资源简介

广东省珠海市香洲区文园中学2025-2026学年八年级 （下)期中数学试卷
1．下列式子中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意．
故选B．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式，对选项逐个判断即可．
2．下列计算正确的是 （　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B ：，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D： ，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得出A不正确；化简二次根式可得B不正确；合并同类二次根式可得C不正确；根据积的算术平方根进行化简，可得D正确。
3．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．8，9，10 B．
C．20，21，32 D．6，8，10
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为8，9，10的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴长为20，21，22的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为6，8，10的三条相等可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此求解即可．
4．在正六边形中，下列说法正确的是 （　　)
A．它的内角和是 540° B．它的一个外角为 72 °
C．它具有稳定性 D．它共有 9条对角线
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A：正六边形的内角和是 720°，所以A不正确；
B：正六边形的一个外角=，所以B不正确；
C：只有三角形有稳定性，所以C不正确；
D：正六边形的对角线总条数为：（条），所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据多边形的内角和公式可得出A不正确；根据多边形的外角和公式，可得出B不正确；根据三角形具有稳定性可得出C不正确；根据多边形对角线的意义可得出D正确。
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确，符合题意；
C、一组对角相等无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此一一判断得出答案.
6．如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， 点 D为边 BC的中点， 顶点 B， C分别对应刻度尺上的刻度 2cm和8cm，则 AD 的长为 （　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：BC=8-2=6，
∵ 点 D为边 BC的中点， ∠BAC=90°，
∴AD=
故答案为：A.
【分析】首先根据题意得出BC的长，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出AD的长。
7． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠ABD=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴OC=OA=2，
∴AC=OA+OC=4，
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得：OA=OB=OC=OD，再根据∠ABD=60°，可知△AOB为等边三角形，进而即可得出答案.
8．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=AC=2，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴AB+BC=6，
∵点E是BC的中点，
∴OE=AB，EC=BC，
∴OE+EC=(AB+BC)=3，
∴△COE的周长等于OC+OE+CE=5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OC=OA=AC=2，由平行四边形周长计算公式得AB+BC=6，根据三角形中位线定理得OE=AB，EC=BC，则OE+EC=(AB+BC)=3，最后根据三角形周长计算方法可算出△COE的周长.
9．如图，在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， AC=8， P为边 BC上一动点， PE⊥AB于点 E， PF⊥AC于点 F， M为 EF的中点，则 PM的最小值为（　　)
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：解：连接AP，
由勾股定理可知BC =，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC= 90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴∠EPF = 90°，AP = EF，
∵M是EF的中点，
∴PM=EF=AP，
∴当AP取得最小值时，PM取得最小值.
当AP⊥BC时，AP取得最小值，
此时S=AB×AC=BC.AP即：x6x8=x10xAP，
∴AP的最小值为AP=4.8，
∴PM最小值为PM =AP=2.4
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理可得出BC的长度，进而通过判断四边形AEPF是矩形，可得出PM=EF=AP，进而得出当AP取得最小值时，PM取得最小值.进一步根据面积法即可求得此时AP的长，进一步得出对应的PM的最小值。
10．如图， △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB， CE=CD， △ACB的顶点 A在△ECD的斜边 DE上.下列结论中： ①△ACE≌△BCD；②∠CDB=45°； ③∠DAB=∠ACE； ④AE2+AD2=2AC2， 正确的有（　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠E=45°，
∴∠DCB=∠ECA
在 △ACE和△BCD中：
∴ △ACE≌△BCD； 即 ① 正确；
∴ ∠CDB =∠E=45°，即 ② 正确；∠DCB= ∠ACE，AE=BD，
∴∠CDB=∠CAB
∴点A，C，B，D四点共圆，
∴ ∠DAB=∠DCB=∠ACE；即 ③ 正确； ∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴ BD2+AD2=AB2，
∵2AC2=AC2+BC2=AB2，
∴ AE2+AD2=2AC2。即 ④ 正确。
故答案为：D.
