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广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年高二下学期7月期末学科能力测试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，若，则实数（　　）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，向量，则，
因为，可得，解得．
故答案为：C.
【分析】本题考查向量垂直的坐标运算，核心是先求出的坐标，再利用向量垂直的条件建立方程求解。
2．二项式的展开式中的系数为（　　）
A．160 B．60 C． D．
【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项式定理的通项公式得，
令，解得，所以的系数为．
故答案为：B.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式，核心是利用通项公式求出x3项对应的参数k，再计算系数。
3．某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（　　）
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 m
A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元
【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，关于的回归直线方程为，
所以，故，解得，
所以当时，，则．
故答案为：
【分析】本题考查回归直线方程与残差的计算，核心是利用回归直线过样本中心点的性质求出未知数据，再根据残差的定义计算结果。
4．已知角终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：根据三角函数定义，可得，
则．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角函数的定义与齐次式化简，核心是利用终边上的点求出tanα，再通过三角恒等变换化简目标表达式。
5．记为等差数列的前n项和，若，则（　　）
A．255 B．127 C．66 D．39
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设该等差数列首项为，公差为，则，
，所以，
，，
所以．
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列前项和的性质，核心是利用等差数列中也成等差数列的性质来求解。
6．“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗．今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：购买的6个粽子种类各不相同的概率为，
购买的6个粽子种类恰有一个相同的概率为，
所以，总概率为．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，分购买的6个粽子种类各不相同和购买的6个粽子种类恰有一个相同，再利用组合数个数和古典概率公式，从而分别得出其概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出购买的6个粽子中至多有一种相同的概率.
7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图，
由题意，可得，
知P，Q两点关于坐标原点O对称，
所以O为线段PQ的中点，
则，
所以为直角三角形，
由题意，则，
设，
则，
解得或（舍），
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合点与点关于点对称的方法，从而判断出点O为线段PQ的中点，再利用直角三角形定义判断出的形状，再结合正切函数的定义、二倍角的正切公式得出的值，从而得出边长之比，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线C的离心率的值.
8．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，函数的定义域为，
因为导函数为，
又因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
若，则当时，矛盾，
所以，与同号，
则，
所以，
则，
令，
则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为．
故答案为：A.
【分析】利用恒成立结合导数正负判断函数的单调性，则讨论分析得到、的关系式，再化简代入，从而得到的函数，进而构造函数为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2
B．若数据的标准差为s，则数据的标准差为
C．随机变量，若，则
D．随机变量，若，则
【答案】A,B,C
【知识点】二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据从小到大排列为，共有9个数据，因为，所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，A正确；
B，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，B正确；
C，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，C正确；
D，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，
当时，可得；当时，可得，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】A：根据下四分位数（25% 分位数）的定义计算；B：根据数据标准差的线性性质判断；C：根据正态分布的对称性求解概率；D：由二项分布方差公式求参数p，再计算期望。
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（　　）
A．F的坐标为 B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：
A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，A错误；
B，由抛物线的方程得，由定义可得，B正确；
C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，C正确；
D，联立，得，解得，所以，由，D错误．
故答案为：BC.
【分析】A：根据抛物线标准方程求焦点坐标；B：利用抛物线定义求焦半径长；C：求出直线、与准线的交点、，再计算；D：分别计算和的面积并比较大小。
11．对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（　　）
A．
B．若p为质数，则数列为等比数列
C．数列的前5项和等于
D．，使得
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个），
减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，；
与25不互质的只有5的倍数（5个），所以，
所以，故A正确；
B，设为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数，
所以互质的数的数目为，
故，所以为常数，
所以数列为等比数列，故B正确；
C，根据选项B可知，，数列的前5项和为，故C错误；
D，，，4不是质数，，即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】A：根据欧拉函数的定义直接计算；B：利用欧拉函数公式，结合等比数列定义判断；C：根据B的结论写出通项，再计算数列的前5项和；D：代入具体值，验证等式是否成立。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列满足，则　 　．
【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：时，，
与原式相减得，则，
经检验，时也成立，故，即．
故答案为：.
