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浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第1-3章
一、选择题
1．如图所示，与是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
2．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知a，b，c，d四条直线，下列不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若是关于的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，是射线外的一点，，垂足为，，是射线上一个动点，则线段的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
6．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　）
A．4和 B．和4 C．和8 D．8和
7．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2
10．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　 　．
12．若，则A代表的整式是　 　．
13．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则　 　．
14． 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是　 　.（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
15．若 是一个完全平方式，则m的值是　 　．
16．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　．
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）.
18．解方程组：
（1）
（2） ．
19． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
20．先化简，再求值：，其中 ，.
21． 某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元．
（1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？
（2）若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？
22．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，点D为直线a上一点（位于点A的右侧），．平分，交直线b于点C，把三角形沿着平行线向右平移得到三角形．
（1）请说明；
（2）若三角形的周长是，求四边形的周长．
23．综合运用：
把完全平方公式适当的变形，如：；等，这些变形可解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：因为；
所以，，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）计算求值：
①若，且，求的值；
②我们知道，若，求的值；
（2）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，设，求图中阴影部分面积．
24． 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了　 　张 型消费券， 此时实际消费最少为　 　元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角，
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线同侧，且在被截直线同方向的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线同侧，且在被截直线之间的两个角就是同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线异侧，且在被截直线之间的两个角就是内错角；有公共顶点，且一个角的两条边分别为另一个角的两条边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
3．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，与是同位角，
∴，故A选项不符合题意，
∵，与是内错角，
∴，故B选项不符合题意，
不能判断，故C选项符合题意，
如图所示：
∵，，
∴，
∵与是同旁内角，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意知，为点P到的垂线段，
，
线段的长度不可能是3，
故答案为：A.
【分析】利用垂线段最短的性质可得，再求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组 的解为，
∴，
∴，
∴，
∴●和★分别表示8和，
故选：D．
【分析】将x=5代入方程2x-y=12可得y值，再将x，y值代入2x+y即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式结合题意即可求解。
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意可列方程组
故答案为：A.
【分析】本题含有两个等量关系：①7×房间数+7=总人数，②9×（房间数-1）=总人数，根据这两个等量关系就能写出方程组。
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：展开并整理多项式：
展开式不含一次项，意味着一次项的系数为0，即：
综上，实数k的值为 -2，
故答案为：D。
【分析】先按多项式乘法法则展开式子，合并同类项，再抓住“不含一次项”这一条件，即一次项的系数为0，建立关于k的方程求解
10．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：D．
【分析】直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得求∠CBD的度数，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可求∠DBP的度数，即可判断③；利用平行线的性质可得，结合可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
11．【答案】
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵直尺的两边所在的直线是平行的，
∴
故答案为：．
【分析】先根据直角求出，再根据两直线平行，同位角相等求出即可．
12．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】：多项式除以单项式，要先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，注意符号的变化。
13．【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意得：，
．
故答案为：6．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出关于，的二元一次方程，化简得到的值，即可得到答案.
14．【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
15．【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
16．【答案】①③④
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】
先通过加减消元法求出x+y的表达式，解方程组可得到x，y关于a的表达式，再分别验证四个结论即可.
17．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方进行运算，进而合并同类项即可求解；
（2）根据多项式的乘法进行逐项相乘，进而合并同类项即可求解。
18．【答案】（1）解：①×2，得2x+4y=8，③.②-③，得5x=10，∴x=2.
把x=2代入①，得2+2y=4，∴y=1.
∴原方程组的解为
（2）解：由题意得
化简、整理得
①×14得98x+84y=112，③
②×3得33x-84y=-18，④
③-④得65x=130，解得x=2.
把x=2代入①中，得14+6y=8，解得y=-1，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察可以发现，用加减法消y比较简便。而①中y的系数为2，②中y的系数为-4.所以要①×2+②可以消y，求出x的值。进而把x的值代入①求出x的值，即可求出方程组的解.
（2）该题是连等式，所以要把它转化为方程组的形式为然后整理方程组得：进而观察可以看出消y比较合适，所以由①×14+②×3，消去y，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值，即可得到此方程组的解.
