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浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题1
一、单选题
1．有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育．若用扇形统计图表示图中，，，，各类食物摄取量所占的比例，则表示食物的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C．
【分析】根据食物的摄取量占总摄取量的百分比，再乘以360°即可．
2．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵长方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据图2可得，
∴
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和平角得到∠EFB，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而求出，最后根据折叠的性质和角的关系求解即可．
3．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得
，
由①，得，
将③代入②，得
，
化简后得：
即．
故答案为：D．
【分析】根据路程相等，建立关于x，y的方程，求解即可．
4． 若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）.
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：m-x-2=0
当m≠0时，
∵方程无解，
∴x=4是方程的增根，
∴m-x-2=0，
∴m=6
∴关于x的方程无解，则m的值为6，
故答案为：A.
【分析】先将分式方程化成整式方程为m-x-2=0，当m≠0时，再根据方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入整式方程然后解出m的值.
5． 若x取正整数，则代数式的值可以是（　　）.
A．2181 B．2182 C．2183 D．2184
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)
∴x3-x必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，
∴x3-x必为一个偶数，
∴12×13×14=2184，
故答案为：D.
【分析】首先将x3-x因式分解，转化为x(x-1)(x+1)，可推知x3-x的值是三个连续自然数的乘积，对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而x3-x的值必定是一个偶数，分析各选项，找出正确答案.
6．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设另一个一次多项式为，
∴，
∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，
∴，
∴，
∴，
∴另一个一次多项式为，
故答案为：D.
【分析】设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应相等，求解即可．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日.疾马日速倍迟.译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数x，y，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程y(x+1)=2y(x-3)可知，慢马的速度为y里/天，规定时间为x天.依题意，得
由①，得 ③
将③代入②，得
化简，得
故答案为：D.
【分析】根据题目所给方程得到慢马的速度为y里/天，规定时间为x天，然后整理为分式方程解答即可.
二、填空题
8．若，．则　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：将，两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可．
9．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，如图所示，
，
，
，，
，
又平分，
，
，
：：，，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作，先根据平行的传递性和两直线平行，内错角相等求出∠PHA，再利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠AFH，进而根据角的关系求出∠QCH，最后根据三角形的内角和定理计算即可．
10．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则　 　．
【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
11．在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设长方形的长是，宽是，
正方形的边长为，
，，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
即，
，
，
，
，
，
长方形的周长的，
故答案为：．
【分析】设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积和未覆盖的面积，再利用正方形的面积列出等式，求解即可．
12．若多项式有一个因式为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：设另一个因式为，则．
∵，
∴，
，
解得：．
故答案为：3.
【分析】设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则展开，进而根据各项系数相等求解即可．
13．如图，将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为　 　．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图；延长，，由折叠可知，
∵设，
∴
∵将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
即（） ，解得
∴
故答案为：.
【分析】先延长，，由折叠的性质可知 ，，设， ，根据两直线平行，同位角相等求出∠EFG，进而得到∠FGD，再利用两直线平行，同旁内角互补列出等量关系求解即可.
14．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等，为方便记忆，有一种用“因式分
解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3-9x分解
结果为x（x+3)（x-3).当x=20时，x+3=23，x-3=17，此时可得到数字密码202317.将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x=12时可以得到数字密码121415，则mn=　 　.
【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵当x=12时，得到密码121415，
∴分解结果应为x(x+2)(x+3)，即
故答案为：30.
【分析】根据性定义的运算法则，利用因式分解将多项式变形，然后根据对应系数相等解答即可.