【分析】本题考查数列通项公式的求解，核心是利用递推关系，通过作差法消去前n-1项的和，求出数列的通项公式。
13．直线与函数和的图象都相切，则　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与函数图象的切点为，
又，所以，直线的方程可表示为，
即，故，
设直线与函数图象的切点为，
又，所以，直线的方程可表示为，
即，故，
所以，由可得，
所以，解得，故，
则，故.
故答案为：.
【分析】本题考查导数的几何意义与公切线问题，核心是利用切线方程表示直线y=kx+b，再根据两条切线为同一直线，建立方程组求解k和b。
14．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为　 　．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为每次爬行有3种选择，
所以5次爬行共有种情况，
考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况：
①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况；
②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走，
以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个，
蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种，
则三个三角形共有种，
所以，蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为．
故答案为：.
【分析】根据题意，先计算所有情况共有的种数，再利用对立事件计算出没有走遍四个点的情况再利用古典概率和对立事件求概率公式，从而得出蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，平分交于点D，求的长．
【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因为，所以，
即．
又，所以．
又，所以．
（2）解：由，知．
由角平分线得．
因为，
所以，
即，
解得．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理、三角恒等变换化简已知等式，求出角A；
(2) 先由勾股定理求出边b，再利用等面积法求角平分线AD的长度。
（1）由正弦定理得，，
因为，所以，
即．
又，所以．
又，所以．
（2）由，知．
由角平分线得．
因为，
所以，
即，
解得．
16．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）解：由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先确定从 8 题中抽 4 题时，答对 3 题或 4 题的组合数，再结合甲能答对 5 题的条件，用古典概型计算进入决赛的概率。
(2) 根据决赛答题规则，确定奖金的可能取值，利用二项分布计算每个取值的概率，再列分布列、求数学期望。
（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
17．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，，
则函数的导函数为，
所以，
则函数在处的切线方程为，即．
（2）解：由任意，，知恒成立，
因为，所以，
则在上恒成立，
设，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，且，
若在上恒成立，
则，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用代入法得出的值，再由导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）将已知条件转化为在上恒成立，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）时，，，
函数的导函数为，故，
所以函数在处的切线方程为，即．
（2）由任意，知恒成立．
因为，所以，
故在上恒成立．
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是．
18．如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面夹角正弦值的最大值．
【答案】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先证明线面垂直，再推导出面面垂直；
(2) 建立空间直角坐标系，通过法向量计算平面夹角的余弦值；
(3) 设点坐标，利用向量夹角公式求线面角正弦值的最大值。
（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
19．已知椭圆过点，右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B．
（i）证明：．
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意，椭圆右焦点，可得，
过点，可得，
由，整理得，
得，
所以，
则椭圆的方程为．
（2）（i）证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
（ii）解：由对称性，不妨设，在第一象限，
由直线与椭圆方程联立，得，
所以，
则．
设直线与倾斜角分别为，
则，
所以，
由(i)可得，，
令，
则，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合右焦点坐标得出c的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而可得椭圆E的方程.
（2）（i）根据椭圆的对称性，设点的坐标为，从而得出点的坐标为，设，利用点差法可得，再由直线的斜率公式可得，再代入可得则根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出.