【分析】首先根据SAS可证得△ACE≌△BCD（即①正确）进而得出∠CDB =∠E=45°（即 ② 正确）；进而根据∠CDB=∠CAB，可得出点A，C，B，D四点共圆，进一步得出∠DAB=∠DCB=∠ACE（即 ③ 正确）；进而根据圆内接四边形的性质可得出∠ADB=90°，进而根据勾股定理及等腰直角三角形的性质即可得出结论。
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．已知： 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
∴x+y=，x-y=，
∴=（x+y（x-y）=。
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件求出x+y和x-y的值，进而再根据平方差公式，整体代入即可求得答案。
13．如图，菱形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，若∠ABC=120°， AB=4，则菱形ABCD的面积为　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠BAO=30°，
∵AB=4，
∴BO=2，AO=2，
∴AC=4，BD=4，
∴ 菱形ABCD的面积=。
故答案为：.
【分析】首先根据菱形的性质得出直角三角形ABO，且∠BAO=30°，进而可得出BO=2，AO=2，进而即可得出AC=4，BD=4，进一步根据菱形面积计算公式即可而出答案。
14．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 2尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为　 　尺.
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设芦苇的长度为x尺，根据题意，可得：
x2-（x-2）2=（）2，解得：x=10.
故答案为：10.
【分析】设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理可得出x2-（x-2）2=（）2，解方程求解即可。
15．如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC， ∠B=90°， AD=12cm，BC=13cm，点 P从点 A 出发，以 1cm/s的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3cm/s的速度向点 B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过　 　s，使 PQ=CD.
【答案】3或
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：解：根据题意，点P运动到点D需要12秒，点Q运动到点B需要秒
设经过了xs，PQ=CD，根据题意得，
①当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，此时PQ=CD，
∴12-x = 3x，
整理得，4x=12，
解得x=3，
经检验3＜，
∴x=3符合题意；
②如图所示，当四边形PQCD为等腰梯形时，PQ=CD，
过点P作PM⊥BC，交BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC于点N，
∴QM =CN= BC-AD =13-12=1(cm)
∴QC= PD+ 2，
即3x = 12 -x + 2，
整理得，4x =14，
解得x=，
经检验＜
∴x=符合题意；
综上所述，经过3或s，使PQ=CD.
故答案为：3或。
【分析】首先根据路程除以速度等于时间可得出点P运动到点D需要12秒，点Q运动到点B需要秒，然后设经过了xs，PQ=CD，可分为两种情况：①PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，此时PQ=CD，可得出12-x = 3x，解得x=3；②如图所示，当四边形PQCD为等腰梯形时，PQ=CD，可得出3x = 12 -x + 2，解得x=，经检验均符合题意，即可得出答案。
16．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=+2
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而再合并同类二次根式即可；
（2）首先进行二次根式的除法运算，再进行二次根式的化简，进而再合并同类二次根式即可。
17．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m，宽为2.6m.一辆卡车装满货物后，高为3.6m， 宽为2.4m，它能通过该隧道吗
【答案】解：由图形得半圆O的半径为2m，
作弦EF//AD，且EF=2.4m，作OH⊥EF于H，连接OF，
由OH⊥EF，得HF=1.2m，
在Rt△OHF中，，
∵1.6+2.6=4.2>4，
∴这辆卡车能通过截面如图所示的隧道.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】作弦EF//AD，且EF=2.4m，作OH⊥EF于H，连接OF，在直角三角形OFH中，由勾股定理求出OH，再求出隧道高，就可以判断.
18．如图， E、F、M、N分别是正方形 ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN.求证：四边形 EFMN是正方形.
【答案】解：四边形 EFMN是正方形.
证明： ∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF.
∴EF=EN=NM=MF， ∠ENA=∠DMN.
∴四边形 EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN， ∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°.
∴∠ENM=90°.
∴四边形 EFMN是正方形.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据SAS证得△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF.得出得出EF=EN=NM=MF，进而再证得∠ENM=90°.即可得出四边形 EFMN是正方形.
19．已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广.广播电视塔高 h（单位：km)与广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km)之间存在近似关系 其中 R 是地球半径，
（1）图 1的广州塔的塔高约为 600m，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径 r1.
（2）图 2的中央电视塔塔高约为 400m，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为 r2，求 r1与 r2之比值.