三、解答题
15．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数
已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分．
（1）求，的值．
（2）小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分列出方程组，求解即可；
（2）根据积分情况列出方程，再根据s，t，m，n都为非负整数，讨论求解即可．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
16．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
【答案】[模仿运用]解：∵，
，
∴；
[迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和，
∴时，，
当时，，
解得：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】[模仿运用]根据按多项式乘多项式展开，再系数对应相等求解即可；
[迁移解决]将和代入多项式，得到二元一次方程组，求解即可．
17．已知，，分别求和的值．
【答案】解：，
，
，
，
，
解得：，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将两边同时平方，再利用完全平方公式展开，进而代值计算求出的值即可；再计算的值后求得其平方根即可．
18．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板．
（1）当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值．
【答案】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个
（2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，进而列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，进而求解即可．
（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
19．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有，的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
【答案】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）设质量各为千克，根据单价=总价÷总量求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价即可；
（2）利用作差法求出，再根据非负数的意义判断比较大小即可．
（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克．
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜．
20．定义一种对应关系：，如，．
解答下列问题：
（1）求的值．
（2）写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）求的值．
【答案】（1）解：；
（2）解：，证明如下，
，
，
；
（3）解：，
．
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据新对应关系计算求解即可；
（2）根据新对应关系计算，进而判断即可；
（3）根据（2）的结论求解即可．
（1）解：；
（2）解：由题意可知，
，
，
；
（3）解：，
．
21．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如下表．
品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
质量/千克 20
单价/（元/千克） 35 30 25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价．
（1）求表中，的值．
（2）要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？
【答案】（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：，∴加入丙种糖，
设加入丙种糖千克，由题意得，
，
解得，
答：加入丙种糖50千克．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据糖的总量和甲乙两种糖的关系列出二元一次方程组求解即可；
（2）先求出降价后的平均价，进而得到应加入丙种糖，再设加入丙种糖千克，列方程求解即可．
（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：，
∴加入丙种糖，
设加入丙种糖千克，由题意得，
，
解得，
答：加入丙种糖50千克．
22．如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为．
（1）如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积．
（2）借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系．
（3）现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值．
【答案】（1）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）解：由题意可知，，∵，
∴.
∴，
∴，
∴

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形减去内部四个长方形的面积求解即可；
（2）根据大正方形面积等于小正方形面积和四个长方形面积和求解即可；
（3）先写出图形，，Ⅲ的面积，进而展开多项式，合并同类项，再根据完全平方公式变形求解即可.
（1）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，
小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为
大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）由题意可知，，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴
23．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无善竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有a块正方形木板和b块长方形木板，
（1）当a=600，b=2000，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当a=100时，且395【答案】（1）解：设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，由题意得
解方程组，得
答：做了无盖竖式纸盒400个，做了有盖横式纸盒100个.
（2）解：设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，由题意得
由②式知：b能被4整除
①×4－②得，
又 且 b 能被 4 整除
或
① 时，②b=400时，
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据“竖式木箱用1个正方形和4个长方形，横式木箱用2个正方形和4个长方形”列二元一次方程组，解答即可；
(2)设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，列方程组，然后化简得到，然后求出x和y的整数解即可.
24．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且.则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（元/千克）.把质量相同的A种糖和B种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和B种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）.请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有a，b的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
【答案】（1）解：设把质量都为p千克的A种糖和B种糖混合为甲种什锦糖，可得
设把总价都为s元的A种糖和B种糖混合为乙种什锦糖，可得
（2）解：
因为，且，所以，，
所以，乙种什锦糖单价更加便宜
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据两种混合方式，根据总价÷质量=单价计算即可；
（2）利用比差法解答即可.
四、综合题
25．将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，．
（1）填空：如图1，_____．
（2）如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数．
（3）如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离．
（4）将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：由（1）知：，∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点是的中点，∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）或
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（4）当时，如图所示，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图所示，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠NAC，进而得到∠BAN，再根据两直线平行，同位角相等和三角形内角和定理求出即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据直角和平角的定义求解即可；
（3）设，则，先根据平移的性质得，由再根据线段关系求解即可；
（4）分或两种情况讨论即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵点是的中点，
∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）当时，如图，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
1 / 1浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题1
一、单选题
1．有研究显示，中学生每日食物摄取量应保持均衡，才能更好地生长发育．若用扇形统计图表示图中，，，，各类食物摄取量所占的比例，则表示食物的圆心角度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图1，已知长方形纸片，将纸片沿折叠，点分别落在点，的位置，与交于点，再沿折叠成图2，若，则（　　）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著九章算术中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日．疾马日速倍迟．译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍．设未知数，，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4． 若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）.
