的距离最短时，此时为上午10+1=11时；
（3）解：由题意：BD=30海里，
由(1)知：BC=30海里，
∴BD=BC，
∵∠NBC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=30海里，
∴B救援队所用时间为30÷20=1.5 (小时) ，
C救援队所用时间为 (小时) ，
∵1.4<1.5，
∴C救援队先到.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间可得AB，再根据三角形外角性质可得ACB，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过 C作CH⊥AN于点 H，根据三角形两锐角互余可得∠BCH，再根据含30°角的直角三角形即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得BCD为等边三角形，则CD=30海里，求出B，C救援队所用时间，再比较大小即可求出答案.
23．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴∠MEN=90°，EM=EN，
∴四边形EMCN是正方形，
∵∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
∴△EMF≌△END(ASA)，
∴FE=ED，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：①矩形DEFG还是正方形，理由如下：
如图，过点E作EM⊥BC， EN⊥CD，垂足分别为M，N，
∴∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， AC平分∠BCD，
∴∠MEN=90°， EM=EN，
∴∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形.
②
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=45°，
∵∠AED=75°，
过点D作DK⊥AD于点K，则△AEK 是等腰直角三角形
∴∠DEK=30°，
∵DE=2，
∴DK=1，
【分析】（1）根据正方性质可得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，根据角平分线性质可得EM=EN，再根据角之间的关系可得∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△END(ASA)，则FE=ED，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①过点E作EM⊥BC， EN⊥CD，垂足分别为M，N，则∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°，根据正方形性质可得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，根据角平分线性质可得EM=EN，再根据角之间的关系可得∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△END(ASA)，则FE=ED，再根据正方形判定定理即可求出答案.
②根据正方形性质可得∠EAD=45°，根据三角形内角和定理可得∠ADE，过点D作DK⊥AD于点K，则△AEK是等腰直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得DK，再根据勾股定理可得EK，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东江门市恩平市2025-2026学年度第二学期期中检测八年级数学试题
1．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。根据最简二次根式的定义对每个选项逐一判断求解即可。
2．下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，7，8
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为2，3，4的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为3，4，5的三条线段可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，
∴长为4，5，6的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为6，7，8的三条线段不可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：B．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．化简的结果是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=3
故答案为：A
【分析】根据二次根式性质即可求出答案.
4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∠ADB=30°， AB=4，则OA=（　　）
A．5 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∠ADB=30°
∴ABC=90°，∠DBC=∠ADB=30°，AO=BO
∴∠ABO=90°-∠DBC=60°
∴△ABO为等边三角形
∴AO=AB=4
故答案为：4
【分析】根据矩形性质可得ABC=90°，∠DBC=∠ADB=30°，AO=BO，根据角之间的关系可得∠ABO，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
5．如图，为了测量池塘边A、B两点之间的距离，在AB的同侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接CB并延长至点E，使得AC=AD， BC=BE.若测得DE=26m，则A， B间的距离为（　　）
A．13 B．16 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AC=AD， BC=BE
∴
故答案为：A
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
6．如图，在Rt△OAB中， ∠OAB=90°， OA=2， AB=1.以点O为圆心， OB为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点 P，则点 P所表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴
∴点P所表示的数是
故答案为：C
【分析】根据勾股定理可得BO，根据题意可得OP=OB，再根据两点间距离，及数轴上点的位置即可求出答案.
7．下列计算或化简正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故正确．
故答案为：D
【分析】根据二次根式的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，若这支铅笔长为18cm，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（　　）

A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设这只铅笔在笔筒外面部分长度为h，
当竖立在笔筒时，外面部分长度最大，h=18-12=6cm，
当斜放在笔筒时，外部部分长度最小，由勾股定理得，(18-h)2=92+122，解得，h=3，
即3≤h≤6，
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理求出h的最小值，再根据题意计算出h的最大值，即可求得.
9．如图，菱形ABCD的一边中点M到对角线交点O的距离为5cm，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．40cm B．30cm C．20cm D．10cm
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠AOB=90°，
∵M是AB边的中点，
∴AB=2OM=10，
∴菱形ABCD的周长为10×4=40．
故答案为：A.
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=2OM=10，再利用菱形的周长公式计算即可。
10．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（　　）
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
【答案】B
【知识点】正方形的性质
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为　 　.
