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浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题3
一、单选题
1．长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴，
由折叠的性质可得，
又∵四边形是长方形，
∴，根据两直线平行，内错角相等，
∴，
若的度数增大，则，
∴若的度数增大，则减小．
故选：D．
【分析】这道题综合考查了折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是用字母表示角度，再通过角度关系推导变化规律，整个过程的核心是用代数表示角度，通过几何性质建立关系，再分析变化，这样能清晰地看出角度的增减规律.
2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据 快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
3．如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，
∴∠ABE=∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，
∴∠BGC+∠CEG=80°，
∴∠ECG=100°，
∴∠ECD=180°-100°=80°．
故答案为：B.
【分析】 延长BE交DC延长线于G，由三角形内角和定理得∠EBF+∠BEF=130°，由角平分线定义得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BGC，结合平角定义可推出∠BGC+∠CEG=80°，由三角形内角和定理得∠ECG=100°，最后再根据邻补角即可求出∠ECD的度数.
4．图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d=b-c+a，
∴l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，
S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，
l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b
S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，
∴S2-S1=bc+c2，
l1-l2=2b-2c，
∴bc+c2=() 2，
∴bc+c2=（b-c）2，
∴3bc=b2，
∴b=3c，
∴b：c的值为3，
故答案为：D．
【分析】设大长方形的宽为d，根据图形可得d=b-c+a，利用平移的思想及长方形周长计算公式可得l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b，利用割补法及长方形、正方形面积计算公式得S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，然后根据整式加减运算法则求出S2-S1与l1-l2，然后整体代入题干给出的已知等式，变形整理得b=3c，从而即可求出b与c的比值.
5．东阳江的治理实现了水清、岸绿、景美.某工程队承担东阳江某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务.设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天完成x米的清淤任务，
∴实际每天完成( 米的清淤任务.
根据题意得，
故答案为：D.
【分析】设原计划每天完成x米的清淤任务，然后根据“ 实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务 ”列分式方程解答即可.
6．如图，三个边长分别为a，b，c的正方形并排放置，记阴影部分的面积为S，则下列关于S的说法正确的是（　　）
A．S的值与a的取值无关 B．S的值与b的取值无关
C．S的值与c的取值无关 D．S的值与a，b，c的取值均有关
【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
将图形补充为一个大长方形，则 所以S的值与a的取值无关.
故答案为：A.
【分析】先将图形补充为一个大长方形，再根据阴影部分的面积=大长方形的面积-空白部分的三个三角形的面积进行计算即可.
7．将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　）
A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，
根据题意得，第一种摆放方式的总高度为5，可列方程：x+y=5
第二种摆放方式的总高度为5.5，可列方程x+(3-y)=5.5
联立得到方程组，，
解得：，
则．
故选：A．
【分析】这道题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两种摆放方式的高度条件，找到等量关系并列方程组.
8．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠.折痕分别为AB， CD， 若CD∥BE， 且∠ABC=3∠EBC， 则∠1的度数为(　　)
A．108° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠可知，
因为
所以
所以
所以
因为
所以
由折叠可知，
因为
所以
所以
故答案为：A .
【分析】根据折叠的性质和∠ABC=3∠EBC求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，再根据折叠可得，求出∠1的度数即可.
9．如图，正方形ABCD，点E为CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形CEFG，连结AE，AG， EG.若要求出△AEG的面积， 只需知道(　　)
A．AB的长 B．AG的长 C．AE的长 D．CG的长
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴AB=BC=CD=a， CG=CE=b，
∴BG=BC+CG=a+b，
又∵)a，
∴若要求出△AEG的面积，只需知道CG的长.
故答案为：D .
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则BG=a+b，再分别求出 ，进而得 据此即可得出结论.
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（　　）
A．129° B．72° C．51° D．18°
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴；
当时，如图所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当时，过点G作GQ∥MN，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥GQ∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，由角的构成得∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM， 由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM， 由平角定义得出∠PGH=120°-2∠ABM，则∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，由二直线平行，同旁内角互补求出 ∠PHG=30°+2∠ABM，结合12°≤∠ABM≤60°根据不等式性质可得54°≤∠PHG≤150°； 当时，过点G作GQ∥MN，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ， 由反射定理、角的构成及平角定义推出 ∠PHG=150°-2∠ABM， 结合60°≤∠ABM≤69°根据不等式性质可得12°≤∠PHG≤30°.
二、填空题
11．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意可知，，根据平行公理的推论，可得：，
∴，，
∴，
由CG∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠ECG+∠CEF=180°
已知∠CEF=165°，代入得：，
故填：．
【分析】这道题的核心考点是平行线的判定与性质，解题的关键在于通过添加辅助线，构造出平行线的“三线八角”模型，从而利用平行线的性质进行角度转换，这类“折线+平行线”的题目，通用的解题思路就是通过作辅助线，将复杂的折线问题，转化为基础的平行线性质问题来解决.
12．如图两个正方形的边长分别为a和b，若，，那么阴影部分的面积是　 　．
【答案】35
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图得，上面两个阴影图形拼在一起就是一个长为2a，宽为a-b的长方形，下面两个阴影拼在一起就是一个边长为b的正方形，
∴S阴影=2a(a-b)+b2
=2a2-2ab+b2
=(a-b)2+ab
，，
原式
．
故答案为：35．
【分析】 由图得，上面两个阴影图形拼在一起就是一个长为2a，宽为a-b的长方形，下面两个阴影拼在一起就是一个边长为b的正方形， 然后根据长方形及正方形面积公式算出两部分阴影面积再求和即可得到整个阴影部分的面积，将所得面积利用拆项的方法及完全平方公式变形为(a-b)2+ab，从而整体代入计算可得答案.
