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广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．
3．已知函数则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（　　）
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
A．0.5 B． C．0.6 D．
5．记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（　　）
A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线
C． D．与恰有四个公共点
10．已知事件，满足，，则（　　）
A．
B．若，则
C．若与相互独立，则
D．若，则
11．已知函数，则（　　）
A．当，且时，没有零点
B．曲线是中心对称图形
C．当时，在定义域内是单调函数
D．当时，函数既有极大值，又有极小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，满足，，若，则，的夹角为　 　.
13．若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有　 　个.
14．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，，，，在边上，的面积为.
（1）求：
（2）求的周长.
16．已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.
（1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；
（2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望.
附：，.
17．如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点.
（1）证明：平面平面：
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.
（1）求的渐近线方程：
（2）求面积S的最小值：
（3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.
19．已知函数.
（1）证明：当时，直线与曲线相切；
（2）若是增函数，求实数的取值范围；
（3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得集合，
集合，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的运算与对数不等式的求解，核心是先分别求出集合A和B，再求它们的交集。
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：根据题意，，则.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念，核心是先求出复数，再利用共轭复数的性质计算。
3．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：根据题意，.
故答案为：B
【分析】本题考查分段函数的嵌套求值，核心是由内到外、分层计算，先根据自变量的取值选择对应的分段函数，再依次求解内层和外层函数值。
4．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据经验回归方程为，
3号观测的预测值为，
则3号观测的残差为.
故答案为：C
【分析】本题考查回归分析中残差的计算，核心是先利用回归方程求出预测值，再根据残差的定义计算结果。
5．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列的前项和为，若，设等比数列公比为，
则
，
当时，则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】本题考查等比数列前项和的性质与二次函数求最值，核心是利用等比数列的片段和性质，将转化为关于的二次函数，再求其最小值。
6．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：已知，根据二倍角公式，
令，则可得：，
根据三角函数诱导公式，对进行变形可得：
令，则，
由，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是通过二倍角公式和诱导公式，将目标角转化为已知角的形式来求解。
7．【答案】C
【知识点】直线的斜率；抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】由题意可知：，因为，且，可知为锐角，
则，
设，则，
则，整理可得，解得或（舍去），
所以的横坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的几何性质与三角函数的应用，核心是利用三角函数值求出直线FM的斜率，再结合抛物线方程求解点M的横坐标。
8．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，则的最小正周期为，可知，
又因为，可得，
即，且，
且，可知或为的零点，
若为的零点，则，
可得，且，可得，
若为的零点，则，
可得，这与矛盾；
综上所述：.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数的零点、周期与三角恒等变换，核心是利用零点间距与周期的关系，结合函数零点的定义求解φ。
9．【答案】A,C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A：根据题意，椭圆，半焦距，
的焦距为，双曲线，半焦距，
的焦距为，显然，A正确；
B：因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误；
C：，则，C正确；
D：因为椭圆中，双曲线中，
则与只有和两个交点，D错误.
故答案为：AC
【分析】A：分别计算椭圆与双曲线的焦距并比较大小；B：根据等轴双曲线的定义判断；C：分别计算与，验证和是否为2；D：根据椭圆与双曲线的取值范围判断公共点个数。
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，
A：因为，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B：若，则，故B正确；
C：若与相互独立，则与相互独立，所以，故C正确；
D：因为，可得，又因为，
所以，故D错误；
故答案为：CD.
【分析】A：利用概率加法公式分析；B：利用事件包含关系的概率性质判断；C：利用独立事件的性质计算；D：利用条件概率公式运算求解。
11．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A：当，且时，，
，，函数没有零点，故A正确；
B：当时，，曲线为直线，显然是中心对称图形；
当时，，，记的定义域为，
不难知道，当时，必有，且当时，必有，
又，，
曲线是中心对称图形，对称中心为，故B正确；
C：当，时，的定义域为，恒有，
在区间和上单调递增，在内单调递减；
同理可知当，时，在区间和上单调递减，在内单调递增.
在定义域内非单调函数，故C错误；
D：，当，时，令，
∵，解得定义域为或.
