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浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题2
一、单选题
1．如图，边长为的大正方形剪去4个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为，则根据题意可知，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．中华人民共和国2019-2024年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示.
（以上数据引自《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息，下列四个说法正确的是（　　）
A．从2019到2024年，全国居民人均可支配收入增长超过12000元
B．从2021年到2022年全国居民人均可支配收入下降了
C．2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年
D．2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，所以2021年全国居民人均可支配收入最高
4．如图放置的两个正方形，四点在同一条直线上，且．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点E，F分别为长方形ABCD的边AD、BC上的点，将该长方形纸片沿EF折叠，使点B，A的对应点分别是点B'，A'，B'，折后B'F与AD相交于点G.若的度数为1：2两部分，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
6． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示.从中取出部分纸片进行无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形，在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
7．关于的代数式分解因式得，则的值为（　　）
A．3 B．9 C． D．
8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋个数不同，卖得的钱却相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，可以卖得15个铜板.”乙农妇回答道：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，我就只能卖得 个铜板.”问两人各有多少个鸡蛋 设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则　 　
10．当分别取时，计算分式的值，并把所有结果相加，其和为　 　．
11．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，且，则的大小为　 　．
12．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则　 　．（用含，的最简分式表示）
13． 已知，则的值为　 　.
14． 如图，已知，点G在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF，点E是射线FD上一点(不与F，G重合)，过点G作线段EF于点H，且.
（1） 的度数为　 　..
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为　 　..
15．把四张完全相同的阴影长方形纸片和两本完全相同的长方形课本按如图方式摆放.根据图中标注尺寸，可得阴影长方形纸片的长与宽之差为　 　.(结果用含a，b的代数式表示)
16．已知实数x，y，a满足 且 xy=4，则代数式 的值是　 　.
三、解答题
17．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位．
（1）求，的值；
（2）当水位时，求时间的值．
18．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
（1）因式分解：________；
（2）若，求的值；
（3）若，求，之间满足的数量关系．
19．如图1，两张边长分别为的正方形纸片．
（1）如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求两张纸片的面积和；
②求两张纸片的边长差；
（2）如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．
20．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中．
（1）若，求的度数；
（2）旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变．
①当时，求的度数；
②说明与的差是定值．
21．某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件．
（1）求和的值；
（2）商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值．
22．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
（1）如图1，当平分时，求证：；
（2）如图2所示，若，求的度数
（3）如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
23．随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大，某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成.若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
　 甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每月需要支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
24．如图1， 点F在线段AB上， 点E在线段CD上， ∠1+∠2=180°， ∠A=∠D.
（1） 请说明AB∥CD；
（2） 如图2， 连结EF， 若∠AEF=20°， ∠D=70°， 判断EF与AB的位置关系并说明理由.
25．如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连.这家工厂从A地购买原料运回工厂，制成产品运到B地.已知公路的运价为a元/(吨·km)，铁路的运价为b元/(吨·km).
（1）设一批原料有x吨，生产成的产品有y吨，填写下表(结果用含a，b，x，y的代数式表示)：
　 A地 B地
公路运费(元) 10ax 　
铁路运费(元) 　 　
（2）第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B 地运费39000元.求a， b的值.
（3）工厂从A 地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往B地的价格为每吨8000元.因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨 与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了
26．请根据以下材料，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图，小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP) 的夹角 (∠P) 也可判断两条直线是否平行. 例4 如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.∠1+∠2=90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由. 解： AB∥CD.理由如下： 如图，由已知AP平分. CP平分∠ACD，根据角平分线的意义，知 所以 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得 .
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和MF，作∠CNM的三等分线NE和NF， 其中ME和NE交于点E， MF和NF交于点F. 小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些角度关系呢 已知AB∥CD， M， N分别为直线AB， CD上的点， 线段EF在平行线AB， CD之间，点P为线段EF上的一个动点， 连结ME， NF， MP， NP， 使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP， 记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中， 当∠P= ▲度时， AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值.(用含α的式子表示)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；约分
【解析】【解答】解：由图可得，底面积为，表面积为，根据题意可得：
，
即，
故答案为：B．
【分析】先分别表示出底面积与表面积，再根据比值列出方程求解即可．
2．【答案】A
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图得
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】先根据=大正方形的面积减去空白部分的面积求出，根据长方形的面积公式求出，最后根据求解即可．
3．【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图；数形结合
【解析】【解答】解：A、根据统计图得：，选项错误，不符合题意；
B、2021年人均可支配收入35128元，2022年人均可支配收入36883元，故可支配收入增长了，选项错误，不符合题意；
C、由图得，2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，选项正确，符合题意；
D、2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，2024年全国居民人均可支配收入最高，选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据条形统计图提供的信息，2019年全国居民人均可支配收入为30733元，2024年全国居民人均可支配收入为41314元，求出两者的差，再与12000元比较即可判断A选项；根据条形统计图提供的信息，2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2022年全国居民人均可支配收入为36883元，比较两者大小可判断B选项；根据折线统计图提供的信息，找到每一个年份全国居民人均可支配收入比上一年实际增长的百分比，再比较大小可判断C选项；由统计图表提供的信息，2021年增长速度最快，但全国居民人均可支配收入的高低取决于累计增长（基数+增长额），2024年全国居民人均可支配收入为41314元，远远高于2021年全国居民人均可支配收入的35128元，从而可得增长速度快不代表收入最高，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意得：阴影部分的面积为：
∵，且B、F、G、C四点在同一直线上，
∴，
∵已知图中阴影部分的面积，
∴一定能求出的是.
