资源简介

2025—2026学年度高二（下）5月中期学情调研试卷
数学试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．五天内某校当天新增感冒人数 y 与每日温差 x（单位：℃）的数据如下表：
x 5 7 8 9 11
y 9 m 15 17 20
由于保存不善，有 1 个数据模糊不清，用 m 代替，已知 y 关于 x 的经验回归方程为 ，则
（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．已知 为等差数列 的前 n 项和， ，则 （ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
3．已知数列 满足 ，则 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．汉诺塔（Towerof Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具.如图所示，有三根相邻的标号分别为 A、
B、C 的柱子，A 柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子
B 上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至
少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为等差数列 C． 为等比数列 D．
5．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
6．定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存
在二阶导函数.记 ，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其
对称中心为 （其中 ）.已知函数 .若
，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．1
7．已知函数 ，数列 满足 ，且数列 是单调递增
数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8． 已 知 函 数 ， 若 关 于 x 的 方 程 有 四 个 不 同 的 根
（ ），则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题 6 分，共 18 分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据 的方差为 2，则数据 的方差
为 17
B．一组数据 8，9，10，11，12 的第 80 百分位数是 11.5
C．用系数 来衡量线性相关强弱时，若 越大，则线性相关性越强
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则 c，k 的值分别是 和 2
10．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列 为等比数列，且其前 项的和 ，则
B．若数列 为等比数列，且 ，则
C．若数列 为等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…成等比数列
D．若数列 为等差数列， ，则 最小
11.已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 是函数 的极大值点
C． 既无最大值，也无最小值 D．当 时， 有三个零点
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．设 为数列 的前 项积，若 ，且 ，当 取得最大值时，
________．
13.已知函数 ，则 ________.
14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近 1nm 工艺之后面临的技术限制很多，某企业使
用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和
人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，
连续生成 4 次，把 4 次的数字相加，若和小于 3，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．
设 表示事件第 天该企业产品检测选择的是智能检测，则 ________．
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）已知数列 的前 项和为 ，且 ；等差数列数列 满足 ;
；
（1）求 和 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
16.(15 分）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中 200 名居民体
育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周 0 2 次 33 22 22 23
每周 3 4 次 12 17 25 22
每周 5 次及以上 3 3 12 6
(1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过 2 次的
称为体育锻炼频率低，不低于 3 次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性检验判断体育
锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取 8
人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 ，求
ξ的分布列与期望；
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15 分）已知函数 ，且
（1）求 值;
（2）求平行于直线 且与函数曲线相切的直线方程；
（3）若 ，求函数 的单调区间．
18.（17 分）已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和；
; ; ;
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)证明：
19.(17 分）已知函数 ， ．
(1)当 时，求证： ；
(2)若 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ， ，证明： ．
则 ，所以
四、解答题（共 77 分）
15．（13 分）
【答案】
（1）由已知，当 时， ，即 ， ．
当 时， ， ，
两式相减，得 ，即 ， ，
∴由等比数列的定义知，数列 是首项 ，公比 的等比数列，
∴数列 的通项公式为 ．
； ； ； ；
等差数列数列 公差 2
所以 ；
（2）由第（1）问， ，
∴设 ，①
① ，得， ，②
∴①-②，得 ，
．
另一部分的前 n 项和为
所以
16．（15 分）
【答案】
（1）假设： 体育锻炼频率的高低与年龄无关，
由题得 列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 55 45 100
体育锻炼频率高 35 65 100
合计 90 110 200
，
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于 0.01．
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在 ， 内的人数分别为 1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为 0，1，2，
所以 ，
，
，
所以 的分布列：
0 1 2
P
所以 的数学期望为 ．
17．（15 分）【答案】（1）当 时， ， ，
对 求导： ；
令 ，得 ；
整理得： ；
故 ；
又已知 ，代入 中， ， ，
（2）由（1） ；
求导 ；
直线 的斜率 ；
设切点 ，因为平行直线，
所以 ； ，或
当 时切点 ，切线
当 时切点 ，切线
（3） ；
；
令 则 ， ；
当 或 时 ， 单调递增
当 时 ； 单调递减
增区间为 和 ；
减区间
18．（17 分）
【答案】 ，得 ，所以数列 为等差数列，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，
设 的公差为 ，
即 解得
所以 的通项公式是
（2）由（1）知 ，所以
，
令 ，
得 ，
设 ，则数列 是递增数列．
又 ， ，
所以 的最大值为 5．
（3） ；
所以
所以
19．（17 分）
【答案】（1）由 ，得 ．要证 ，只需证 ．
令 ，则 ．
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
所以 ，
故 ，因此 ．
（2）因为 在 R 上有两个零点，所以 ，
由 得 ，令 ，则 ，
所以 ， ，时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
有极大值，也就是最大值为 ，
又 ， 无限趋近 时， 无限趋近于 0，
所以 在 R 上有两个零点时， ，
所以 ，即 的取值范围是 ．
（3）因为 有两个极值点 ， ，
所以 ，有两个实数根 ， ，
所以 ， ，
可得 ，
设 ，将 代入，得 ，
所以 ，
所以要证 ，只需证 ，即 ．
设 ，则 ．
令 ，则 ，
可知 在 上为增函数．
又 ，所以 时， ， 在 上为增函数．
所以 ，即 成立，
所以 成立．

展开更多......

收起↑