，存在，使得，
，，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数既有极大值，又有极小值，
同理，当，时，可知亦既有极大值，又有极小值，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：根据对数的性质判断函数零点；B：通过证明，判断函数的中心对称性；C：求导后根据的符号，分析导数在定义域内的符号，判断单调性；D：根据导数对应的二次函数性质，判断极值点的存在性。
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，则，
又因为，则，即，可得，
则，
且，可得，
所以，的夹角为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量垂直的性质与向量夹角的计算，核心是利用向量垂直的条件求出，再代入夹角公式求解。
13．【答案】1013
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时，从0到9共10个数字中任取2个数均可组成1个递减数，
当时，共有个递减数；同理当时，有个递减数；
当时，有个递减数…当时，有个递减数；
故共有个递减数.
故答案为：1013
【分析】本题考查组合计数与二项式系数和的应用，核心是将 “递减数” 的计数问题转化为组合问题，再利用二项式系数和公式求和。
14．【答案】.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为，
在等边中，为的中点，
在正三棱柱中，平面，
平面，，
，，平面，平面，
连接，取的中点，连接，，平面，
点到平面的距离为，
在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上，
又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，
点在侧而的运动轨迹为，其长度为，
同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为，
点在上底面的运动轨迹为，其长度为，
点在下底面的运动轨迹为，其长度为，
综上，的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】本题考查立体几何中的轨迹问题，核心是利用“直径所对的圆周角为直角”，将转化为点在以为直径的球面上，再求该球面与正三棱柱表面的交线长度。
15．【答案】（1）解：在中，由正弦定理得，
，，
又，，
又的面积， 解得，
故.
（2）解：由（1）知，
为直角三角形，
在中，，
，
在中，由余弦定理，得，
，
的周长为.
故的周长为：.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先用正弦定理求出，再结合三角形面积公式求解；
(2) 先判断为直角三角形，求出和，再用余弦定理求，进而得到的周长。
（1）在中，由正弦定理得，
，，
又，，
又的面积， 解得，
故.
（2）由（1）知，
为直角三角形，
在中，，
，
在中，由余弦定理，得，
，
的周长为.
故的周长为：.
16．【答案】（1）解：列联表如下：
优质品 非优质品 合计
甲生产线 450 150 600
乙生产线 400 200 600
合计 850 350 1200
零假设：产品是否优质与生产线无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关.
（2）解：由已知得，甲生产线中产品的优质品率为，
所有可能取值为0，1，2，3，4，.
所以，则，，
故的分布列为
0 1 2 3 4
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 先构建列联表，再计算卡方统计量，与临界值比较判断是否有关；
(2) 先确定X服从二项分布，再计算各取值的概率，得到分布列和数学期望。
（1）列联表如下：
优质品 非优质品 合计
甲生产线 450 150 600
乙生产线 400 200 600
合计 850 350 1200
零假设：产品是否优质与生产线无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关.
（2）由已知得，甲生产线中产品的优质品率为，
所有可能取值为0，1，2，3，4，.
所以，则，，
故的分布列为
0 1 2 3 4
.
17．【答案】（1）解：（1）连接，交于点，
在菱形中，，，O为AC、BD中点，，则是等边三角形，BP=DP，所以
，，平面，故平面，平面，
，又是的中点，，
又，、平面，所以平面，
平面，所以平面平面
（2）解：（2）以O为原点，OA、OB、OP为轴建系，菱形边长为2，
在边长为2的菱形中，，，
，，，
，，，
设，，
，解得，
折叠过程中，，，解得，
，，，
由（1）知平而，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为。
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 借助面面垂直判定定理，通过 “线面垂直推导面面垂直”。利用菱形、等边三角形性质找线线垂直，证得AP⊥平面BDE，再结合AP 平面ABP，完成面面垂直证明。
（2）建空间直角坐标系→求平面法向量→利用法向量夹角公式计算二面角余弦值。
（1）连接，交于点，连接，，
在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，
又，是等边三角形，
，，
又，，平面，平面，
平面，，
，又是的中点，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面；
（2）在边长为2的菱形中，，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设，，
，解得，
又折叠过程中，，，解得，
，，，
由（1）知平而，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：由题意得，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，
将，代入得：，解得，
，的渐近线方程为；
（2）解：设，，则，
由于，则，
显然，可得，且，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为16；
（3）证明：显然，直线，
即，
其中，，
即，，
故点到直线的距离为
，
存在定圆与直线相切.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先根据双曲线焦点位置判断经过的点，再代入方程求参数，进而得到渐近线方程；
(2) 设点坐标，利用垂直条件和双曲线方程，通过均值不等式求面积最小值；
(3) 求原点到直线AB的距离，证明其为定值，从而确定定圆方程。
（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，
将，代入得：，解得，
，的渐近线方程为；
（2）设，，则，
由于，则，
显然，可得，且，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为16；
（3）显然，直线，
即，
其中，，
即，，
故点到直线的距离为
，
存在定圆与直线相切.