故答案为：A．
【分析】根据S阴影=S正方形ABCD-S正方形FGHE，结合正方形面积公式可得S阴影=BC2-FG2，然后利用平方差公式将BC2-FG2分解因式，结合线段和差可将 BC2-FG2 转化为4BG×BF，从而即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由折叠的性质得：
将 的度数分为1：2两部分，
或
当
，
如图，当 时，
综上： 或
故答案为：D .
【分析】根据折叠的性质可得 由B'F将 C'的度数分为1：2两部分，可得 ，或 再进一步求解即可.
6．【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设拼成一个长宽分别为11和5的新矩形， 需要A， B， C三种型号的纸片a张、b张、c张，
由题意得，9a+12b+16c=16×7，
即
又∵a、b、c为正整数， 若使b最大， 则a、c最小，
∴当a=0，c=1时，b最大，b=8，
故答案为：C.
【分析】根据各种卡片的面积，张数与面积之间的关系列出方程，根据方程的正整数解得出答案.
7．【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由十字相乘法可知：x=3x2，，
解得n=3，m=-2，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用公式 计算即可.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，由题意得，
故答案为：A .
【分析】设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，根据题意“两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和 个铜板”列分式方程解答即可.
9．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
将，代入得：，
整理得，
移项得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法表示出，，再代入计算求解即可．
10．【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
则，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时所得的代数式的值为，
当时所求的代数式的值为，
这些分式的值其和等于，
故答案为：
【分析】根据当时，，当时，，可得，再进行分组求和即可．
11．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图：
纸带的对边互相平行，，
，
由折叠性质得，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=135°，
，
，
由折叠的性质可知，
故答案为：．
【分析】根据垂直定义及二直线平行，内错角相等得∠DEC=∠BCE=90°，由折叠性质及平角定义可求出∠ECD=45°，再由二直线平行，同旁内角互补求出∠FBC=45°，最后再根据折叠性质及平角定义可求出∠ABF的度数.
12．【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天，
∴；
同理可得，．
∵，
∴，
整理得，．
故答案为：．
【分析】先根据工作总量除以工作效率等于工作时间表示出，再代入即可用含的式子表示出s．
13．【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
14．【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：(1) ∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFG，
∵GH⊥EF， ∠AEF：∠HGF =1：2，
∴∠GHF=90°，∠EFG：∠HGF =1：2
∴∠EFG+∠HGF =90°，
故答案为： 30°；
(2) 过点P作PR∥AB，过点H作HL∥AB，
∵AB∥CD，
当点Q在HG右侧时，
由 (1) 知
∵∠MPQ = 90°，
∴∠MPR=90°-18°= 72°，
∴∠AMP=∠MPR =72°；
当点Q在HG左侧时，
由 (1) 知∠FGH = 90°-30°= 60°，
∴∠FGH=∠LHG=60°，
∵∠GHQ=42°，
∴∠QHL = 60°+42°= 102°，
∴∠QHL =∠QPR=102°，
∵∠MPQ=90°，
∴∠MPR=360°-90°-102°= 168°，
∴∠AMP=∠MPR=168°；
故答案为： 72°或168°.
【分析】(1) 先求出∠AEF =∠EFG， 根据∠GHF =90°，∠EFG：∠HGF = 1：2求出结论即可；
(2) 过点P作PR∥AB， 过点H作HL∥AB， 分两种情况：当点Q在HG右侧时或当点Q在HG左侧时，分别根据平行线性质求出即可.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：a+y-x=b+x-y，即2x-2y=a-b，
整理得：
则小长方形的长与宽的差是
故答案为：
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出x-y的值，即为长与宽的差.
16．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
即
故答案为：2 .