（ⅱ）由椭圆的对称性，不妨设，则在第一象限，再联立直线方程和曲线方程以及两点距离公式，从而求出，再利用，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
（1）由题意椭圆右焦点可得，
过点可得，
由整理得，得，
所以，椭圆的方程为．
（2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
(ii)解：由对称性不妨设，在第一象限，
由与椭圆联立得，
所以，则．
设直线与倾斜角分别为，则，
所以，
由(i)，，
令，则
，
当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，因此，
即的最大值为．
1 / 1广东省深圳市深圳外国语学校2024-2025学年高二下学期7月期末学科能力测试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，若，则实数（　　）
A． B．2 C． D．1
2．二项式的展开式中的系数为（　　）
A．160 B．60 C． D．
3．某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（　　）
第x年 1 2 3 4 5 6 7
利润y/亿元 m
A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元
4．已知角终边上一点，则（　　）
A． B． C． D．3
5．记为等差数列的前n项和，若，则（　　）
A．255 B．127 C．66 D．39
6．“端午节”是我国四大传统节日之一，吃粽子、赛龙舟、挂艾草等均是端午节的习俗．今年端午节，兄妹两人一起去超市购买粽子，若他们分别从“鲜肉粽、腊肉粽、蛋黄粽、原味粽、赤豆粽、八宝粽”六种粽子里各自挑选三种并各购买一个，则购买的6个粽子中至多有一种相同的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．已知函数在R上单调递增，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（　　）
A．数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2
B．若数据的标准差为s，则数据的标准差为
C．随机变量，若，则
D．随机变量，若，则
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（　　）
A．F的坐标为 B．
C． D．
11．对于正整数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如（10与1，3，7，9均互质），则（　　）
A．
B．若p为质数，则数列为等比数列
C．数列的前5项和等于
D．，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数列满足，则　 　．
13．直线与函数和的图象都相切，则　 　．
14．一只蚂蚁从正四面体的顶点A出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，若它选择三个方向爬行的概率相等，则蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求A；
（2）若，平分交于点D，求的长．
16．是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰．
（1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率；
（2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望．
17．已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
18．如图，已知菱形和等边三角形有公共边，点B在线段上，与交于点O，将沿着翻折成，得到四棱锥，．
（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
（3）求直线与平面夹角正弦值的最大值．
19．已知椭圆过点，右焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B．
（i）证明：．
（ⅱ）求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由题意得，向量，则，
因为，可得，解得．
故答案为：C.
【分析】本题考查向量垂直的坐标运算，核心是先求出的坐标，再利用向量垂直的条件建立方程求解。
2．【答案】B
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：由二项式定理的通项公式得，
令，解得，所以的系数为．
故答案为：B.
【分析】本题考查二项式定理的通项公式，核心是利用通项公式求出x3项对应的参数k，再计算系数。
3．【答案】A
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意得，，关于的回归直线方程为，
所以，故，解得，
所以当时，，则．
故答案为：
【分析】本题考查回归直线方程与残差的计算，核心是利用回归直线过样本中心点的性质求出未知数据，再根据残差的定义计算结果。
4．【答案】D
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：根据三角函数定义，可得，
则．
故答案为：D.
【分析】本题考查三角函数的定义与齐次式化简，核心是利用终边上的点求出tanα，再通过三角恒等变换化简目标表达式。
5．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设该等差数列首项为，公差为，则，
，所以，
，，
所以．
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列前项和的性质，核心是利用等差数列中也成等差数列的性质来求解。
6．【答案】A
【知识点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：购买的6个粽子种类各不相同的概率为，
购买的6个粽子种类恰有一个相同的概率为，
所以，总概率为．
故答案为：A.
【分析】利用已知条件，分购买的6个粽子种类各不相同和购买的6个粽子种类恰有一个相同，再利用组合数个数和古典概率公式，从而分别得出其概率，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出购买的6个粽子中至多有一种相同的概率.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：不妨设点P在第一象限，连接FP，FQ，PF1，如图，
由题意，可得，
知P，Q两点关于坐标原点O对称，
所以O为线段PQ的中点，
则，
所以为直角三角形，
由题意，则，
设，
则，
解得或（舍），
所以，
则．
故答案为：B.
【分析】根据已知条件结合点与点关于点对称的方法，从而判断出点O为线段PQ的中点，再利用直角三角形定义判断出的形状，再结合正切函数的定义、二倍角的正切公式得出的值，从而得出边长之比，再结合双曲线的离心率公式得出双曲线C的离心率的值.