19．【答案】（1）证明：由题设得，
不难知道，且，
曲线在点处的切线方程为，
即直线与曲线相切.
（2）解：由题设得，
令，
①若，则，
故在区间单调递增，
令，则，或，
当时，；当时，.
当时，；当时，.
当且仅当，
，故，即.
②若，则，
恒成立，
，
当时，；当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，解得.
③时，由题设得，
当时，，单调递减，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）证明：由（2）可知，，且或由（2）不难知道，当时，，，
直线的方程为，即，
由得（*），
显然，是方程（*）的两个相异实数解，且.
下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点，
易知，令，则，
在区间单调递增，
，，
在区间有唯一零点，不妨设该零点为，
当时，，即；当时，，即.
在区间单调递减，在区间单调递增.
，，，又，，
在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点，
方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 求函数导数，验证在点(a，0)处的切线方程；
(2) 根据导数非负恒成立，分a>0和a<0两种情况讨论，求参数范围；
(3) 写出直线AB的方程，构造函数证明其与曲线有第三个交点。
（1）由题设得，
不难知道，且，
曲线在点处的切线方程为，
即直线与曲线相切.
（2）由题设得，
令，
①若，则，
故在区间单调递增，
令，则，或，
当时，；当时，.
当时，；当时，.
当且仅当，
，故，即.
②若，则，
恒成立，
，
当时，；当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，解得.
③时，由题设得，
当时，，单调递减，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）由（2）可知，，且或
由（2）不难知道，当时，，，
直线的方程为，即，
由得（*），
显然，是方程（*）的两个相异实数解，且.
下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点，
易知，令，则，
在区间单调递增，
，，
在区间有唯一零点，不妨设该零点为，
当时，，即；当时，，即.
在区间单调递减，在区间单调递增.
，，，又，，
在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点，
方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为.
1 / 1广东省深圳市罗湖区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得集合，
集合，
所以.
故答案为：B.
【分析】本题考查集合的运算与对数不等式的求解，核心是先分别求出集合A和B，再求它们的交集。
2．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：根据题意，，则.
故答案为：A.
【分析】本题考查复数的除法运算与共轭复数的概念，核心是先求出复数，再利用共轭复数的性质计算。
3．已知函数则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：根据题意，.
故答案为：B
【分析】本题考查分段函数的嵌套求值，核心是由内到外、分层计算，先根据自变量的取值选择对应的分段函数，再依次求解内层和外层函数值。
4．已知根据如下数据，可得到关于的经验回归方程为，则3号观测的残差（精确到0.1）为（　　）
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2
18.8 19.2 21.0 21.0 22.1 22.1 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7
A．0.5 B． C．0.6 D．
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：根据经验回归方程为，
3号观测的预测值为，
则3号观测的残差为.
故答案为：C
【分析】本题考查回归分析中残差的计算，核心是先利用回归方程求出预测值，再根据残差的定义计算结果。
5．记等比数列的前项和为，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列的前项和为，若，设等比数列公比为，
则
，
当时，则的最小值为.
故答案为：D.
【分析】本题考查等比数列前项和的性质与二次函数求最值，核心是利用等比数列的片段和性质，将转化为关于的二次函数，再求其最小值。
6．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：已知，根据二倍角公式，
令，则可得：，
根据三角函数诱导公式，对进行变形可得：
令，则，
由，所以.