【分析】根据题意得到，再根据完全平方公式的变形求出x2+y2，然后化简分式，整体代入计算即可.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将数据代入公式得出二元一次方程组求解即可；
（2）将代入到水位公式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
18．【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，，
解得或．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）；
【分析】（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义计算得到，则，进而因式分解得到，再代入分式中计算求值即可；
（3）先根据新定义计算得到，再化简因式分解即可．
（1）解：；
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，
，
解得或．
19．【答案】（1）解：①由图可知，，即，
∴两张纸片的面积和；
②∵a2+b2=65，2ab=35
，
；
（2）解： 由题意得，，
如图：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；算术平方根的实际应用；数形结合
【解析】【分析】（1）①由题意得a+b=10，然后根据S阴影=S大正方形-S正方形A-S正方形B结合正方形面积公式可得2ab=35，然后根据完全平方公式恒等变形可得a2+b2=(a+b)2-2ab，从而整体代入计算即可；
②根据完全平方公式得(a-b)2=a2+b2-2ab，然后整体代入计算后再求其算术平方根即可；
（2）由题意得a-b=2，a2+b2=20，根据完全平方公式得 (a-b)2=a2+b2-2ab，从而整体代入计算可求出ab的值，结合图象利用三角形面积公式即可求解．
（1）①由图可知，
，即，
∴两张纸片的面积和；
②
，
；
（2）由题意得，，
如图：
20．【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：①过点作，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②设，
由①可知，，
，
，
，
，
，
与的差是定值．
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）利用二直线平行，同位角相等推出，再结合平角定义求解，即可求出∠BAQ的度数；
（2）①过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥PQ∥BF，由二直线平行，内错角相等及已知可推出，结合，得到，从而结合平角定义求解，即可求出∠DAP的度数；
②设，由①可知，，结合推出，根据平角定义可求出，再作差计算，即可得出结论.
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：①过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②设，
由①可知，，
，
，
，
，
，
与的差是定值．
21．【答案】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，
∴，
解得：，
∴的值为15，的值为18；
（2）解：由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套，
∴可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴的值为8．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得，纪念品A的单价为x元/件，纪念品B的单价为y元/件，纪念品C的单价为(y+2)元/件，根据单价乘以数量等于总价及“买10件A，15件B，5件C，总价格为520元；买15件A，10件B，5件C，总价格为505元”列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可得出x、y的值；
（2）根据总价除以单价等于数量及“用200元购买到M的套数，与240元购买到N的套数一样多”列出分式方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，
∴，
解得：，
∴的值为15，的值为18；
（2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套，
∴可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴的值为8．
22．【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示，
，
，
，
，，
．
；
（3）解：i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角平线的定义得到，进而求出，，最后根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，先根据两直线平行，同位角相等得到∠ANB，再根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补得到∠MNB，进而根据角的关系计算即可；
（3）根据旋转分为两种情况讨论求解即可．
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）过点作，
，
，
，
，，
．
；
（3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
23．【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，根据题意得
解得
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：设方案二调配到甲车间x 人，根据题意得
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意
方案一费用：29×1200+1400=36200(元)
方案二费用：25×150×10=37500（元）
∵36200<37500
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1） 根据“工作总量=工作效率×工作时间”这一关系，利用两种不同的生产情境列出二元一次方程组，求出甲、乙两个车间的工人数。
（2）根据方案一和方案二的时间差(4天)建立方程，求出方案二的具体天数，进而计算两种方案的新增费用并进行比较解答即可.
24．【答案】（1）解：如图，
∵∠2+∠3=180°， ∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠3.
∴AE∥DF.
∴∠A=∠BFD，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠BFD.
∴AB∥CD
（2）解：判断： EF⊥AB
∵AE∥DF，
∴∠EFD=∠AEF=20°.
∵AB∥CD， ∠D=70°，
∴∠BFD=∠D=70°，
∴∠BFE=∠BFD+∠EFD=70°+20°=90°，
∴EF⊥AB
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等得到∠1=∠3，然后根据同位角相等，两直线平行得到AE∥DF，即可得到 ∠A=∠BFD，进而得到∠D=∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明结论；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到∠EFD=∠AEF，∠BFD=∠D，然后根据角的和差证明即可.
25．【答案】（1）解：
A地 B地
公路运费(元) 10ax 20ay
铁路运费(元) 120bx 100by
（2）根据题意得：，
解得：
答： a的值为1.5， b的值为1
（3）解：设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨
由题意得：
解得： ，
∵第一批成品率： 300÷500×100%=60%
第二批成品率： 40÷60×100% ≈ 66.7%
∴第二批成品率提高了.
答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：从A地购买x吨原料运回工厂所需铁路运费为120bx元；
制成y吨产品运到B地所需公里运费为20ay元，铁路运费为100by.
故答案为： 120bx， 20ay， 100by；
【分析】(1)利用运费=每吨每千米的运费×质量×路程，即可用含a，b，x，y的代数式表示出各数量；
(2)根据“原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B地运费39000元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨，根据“第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再求出两次生产的成品率，比较后，即可得出结论.