【答案】4或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：题目所给条件未明确说明两边的关系，需分情况讨论：
①当5为斜边，3为直角边时，则第三边长为4；
②当5和3均为直角边时，则第三边长为；
故答案为：4或。
【分析】根据题目所给条件，要分析出所给两边的关系，在利用勾股定理进行求解即可。
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠A的平分线AE交CD于E，AB=8，BC=6，则EC的长等于　 　 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AD=BC=6，DC=AB=8，∠DEC=∠BAE
∵AE为∠A的平分线
∴∠DAE=∠BAE
∴∠DAE=∠BAE
∴DE=AD=6
∴EC=DC-DE=2
故答案为：2
【分析】根据平行四边形性质可得AD=BC=6，DC=AB=8，∠DEC=∠BAE，再根据角平分线定义可得∠DAE=∠BAE，则∠DAE=∠BAE，根据等角对等边可得DE=AD=6，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．比较大小　 　（填“>”“<”或“=”）；
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
故答案为：．
【分析】对两数分别平方，再比较大小即可求出答案.
15．如图，在长方形 内，两个小正方形的面积分别为 ， ，则图中阴影部分的面积等于　 　.

【答案】4
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵两个小正方形的面积分别为 ， ，
∴小正方形的边长为 ，大正方形边长为3 ，
∴阴影部分的长为3 - =2 ，宽为 ，
∴阴影部分的面积=2 × =4，
故答案为：4.
【分析】根据正方形的面积公式可得大、小正方形的边长，进而求得阴影部分的长、宽，接下来根据长方形的面积公式计算即可.
16．计算：．
【答案】解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算即可求出答案.
17．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，BE=DF，求证：四边形AECF 是平行四边形.
【答案】证明：∵BE=DF ，
∴BE+DB=DF+DB，即DE=BF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB.
∴∠ADE=∠CBF.
在△ADE和△CBF中
∴AE=CF，∠AED=∠CFB.
∴AE∥CF.
∴四边形AECF 是平行四边形.
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据边之间的关系可得DE=BF，再根据平行四边形性质可得AD=CB，AD∥CB，则∠ADE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理可得，则AE=CF，∠AED=∠CFB，再根据直线平行判定定理可得AE∥CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
18．如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE=BE．
【答案】证明：∵四边形 ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠C=90°，
∵E为 CD边上的中点，
∴DE=CE，
∴△ADE≌△BCE (SAS) ，
∴AE=BE.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得AD=BC，∠D=∠C=90°，再根据线段中点可得DE=CE，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．已知 求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
= xy(x+y)
（2）解：
= xy(x+y)
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的加减法；求代数式的值-整体代入求值；二次根式的乘法
【解析】【分析】（1）根据二次根式加减可得x+y，二次根式乘法可得xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）根据二次根式加减可得x+y，二次根式乘法可得xy，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
20．综合与实践.
【背景】据历史资料记载，中国最早的箭头出自山西朔县峙峪旧石器遗址.它是一枚由燧石打造成的石制箭头，距今已有28000年之久，如图1所示.历史爱好小组的同学发现，箭头的双翼箭镞可以利用实践课的剩余材料制作出模型.
【素材】长短不一的木条若干、胶水等.
【操作】操作一：把6根木条用胶水粘合成两个全等的△ABD与△ACD；
操作二：将全等的△ABD与△ACD粘合在一起，过点B和AD边上的点E粘一根木条，使BE∥AC，过点C和点E也粘一根木条；
操作三：把木条AB，AE，AC剪掉，即可作出箭镞的形状.
【探究】请你判断制作过程中四边形ABEC的形状，并说明理由.
【答案】解：四边形 ABEC是菱形.理由如下：
∵△ABD≌△ACD，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAE.
∵BE∥AC，
∴∠CAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=BA，
∴BE=AC，
∴四边形 ABEC是平行四边形，
又∵AB=AC，
∴平行四边形 ABEC是菱形.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】根据全等三角形性质可得AB=AC，∠BAE=∠CAE，根据直线平行性质可得∠CAE=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，格努等角对等边可得BE=BA，再根据菱形判定定理即可求出答案.
21．在菱形ABCD中，对角线相交于点 O点 E为AD的中点，连接OE，分别过点 E、O作AB的垂线，垂足为F、G.