13．现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第个数记为，第（2）组数中从左到右第个数记为，若，则的最大值是　 　．
【答案】43
【知识点】完全平方公式及运用；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵（1）4，6，8，10，12，14，…
∴第（1）组数中从左到右第个数，
∵（2）0，3，8，15，24，35，…
∴第（2）组数中从左到右第个数，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴的最大值是43．
故答案为：43．
【分析】观察两组数的特点发现：第一组数第一个数是4，后一个数依次比前一个数多2，故第（1）组数中从左到右第n个数表示为an=2n+2；第二组数每一个数比一个完全平方数少1，故第（2）组数中从左到右第n个数为bn=n2-1，然后分别代入an+bn＜2024列出不等式，求该不等式的最大整数解即可.
14．如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56.则图2最中间的小正方形的面积为　 　.
【答案】8
【知识点】图形的剪拼；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：大小都相同的八块直角三角形中，较短的直角边长度设为a，较长的直角边长度设为b，如图.
根据题意得： 即
∴小正方形的面积
故答案为：8.
【分析】用a、b分别表示每个直角三角形的直角边，则所求小正方形的面积即为两直角边差的平方，依据题意可列出代数式的关系式，再经过适当的变形与整体代入即可求得结果.
15．如图1是一条长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中
CD//EG，则图1中∠DEF=　 　.
【答案】22.5°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解： ∵AD∥BC，
∴设∠DEF =∠EFB =α，
图2中， ∠GFC =∠BGD =∠AEG =180°-2
∠EFG =180°-2α，
图3中， ∠CFE =∠GFC-∠EFG =180°-2α
-α=180°-3α.
图3中，过F作FH∥CD，
∴∠HFC =∠C =90°，
∵CD∥EG，
∴FH∥EG，
∴∠HFE =∠FEG =∠DEF =α，
∴∠HFC =∠CFE-∠HFE =∠DEF =180°
-3α-α=180°-4α=90°，
解得α=22.5°，
∴∠DEF =22.5°，
故答案为： 22.5°.
【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF =∠EFB =α，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE =∠GFC-∠EFG即可列方程求得α的值.
16．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为　 　．
【答案】100
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
，则．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
故填：100．
【分析】这道题的核心是利用图形面积关系列代数式，再通过代数化简求值解决问题，首先需要准确识别图2中阴影部分的构成：用大正方形面积减去空白长方形面积，加上4个小正方形面积，再减去右下角空白小正方形面积，从而列出关于a，b的等式，化简后得到ab=10；接着从图3的阴影部分直接得到，最后利用完全平方公式，将前面得到的两个结果整体代入，就能算出大正方形的面积.
17．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设乙的边长为2a，则甲、丙的宽都为2a，
∵，
∴甲与丙的长之比为3∶5，
又∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
∴，
∴甲与乙的长之比为3∶2，乙与丙的长之比为2∶5，
∴，
∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：4．
【分析】设乙的边长为2a，则甲、丙的宽都为2a，根据矩形面积公式，同宽矩形的面积之比等于长之比，结合得出甲与丙的长之比为3∶5，由题意易得，再结合矩形面积公式，同宽矩形的面积之比等于长之比，可以推出甲与乙的长之比为3∶2，乙与丙的长之比为2∶5，从而可得HM=3a，EN=5a，进而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积等于两个大正方形面积减去矩形甲、乙、丙的面积列出方程求解得出a的值，进而就可求出乙的面积.
18．如图，已知，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则　 　．
【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作，
∵，
∴，
∴，，，
，
∴
，
∴；
当H在的右侧时，如图，
∴，
，
∴；
故答案为：或．
【分析】过点P作QP∥AB交HE于点Q，过点H作LK∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出LK∥AB∥CD∥PQ，当点H在EF左侧时，由平行线的性质及对顶角相等得出∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，∠CFN=∠PFD=∠FPQ，∠AEM=PEB=∠EPQ，根据折叠性质、等量代换及角的构成可得∠LHF+∠KHE=2∠EPF=120°，进而根据平角定义可求出∠EHF的度数；当H在EF的右侧时，由平行线的性质、对顶角相等及折叠性质得∠CFN=∠PFD=∠FPQ=∠C'FN=∠PFH，∠AEM=∠PEB=∠EPQ=∠PEH，最后根据角的构成可求出∠EHF的度数.
三、解答题
19．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
20．定义：如果关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数且，）满足，我们就称方程为“阶梯方程”。
（1）下列方程是“阶梯方程”的是　 　.
①②③④
（2）任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解.
（3）若方程组的解为整数，求整数a的值.
【答案】（1）③④
（2）解：
变为：ax+(a+1)y=a+2，
ax+ay+y-a-2=0，
a(x+y-1)+y-2=0，
∵等式a为任意数时都成立，
由②得：y=2，
把y=2代入①得：x=-1，
∴这组解为：
（3）解： ∴b=a+1，
∴方程组化为
由②得： x = 1-2y③， ③代入①得：
a(1-2y)+(a+1)y=a+2，
a-2ay+ ay+y=a+2，
(a-2a+1)y=a+2-a，
(1-a)y=2，
把 代入③得：
∵y为整数，
∴1-a=±1或±2，
解得： a=0或-1或2或3，
∵a≠0，
∴a=-1或2或3，
当a=-1时， x=-1；
当a=2时， x = 5；
当a=3时， x = 3；
∴a的整数值为：-1或2或3
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解： (1)①x-2y=3，
a=1， b=-2， c=3，
a+2=1+2=3，b+1=-2+1=-1，
∴c=a+2≠b+1，
∴x-2y=3不是“阶梯方程”，
故①不符合题意；
②2x-3y=4，
a=2， b=-3， c=4，
a+2=2+2=4， b+1=-3+1=-2，
∴c=a+2≠b+1，
∴2x-3y = 4不是“阶梯方程”，
故②不符合题意；
③x+2y-3=0化为： x+2y=3，
a=1，b=2，c=3，
a+2=1+2=3， b+1=2+1=3，
∴c=a+2=b+1，
∴x-2y-3=0是是“阶梯方程”，
故③符合题意；
是“阶梯方程”，
故④符合题意，
故答案为：③④；
【分析】(1)根据已知条件中的新定义，求出(a+2，b+1，然后判断即可；
(2)根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可；
(3)根据已知条件中的新定义，把方程ax+bx=c换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可.