26．【答案】解：（1）90；
(2) 小明的做法： 设∠AMN =α， ∠CNM =β由题意得当 即 时，
由作法知，
小芳的做法：设 由题意得当. 即 时， AB
由作法知，
(3)或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；角n等分模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解： (1) 由例题知， 当∠1+∠2 = 90°， AB∥CD；
∵∠P =180°-(∠1+∠2)=90°，
∴当∠P =90°， AB∥CD；
故答案为：90；
(3)小明的画法，作 Q
∴设∠AME=2∠EMP=2x， ∠DNF =2∠FNP=2y， ∠GEF =∠HFE=γ，
∴∠MEF=2x+γ， ∠EFN =2y+γ，α=∠MPN =∠AMP+∠PNC=3x+180°-3y，
；
小芳的画法， 作EG∥CD， FH∥CD， PQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD， AB∥PQ∥CD，
∵∠AME=2∠EMP， ∠DNF=2∠FNP，
∴设∠AME=2∠EMP=2x， ∠DNF=2∠FNP=2y， ∠GEF =∠HFE =γ，
∴∠MEF =2x+γ， ∠EFN =2y+γ，α=∠MPN=∠BMP+∠PND=180°-3x+3y，
，
故答案为：或.
【分析】(1) 由例题知， 当∠P = 90°， AB∥CD；
(2) 小明的做法： 设∠AMN =α， ∠CNM =β， 由题意得当∠AMN+∠CNM = 180°， 即α+β=180°时， 由三角形内角和定理求得 ， 据此求解即可；同理可求得小芳的做法；
(3) 小明的画法， 作EG∥CD， FH∥CD， PQ‖CD， 得到AB‖EG‖FH‖CD， AB‖PQ∥CD，由平行线的性质求解即可.
1 / 1浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题2
一、单选题
1．如图，边长为的大正方形剪去4个边长为的小正方形，做成一个无盖纸盒．若无盖纸盒的底面积与表面积之比为，则根据题意可知，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；约分
【解析】【解答】解：由图可得，底面积为，表面积为，根据题意可得：
，
即，
故答案为：B．
【分析】先分别表示出底面积与表面积，再根据比值列出方程求解即可．
2．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：由图得
，
，
，
，
，
；
故答案为：A．
【分析】先根据=大正方形的面积减去空白部分的面积求出，根据长方形的面积公式求出，最后根据求解即可．
3．中华人民共和国2019-2024年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示.
（以上数据引自《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》）
根据以上信息，下列四个说法正确的是（　　）
A．从2019到2024年，全国居民人均可支配收入增长超过12000元
B．从2021年到2022年全国居民人均可支配收入下降了
C．2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年
D．2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，所以2021年全国居民人均可支配收入最高
【答案】C
【知识点】条形统计图；折线统计图；数形结合
【解析】【解答】解：A、根据统计图得：，选项错误，不符合题意；
B、2021年人均可支配收入35128元，2022年人均可支配收入36883元，故可支配收入增长了，选项错误，不符合题意；
C、由图得，2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，选项正确，符合题意；
D、2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，2024年全国居民人均可支配收入最高，选项错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据条形统计图提供的信息，2019年全国居民人均可支配收入为30733元，2024年全国居民人均可支配收入为41314元，求出两者的差，再与12000元比较即可判断A选项；根据条形统计图提供的信息，2021年全国居民人均可支配收入为35128元，2022年全国居民人均可支配收入为36883元，比较两者大小可判断B选项；根据折线统计图提供的信息，找到每一个年份全国居民人均可支配收入比上一年实际增长的百分比，再比较大小可判断C选项；由统计图表提供的信息，2021年增长速度最快，但全国居民人均可支配收入的高低取决于累计增长（基数+增长额），2024年全国居民人均可支配收入为41314元，远远高于2021年全国居民人均可支配收入的35128元，从而可得增长速度快不代表收入最高，据此可判断D选项.
4．如图放置的两个正方形，四点在同一条直线上，且．若已知图中阴影部分的面积，下列各式的值，一定能求出的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：根据题意得：阴影部分的面积为：
∵，且B、F、G、C四点在同一直线上，
∴，
∵已知图中阴影部分的面积，
∴一定能求出的是.
故答案为：A．
【分析】根据S阴影=S正方形ABCD-S正方形FGHE，结合正方形面积公式可得S阴影=BC2-FG2，然后利用平方差公式将BC2-FG2分解因式，结合线段和差可将 BC2-FG2 转化为4BG×BF，从而即可得出答案.