8．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，函数的定义域为，
因为导函数为，
又因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
若，则当时，矛盾，
所以，与同号，
则，
所以，
则，
令，
则，
令，则；令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则的最小值为．
故答案为：A.
【分析】利用恒成立结合导数正负判断函数的单调性，则讨论分析得到、的关系式，再化简代入，从而得到的函数，进而构造函数为，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而得出的最小值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】二项分布；正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：A，数据从小到大排列为，共有9个数据，因为，所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，A正确；
B，数据的标准差为，由数据方差的性质，可得数据的标准差为，B正确；
C，随机变量服从正态分布，且，根据正态分布曲线的对称性，可得，C正确；
D，随机变量服从二项分布，且，可得，解得或，
当时，可得；当时，可得，D错误．
故答案为：ABC.
【分析】A：根据下四分位数（25% 分位数）的定义计算；B：根据数据标准差的线性性质判断；C：根据正态分布的对称性求解概率；D：由二项分布方差公式求参数p，再计算期望。
10．【答案】B,C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：
A，由抛物线，可得，所以，且焦点在轴正半轴上，则焦点，A错误；
B，由抛物线的方程得，由定义可得，B正确；
C，直线的方程分别为，，分别与联立得，，所以，C正确；
D，联立，得，解得，所以，由，D错误．
故答案为：BC.
【分析】A：根据抛物线标准方程求焦点坐标；B：利用抛物线定义求焦半径长；C：求出直线、与准线的交点、，再计算；D：分别计算和的面积并比较大小。
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【解答】解：A，与20不互质的是2的倍数（10个）以及5的倍数（4个），
减去重复计数的10的倍数（2个），总共12个，；
与25不互质的只有5的倍数（5个），所以，
所以，故A正确；
B，设为质数，则小于等于的正整数中与不互质的数只有的倍数，
所以互质的数的数目为，
故，所以为常数，
所以数列为等比数列，故B正确；
C，根据选项B可知，，数列的前5项和为，故C错误；
D，，，4不是质数，，即判断是否存在使得，观察得到时等式成立，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】A：根据欧拉函数的定义直接计算；B：利用欧拉函数公式，结合等比数列定义判断；C：根据B的结论写出通项，再计算数列的前5项和；D：代入具体值，验证等式是否成立。
12．【答案】
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：时，，
与原式相减得，则，
经检验，时也成立，故，即．
故答案为：.
【分析】本题考查数列通项公式的求解，核心是利用递推关系，通过作差法消去前n-1项的和，求出数列的通项公式。
13．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设直线与函数图象的切点为，
又，所以，直线的方程可表示为，
即，故，
设直线与函数图象的切点为，
又，所以，直线的方程可表示为，
即，故，
所以，由可得，
所以，解得，故，
则，故.
故答案为：.
【分析】本题考查导数的几何意义与公切线问题，核心是利用切线方程表示直线y=kx+b，再根据两条切线为同一直线，建立方程组求解k和b。
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为每次爬行有3种选择，
所以5次爬行共有种情况，
考虑5次爬行之后仍未走遍所有顶点，有以下两种情况：
①走了2个顶点，即只在顶点与另一个顶点来回走，总共只有3种情况；
②走了3个顶点，即沿着一个正三角形的边走，
以为顶点的正三角形共有三个，选定其中一个，
蚂蚁每次路径有2种选法，再去掉仅在2个顶点来回走的情况，有种，
则三个三角形共有种，
所以，蚂蚁爬行5次后走遍所有顶点的概率为．
故答案为：.
【分析】根据题意，先计算所有情况共有的种数，再利用对立事件计算出没有走遍四个点的情况再利用古典概率和对立事件求概率公式，从而得出蚂蚁爬行5次后走遍四个顶点（初始顶点A视为已走过）的概率.