21． 定义： 关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c (abc≠0， a≠c) 中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程 ax+by=c的“友好方程”为 cx+ by=a.
（1）求方程x+2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解；
（2） 已知关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c的系数满足a+b+c=0， 求方程 ax+ by=c与它的“友好方程”组成的方程组的解：
（3） 已知关于x，y的二元一次方程(3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，求的值.
【答案】（1）解： 方程x+2y= 3的“友好方程”为3x+2y=1，
①-②， 得-2x=2，
解得x =-1，
把x = -1代入①中， 得y = 2，
∴方程组的解为
（2）解：方程 ax+by=c的“友好方程”为 cx+by=a，
①-②得(a-c)x=c-a，
∴x=-1，
把x =-1代入①式， 得-a+by= c，
∴by=a+c，
∵a+b+c=0，即a+c=-b，

（3）解：∵根据题意， 可得
∵关于x，y的二元一次方程((3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，
由①得t=2m+1，代入②中，得：
2+n=m+2(2m+1)，
5m=n，

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果；
(2)根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得by=a+c，再代入a+b+c=0，得到结果；
(3)根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果.
22．一副三角板按如图方式摆放，D在BC边上，AB//EF.
（1）求∠CDE的度数.
（2）如图2，点G，P分别在线段AC，BD上，连结GE，GP，PA.
①当GE⊥EF，GC平分∠EGP时，请说明GP//EF的理由.
②记∠PAB=a，∠APG=β，∠PGE=θ.若∠GED=∠GPD，求a，β，θ之间的数量关系.
【答案】（1）解： 如图， 过点D作DG∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥DG，
∴∠BDG=∠B=45°， ∠GDF =∠F =30°，
∴∠CDE=180°-∠EDF-∠BDG-∠GDF=15°
（2）解：①证明： 如图， 延长BC交GE于点H，
∵GE⊥EF， ∠DEF =60°，
∴∠GED=∠GEF-∠DEF =30°，
∵∠CDE=15°，
∴∠GHC =∠GED+∠HDE =45°，
∵∠GCB =90°，∴∠GCH =90°，
∴∠HGC =180°-90°-45°= 45°，
∵GC平分∠EGP，
∴∠HGP =2∠HGC =90°，
∴∠HGP+∠GEF=180°，
∴GP∥EF，
②解： ∵∠APD=∠APG+∠GPD=∠B+∠BAP，
∴β+∠GPD=45°+α，
∴∠GPD=45°+α-β，
∴∠GHD =∠GED+∠HDE
=∠GPD+15°
=45°+α-β+15°
=60°+α-β，
∵∠PGH+∠GPD+∠GHD =180°，
∴θ+45°+α-β+60°+α-β=180°，
∴2α-2β+θ=75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】(1)过点D作DG∥AB，得到AB∥EF∥DG，由平行线的性质得到∠BDG=∠B=45°，∠GDF =∠F =30°，进而求解即可；
(2)①延长BC交GE于点H，首先求出∠GED =∠GEF-∠DEF= 30°，然后利用三角形外角得到∠GHC =∠GED+∠HDE = 45°， 推出∠HGP=2∠HGC =90°， 得到∠HGP+∠GEF=180°， 即可证明结论；
②首先由三角形外角的性质得到∠GPD =45°+α-β， 然后得到\angleGHD=60°+α-β， 结合∠PGH+∠GPD+∠GHD=180°等量代换求解即可.
23．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
四、实践探究题
24．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
（1）类比探究：
请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
（2）基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足，则__________；
（3）拓展应用：
若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．
【答案】（1）成立；
解：多项式展开计算：
．
验证规律：
规律一（系数和验证）：
左侧两个多项式的系数和分别为 2 + (-1) = 1 与 -1 + 2 = 1，其乘积为 1 × 1 = 1；
右侧多项式的系数和为 -2 + 5 + (-2) = 1，二者相等，规律成立.
规律二（首末项系数验证）：
首项系数：左侧两个多项式首项系数的乘积为 2× (-1) = -2，与右侧多项式的首项系数 -2 相等
末项系数：左侧两个多项式末项系数的乘积为 (-1) × 2 = -2，与右侧多项式的末项系数 -2 相等，规律成立.
（2）①0；②；
（3）解：依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
答：p的值为-2；q的值为3.
【知识点】多项式乘多项式；代入消元法解二元一次方程组；探索规律-系数规律
【解析】【解答】（2）①设左侧两个多项式分别为 A(x) 和 B(x)，
它们的各项系数和分别为 1-1=0 与 m+n+1，
根据多项式乘法中“系数和的乘积等于积的系数和”这一规律，可得：0×（m+n+1)=0
因此展开式各项系数之和为0；
故填：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
因此，
故填：．
【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程．
（1）这类题目不仅考查了多项式乘法的计算能力，更引导我们通过具体运算，发现和总结系数层面的通用规律，为后续快速检验计算结果提供了实用方法.