5．如图，点E，F分别为长方形ABCD的边AD、BC上的点，将该长方形纸片沿EF折叠，使点B，A的对应点分别是点B'，A'，B'，折后B'F与AD相交于点G.若的度数为1：2两部分，则的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由折叠的性质得：
将 的度数分为1：2两部分，
或
当
，
如图，当 时，
综上： 或
故答案为：D .
【分析】根据折叠的性质可得 由B'F将 C'的度数分为1：2两部分，可得 ，或 再进一步求解即可.
6． 现有A，B，C三种型号的正方形和长方形纸片若干张，大小如图所示.从中取出部分纸片进行无重叠拼接，拼成一个长和宽分别为16和7的新长方形，在各种拼法中，B型纸片需要的张数最多为（　　）
A．4张 B．5张 C．8张 D．9张
【答案】C
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设拼成一个长宽分别为11和5的新矩形， 需要A， B， C三种型号的纸片a张、b张、c张，
由题意得，9a+12b+16c=16×7，
即
又∵a、b、c为正整数， 若使b最大， 则a、c最小，
∴当a=0，c=1时，b最大，b=8，
故答案为：C.
【分析】根据各种卡片的面积，张数与面积之间的关系列出方程，根据方程的正整数解得出答案.
7．关于的代数式分解因式得，则的值为（　　）
A．3 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：由十字相乘法可知：x=3x2，，
解得n=3，m=-2，
∴.
故答案为：C.
【分析】利用公式 计算即可.
8．欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋个数不同，卖得的钱却相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，可以卖得15个铜板.”乙农妇回答道：“如果我有你的鸡蛋个数，我的单价不变，我就只能卖得 个铜板.”问两人各有多少个鸡蛋 设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，由题意得，
故答案为：A .
【分析】设甲农妇有x个鸡蛋，乙农妇有(100-x)个鸡蛋，根据题意“两人原本卖得的钱数相同，且交换鸡蛋后的总金额分别为15和 个铜板”列分式方程解答即可.
二、填空题
9．已知关于，的方程组（，为实数）的解满足，则　 　
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：
得，
解得：，
将代入得，
解得：，
将，代入得：，
整理得，
移项得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据加减消元法表示出，，再代入计算求解即可．
10．当分别取时，计算分式的值，并把所有结果相加，其和为　 　．
【答案】
【知识点】分式的加减法；探索数与式的规律；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
则，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时与当时相加所得的代数式的值为，
当时所得的代数式的值为，
当时所求的代数式的值为，
这些分式的值其和等于，
故答案为：
【分析】根据当时，，当时，，可得，再进行分组求和即可．
11．如图，在一次数学实践活动课中某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，且，则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：如图：
纸带的对边互相平行，，
，
由折叠性质得，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=135°，
，
，
由折叠的性质可知，
故答案为：．
【分析】根据垂直定义及二直线平行，内错角相等得∠DEC=∠BCE=90°，由折叠性质及平角定义可求出∠ECD=45°，再由二直线平行，同旁内角互补求出∠FBC=45°，最后再根据折叠性质及平角定义可求出∠ABF的度数.
12．某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则　 　．（用含，的最简分式表示）
【答案】
【知识点】解含分数系数的一元一次方程；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天，
∴；
同理可得，．
∵，
∴，
整理得，．
故答案为：．
【分析】先根据工作总量除以工作效率等于工作时间表示出，再代入即可用含的式子表示出s．
13． 已知，则的值为　 　.
【答案】13
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵∴
∴
∴
故答案为：13.
【分析】先将进行化简得，由所求的 的形式联系完全平方公式即可得到所求式子的值。
14． 如图，已知，点G在直线AB上，点F在直线CD上，连结EF，点E是射线FD上一点(不与F，G重合)，过点G作线段EF于点H，且.
（1） 的度数为　 　..
（2） 已知点P，Q在直线AB，CD之间，点M在射线EA上，连结PQ，PM，MQ，使线段PQ经过点H.若，，则的度数为　 　..
【答案】（1）30°
（2）72°或168°
【知识点】平行线的判定与性质；铅笔头模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解：(1) ∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFG，
∵GH⊥EF， ∠AEF：∠HGF =1：2，
∴∠GHF=90°，∠EFG：∠HGF =1：2
∴∠EFG+∠HGF =90°，
故答案为： 30°；
(2) 过点P作PR∥AB，过点H作HL∥AB，
∵AB∥CD，
当点Q在HG右侧时，
由 (1) 知
∵∠MPQ = 90°，
∴∠MPR=90°-18°= 72°，
∴∠AMP=∠MPR =72°；
当点Q在HG左侧时，
由 (1) 知∠FGH = 90°-30°= 60°，
∴∠FGH=∠LHG=60°，
∵∠GHQ=42°，
∴∠QHL = 60°+42°= 102°，
∴∠QHL =∠QPR=102°，
∵∠MPQ=90°，
∴∠MPR=360°-90°-102°= 168°，
∴∠AMP=∠MPR=168°；
故答案为： 72°或168°.