【答案】（1）解：解：600m=0.6km，
∴（km）
即： 从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径 r 1的长为。
（2）解： 400m=0.4km，
∴，
∴
即 r1与 r2之比值 为。
【知识点】二次根式的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先把600m转化成0.6km，进而根据求代数式的值即可；
（2）根据（1）的方法求得r2，进而化简二次根式，即可得出 r1与 r2的比值。
20．如图 1，在平面直角坐标系中点 A坐标是（xA，yA)，点 B坐标是（xB，yB)，作 AC⊥BC得点 C坐标是（xB， yA) ，通过勾股定理 得到任意两点 A，B之间的距离 如图 2，四边形 OABC中 O， A， B， C四点坐标分别是（0， 0) ， （12， 5) ， （17， 17) ， （5， 12) .
（1）求 OA 的长=　 　；
（2）求证：四边形 OABC两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和；
（3）求点 B到直线 OA的距离.
【答案】（1）13
（2）证明：∵O， A， B， C四点坐标分别是（0， 0) ， （12， 5) ， （17， 17) ， （5， 12) ，
∴四边形 OABC两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和点
（3）解：(3)解： 由（2）知：OA = AB = BC = CO =13，
∴四边形OABC是菱形，
∴S菱形OABC=OB· AC =119，
设点B到直线OA的距离为h，
∴S菱形OABC=OA·h，
∴119=13h，
∴h=
∴点B到直线OA的距离为。
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；多边形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵O（0，0），A（12，5）
OA=；
故答案为：13；
【分析】（1）已知O（0，0），A（12，5），根据 任意两点 A，B之间的距离 即可得出OA的长；
（2）根据两点间的距离公式进行计算，即可得出结论；
（3）由（2）知：OA = AB = BC = CO =13，即可得出四边形OABC是菱形，进而根据菱形面积的两种求法即可得出点B到直线OA的距离为。
21．如图，过菱形 ABCD的对角线 AC的中点 O作两条互相垂直的直线，分别交 AB，BC，CD，DA于 E，F，G， H四点，连接 EF， FG， GH， HE.
（1）判断四边形 EFGH的形状，并说明理由.
（2）若 AB=2， ∠DAB=60°， AE=AH，求四边形 EFGH的面积.
【答案】（1）解：四边形 EFGH是菱形，过菱形 ABCD的对角线 AC的中点 O作两条互相垂直的直线，分别交AB， BC， CD， DA于 E， F， G， H四点，
由菱形 ABCD可得 AB∥CD， OA=OC，
∵∠OAE=∠OCG，
∵∠AOE=∠COG，
∴△OAE≌△OCG （ASA) ，
∴OE=OG.
同理可得 OF=OH，
∴四边形 EFGH是平行四边形.
又∵EG⊥FH，
∴四边形 EFGH是菱形 。
（2）解：设AE=x，则BE=2-x，
∴AE=AH，
∴ ∠OAE= ∠OAH，OA= OA，
则(SAS)，
∴OE=OH，
∵OE=EG，OH =FH
∴EG =FH.
∴菱形EFGH是正方形，
∵OA= OC，∠HOA= ∠FOC，OH =OF，
∴(SAS)，
∴AH=CF，
∵AH = AE，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CB-CF，
∴BE= BF，
∵ ∠HAE=60°，AE= AH，
∴∠EBF=120°，△AEH是等边三角形，
∴EH =x，
∴∠FEB=∠EFB=30°，
过点B作BM⊥EF于点M，
BM =BE=（2-x）
∴BM ==（2-x）
∴ EF =(2 -x)，
∴(2 -x) =x，
∵ 0∴x=3-.
∴EH=3-，
∴四边形EFGH的面积为EH·EF=(3-)(3-）= 12 -6。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出△OAE≌△OCG ，得出OE=OG.同理可通过全等三角形的对应边相等，可得出OF=OH，进而即可得出四边形 EFGH是平行四边形，进一步根据EG⊥FH，即可得出四边形 EFGH是菱形 ；
（2）又（1）知：四边形 EFGH是菱形，进而通过证明，可得出菱形EFGH是正方形，再通过证明△AEH是等边三角形，AE=x，则BE=2-x，EH =x，过点B作BM⊥EF于点M，根据勾股定理可得出BM ==（2-x）， EF =(2 -x)，可得出(2 -x) =x，解方程即可得出EH=3-，进而即可得出四边形EFGH的面积为EH·EF=(3-)(3-）= 12 -6。
22．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如 A4纸张的长与宽是 297mm，210mm，长与宽的比值接近 .这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料.这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例.