A．6 B．5 C．4 D．3
5． 若x取正整数，则代数式的值可以是（　　）.
A．2181 B．2182 C．2183 D．2184
6．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（　　）
A． B． C． D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日.疾马日速倍迟.译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数x，y，依题意列出一个方程，则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．若，．则　 　．
9．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则　 　．
10．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则　 　．
11．在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是　 　．
12．若多项式有一个因式为，则的值为　 　．
13．如图，将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，．若，，则的度数为　 　．（用含的代数式表示）
14．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等，为方便记忆，有一种用“因式分
解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式x3-9x分解
结果为x（x+3)（x-3).当x=20时，x+3=23，x-3=17，此时可得到数字密码202317.将多项式x3+mx2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x=12时可以得到数字密码121415，则mn=　 　.
三、解答题
15．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数
已知公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分．
（1）求，的值．
（2）小敏家一季度共有公斤可回收垃圾，公斤易腐垃圾，公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得到具体的兑换方案．
16．【问题提出】已知多项式有一个因式为，求的值．
【问题解决】小敏经过思考，提供两种解决思路．
思路一：设，
则，
比较系数得，
解得，
．
思路二：设（为一个整式），
由于上式是一个恒等式，为方便计算，我们不妨取，
代入可得：，故．
【模仿运用】已知多项式可因式分解为，求和的值．
【迁移解决】已知多项式有两个因式分别是和，求和的值．
17．已知，，分别求和的值．
18．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无盖竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有块正方形木板和块长方形木板．
（1）当，，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当时，且，恰好要将库存木板用完，求整数的值．
19．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有，的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
20．定义一种对应关系：，如，．
解答下列问题：
（1）求的值．
（2）写出与之间的数量关系，并说明理由．
（3）求的值．
21．现有甲、乙、丙三种糖混合而成的糖50千克，其中各种糖的质量和单价如下表．
品类 甲种糖 乙种糖 丙种糖
质量/千克 20
单价/（元/千克） 35 30 25
已知乙种糖的质量是甲种糖的质量的2倍，且商店以糖的平均价（平均价=混合糖的总价格混合糖的总质量）作为混合糖的单价．
（1）求表中，的值．
（2）要使混合糖的单价每千克降低2元，需加入甲、乙、丙三种糖中的哪一种糖？加入多少千克？
22．如图1，用四个相同的面积均为3的长方形①②③④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形，其中长方形的长为，宽为．
（1）如图1，用含，的代数式表示小正方形⑤的面积．
（2）借助图1，请直接写出代数式，，之间的数量关系．
（3）现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移个长度，得到一个新的图形如图2所示，若阴影部分图形，，Ⅲ的面积和为12，求代数式的值．
23．用如图（1）中的长方形和正方形木板作侧面和底面，做如图（2）的无善竖式和有盖横式两种木箱，现在仓库里有a块正方形木板和b块长方形木板，
（1）当a=600，b=2000，恰好将库存木板用完，则两种木箱各做了多少个？
（2）当a=100时，且39524．商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设A种糖的单价为a元/千克，B种糖的单价为b元/千克，且.则m千克A种糖和n千克B种糖混合而成的什锦糖的单价为（元/千克）.把质量相同的A种糖和B种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和B种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）.请解决以下问题：
（1）分别求出，（可用含有a，b的代数式表示）；
（2）你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？
四、综合题
25．将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，．
（1）填空：如图1，_____．
（2）如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数．
（3）如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离．
（4）将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：C．
【分析】根据食物的摄取量占总摄取量的百分比，再乘以360°即可．
2．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∵长方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据图2可得，
∴
故答案为：B．
【分析】根据折叠的性质和平角得到∠EFB，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而求出，最后根据折叠的性质和角的关系求解即可．
3．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程，可知慢马的速度为里/天，规定时间为x天．依题意，得
，
由①，得，
将③代入②，得
，
化简后得：
即．
故答案为：D．
【分析】根据路程相等，建立关于x，y的方程，求解即可．
4．【答案】A
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：去分母得：m-x-2=0
当m≠0时，
∵方程无解，
∴x=4是方程的增根，
∴m-x-2=0，
∴m=6
∴关于x的方程无解，则m的值为6，
故答案为：A.