（2）是多项式乘法系数规律的综合应用，解题核心在于理解并灵活运用多项式乘法的三个关键性质，通过规律简化计算过程，提升解题效率与准确性.
（3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q．
（1）展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；．
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．
（3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
25．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
【答案】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
理由：如图②中，设．
，
，
，，
，
，
，
过点G作PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，
，
，
；
（3）或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：过点F作直线FK∥CD，
由（1）可得，，，
根据条件可得，，
①当时，
或，
解得；
②当时，
或，
解得或60；
③当时，
或，
解得或42；
综上，或或或或.
【分析】（1）由邻补角求出∠GEH=60°，由角的构成求出∠FEH=30°，∠DEH=50°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠DEH=50°，最后再根据角的构成，求出∠AHN的度数；
（2）∠DEF-∠AHG=5°，理由如下：设∠DEF=x，由平角定义得出∠CEG=90°-x，由角的构成得∠FGH=40°，∠EGH=85°，过点G作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等得∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，根据角的构成及等量代换得出∠EGH=∠AHG+∠CEG=85°，则∠AHG=x-5°，从而可得结论；
（3）过点F作FK∥CD，根据（1）可得，，，由角的构成及旋转的性质得出∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠GFK=155°+3t°，然后进而分类讨论：①NH∥GF时，②当NH∥EF时，③当NH∥GE时，分别根据平行线的性质建立方程，解方程即可求解．
1 / 1浙教版七年级下册数学期末综合复习--压轴题3
一、单选题
1．长方形按如图所示折叠，，若的度数增大，则的度数变化情况为（　　）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
2．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，已知，点在两平行线之间，连接，，的平分线与的平分线的反向延长线交于点，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
4．图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为l1，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．3
5．东阳江的治理实现了水清、岸绿、景美.某工程队承担东阳江某段3000米河道的清淤任务，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务.设原计划每天完成x米的清淤任务，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，三个边长分别为a，b，c的正方形并排放置，记阴影部分的面积为S，则下列关于S的说法正确的是（　　）
A．S的值与a的取值无关 B．S的值与b的取值无关
C．S的值与c的取值无关 D．S的值与a，b，c的取值均有关
7．将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（　　）
A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6
8．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠.折痕分别为AB， CD， 若CD∥BE， 且∠ABC=3∠EBC， 则∠1的度数为(　　)
A．108° B．120° C．130° D．140°
9．如图，正方形ABCD，点E为CD延长线上一点，以CE为边向右作正方形CEFG，连结AE，AG， EG.若要求出△AEG的面积， 只需知道(　　)
A．AB的长 B．AG的长 C．AE的长 D．CG的长
10．如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角的调节范围为12°~69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角，则反射光束GH与天花板所形成的角不可能取到的度数为（　　）
A．129° B．72° C．51° D．18°
二、填空题
11．如图，某民航飞机在起飞阶段，先从跑道水平加速滑行（段），后抬头拉升飞行至，因仰角过大，系统软件自动启动“机动特性增强系统”压低机头，减少仰角到安全角度，然后攀升至后，开始水平巡航（EF段），已知，则减少的仰角的度数为　 　．
12．如图两个正方形的边长分别为a和b，若，，那么阴影部分的面积是　 　．
13．现有二组数：（1）4，6，8，10，12，14，…；（2）0，3，8，15，24，35，…；第（1）组数中从左到右第个数记为，第（2）组数中从左到右第个数记为，若，则的最大值是　 　．
14．如图1，将长方形纸片裁成形状、大小都相同的八块直角三角形，用其中四块拼成如图2所示的大正方形，经测量，图1中长方形纸片的周长为32，面积为56.则图2最中间的小正方形的面积为　 　.
15．如图1是一条长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中
CD//EG，则图1中∠DEF=　 　.
16．图1为两位同学自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁前掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形ABCD和OPDQ分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的面积为　 　．
17．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，现将其摆放在桌面上，如图所示，重合部分为甲、乙、丙，其中乙为正方形，记甲、丙的面积分别为，，若，且桌面被所有纸片覆盖区域的面积为，则乙的面积为　 　．
18．如图，已知，点E，F分别在直线，上，点P在，之间，的右侧，且．若将射线沿直线折叠得射线，射线沿直线折叠得射线，与所在直线交于点H，则　 　．
三、解答题
19．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．
（1）求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？
（2）“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．
①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．
20．定义：如果关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数且，）满足，我们就称方程为“阶梯方程”。
（1）下列方程是“阶梯方程”的是　 　.
①②③④
（2）任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解.
（3）若方程组的解为整数，求整数a的值.
21． 定义： 关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c (abc≠0， a≠c) 中的常数项c与未知数x系数a互换，得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程 ax+by=c的“友好方程”为 cx+ by=a.
（1）求方程x+2y=3与它的“友好方程”组成的方程组的解；
（2） 已知关于x， y的二元一次方程 ax+ by=c的系数满足a+b+c=0， 求方程 ax+ by=c与它的“友好方程”组成的方程组的解：
（3） 已知关于x，y的二元一次方程(3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，求的值.
22．一副三角板按如图方式摆放，D在BC边上，AB//EF.
（1）求∠CDE的度数.
（2）如图2，点G，P分别在线段AC，BD上，连结GE，GP，PA.
①当GE⊥EF，GC平分∠EGP时，请说明GP//EF的理由.