已知长方形 ABCD的长与宽分别是 2cm， cm.若按图 1所示的方式折叠，点 E，F分别是 AD，BC的中点，将长方形 ABCD沿 EF对折，打开后得到的长方形 ABFE仍为“长与宽的比值为 ”的长方形.
（1）若按图 2所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 AG对折，使点 B落在 AD上，对应点是点 H.再沿GM对折，使点 C落在 HG上，对应点是点 N.
①长方形 HDMN　 　（填“是”或“不是”)为“长与宽的比值为 ”的长方形；
②边长 DM=　 　 cm，边长 DH=　 　 cm.
（2）若按图 3所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 BP对折，使得点 C落在 AD上，对应点是点 Q.再沿BS对折，使得点 A落在 BQ上，对应点是点 T.
①求∠PBQ的度数；
②若图 2中的点 M折叠后对应点是点 R，连接 RT，求证：四边形 QRTS是平行四边形.
【答案】（1）是；；
（2）解：①解：沿BP对折，C落在AD上的Q，
∴ BQ = BC= 2cm.
在Rt△ABQ中，AB=cm，BQ=2cm，
∴AQ =，
∴AB=AQ，
∴∠ABQ=∠AQB=45°，
∴∠QBC = 90°-45°=45°.
由折叠可知，BP平分∠QBC，
∴∠PBQ=× 45°= 22.5°.
②由折叠可知： QR=CM， BC=BQ， AB=TB，
∴QR=QT，
∵∠BQP=90°，
∴∠QTR=45°.
∵∠AQB=45°，
∴∠QTR=∠AQB，
∴SQ∥TR.
∵∠BQP=90°， ∠STQ=90°，
∴ST∥QR.
∴四边形 QRTS 是平行四边形
【知识点】二次根式的化简求值；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】(1)①解：由折叠可知AH=AB=cm，MC= MN = HD = AD- AH =(2-)cm，
∴MD = CD- MC = - (2 -) = (2-2)cm，
∴
∴长方形HDMN是“长与宽的比值为”的长方形，
故答案为：是；
②解：由①知DM=(2-2)cm，DH=(2-)cm，
故答案为：(2-2)，(2-)；
【分析】（1）①由折叠性质可得AH=AB=cm，MC= MN = HD = AD- AH =(2-)cm，进而得出MD = CD- MC = - (2 -) = (2-2)cm，进一步即可得出，即可得出答案；②由①知DM=(2-2)cm，DH=(2-)cm，
（2）①通过计算可得出AB=AQ，根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABQ=∠AQB=45°，进而根据角平分线的定义即可得出∠PBQ=× 45°= 22.5°.②由折叠可知： QR=CM， BC=BQ， AB=TB，通过计算可得出QR=QT，根据等腰直角三角形的性质可得出∠QTR=45°.进而得出∠QTR=∠AQB，可得出SQ∥TR.进一步根据ST∥QR.即可得出结论四边形 QRTS 是平行四边形
23．我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式.如图 1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理.勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一.
（1）如图 2，正方形 ABCD和正方形 CEFG通过拼接，正好可以构造正方形 AHFK.
①若正方形 ABCD和正方形 CEFG的边长分别是 4，3，则△ABH的周长是 ▲ ；
②若正方形 ABCD，正方形 CEFG和正方形 AHFK的边长分别是 a，b，c，求证：
（2） 如图 3，以 Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形 ACDE，正方形 BCGF，正方形 ABHK.连接 DG，FH.观察图形中的面积关系，容易看出 猜测 S△ABC与 S△BFH是否相等 并说明理由.
（3）如图 4，在直线 l上方有正方形 ABCD，正方形 AEFG，正方形 CHMN，正方形 DGJK，正方形 DNPQ，求证： S正方形 DGJK+S正方形DNPQ=5S正方形 ABCD.