【分析】先将分式方程化成整式方程为m-x-2=0，当m≠0时，再根据方程无解，说明方程有增根，只要把增根代入整式方程然后解出m的值.
5．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1)
∴x3-x必为三个连续自然数的积
由于三个连续自然数中必有一个为偶数，
∴x3-x必为一个偶数，
∴12×13×14=2184，
故答案为：D.
【分析】首先将x3-x因式分解，转化为x(x-1)(x+1)，可推知x3-x的值是三个连续自然数的乘积，对于三个连续的自然数，最少有一个为偶数，因而x3-x的值必定是一个偶数，分析各选项，找出正确答案.
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设另一个一次多项式为，
∴，
∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，
∴，
∴，
∴，
∴另一个一次多项式为，
故答案为：D.
【分析】设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应相等，求解即可．
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由方程y(x+1)=2y(x-3)可知，慢马的速度为y里/天，规定时间为x天.依题意，得
由①，得 ③
将③代入②，得
化简，得
故答案为：D.
【分析】根据题目所给方程得到慢马的速度为y里/天，规定时间为x天，然后整理为分式方程解答即可.
8．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：将，两式相加，
可得：，
即：，
解得：，
故答案为：．
【分析】先将两式相加，再利用完全平方公式求解即可．
9．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，如图所示，
，
，
，，
，
又平分，
，
，
：：，，
，
，
故答案为：．
【分析】过点作，先根据平行的传递性和两直线平行，内错角相等求出∠PHA，再利用角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠AFH，进而根据角的关系求出∠QCH，最后根据三角形的内角和定理计算即可．
10．【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时可以得到密码，
则多项式分解的结果为，
展开后为：=，
则m=5，n=6，
∴mn=30；
故答案为：30.
【分析】根据题意可推出多项式因式分解的结果，即可知m，n的值，即可计算答案.
11．【答案】
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设长方形的长是，宽是，
正方形的边长为，
，，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
两个长方形覆盖的面积为，
，
即，
，
，
，
，
，
长方形的周长的，
故答案为：．
【分析】设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积和未覆盖的面积，再利用正方形的面积列出等式，求解即可．
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的概念
【解析】【解答】解：设另一个因式为，则．
∵，
∴，
，
解得：．
故答案为：3.
【分析】设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则展开，进而根据各项系数相等求解即可．
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图；延长，，由折叠可知，
∵设，
∴
∵将一条两边沿互相平行的纸带进行两次折叠，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
即（） ，解得
∴
故答案为：.
【分析】先延长，，由折叠的性质可知 ，，设， ，根据两直线平行，同位角相等求出∠EFG，进而得到∠FGD，再利用两直线平行，同旁内角互补列出等量关系求解即可.
14．【答案】30
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∵当x=12时，得到密码121415，
∴分解结果应为x(x+2)(x+3)，即
故答案为：30.
【分析】根据性定义的运算法则，利用因式分解将多项式变形，然后根据对应系数相等解答即可.