②记∠PAB=a，∠APG=β，∠PGE=θ.若∠GED=∠GPD，求a，β，θ之间的数量关系.
23．近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实.一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况.
大无人机运输次数(单) 小无人机运输次数(单) 营收(元)
第一天 4 20 3600
第二天 8 28 5760
（1）求大小两款无人机的单次运输价格；
（2）正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣；
（3）在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营a单，小无人机共运营b单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元.
①求a和b的数量关系；
②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？
四、实践探究题
24．小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律：
①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边=右边；
②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为3，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为2，左边=右边．
（1）类比探究：
请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程）
（2）基础应用：
请根据上述规律填空：
①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________；
②若t，r为常数，满足，则__________；
（3）拓展应用：
若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值．
25．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点．
．
（1）若，，求的度数；
【操作探究】
（2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系；
【深度探究】
（3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：设，
∵，根据两直线平行，同位角相等，
∴，
由折叠的性质可得，
又∵四边形是长方形，
∴，根据两直线平行，内错角相等，
∴，
若的度数增大，则，
∴若的度数增大，则减小．
故选：D．
【分析】这道题综合考查了折叠的性质和平行线的性质，解题的关键是用字母表示角度，再通过角度关系推导变化规律，整个过程的核心是用代数表示角度，通过几何性质建立关系，再分析变化，这样能清晰地看出角度的增减规律.
2．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定的时间为x天，根据题意得
故答案为：A.
【分析】此题的等量关系为：慢马送的时间=规定的时间+1；快马送的时间=规定的时间-3；再根据 快马的速度是慢马的2倍 ，列方程即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；邻补角；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长BE交DC延长线于点G，
∵∠BFE=50°，∠EBF+∠FEB+∠BFE=180°，
∴∠EBF+∠BEF=180°-50°=130°，
∵∠ABE的平分线与∠BEC的平分线的反向延长线交于点F，
∴∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，
∵，
∴∠ABE=∠BGC，
∴∠BGC+∠BEF+∠FEC=260°，
∵∠BEF+∠FEG=180°，
∴∠BGC+∠CEG=80°，
∴∠ECG=100°，
∴∠ECD=180°-100°=80°．
故答案为：B.
【分析】 延长BE交DC延长线于G，由三角形内角和定理得∠EBF+∠BEF=130°，由角平分线定义得∠ABE+∠BEF+∠FEC=260°，由二直线平行，内错角相等得∠ABE=∠BGC，结合平角定义可推出∠BGC+∠CEG=80°，由三角形内角和定理得∠ECG=100°，最后再根据邻补角即可求出∠ECD的度数.
4．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设大长方形的宽为d，
∴由图2知，d=b-c+a，
∴l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，
S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，
l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b
S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，
∴S2-S1=bc+c2，
l1-l2=2b-2c，
∴bc+c2=() 2，
∴bc+c2=（b-c）2，
∴3bc=b2，
∴b=3c，
∴b：c的值为3，
故答案为：D．
【分析】设大长方形的宽为d，根据图形可得d=b-c+a，利用平移的思想及长方形周长计算公式可得l1=2(a+b+c)+2(b-c+a-c)=4a+4b-2c，l2=2(b-c+a)+2(a+b+c-b)=4a+2b，利用割补法及长方形、正方形面积计算公式得S1=d（a+b+c）-a2-b2-c2，S2=d（a+b+c）-a2-b2+bc，然后根据整式加减运算法则求出S2-S1与l1-l2，然后整体代入题干给出的已知等式，变形整理得b=3c，从而即可求出b与c的比值.
5．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加25%，且原计划每天完成x米的清淤任务，
∴实际每天完成( 米的清淤任务.
根据题意得，
故答案为：D.
【分析】设原计划每天完成x米的清淤任务，然后根据“ 实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务 ”列分式方程解答即可.
6．【答案】A
【知识点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，
将图形补充为一个大长方形，则 所以S的值与a的取值无关.
故答案为：A.
【分析】先将图形补充为一个大长方形，再根据阴影部分的面积=大长方形的面积-空白部分的三个三角形的面积进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，
根据题意得，第一种摆放方式的总高度为5，可列方程：x+y=5
第二种摆放方式的总高度为5.5，可列方程x+(3-y)=5.5
联立得到方程组，，
解得：，
则．
故选：A．
【分析】这道题是二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据两种摆放方式的高度条件，找到等量关系并列方程组.
8．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解：由折叠可知，
因为
所以
所以
所以
因为
所以
由折叠可知，
因为
所以
所以
故答案为：A .
【分析】根据折叠的性质和∠ABC=3∠EBC求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠BCD的度数，再根据折叠可得，求出∠1的度数即可.
9．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，
∴AB=BC=CD=a， CG=CE=b，
∴BG=BC+CG=a+b，
又∵)a，
∴若要求出△AEG的面积，只需知道CG的长.
故答案为：D .
【分析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则BG=a+b，再分别求出 ，进而得 据此即可得出结论.