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若OE=10， EF=8，求△OGB的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵点E为AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFG=90°，EF∥OG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵∠EFG=90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：由(1)可知， OE是△ABD的中位线，四边形OEFG为矩形，
∴AB=2OE=2×10=20，OG=EF=8，FG=OE=10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=20，
∵点E为AD的中点，
∴AE=10，
∵EF⊥AB， OG⊥AB，
∴∠EFA=∠OGB=90°，
∴BG=AB-AF-FG=20-6-10=4，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得OB=OD，根据三角形中位线定理可得OE∥AB，再根据直线平行判定定理可得EF∥OG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形中位线定理可得AB，再根据矩形性质可得OG，FG，再根据菱形性质可得AD=AB=20，根据线段中点可得AE，再根据勾股定理可得AF，根据边之间的关系可得BG，再根据三角形面积即可求出答案.
22．上午 8时，一条渔船从港口 A出发，以每小时 15海里的速度向正北方向AN航行，上午 10时到达海岛 B处.从 A， B望海岛 C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°(如图所示) .
（1） 求海岛B到海岛C的距离；
（2） 这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？
（3） 渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？
【答案】（1）解：由题意可得：AB=15×2=30
∵∠NAC=30°，∠NBC=60°
∴∠ACB=∠NBC-∠NAC=30°
∴BC=AB=30
答：海岛B到海岛C的距离30海里
（2）解：过 C作CH⊥AN于点 H，
又∠NBC=60°，
(海里) ，
∴从 B处到 H处需要15÷15=1小时，
∴答：小船与灯塔 C的距离最短时，此时为上午10+1=11时；
（3）解：由题意：BD=30海里，
由(1)知：BC=30海里，
∴BD=BC，
∵∠NBC=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=30海里，
∴B救援队所用时间为30÷20=1.5 (小时) ，
C救援队所用时间为 (小时) ，
∵1.4<1.5，
∴C救援队先到.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据路程=速度×时间可得AB，再根据三角形外角性质可得ACB，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）过 C作CH⊥AN于点 H，根据三角形两锐角互余可得∠BCH，再根据含30°角的直角三角形即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得BCD为等边三角形，则CD=30海里，求出B，C救援队所用时间，再比较大小即可求出答案.
23．【问题情境】
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图 2，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE， EF为边作矩形DEFG.
【特例探究】
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图 1，当∠AED=90°时，点F与点C重合，此时可以证明矩形DEFG是正方形.
【探究发现】
（1）博学小组发现，如图 2，当∠AED>90°时，点F落在BC边上，此时，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，通过证明△EMF≌△END，进而可以证明出矩形DEFG是正方形，请你帮助博学小组完成证明.
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图 3，当∠AED<90°时，点F落在BC的延长线上.
①此时矩形DEFG还是正方形吗 如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
②当∠AED=75°，且DE=2时，直接写出AD的长.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，
∴∠MEN=90°，EM=EN，
∴四边形EMCN是正方形，
∵∠DEN+∠NEF=∠MEF+∠NEF=90°，
∴∠DEN=∠MEF，
∴△EMF≌△END(ASA)，
∴FE=ED，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：①矩形DEFG还是正方形，理由如下：
如图，过点E作EM⊥BC， EN⊥CD，垂足分别为M，N，
∴∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°， AC平分∠BCD，
∴∠MEN=90°， EM=EN，
∴∠DEN=∠FEM，
∴△DEN≌△FEM(ASA)，
∴DE=EF，
∴矩形DEFG是正方形.
②
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD=45°，
∵∠AED=75°，
过点D作DK⊥AD于点K，则△AEK 是等腰直角三角形
∴∠DEK=30°，
∵DE=2，
∴DK=1，
【分析】（1）根据正方性质可得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，根据角平分线性质可得EM=EN，再根据角之间的关系可得∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△END(ASA)，则FE=ED，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）①过点E作EM⊥BC， EN⊥CD，垂足分别为M，N，则∠EMC=∠BCD=∠ENC=90°，根据正方形性质可得∠BCD=90°，AC平分∠BCD，根据角平分线性质可得EM=EN，再根据角之间的关系可得∠DEN=∠MEF，再根据全等三角形判定定理可得△EMF≌△END(ASA)，则FE=ED，再根据正方形判定定理即可求出答案.
②根据正方形性质可得∠EAD=45°，根据三角形内角和定理可得∠ADE，过点D作DK⊥AD于点K，则△AEK是等腰直角三角形，根据含30°角的直角三角形性质可得DK，再根据勾股定理可得EK，再根据边之间的关系即可求出答案.
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