15．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）根据公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可以获得积分；公斤可回收垃圾和公斤易腐垃圾可获得积分列出方程组，求解即可；
（2）根据积分情况列出方程，再根据s，t，m，n都为非负整数，讨论求解即可．
（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：共有积分为：，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：
化简得：，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴
∴原式化为：，
∴；或，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
16．【答案】[模仿运用]解：∵，
，
∴；
[迁移解决]解：已知多项式有两个因式分别是和，
∴时，，
当时，，
解得：，
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【分析】[模仿运用]根据按多项式乘多项式展开，再系数对应相等求解即可；
[迁移解决]将和代入多项式，得到二元一次方程组，求解即可．
17．【答案】解：，
，
，
，
，
解得：，
，
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将两边同时平方，再利用完全平方公式展开，进而代值计算求出的值即可；再计算的值后求得其平方根即可．
18．【答案】（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个
（2）解：设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，根据制作的两种木箱正好使用个正方形木板和个长方形木板，列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，根据两种木箱每个均需使用个长方形木板，可找出，进而列出关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，进而求解即可．
（1）解：设无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
解得：．
答：无盖竖式木箱做了个，有盖横式木箱做了个；
（2）设无盖竖式木箱做了个，则有盖横式木箱做了个，
根据题意得：，
，
，
解得：，
又，均为正整数，
可以为，
．
答：的值为．
19．【答案】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）设质量各为千克，根据单价=总价÷总量求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价即可；
（2）利用作差法求出，再根据非负数的意义判断比较大小即可．
（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克，
则售价为：元千克，
乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元，
则售价为：元千克，
答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克．
（2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下：
．
，，，
．
甲的售价高于乙的售价，
购买乙种什锦糖较便宜．
20．【答案】（1）解：；
（2）解：，证明如下，
，
，
；
（3）解：，
．
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【分析】（1）根据新对应关系计算求解即可；
（2）根据新对应关系计算，进而判断即可；
（3）根据（2）的结论求解即可．
（1）解：；
（2）解：由题意可知，
，
，
；
（3）解：，
．
21．【答案】（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：，∴加入丙种糖，
设加入丙种糖千克，由题意得，
，
解得，
答：加入丙种糖50千克．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据糖的总量和甲乙两种糖的关系列出二元一次方程组求解即可；
（2）先求出降价后的平均价，进而得到应加入丙种糖，再设加入丙种糖千克，列方程求解即可．
（1）解：由题意得，
，
解得；
（2）解：，
∴加入丙种糖，
设加入丙种糖千克，由题意得，
，
解得，
答：加入丙种糖50千克．
22．【答案】（1）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）解：由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）解：由题意可知，，∵，
∴.
∴，
∴，
∴

【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据小正方形面积等于大正方形减去内部四个长方形的面积求解即可；
（2）根据大正方形面积等于小正方形面积和四个长方形面积和求解即可；
（3）先写出图形，，Ⅲ的面积，进而展开多项式，合并同类项，再根据完全平方公式变形求解即可.
（1）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为，
小正方形的面积为：，
即，
大正方形的面积为： ，
即，
长方形的面积为：，
则小正方形的面积为：，
∴
（2）由题意可知：正方形的边长为；小正方形的边长为
大正方形的面积为：
即
长方形的面积为：
小正方形的面积为：
即
则大正方形的面积为：
∴
（3）由题意可知，，
∵，
∴.
∴，
∴，
∴
23．【答案】（1）解：设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，由题意得
解方程组，得
答：做了无盖竖式纸盒400个，做了有盖横式纸盒100个.
（2）解：设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，由题意得
由②式知：b能被4整除
①×4－②得，
又 且 b 能被 4 整除
或
① 时，②b=400时，
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)根据“竖式木箱用1个正方形和4个长方形，横式木箱用2个正方形和4个长方形”列二元一次方程组，解答即可；
(2)设做了无盖竖式纸盒x个，做了有盖横式纸盒y个，列方程组，然后化简得到，然后求出x和y的整数解即可.
24．【答案】（1）解：设把质量都为p千克的A种糖和B种糖混合为甲种什锦糖，可得
设把总价都为s元的A种糖和B种糖混合为乙种什锦糖，可得
（2）解：
因为，且，所以，，
所以，乙种什锦糖单价更加便宜
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据两种混合方式，根据总价÷质量=单价计算即可；
（2）利用比差法解答即可.
25．【答案】（1）
（2）解：由（1）知：，∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）解：∵点是的中点，∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）或
【知识点】三角形内角和定理；平移的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（4）当时，如图所示，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图所示，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠NAC，进而得到∠BAN，再根据两直线平行，同位角相等和三角形内角和定理求出即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据直角和平角的定义求解即可；
（3）设，则，先根据平移的性质得，由再根据线段关系求解即可；
（4）分或两种情况讨论即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
故答案为：．
（2）由（1）知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）∵点是的中点，
∴，
设，则，
∵将沿射线的方向平移到'的位置，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即平移的距离是；
（4）当时，如图，
由（1）知：，
∴，
∴
当时，如图，
∵，
∴点，重合，
∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．
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