19．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
20．【答案】解：原式＝（9x2+6xy+y2﹣9x2+y2）÷（2y）
＝（6xy+2y2）÷（2y）
＝3x+y；
当x＝﹣，y＝﹣2时，
原式＝3×（﹣）+（﹣2）
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
21．【答案】（1）解：设每台型机器人的售价为x万元，每台型机器人的售价为y万元
由题意得：
解得：
答：每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元
（2）解： 设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型（25-a）台
由题意得：5a≤3（25-a）
解得：a≤=9.375≈9
答：该校最多可购买A型机器人9台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型机器人的售价为x万元，每台B型机器人的售价为y万元，根据购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元可得方程：x+2y=1；再根据购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元可得方程：2x+3y=19；联立两个二元一次方程，解得x与y的值即可得出答案；
（2）设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型（25-a）台，根据购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用可得不等式：5a≤3（25-a），解得：a≤，因为机器人台数，必须是整数，所以a最大取9，即该校最多可购买A型机器人9台，由此可得出答案.
22．【答案】（1）（1）解：因为，
所以
因为平分，
所以，
由平移性质，得，
所以
（2）（2）解：由平移的性质可得：，，
四边形的周长．
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再由角平分线的定义得到，最后由平移的性质得，等量代换求解即可；
（2）利用平移的性质，，四边形的周长．
（1）解：因为，
所以
因为平分，
所以，
由平移性质，得，
所以
（2）解：由平移的性质可得：，，
四边形的周长．
23．【答案】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
②设，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：∵，两正方形的面积和，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为10.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）①根据完全平方公式的变形计算求解即可；
②根据完全平方公式的变形计算求解即可；
（2）先根据正方形的面积求出x+y，xy，再根据完全平方公式的变形计算求解即可．
（1）①∵，
∴，
∴，
∴，
②设，
∵，，
∴，
∴，
（2）∵，两正方形的面积和，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为10
24．【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
1 / 1浙教版七年级下册数学期末专项复习题--第1-3章
一、选择题
1．如图所示，与是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角的概念；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角，
故答案为：C．
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线同侧，且在被截直线同方向的两个角就是同位角；两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线同侧，且在被截直线之间的两个角就是同旁内角；两条直线被第三条直线所截形成的一对在截线异侧，且在被截直线之间的两个角就是内错角；有公共顶点，且一个角的两条边分别为另一个角的两条边的反向延长线的两个角互为对顶角，据此逐一判断得出答案.
2．清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
3．如图，已知a，b，c，d四条直线，下列不能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：∵，与是同位角，
∴，故A选项不符合题意，
∵，与是内错角，
∴，故B选项不符合题意，
不能判断，故C选项符合题意，
如图所示：
∵，，
∴，
∵与是同旁内角，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、内错角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
4．若是关于的二元一次方程，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于的二元一次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据二元一次方程的定义，方程中未知数x和y的次数都必须是1，得出，求解即可得出答案．
5．如图，是射线外的一点，，垂足为，，是射线上一个动点，则线段的长度不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意知，为点P到的垂线段，
，
线段的长度不可能是3，
故答案为：A.
【分析】利用垂线段最短的性质可得，再求解即可.
6．小亮解方程组 的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（　　）
A．4和 B．和4 C．和8 D．8和
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵方程组 的解为，
∴，
∴，
∴，
∴●和★分别表示8和，
故选：D．
【分析】将x=5代入方程2x-y=12可得y值，再将x，y值代入2x+y即可求出答案.
7．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：选项A中的阴影部分的面积可以用来解释，
故选：A．
【分析】根据完全平方公式结合题意即可求解。
8．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y人，下列方程组中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意可列方程组
故答案为：A.
【分析】本题含有两个等量关系：①7×房间数+7=总人数，②9×（房间数-1）=总人数，根据这两个等量关系就能写出方程组。
9．若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：展开并整理多项式：
展开式不含一次项，意味着一次项的系数为0，即：
综上，实数k的值为 -2，
故答案为：D。
【分析】先按多项式乘法法则展开式子，合并同类项，再抓住“不含一次项”这一条件，即一次项的系数为0，建立关于k的方程求解
10．如图，已知AM∥BN，∠A＝64°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB＝∠CBN；②∠CBD＝58°；③当∠ACB＝∠ABD时，∠ABC＝29°；④当点P运动时，∠APB∶∠ADB＝2∶1的数量关系不变.其中正确结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
故③正确；
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
故④正确．
故答案为：D．
【分析】直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得求∠CBD的度数，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可求∠DBP的度数，即可判断③；利用平行线的性质可得，结合可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
二、填空题
11．如图，把一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∵直尺的两边所在的直线是平行的，
∴
故答案为：．
【分析】先根据直角求出，再根据两直线平行，同位角相等求出即可．
12．若，则A代表的整式是　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】：多项式除以单项式，要先把多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，注意符号的变化。
13．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示是一个未完成的幻方，则　 　．
【答案】6
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：根据题意得：，
．
故答案为：6．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出关于，的二元一次方程，化简得到的值，即可得到答案.