【分析】(1) 先求出∠AEF =∠EFG， 根据∠GHF =90°，∠EFG：∠HGF = 1：2求出结论即可；
(2) 过点P作PR∥AB， 过点H作HL∥AB， 分两种情况：当点Q在HG右侧时或当点Q在HG左侧时，分别根据平行线性质求出即可.
15．把四张完全相同的阴影长方形纸片和两本完全相同的长方形课本按如图方式摆放.根据图中标注尺寸，可得阴影长方形纸片的长与宽之差为　 　.(结果用含a，b的代数式表示)
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：a+y-x=b+x-y，即2x-2y=a-b，
整理得：
则小长方形的长与宽的差是
故答案为：
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据题意由大长方形的长度相等列出方程求出x-y的值，即为长与宽的差.
16．已知实数x，y，a满足 且 xy=4，则代数式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：
即
故答案为：2 .
【分析】根据题意得到，再根据完全平方公式的变形求出x2+y2，然后化简分式，整体代入计算即可.
三、解答题
17．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位．
（1）求，的值；
（2）当水位时，求时间的值．
【答案】（1）解：由题意可得：，②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）将数据代入公式得出二元一次方程组求解即可；
（2）将代入到水位公式求解即可．
（1）解：由题意可得：，
②①得： ，
解得：，
把代入①得：，
所以，
∴，
答：，．
（2）解：当时，，
解得．
答：当水位时，时间为．
18．我们定义两种运算“”和“”，对于任意两个数，，有，．
（1）因式分解：________；
（2）若，求的值；
（3）若，求，之间满足的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，，
解得或．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【解答】解：（1）；
【分析】（1）根据新定义计算求解即可；
（2）根据新定义计算得到，则，进而因式分解得到，再代入分式中计算求值即可；
（3）先根据新定义计算得到，再化简因式分解即可．
（1）解：；
（2）解：∵
∴，
即
∴
（3）解：∵，
，
解得或．
19．如图1，两张边长分别为的正方形纸片．
（1）如图2，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中（无重叠），若大正方形的纸片边长为10，阴影部分面积为35．
①求两张纸片的面积和；
②求两张纸片的边长差；
（2）如图3，将两张纸片放置于一个大正方形的纸片中，若已知两张纸片的边长差为2，两张纸片的面积和为20，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：①由图可知，，即，
∴两张纸片的面积和；
②∵a2+b2=65，2ab=35
，
；
（2）解： 由题意得，，
如图：
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；算术平方根的实际应用；数形结合
【解析】【分析】（1）①由题意得a+b=10，然后根据S阴影=S大正方形-S正方形A-S正方形B结合正方形面积公式可得2ab=35，然后根据完全平方公式恒等变形可得a2+b2=(a+b)2-2ab，从而整体代入计算即可；
②根据完全平方公式得(a-b)2=a2+b2-2ab，然后整体代入计算后再求其算术平方根即可；
（2）由题意得a-b=2，a2+b2=20，根据完全平方公式得 (a-b)2=a2+b2-2ab，从而整体代入计算可求出ab的值，结合图象利用三角形面积公式即可求解．
（1）①由图可知，
，即，
∴两张纸片的面积和；
②
，
；
（2）由题意得，，
如图：
20．如图，已知，小楚将一块直角三角板的点放置在直线上，点在直线与直线之间，边与直线相交于点，边与直线相交于点，其中．
（1）若，求的度数；
（2）旋转三角板，并保持本题主干部分的所有条件不变．
①当时，求的度数；
②说明与的差是定值．
【答案】（1）解：，，
，
，
；
（2）解：①过点作，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
；
②设，
由①可知，，
，
，
，
，
，
与的差是定值．
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）利用二直线平行，同位角相等推出，再结合平角定义求解，即可求出∠BAQ的度数；
（2）①过点作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出MN∥PQ∥BF，由二直线平行，内错角相等及已知可推出，结合，得到，从而结合平角定义求解，即可求出∠DAP的度数；
②设，由①可知，，结合推出，根据平角定义可求出，再作差计算，即可得出结论.
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：①过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②设，
由①可知，，
，
，
，
，
，
与的差是定值．
21．某商家推出三款纪念品，，，其中的单价比贵2元/件．如果买10件，件，件，总价格为520元；如果买15件，件，件，总价格为505元．设纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件．
（1）求和的值；
（2）商家将，各取1件组成套装，将，各取1件组成套装，均以两种相应纪念品的单价之和作为套装定价．为促进销售，对两款套装实施优惠政策，套装定价都下调元．此时用200元购买到的套数，与240元购买到的套数一样多，且钱均无剩余，求的值．
【答案】（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，
∴，
解得：，
∴的值为15，的值为18；
（2）解：由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套，
∴可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴的值为8．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由题意得，纪念品A的单价为x元/件，纪念品B的单价为y元/件，纪念品C的单价为(y+2)元/件，根据单价乘以数量等于总价及“买10件A，15件B，5件C，总价格为520元；买15件A，10件B，5件C，总价格为505元”列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可得出x、y的值；
（2）根据总价除以单价等于数量及“用200元购买到M的套数，与240元购买到N的套数一样多”列出分式方程，求解并检验即可得出答案.