故答案为：A.
【分析】本题考查三角恒等变换，核心是通过二倍角公式和诱导公式，将目标角转化为已知角的形式来求解。
7．在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的斜率；抛物线的定义；抛物线的标准方程
【解析】【解答】由题意可知：，因为，且，可知为锐角，
则，
设，则，
则，整理可得，解得或（舍去），
所以的横坐标为.
故答案为：C.
【分析】本题考查抛物线的几何性质与三角函数的应用，核心是利用三角函数值求出直线FM的斜率，再结合抛物线方程求解点M的横坐标。
8．设，，为函数的3个相邻零点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，则的最小正周期为，可知，
又因为，可得，
即，且，
且，可知或为的零点，
若为的零点，则，
可得，且，可得，
若为的零点，则，
可得，这与矛盾；
综上所述：.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角函数的零点、周期与三角恒等变换，核心是利用零点间距与周期的关系，结合函数零点的定义求解φ。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知椭圆，双曲线的离心率分别为，，则（　　）
A．的焦距小于的焦距 B．可能为等轴双曲线
C． D．与恰有四个公共点
【答案】A,C
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A：根据题意，椭圆，半焦距，
的焦距为，双曲线，半焦距，
的焦距为，显然，A正确；
B：因为，所以不可能为等轴双曲线，B错误；
C：，则，C正确；
D：因为椭圆中，双曲线中，
则与只有和两个交点，D错误.
故答案为：AC
【分析】A：分别计算椭圆与双曲线的焦距并比较大小；B：根据等轴双曲线的定义判断；C：分别计算与，验证和是否为2；D：根据椭圆与双曲线的取值范围判断公共点个数。
10．已知事件，满足，，则（　　）
A．
B．若，则
C．若与相互独立，则
D．若，则
【答案】B,C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，，
A：因为，当且仅当时，等号成立，故A错误；
B：若，则，故B正确；
C：若与相互独立，则与相互独立，所以，故C正确；
D：因为，可得，又因为，
所以，故D错误；
故答案为：CD.
【分析】A：利用概率加法公式分析；B：利用事件包含关系的概率性质判断；C：利用独立事件的性质计算；D：利用条件概率公式运算求解。
11．已知函数，则（　　）
A．当，且时，没有零点
B．曲线是中心对称图形
C．当时，在定义域内是单调函数
D．当时，函数既有极大值，又有极小值
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A：当，且时，，
，，函数没有零点，故A正确；
B：当时，，曲线为直线，显然是中心对称图形；
当时，，，记的定义域为，
不难知道，当时，必有，且当时，必有，
又，，
曲线是中心对称图形，对称中心为，故B正确；
C：当，时，的定义域为，恒有，
在区间和上单调递增，在内单调递减；
同理可知当，时，在区间和上单调递减，在内单调递增.
在定义域内非单调函数，故C错误；
D：，当，时，令，
∵，解得定义域为或.
，存在，使得，
，，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数既有极大值，又有极小值，
同理，当，时，可知亦既有极大值，又有极小值，故D正确；
故答案为：ABD.
【分析】A：根据对数的性质判断函数零点；B：通过证明，判断函数的中心对称性；C：求导后根据的符号，分析导数在定义域内的符号，判断单调性；D：根据导数对应的二次函数性质，判断极值点的存在性。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，满足，，若，则，的夹角为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为，，则，
又因为，则，即，可得，
则，
且，可得，
所以，的夹角为.
故答案为：.
【分析】本题考查向量垂直的性质与向量夹角的计算，核心是利用向量垂直的条件求出，再代入夹角公式求解。
13．若一个位数，各位数从高到低分别为，且满足，我们便将其称之为“递减数”.则正整数之中的“递减数”共有　 　个.
【答案】1013
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，当时，从0到9共10个数字中任取2个数均可组成1个递减数，
当时，共有个递减数；同理当时，有个递减数；
当时，有个递减数…当时，有个递减数；
故共有个递减数.