15．【答案】（1）解：由正弦定理得，，
因为，所以，
即．
又，所以．
又，所以．
（2）解：由，知．
由角平分线得．
因为，
所以，
即，
解得．
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理、三角恒等变换化简已知等式，求出角A；
(2) 先由勾股定理求出边b，再利用等面积法求角平分线AD的长度。
（1）由正弦定理得，，
因为，所以，
即．
又，所以．
又，所以．
（2）由，知．
由角平分线得．
因为，
所以，
即，
解得．
16．【答案】（1）解：记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）解：由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1) 先确定从 8 题中抽 4 题时，答对 3 题或 4 题的组合数，再结合甲能答对 5 题的条件，用古典概型计算进入决赛的概率。
(2) 根据决赛答题规则，确定奖金的可能取值，利用二项分布计算每个取值的概率，再列分布列、求数学期望。
（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为，
，，
记甲进入决赛为事件，
则甲进入决赛的概率为．
（2）由题可知的取值为，
所以，，
，，
所以的分布列如下：
（元），
即甲获得奖金的数学期望为元．
17．【答案】（1）解：当时，，，
则函数的导函数为，
所以，
则函数在处的切线方程为，即．
（2）解：由任意，，知恒成立，
因为，所以，
则在上恒成立，
设，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
又因为，
则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
则当时，取得极小值，也是最小值，且，
若在上恒成立，
则，
所以，实数的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用代入法得出的值，再由导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出函数在处的切线方程.
（2）将已知条件转化为在上恒成立，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而求出函数的最小值，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（1）时，，，
函数的导函数为，故，
所以函数在处的切线方程为，即．
（2）由任意，知恒成立．
因为，所以，
故在上恒成立．
设，则，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
故当时，取得极小值，也是最小值，且，
所以若在上恒成立，则，
故实数的取值范围是．
18．【答案】（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）解：由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
【知识点】直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1) 先证明线面垂直，再推导出面面垂直；
(2) 建立空间直角坐标系，通过法向量计算平面夹角的余弦值；
(3) 设点坐标，利用向量夹角公式求线面角正弦值的最大值。
（1）证明：连接BD，由菱形和等边三角形有公共边，可知，
且，，即，
则四边形为菱形，
所以，故翻折后，
因为，且都在平面内，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知平面，平面，
则平面平面，
如图，在平面中过点作，
又平面平面，
所以平面，故两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
因为，所以为等边三角形，，
则，，，，
设平面与平面夹角为，
法向量分别为，，
则，取得；
，取得，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
（3）由（2）知在平面上且，
可设，
则，，，
设平面法向量为，
则，
取得，
设与平面夹角为，
则，
令，则，
当且仅当，即时成立，
所以直线与平面夹角正弦值的最大值为．
19．【答案】（1）解：由题意，椭圆右焦点，可得，
过点，可得，
由，整理得，
得，
所以，
则椭圆的方程为．
（2）（i）证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
（ii）解：由对称性，不妨设，在第一象限，
由直线与椭圆方程联立，得，
所以，
则．
设直线与倾斜角分别为，
则，
所以，
由(i)可得，，
令，
则，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
因此，
所以的最大值为．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合右焦点坐标得出c的值，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而求出的值，进而可得椭圆E的方程.
（2）（i）根据椭圆的对称性，设点的坐标为，从而得出点的坐标为，设，利用点差法可得，再由直线的斜率公式可得，再代入可得则根据两直线垂直斜率之积等于-1，从而证出.
（ⅱ）由椭圆的对称性，不妨设，则在第一象限，再联立直线方程和曲线方程以及两点距离公式，从而求出，再利用，令，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出的最大值.
（1）由题意椭圆右焦点可得，
过点可得，
由整理得，得，
所以，椭圆的方程为．
（2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为，
设，则有，，
两式相减得：，
又，，，
又，，
又，，因此，．
(ii)解：由对称性不妨设，在第一象限，
由与椭圆联立得，
所以，则．
设直线与倾斜角分别为，则，
所以，
由(i)，，
令，则
，
当时，当时，
即在上单调递增，在上单调递减，因此，
即的最大值为．
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