10．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度；分类讨论
【解析】【解答】解：当时，如图所示，过点G作，
∵，
∴，
∴∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，
∴∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM，
由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGH-∠PGB=120°-2∠ABM，
∴∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，
∴∠PHG=180°-∠HGQ=30°+2∠ABM，
∴；
当时，如图所示，过点G作，
同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ，
∴∠AGP=∠HGB=∠HGQ+∠QGB=∠PHG+∠ABM，
∴∠PGH=180°-∠AGP-∠HGB=180°-2∠PHG-2∠ABM，
∴∠HGP=∠PGQ-∠PGH=2∠PHG+2∠ABM-150°，
∴∠PHG=150°-2∠ABM，
∴，
综上所述，或，
故答案为：C．
【分析】分类讨论：①当时，过点G作GQ∥MN，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出EF∥GQ∥MN，由二直线平行，内错角相等得∠PGQ =∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，由角的构成得∠PGB=∠PGQ+∠BGQ=30°+∠ABM， 由反射定理可知，∠AGH=∠PGB=30°+∠ABM， 由平角定义得出∠PGH=120°-2∠ABM，则∠HGQ=∠PGH+∠PGQ=150°-2∠ABM，由二直线平行，同旁内角互补求出 ∠PHG=30°+2∠ABM，结合12°≤∠ABM≤60°根据不等式性质可得54°≤∠PHG≤150°； 当时，过点G作GQ∥MN，同理可得∠PGQ=∠EPG=30°，∠BGQ=∠ABM，∠PHG=∠HGQ， 由反射定理、角的构成及平角定义推出 ∠PHG=150°-2∠ABM， 结合60°≤∠ABM≤69°根据不等式性质可得12°≤∠PHG≤30°.
11．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
由题意可知，，根据平行公理的推论，可得：，
∴，，
∴，
由CG∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补，得：∠ECG+∠CEF=180°
已知∠CEF=165°，代入得：，
故填：．
【分析】这道题的核心考点是平行线的判定与性质，解题的关键在于通过添加辅助线，构造出平行线的“三线八角”模型，从而利用平行线的性质进行角度转换，这类“折线+平行线”的题目，通用的解题思路就是通过作辅助线，将复杂的折线问题，转化为基础的平行线性质问题来解决.
12．【答案】35
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图得，上面两个阴影图形拼在一起就是一个长为2a，宽为a-b的长方形，下面两个阴影拼在一起就是一个边长为b的正方形，
∴S阴影=2a(a-b)+b2
=2a2-2ab+b2
=(a-b)2+ab
，，
原式
．
故答案为：35．
【分析】 由图得，上面两个阴影图形拼在一起就是一个长为2a，宽为a-b的长方形，下面两个阴影拼在一起就是一个边长为b的正方形， 然后根据长方形及正方形面积公式算出两部分阴影面积再求和即可得到整个阴影部分的面积，将所得面积利用拆项的方法及完全平方公式变形为(a-b)2+ab，从而整体代入计算可得答案.
13．【答案】43
【知识点】完全平方公式及运用；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：∵（1）4，6，8，10，12，14，…
∴第（1）组数中从左到右第个数，
∵（2）0，3，8，15，24，35，…
∴第（2）组数中从左到右第个数，
∵
∴
∴
∴
∵，
∴的最大值是43．
故答案为：43．
【分析】观察两组数的特点发现：第一组数第一个数是4，后一个数依次比前一个数多2，故第（1）组数中从左到右第n个数表示为an=2n+2；第二组数每一个数比一个完全平方数少1，故第（2）组数中从左到右第n个数为bn=n2-1，然后分别代入an+bn＜2024列出不等式，求该不等式的最大整数解即可.
14．【答案】8
【知识点】图形的剪拼；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：大小都相同的八块直角三角形中，较短的直角边长度设为a，较长的直角边长度设为b，如图.
根据题意得： 即
∴小正方形的面积
故答案为：8.
【分析】用a、b分别表示每个直角三角形的直角边，则所求小正方形的面积即为两直角边差的平方，依据题意可列出代数式的关系式，再经过适当的变形与整体代入即可求得结果.
15．【答案】22.5°
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题
【解析】【解答】解： ∵AD∥BC，
∴设∠DEF =∠EFB =α，
图2中， ∠GFC =∠BGD =∠AEG =180°-2
∠EFG =180°-2α，
图3中， ∠CFE =∠GFC-∠EFG =180°-2α
-α=180°-3α.
图3中，过F作FH∥CD，
∴∠HFC =∠C =90°，
∵CD∥EG，
∴FH∥EG，
∴∠HFE =∠FEG =∠DEF =α，
∴∠HFC =∠CFE-∠HFE =∠DEF =180°
-3α-α=180°-4α=90°，
解得α=22.5°，
∴∠DEF =22.5°，
故答案为： 22.5°.
【分析】先根据平行线的性质，设∠DEF =∠EFB =α，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE =∠GFC-∠EFG即可列方程求得α的值.
16．【答案】100
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算
【解析】【解答】根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
，则．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
故填：100．
【分析】这道题的核心是利用图形面积关系列代数式，再通过代数化简求值解决问题，首先需要准确识别图2中阴影部分的构成：用大正方形面积减去空白长方形面积，加上4个小正方形面积，再减去右下角空白小正方形面积，从而列出关于a，b的等式，化简后得到ab=10；接着从图3的阴影部分直接得到，最后利用完全平方公式，将前面得到的两个结果整体代入，就能算出大正方形的面积.
17．【答案】4
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，设乙的边长为2a，则甲、丙的宽都为2a，
∵，
∴甲与丙的长之比为3∶5，
又∵正方形ABCD和正方形EFGH分别由两张相同的长方形纸片无缝拼接而成，
∴，
∴甲与乙的长之比为3∶2，乙与丙的长之比为2∶5，
∴，
∴正方形EFGH的边长为，正方形ABCD的边长为，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：4．
【分析】设乙的边长为2a，则甲、丙的宽都为2a，根据矩形面积公式，同宽矩形的面积之比等于长之比，结合得出甲与丙的长之比为3∶5，由题意易得，再结合矩形面积公式，同宽矩形的面积之比等于长之比，可以推出甲与乙的长之比为3∶2，乙与丙的长之比为2∶5，从而可得HM=3a，EN=5a，进而推出两个大正方形的边长，再由覆盖面积等于两个大正方形面积减去矩形甲、乙、丙的面积列出方程求解得出a的值，进而就可求出乙的面积.