故答案为：1013
【分析】本题考查组合计数与二项式系数和的应用，核心是将 “递减数” 的计数问题转化为组合问题，再利用二项式系数和公式求和。
14．已知正三棱柱的底面边长为6，侧棱长为3，点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，若，则的轨迹长度为　 　.
【答案】.
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意知，点在以线段为直径的球与正三棱柱表面的交线上，如图，取的中点，过点作，垂足为，
在等边中，为的中点，
在正三棱柱中，平面，
平面，，
，，平面，平面，
连接，取的中点，连接，，平面，
点到平面的距离为，
在平面中，点在以为圆心，以为半径的圆上，
又点在该三棱柱的表面上（不包含顶点处）运动，
点在侧而的运动轨迹为，其长度为，
同理，点在侧面的运动轨迹为，共长度为，
点在上底面的运动轨迹为，其长度为，
点在下底面的运动轨迹为，其长度为，
综上，的轨迹长度为.
故答案为：.
【分析】本题考查立体几何中的轨迹问题，核心是利用“直径所对的圆周角为直角”，将转化为点在以为直径的球面上，再求该球面与正三棱柱表面的交线长度。
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在中，，，，在边上，的面积为.
（1）求：
（2）求的周长.
【答案】（1）解：在中，由正弦定理得，
，，
又，，
又的面积， 解得，
故.
（2）解：由（1）知，
为直角三角形，
在中，，
，
在中，由余弦定理，得，
，
的周长为.
故的周长为：.
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 先用正弦定理求出，再结合三角形面积公式求解；
(2) 先判断为直角三角形，求出和，再用余弦定理求，进而得到的周长。
（1）在中，由正弦定理得，
，，
又，，
又的面积， 解得，
故.
（2）由（1）知，
为直角三角形，
在中，，
，
在中，由余弦定理，得，
，
的周长为.
故的周长为：.
16．已知某车间有甲、乙两条生产线生产相同型号的产品.质检人员分别从甲、乙两条生产线各抽取了600件产品，其中甲生产线有优质品450件，非优质品150件：乙生产线有优质品400件，非优质品200件.
（1）根据小概率值的独立性检验，能否判断产品是否优质与生产线有关；
（2）用频率估计概率，每次从甲生产线中有放回地抽取1件产品，共抽取4次，记抽取到优质品的次数为，求的分布列及数学期望.
附：，.
【答案】（1）解：列联表如下：
优质品 非优质品 合计
甲生产线 450 150 600
乙生产线 400 200 600
合计 850 350 1200
零假设：产品是否优质与生产线无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关.
（2）解：由已知得，甲生产线中产品的优质品率为，
所有可能取值为0，1，2，3，4，.
所以，则，，
故的分布列为
0 1 2 3 4
.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1) 先构建列联表，再计算卡方统计量，与临界值比较判断是否有关；
(2) 先确定X服从二项分布，再计算各取值的概率，得到分布列和数学期望。
（1）列联表如下：
优质品 非优质品 合计
甲生产线 450 150 600
乙生产线 400 200 600
合计 850 350 1200
零假设：产品是否优质与生产线无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为产品是否优质与生产线有关.
（2）由已知得，甲生产线中产品的优质品率为，
所有可能取值为0，1，2，3，4，.
所以，则，，
故的分布列为
0 1 2 3 4
.
17．如图1，菱形的边长为2，，将沿折起至（如图2），且点为的中点.
（1）证明：平面平面：
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）解：（1）连接，交于点，
在菱形中，，，O为AC、BD中点，，则是等边三角形，BP=DP，所以
，，平面，故平面，平面，
，又是的中点，，
又，、平面，所以平面，
平面，所以平面平面
（2）解：（2）以O为原点，OA、OB、OP为轴建系，菱形边长为2，
在边长为2的菱形中，，，
，，，
，，，
设，，
，解得，
折叠过程中，，，解得，
，，，
由（1）知平而，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为。
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 借助面面垂直判定定理，通过 “线面垂直推导面面垂直”。利用菱形、等边三角形性质找线线垂直，证得AP⊥平面BDE，再结合AP 平面ABP，完成面面垂直证明。
（2）建空间直角坐标系→求平面法向量→利用法向量夹角公式计算二面角余弦值。
（1）连接，交于点，连接，，
在菱形中，，，且既是的中点，也是的中点，
又，是等边三角形，
，，
又，，平面，平面，
平面，，
，又是的中点，，
又，、平面，平面，
平面，平面平面；
（2）在边长为2的菱形中，，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作平而，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设，，
，解得，
又折叠过程中，，，解得，
，，，
由（1）知平而，
平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，
取，则，，，
设平面与平面夹角为，则，
平面与平面夹角的余弦值为.