14． 学行线后，小明想出了过直线外一点画这条直线的平行线的方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知小明画平行线的依据可以是　 　.（把所有正确的序号填上）
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，内错角相等；
③同旁内角互补，两直线平行；
④如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行.
【答案】①③
【知识点】同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：如图。
第一次折叠后，得到的折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直。
将正方形纸展开，再进行第二次折叠如图（4）所示，得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直。
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故答案为：①③ .
【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线a之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直，然后根据平行线的判定条件求解即可。
15．若 是一个完全平方式，则m的值是　 　．
【答案】12或-12
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：根据题意得，
或 ，
故答案为：12或-12．
【分析】根据完全平方式 的形式即可求出m的值．
16．已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是　 　．
①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则
【答案】①③④
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
当这个方程组的解，的值互为相反数时，
即，
两方程相加，得，
，
解得；故正确；
当时，原方程组可化简为
解得
方程，
左边可化为：，
右边可化为：，
所以左边右边，
故错误；
可得：，
即，
所以无论取什么实数，的值始终为，故正确；
由知，
，故正确；
故答案为．
【分析】
先通过加减消元法求出x+y的表达式，解方程组可得到x，y关于a的表达式，再分别验证四个结论即可.
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；整式的混合运算；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方进行运算，进而合并同类项即可求解；
（2）根据多项式的乘法进行逐项相乘，进而合并同类项即可求解。
18．解方程组：
（1）
（2） ．
【答案】（1）解：①×2，得2x+4y=8，③.②-③，得5x=10，∴x=2.
把x=2代入①，得2+2y=4，∴y=1.
∴原方程组的解为
（2）解：由题意得
化简、整理得
①×14得98x+84y=112，③
②×3得33x-84y=-18，④
③-④得65x=130，解得x=2.
把x=2代入①中，得14+6y=8，解得y=-1，
∴原方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）通过观察可以发现，用加减法消y比较简便。而①中y的系数为2，②中y的系数为-4.所以要①×2+②可以消y，求出x的值。进而把x的值代入①求出x的值，即可求出方程组的解.
（2）该题是连等式，所以要把它转化为方程组的形式为然后整理方程组得：进而观察可以看出消y比较合适，所以由①×14+②×3，消去y，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值，即可得到此方程组的解.
19． 已知：如图， ， .
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由；
（2）若DG平分 ， ，求 的度数.
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴.
又∵，
∴.
∴
（2）解：∵平分，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由线平行得到角互补，即，然后结合条件可知，根据内错角相等，两直线平行可知GD与CA是平行关系；
（2）根据平行线的性质，得到. 根据角平分线的定义，可得到 即再根据平行线的性质即可得出 的度数， 然后根据两直线平行，同位角相等解答即可
20．先化简，再求值：，其中 ，.
【答案】解：原式＝（9x2+6xy+y2﹣9x2+y2）÷（2y）
＝（6xy+2y2）÷（2y）
＝3x+y；
当x＝﹣，y＝﹣2时，
原式＝3×（﹣）+（﹣2）
＝﹣1﹣2
＝﹣3．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；多项式除以单项式；合并同类项法则及应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先根据合并同类项法则化简括号内，再根据多项式除以单项式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
21． 某校计划购买A、B两种型号的机器人，已知购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元，购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元．
（1）每台A型机器人和B型机器人的售价分别为多少万元？
（2）若该校计划购买A、B两种型号机器人共25台，且购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用，则该校最多可购买A型机器人多少台？
【答案】（1）解：设每台型机器人的售价为x万元，每台型机器人的售价为y万元
由题意得：
解得：
答：每台型机器人的售价为5万元，每台型机器人的售价为3万元
（2）解： 设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型（25-a）台
由题意得：5a≤3（25-a）
解得：a≤=9.375≈9
答：该校最多可购买A型机器人9台
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每台A型机器人的售价为x万元，每台B型机器人的售价为y万元，根据购买1台A型机器人和2台B型机器人共需11万元可得方程：x+2y=1；再根据购买2台A型机器人和3台B型机器人共需19万元可得方程：2x+3y=19；联立两个二元一次方程，解得x与y的值即可得出答案；
（2）设购买A型机器人模型a台，则购买B型机器人模型（25-a）台，根据购买A型机器人的总费用不超过购买B型机器人的总费用可得不等式：5a≤3（25-a），解得：a≤，因为机器人台数，必须是整数，所以a最大取9，即该校最多可购买A型机器人9台，由此可得出答案.