（1）解：由题知：纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，纪念品的单价为元/件，
∴，
解得：，
∴的值为15，的值为18；
（2）由题可知：套装的定价为33元/套，套装的定价为38元/套，
∴可得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解且符合题意，
∴的值为8．
22．已知三角板与，，，，将它们按下列要求放置．
（1）如图1，当平分时，求证：；
（2）如图2所示，若，求的度数
（3）如图3，将三角板固定不动，的角平分线交于点，改变另一个三角板的位置，顶点与顶点始终保持重合，旋转三角板，当与平行时，求的度数．（度数不大于）．
【答案】（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）解：过点作，如图所示，
，
，
，
，，
．
；
（3）解：i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
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，
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，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
【知识点】旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据角平线的定义得到，进而求出，，最后根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，先根据两直线平行，同位角相等得到∠ANB，再根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补得到∠MNB，进而根据角的关系计算即可；
（3）根据旋转分为两种情况讨论求解即可．
（1）证明：平分，
，
又，
，
，
，
；
（2）过点作，
，
，
，
，，
．
；
（3）i）当三角尺转到如图1所示位置时，延长，交于点，过点作，
平分，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
ii）当三角尺转到如图2所示位置时，延长交于点，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
23．随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大，某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成.若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成.
（1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数.
（2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案：
　 甲车间 乙车间 新增费用
方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了55% 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元
方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每月需要支付费用150元
若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人，根据题意得
解得
答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人
（2）解：设方案二调配到甲车间x 人，根据题意得
解得x=10，
经检验，x=10是原方程的解，且符合题意
方案一费用：29×1200+1400=36200(元)
方案二费用：25×150×10=37500（元）
∵36200<37500
∴选方案一更节省
【知识点】二元一次方程组的其他应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1） 根据“工作总量=工作效率×工作时间”这一关系，利用两种不同的生产情境列出二元一次方程组，求出甲、乙两个车间的工人数。
（2）根据方案一和方案二的时间差(4天)建立方程，求出方案二的具体天数，进而计算两种方案的新增费用并进行比较解答即可.
24．如图1， 点F在线段AB上， 点E在线段CD上， ∠1+∠2=180°， ∠A=∠D.
（1） 请说明AB∥CD；
（2） 如图2， 连结EF， 若∠AEF=20°， ∠D=70°， 判断EF与AB的位置关系并说明理由.
【答案】（1）解：如图，
∵∠2+∠3=180°， ∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠3.
∴AE∥DF.
∴∠A=∠BFD，
∵∠A=∠D，
∴∠D=∠BFD.
∴AB∥CD
（2）解：判断： EF⊥AB
∵AE∥DF，
∴∠EFD=∠AEF=20°.
∵AB∥CD， ∠D=70°，
∴∠BFD=∠D=70°，
∴∠BFE=∠BFD+∠EFD=70°+20°=90°，
∴EF⊥AB
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等得到∠1=∠3，然后根据同位角相等，两直线平行得到AE∥DF，即可得到 ∠A=∠BFD，进而得到∠D=∠BFD，再根据内错角相等，两直线平行证明结论；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到∠EFD=∠AEF，∠BFD=∠D，然后根据角的和差证明即可.
25．如图，某工厂与A，B两地有公路和铁路相连.这家工厂从A地购买原料运回工厂，制成产品运到B地.已知公路的运价为a元/(吨·km)，铁路的运价为b元/(吨·km).
（1）设一批原料有x吨，生产成的产品有y吨，填写下表(结果用含a，b，x，y的代数式表示)：
　 A地 B地
公路运费(元) 10ax 　
铁路运费(元) 　 　
（2）第一批货购买了500吨原料，生产了300吨产品，原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B 地运费39000元.求a， b的值.
（3）工厂从A 地购买原料的单价为每吨1000元，产品售往B地的价格为每吨8000元.因需要需增补第二批货物，已知第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元，问第二批货物的原料是多少吨 与第一批货物从原料到产品的成品率相比，成品率是提高了还是降低了
【答案】（1）解：
A地 B地
公路运费(元) 10ax 20ay
铁路运费(元) 120bx 100by
（2）根据题意得：，
解得：
答： a的值为1.5， b的值为1
（3）解：设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨
由题意得：
解得： ，
∵第一批成品率： 300÷500×100%=60%
第二批成品率： 40÷60×100% ≈ 66.7%
∴第二批成品率提高了.