18．已知双曲线经过，，三个点中的两个，若为原点，点在上，点在直线上，且.
（1）求的渐近线方程：
（2）求面积S的最小值：
（3）证明：直线与定圆相切，并求出该定圆的方程.
【答案】（1）解：由题意得，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，
将，代入得：，解得，
，的渐近线方程为；
（2）解：设，，则，
由于，则，
显然，可得，且，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为16；
（3）证明：显然，直线，
即，
其中，，
即，，
故点到直线的距离为
，
存在定圆与直线相切.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 先根据双曲线焦点位置判断经过的点，再代入方程求参数，进而得到渐近线方程；
(2) 设点坐标，利用垂直条件和双曲线方程，通过均值不等式求面积最小值；
(3) 求原点到直线AB的距离，证明其为定值，从而确定定圆方程。
（1）由题意，双曲线的焦点在轴上，不可能经过点，
将，代入得：，解得，
，的渐近线方程为；
（2）设，，则，
由于，则，
显然，可得，且，，
，
当且仅当，时，等号成立，
的最小值为16；
（3）显然，直线，
即，
其中，，
即，，
故点到直线的距离为
，
存在定圆与直线相切.
19．已知函数.
（1）证明：当时，直线与曲线相切；
（2）若是增函数，求实数的取值范围；
（3）设，且，分别为的极大值点和极小值点，记，，证明：直线与曲线有异于，的交点.
【答案】（1）证明：由题设得，
不难知道，且，
曲线在点处的切线方程为，
即直线与曲线相切.
（2）解：由题设得，
令，
①若，则，
故在区间单调递增，
令，则，或，
当时，；当时，.
当时，；当时，.
当且仅当，
，故，即.
②若，则，
恒成立，
，
当时，；当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，解得.
③时，由题设得，
当时，，单调递减，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）证明：由（2）可知，，且或由（2）不难知道，当时，，，
直线的方程为，即，
由得（*），
显然，是方程（*）的两个相异实数解，且.
下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点，
易知，令，则，
在区间单调递增，
，，
在区间有唯一零点，不妨设该零点为，
当时，，即；当时，，即.
在区间单调递减，在区间单调递增.
，，，又，，
在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点，
方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 求函数导数，验证在点(a，0)处的切线方程；
(2) 根据导数非负恒成立，分a>0和a<0两种情况讨论，求参数范围；
(3) 写出直线AB的方程，构造函数证明其与曲线有第三个交点。
（1）由题设得，
不难知道，且，
曲线在点处的切线方程为，
即直线与曲线相切.
（2）由题设得，
令，
①若，则，
故在区间单调递增，
令，则，或，
当时，；当时，.
当时，；当时，.
当且仅当，
，故，即.
②若，则，
恒成立，
，
当时，；当时，，
在区间单调递减，在区间单调递增，
，
，解得.
③时，由题设得，
当时，，单调递减，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（3）由（2）可知，，且或
由（2）不难知道，当时，，，
直线的方程为，即，
由得（*），
显然，是方程（*）的两个相异实数解，且.
下面证明方程（*）有第三个不同实数解，即证明函数有异于的零点，
易知，令，则，
在区间单调递增，
，，
在区间有唯一零点，不妨设该零点为，
当时，，即；当时，，即.
在区间单调递减，在区间单调递增.
，，，又，，
在区间有且仅有一个零点，在区间有且仅有一个零点，
方程（*）的解集为，即直线与曲线有异于，的交点，且该点的横坐标为.
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