【答案】（1）解：①12； ②如图 2，延长 FG交 AB 于点 J，连接 AF.则四边形 BCGJ是矩形，
∴BC=GJ=a，
∴FJ=a+b，
在直角三角形 AFK中，由勾股定理得：
在 Rt△AFJ中，
（2）解：猜测 理由如下：
如图 3，作 CM⊥AB交 AB于点 M，作 FN⊥BH交 HB延长线于点 N.则∠CMB=∠FNB=90°.
∴∠CBM+∠CBN=90°， ∠CBN+∠NBF=90°，
∴∠CBM=∠FBN，
在△CBM和△FBN中，
∴△CBM≌△FBN （AAS) ，
∴CM=FN.
（3）证明：设 CH=a， AE=b.
如图 4，作 DR⊥FM，分别延长 GA， NC，交 DR于点 S， T.则 GS⊥DS， NT⊥DT.
由（2）可知△ABE≌△BCH， BE=CH=a， A E=B H=b，
同理可得△DCT≌△BCH， △ABE≌△ADS， △ADS≌△DCT，
∴CT=DS=a， AS=DT=b，
∴GS=2b， NT=2a，
∴S正方形 DGJK+S正方形 DNPQ=5S正方形 ABCD
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；平行四边形的面积；勾股树模型；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）①设BH=x，则CH=4-x，
∴ HE = HC+CE =4 - x+ 3 =7 -x，
在Rt△ABH中，AB=4，BH=x，
由勾股定理得：AH==；
在Rt△HEF中，HE=7-x，FE=3，
由勾股定理得：HF==
又∵AH=HF，
∴=
解得：x=3，
∴BH = 3，
在直角三角形ABH中，由勾股定理得：AH= == 5，
∴△ABH的周长是AB+BH+AH=4+3+5=12，
故答案为：12；
【分析】（1）①设BH=x，则CH=4-x，根据勾股定理可分别得出AH==；HF==，进而根据AH=HF，可得出=，解方程即可得出BH = 3，进一步根据勾股定理可得出AH= == 5，即可得出△ABH的周长是AB+BH+AH=4+3+5=12；②延长 FG交 AB 于点 J，连接 AF.则四边形 BCGJ是矩形，由勾股定理得： 根据直角三角形中边角关系即可得出结论；
（2）通过证明△CBM≌△FBN ，可得出CM=FN.根据正方形的性质可知AB=BH，进一步根据三角形的面积计算公式即可得出；
（3）设 CH=a， AE=b.作 DR⊥FM，分别延长 GA， NC，交 DR于点 S， T.则 GS⊥DS， NT⊥DT.由（2）可知△ABE≌△BCH， BE=CH=a， A E=B H=b，可得出进一步可计算得出，即可得出S正方形 DGJK+S正方形 DNPQ=5S正方形 ABCD。
1 / 1广东省珠海市香洲区文园中学2025-2026学年八年级 （下)期中数学试卷
1．下列式子中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是 （　　)
A． B． C． D．
3．下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．8，9，10 B．
C．20，21，32 D．6，8，10
4．在正六边形中，下列说法正确的是 （　　)
A．它的内角和是 540° B．它的一个外角为 72 °
C．它具有稳定性 D．它共有 9条对角线
5．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．一组对边平行 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
6．如图， 在△ABC中， ∠BAC=90°， 点 D为边 BC的中点， 顶点 B， C分别对应刻度尺上的刻度 2cm和8cm，则 AD 的长为 （　　)
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
7． 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，∠ABD=60°，AB=2，则AC的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是BC的中点，AC＝4．若 ABCD的周长为12，则△COE的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
9．如图，在△ABC中， ∠A=90°， AB=6， AC=8， P为边 BC上一动点， PE⊥AB于点 E， PF⊥AC于点 F， M为 EF的中点，则 PM的最小值为（　　)
A．2.1 B．2.2 C．2.3 D．2.4
10．如图， △ACB和△ECD都是等腰直角三角形， CA=CB， CE=CD， △ACB的顶点 A在△ECD的斜边 DE上.下列结论中： ①△ACE≌△BCD；②∠CDB=45°； ③∠DAB=∠ACE； ④AE2+AD2=2AC2， 正确的有（　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．已知： 则 的值为　 　.