18．【答案】或
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-折叠问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当H在的左侧时，过点P作交于点Q，过点H作，
∵，
∴，
∴，，，
，
∴
，
∴；
当H在的右侧时，如图，
∴，
，
∴；
故答案为：或．
【分析】过点P作QP∥AB交HE于点Q，过点H作LK∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出LK∥AB∥CD∥PQ，当点H在EF左侧时，由平行线的性质及对顶角相等得出∠LHF=∠CFC'，∠KHE=∠AEA'，∠CFN=∠PFD=∠FPQ，∠AEM=PEB=∠EPQ，根据折叠性质、等量代换及角的构成可得∠LHF+∠KHE=2∠EPF=120°，进而根据平角定义可求出∠EHF的度数；当H在EF的右侧时，由平行线的性质、对顶角相等及折叠性质得∠CFN=∠PFD=∠FPQ=∠C'FN=∠PFH，∠AEM=∠PEB=∠EPQ=∠PEH，最后根据角的构成可求出∠EHF的度数.
19．【答案】（1）解：设每个篮球需要元，每副羽毛球拍需要元，
依题意得：，
解得：．
答：每个篮球需要32元，每副羽毛球拍需要40元．
（2）解：①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行折销售，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行八折销售．
②他有2种购买方案，理由如下：
设小能购买了个篮球，副羽毛球拍，
依题意得：，
化简得：．
均为正整数，
小能有2种购买方案．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球需要x元，每副羽毛球拍需要y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元 ”列出关于字母x、y的方程组，求解即可；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，根据标价乘以折扣率等于售价可得篮球的售价为32×0.1m元，羽毛球的售价为40×0.1m元，根据总价除以单价等于数量及“用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5”出分式方程求解即可；
②根据前一问先求出打折后的篮球和羽毛球拍的价格， 设小能购买了a个篮球，b副羽毛球拍， 根据单价乘以数量等于总价及购买a个篮球和b副羽毛球拍共支付了281.6元列出一个二元一次方程，求出方程的正整数解即可．
20．【答案】（1）③④
（2）解：
变为：ax+(a+1)y=a+2，
ax+ay+y-a-2=0，
a(x+y-1)+y-2=0，
∵等式a为任意数时都成立，
由②得：y=2，
把y=2代入①得：x=-1，
∴这组解为：
（3）解： ∴b=a+1，
∴方程组化为
由②得： x = 1-2y③， ③代入①得：
a(1-2y)+(a+1)y=a+2，
a-2ay+ ay+y=a+2，
(a-2a+1)y=a+2-a，
(1-a)y=2，
把 代入③得：
∵y为整数，
∴1-a=±1或±2，
解得： a=0或-1或2或3，
∵a≠0，
∴a=-1或2或3，
当a=-1时， x=-1；
当a=2时， x = 5；
当a=3时， x = 3；
∴a的整数值为：-1或2或3
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解： (1)①x-2y=3，
a=1， b=-2， c=3，
a+2=1+2=3，b+1=-2+1=-1，
∴c=a+2≠b+1，
∴x-2y=3不是“阶梯方程”，
故①不符合题意；
②2x-3y=4，
a=2， b=-3， c=4，
a+2=2+2=4， b+1=-3+1=-2，
∴c=a+2≠b+1，
∴2x-3y = 4不是“阶梯方程”，
故②不符合题意；
③x+2y-3=0化为： x+2y=3，
a=1，b=2，c=3，
a+2=1+2=3， b+1=2+1=3，
∴c=a+2=b+1，
∴x-2y-3=0是是“阶梯方程”，
故③符合题意；
是“阶梯方程”，
故④符合题意，
故答案为：③④；
【分析】(1)根据已知条件中的新定义，求出(a+2，b+1，然后判断即可；
(2)根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可；
(3)根据已知条件中的新定义，把方程ax+bx=c换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可.
21．【答案】（1）解： 方程x+2y= 3的“友好方程”为3x+2y=1，
①-②， 得-2x=2，
解得x =-1，
把x = -1代入①中， 得y = 2，
∴方程组的解为
（2）解：方程 ax+by=c的“友好方程”为 cx+by=a，
①-②得(a-c)x=c-a，
∴x=-1，
把x =-1代入①式， 得-a+by= c，
∴by=a+c，
∵a+b+c=0，即a+c=-b，

（3）解：∵根据题意， 可得
∵关于x，y的二元一次方程((3m-t)x+2025y=m+2t是(2+n)x+2025y=m-1的“友好方程”，
由①得t=2m+1，代入②中，得：
2+n=m+2(2m+1)，
5m=n，

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1)根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果；
(2)根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得by=a+c，再代入a+b+c=0，得到结果；
(3)根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果.