22．如图，直线，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，点D为直线a上一点（位于点A的右侧），．平分，交直线b于点C，把三角形沿着平行线向右平移得到三角形．
（1）请说明；
（2）若三角形的周长是，求四边形的周长．
【答案】（1）（1）解：因为，
所以
因为平分，
所以，
由平移性质，得，
所以
（2）（2）解：由平移的性质可得：，，
四边形的周长．
【知识点】平行线的性质；平移的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据平行线的性质得到内错角相等，再由角平分线的定义得到，最后由平移的性质得，等量代换求解即可；
（2）利用平移的性质，，四边形的周长．
（1）解：因为，
所以
因为平分，
所以，
由平移性质，得，
所以
（2）解：由平移的性质可得：，，
四边形的周长．
23．综合运用：
把完全平方公式适当的变形，如：；等，这些变形可解决很多数学问题．例如：若，求的值．
解：因为；
所以，，
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）计算求值：
①若，且，求的值；
②我们知道，若，求的值；
（2）如图，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，，两正方形的面积和，设，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
②设，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：∵，两正方形的面积和，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为10.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）①根据完全平方公式的变形计算求解即可；
②根据完全平方公式的变形计算求解即可；
（2）先根据正方形的面积求出x+y，xy，再根据完全平方公式的变形计算求解即可．
（1）①∵，
∴，
∴，
∴，
②设，
∵，，
∴，
∴，
（2）∵，两正方形的面积和，
∴，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分面积为10
24． 根据以下素材， 探索完成任务.
如何合理搭配消费券
素材一 我市在 2024 年发放了如图所示的南太湖消费券。规定每人可领取一套消费券（共 4 张）：包含 型消费券（满 50 减 20 元） 1 张， 型消费券（满 100 减 30 元 ) 2 张， 型消费券（满 300 减 100 元） 1 张.
素材二 在此次活动中， 小明一家 4 人各领到了一套消费券. 某日小明一家在超市使用消费券共减了 420 元，请完成以下任务。
（1）若小明一家用了 2 张 型消费券， 2 张 型消费券， 则用了　 　张 型消费券， 此时实际消费最少为　 　元.
（2）若小明一家用 8 张 型的消费券消费，已知 型比 型的消费券多 1 张， 求 型的消费券各多少张
（3）若小明一家仅用两种不同类型的消费券组合消费， 请问该如何使用消费券，才能使得实际消费金额最小， 并求出此时实际最小消费金额.
【答案】（1）6；880
（2）解：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，
由题意可得20(x+1)+30x+100(7-2x)=420，
解得x=2．
∴A型的消费券3张，B型的消费券2张，则C型的消费券3张
（3）解：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，
①、型：．
，
，都是正整数，，，
无解；
②、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
③、型：，
，
，都是正整数，，，
．
实际消费金额：，（元）；
综上所述，使用1张型消费券、4张型消费券时实际消费金额最小
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【解答】解：任务一：用型的消费券数量为：，
满减前至少消费（元），
实际消费最少为（元）．
故答案为：6；880；
【分析】任务一：根据消费券规则求解；
任务一：设B型的消费券x张，则A型的消费券(x+1)张，C型的消费券（7﹣2x）张，根据“小明一家在超市使用消费券共减了元”列方程求解即可；
任务一：设小明一家共使用型的消费券张，型的消费券张，型的消费券张，则，，都是正整数，，，，分类讨论，①、型：；②、型：；③、型：，分别列关系式，再根据二元一次方程的整数解即可求解．
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