答：第二批货物的原料是60吨，成品率提高了
【知识点】二元一次方程组的其他应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：(1)根据题意得：从A地购买x吨原料运回工厂所需铁路运费为120bx元；
制成y吨产品运到B地所需公里运费为20ay元，铁路运费为100by.
故答案为： 120bx， 20ay， 100by；
【分析】(1)利用运费=每吨每千米的运费×质量×路程，即可用含a，b，x，y的代数式表示出各数量；
(2)根据“原料从A地运回工厂运费67500元，制成产品运到B地运费39000元”，可列出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(3)设第二批货物的原料有m吨，产品有n吨，根据“第二批货物的销售款比原料费多260000元，运输单价与第一批货物相同，运输总费用为13300元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之可得出m，n的值，再求出两次生产的成品率，比较后，即可得出结论.
26．请根据以下材料，探索完成任务.
教材母题
素材1 浙教版七年级下册数学教材第23页有一例题，如右图，小明和小芳发现，通过计算两条角平分线(AP与CP) 的夹角 (∠P) 也可判断两条直线是否平行. 例4 如图，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD.∠1+∠2=90°.判断AB，CD是否平行，并说明理由. 解： AB∥CD.理由如下： 如图，由已知AP平分. CP平分∠ACD，根据角平分线的意义，知 所以 根据“同旁内角互补，两直线平行”，得 .
类比探究
素材2 小明和小芳思考：角的其它等分线夹角度数与两直线平行之间是否存在联系 已知线段MN夹在直线AB与直线CD之间，其中点M在直线AB上，点N在直线CD上. 小明的做法：如图1，在线段MN的左侧分别作∠AMN的三等分线ME和MF，作∠CNM的三等分线NE和NF， 其中ME和NE交于点E， MF和NF交于点F. 小芳的做法：如图2，在线段MN的两侧分别作∠AMN和∠MND的三等分线，使
深化探究
素材3 小明和小芳继续思考：当线段MN变为折线时，是否可以利用平行条件求某些角度关系呢 已知AB∥CD， M， N分别为直线AB， CD上的点， 线段EF在平行线AB， CD之间，点P为线段EF上的一个动点， 连结ME， NF， MP， NP， 使∠AME=2∠EMP，∠DNF=2∠FNP， 记∠MPN=α. 如图3和图4分别为小明和小芳根据题意画出的两个图形.
问题解决
⑴任务1 素材1的例题中， 当∠P= ▲度时， AB∥CD.
⑵任务2 请你猜想素材2中，当∠E和∠F满足怎样的数量关系时AB∥CD 并选择其中一种做法说明理由.
⑶任务3 请你根据素材3中小明和小芳画出的两个图形，直接写出∠F-∠E的值.(用含α的式子表示)
【答案】解：（1）90；
(2) 小明的做法： 设∠AMN =α， ∠CNM =β由题意得当 即 时，
由作法知，
小芳的做法：设 由题意得当. 即 时， AB
由作法知，
(3)或
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；角n等分模型；平行公理的推论
【解析】【解答】解： (1) 由例题知， 当∠1+∠2 = 90°， AB∥CD；
∵∠P =180°-(∠1+∠2)=90°，
∴当∠P =90°， AB∥CD；
故答案为：90；
(3)小明的画法，作 Q
∴设∠AME=2∠EMP=2x， ∠DNF =2∠FNP=2y， ∠GEF =∠HFE=γ，
∴∠MEF=2x+γ， ∠EFN =2y+γ，α=∠MPN =∠AMP+∠PNC=3x+180°-3y，
；
小芳的画法， 作EG∥CD， FH∥CD， PQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD， AB∥PQ∥CD，
∵∠AME=2∠EMP， ∠DNF=2∠FNP，
∴设∠AME=2∠EMP=2x， ∠DNF=2∠FNP=2y， ∠GEF =∠HFE =γ，
∴∠MEF =2x+γ， ∠EFN =2y+γ，α=∠MPN=∠BMP+∠PND=180°-3x+3y，
，
故答案为：或.
【分析】(1) 由例题知， 当∠P = 90°， AB∥CD；
(2) 小明的做法： 设∠AMN =α， ∠CNM =β， 由题意得当∠AMN+∠CNM = 180°， 即α+β=180°时， 由三角形内角和定理求得 ， 据此求解即可；同理可求得小芳的做法；
(3) 小明的画法， 作EG∥CD， FH∥CD， PQ‖CD， 得到AB‖EG‖FH‖CD， AB‖PQ∥CD，由平行线的性质求解即可.
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