22．【答案】（1）解： 如图， 过点D作DG∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥DG，
∴∠BDG=∠B=45°， ∠GDF =∠F =30°，
∴∠CDE=180°-∠EDF-∠BDG-∠GDF=15°
（2）解：①证明： 如图， 延长BC交GE于点H，
∵GE⊥EF， ∠DEF =60°，
∴∠GED=∠GEF-∠DEF =30°，
∵∠CDE=15°，
∴∠GHC =∠GED+∠HDE =45°，
∵∠GCB =90°，∴∠GCH =90°，
∴∠HGC =180°-90°-45°= 45°，
∵GC平分∠EGP，
∴∠HGP =2∠HGC =90°，
∴∠HGP+∠GEF=180°，
∴GP∥EF，
②解： ∵∠APD=∠APG+∠GPD=∠B+∠BAP，
∴β+∠GPD=45°+α，
∴∠GPD=45°+α-β，
∴∠GHD =∠GED+∠HDE
=∠GPD+15°
=45°+α-β+15°
=60°+α-β，
∵∠PGH+∠GPD+∠GHD =180°，
∴θ+45°+α-β+60°+α-β=180°，
∴2α-2β+θ=75°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【分析】(1)过点D作DG∥AB，得到AB∥EF∥DG，由平行线的性质得到∠BDG=∠B=45°，∠GDF =∠F =30°，进而求解即可；
(2)①延长BC交GE于点H，首先求出∠GED =∠GEF-∠DEF= 30°，然后利用三角形外角得到∠GHC =∠GED+∠HDE = 45°， 推出∠HGP=2∠HGC =90°， 得到∠HGP+∠GEF=180°， 即可证明结论；
②首先由三角形外角的性质得到∠GPD =45°+α-β， 然后得到\angleGHD=60°+α-β， 结合∠PGH+∠GPD+∠GHD=180°等量代换求解即可.
23．【答案】（1）解：设大无人机单次运输价格为x元，小无人机单次运输价格为y元.
根据题意，得
①×2，得③
③-②，得，解得.
把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是
答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元
（2）解：设小无人机实行折优惠.
由题意，得.
解这个方程，得.
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
答：小无人机实行九折优惠
（3）解：①.
得.
②.
因为471是3的倍数，471a是120的倍数.
所以a最小为40，
所以471a最小为18840，
即这两天总营收的最小值为18840元
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）根据已知条件，按照等量关系，根据表格，列二元一次方程组，计算出方程组的解；
（2）根据已知条件，按照 小无人机运输次数是大无人机的两倍等量关系，列分式方程，计算出 小无人机的优惠折扣 ；
（3）根据（1）①可知大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元，根据已知条件， 这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元. 这个等量关系列方程，计算出a与b之间的关系；
②根据①b=2a，代入到代数式得到a的最小值，这样可以计算出这两天总营收的最小值.
24．【答案】（1）成立；
解：多项式展开计算：
．
验证规律：
规律一（系数和验证）：
左侧两个多项式的系数和分别为 2 + (-1) = 1 与 -1 + 2 = 1，其乘积为 1 × 1 = 1；
右侧多项式的系数和为 -2 + 5 + (-2) = 1，二者相等，规律成立.
规律二（首末项系数验证）：
首项系数：左侧两个多项式首项系数的乘积为 2× (-1) = -2，与右侧多项式的首项系数 -2 相等
末项系数：左侧两个多项式末项系数的乘积为 (-1) × 2 = -2，与右侧多项式的末项系数 -2 相等，规律成立.
（2）①0；②；
（3）解：依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
答：p的值为-2；q的值为3.
【知识点】多项式乘多项式；代入消元法解二元一次方程组；探索规律-系数规律
【解析】【解答】（2）①设左侧两个多项式分别为 A(x) 和 B(x)，
它们的各项系数和分别为 1-1=0 与 m+n+1，
根据多项式乘法中“系数和的乘积等于积的系数和”这一规律，可得：0×（m+n+1)=0
因此展开式各项系数之和为0；
故填：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
因此，
故填：．
【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程．
（1）这类题目不仅考查了多项式乘法的计算能力，更引导我们通过具体运算，发现和总结系数层面的通用规律，为后续快速检验计算结果提供了实用方法.
（2）是多项式乘法系数规律的综合应用，解题核心在于理解并灵活运用多项式乘法的三个关键性质，通过规律简化计算过程，提升解题效率与准确性.
（3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q．
（1）展开计算：
．
验证规律：
左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和：
左边，右边，左边右边；．
左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数：
左边，右边为，左边=右边：
左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数：
左边，右边为，左边右边．
（2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为，
∴故展开式各项系数之和为0；
故答案为：0．
②由首项系数乘积：，得；
由末项系数乘积：，得；
验证中间项：（与右边中间项系数一致），
∴，
故答案为：．
（3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得：
解得．
25．【答案】解：（1）如图①中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
理由：如图②中，设．
，
，
，，
，
，
，
过点G作PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PQ，
∴∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，
，
，
；
（3）或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】（3）解：过点F作直线FK∥CD，
由（1）可得，，，
根据条件可得，，
①当时，
或，
解得；
②当时，
或，
解得或60；
③当时，
或，
解得或42；
综上，或或或或.
【分析】（1）由邻补角求出∠GEH=60°，由角的构成求出∠FEH=30°，∠DEH=50°，然后根据二直线平行，内错角相等得出∠AHM=∠DEH=50°，最后再根据角的构成，求出∠AHN的度数；
（2）∠DEF-∠AHG=5°，理由如下：设∠DEF=x，由平角定义得出∠CEG=90°-x，由角的构成得∠FGH=40°，∠EGH=85°，过点G作PQ∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD∥PQ，由二直线平行，内错角相等得∠AHG=∠HGQ，∠QGE=∠GEC，根据角的构成及等量代换得出∠EGH=∠AHG+∠CEG=85°，则∠AHG=x-5°，从而可得结论；
（3）过点F作FK∥CD，根据（1）可得，，，由角的构成及旋转的性质得出∠NHB=140°-2t°，∠GED=110°+3t°，∠GFK=155°+3t°，然后进而分类讨论：①NH∥GF时，②当NH∥EF时，③当NH∥GE时，分别根据平行线的性质建立方程，解方程即可求解．
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