13．如图，菱形 ABCD的对角线 AC， BD相交于点 O，若∠ABC=120°， AB=4，则菱形ABCD的面积为　 　.
14．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 2尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这根芦苇的长度为　 　尺.
15．如图，在四边形 ABCD中， AD∥BC， ∠B=90°， AD=12cm，BC=13cm，点 P从点 A 出发，以 1cm/s的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以 3cm/s的速度向点 B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，经过　 　s，使 PQ=CD.
16．计算：
（1）
（2）
17．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为4m，宽为2.6m.一辆卡车装满货物后，高为3.6m， 宽为2.4m，它能通过该隧道吗
18．如图， E、F、M、N分别是正方形 ABCD四条边上的点，且 AE=BF=CM=DN.求证：四边形 EFMN是正方形.
19．已知广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听和收看广播电视节目的区域就越广.广播电视塔高 h（单位：km)与广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km)之间存在近似关系 其中 R 是地球半径，
（1）图 1的广州塔的塔高约为 600m，求从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径 r1.
（2）图 2的中央电视塔塔高约为 400m，从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径为 r2，求 r1与 r2之比值.
20．如图 1，在平面直角坐标系中点 A坐标是（xA，yA)，点 B坐标是（xB，yB)，作 AC⊥BC得点 C坐标是（xB， yA) ，通过勾股定理 得到任意两点 A，B之间的距离 如图 2，四边形 OABC中 O， A， B， C四点坐标分别是（0， 0) ， （12， 5) ， （17， 17) ， （5， 12) .
（1）求 OA 的长=　 　；
（2）求证：四边形 OABC两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和；
（3）求点 B到直线 OA的距离.
21．如图，过菱形 ABCD的对角线 AC的中点 O作两条互相垂直的直线，分别交 AB，BC，CD，DA于 E，F，G， H四点，连接 EF， FG， GH， HE.
（1）判断四边形 EFGH的形状，并说明理由.
（2）若 AB=2， ∠DAB=60°， AE=AH，求四边形 EFGH的面积.
22．我们常用的书籍和纸张的长与宽都有固定的规格，例如 A4纸张的长与宽是 297mm，210mm，长与宽的比值接近 .这样的纸张具有对折不变形，还便于缩放，装订与归档，裁切过程几乎无边角料.这样比例的折叠屏手机，内外屏的比例就是一样的，堪称折叠完美比例.
已知长方形 ABCD的长与宽分别是 2cm， cm.若按图 1所示的方式折叠，点 E，F分别是 AD，BC的中点，将长方形 ABCD沿 EF对折，打开后得到的长方形 ABFE仍为“长与宽的比值为 ”的长方形.
（1）若按图 2所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 AG对折，使点 B落在 AD上，对应点是点 H.再沿GM对折，使点 C落在 HG上，对应点是点 N.
①长方形 HDMN　 　（填“是”或“不是”)为“长与宽的比值为 ”的长方形；
②边长 DM=　 　 cm，边长 DH=　 　 cm.
（2）若按图 3所示的方式折叠长方形 ABCD，先沿 BP对折，使得点 C落在 AD上，对应点是点 Q.再沿BS对折，使得点 A落在 BQ上，对应点是点 T.
①求∠PBQ的度数；
②若图 2中的点 M折叠后对应点是点 R，连接 RT，求证：四边形 QRTS是平行四边形.
23．我国古代数学家商高在《周髀算经》中记载了勾股定理，指出“勾三股四弦五”这一特殊形式.如图 1，这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它“赵爽弦图”，很巧妙利用面积关系证明了勾股定理.勾股定理在几何度量，定理证明，图形识别和构造等领域有重要用途，既是一个简单实用的工具，也是几何学的基石之一.
（1）如图 2，正方形 ABCD和正方形 CEFG通过拼接，正好可以构造正方形 AHFK.
①若正方形 ABCD和正方形 CEFG的边长分别是 4，3，则△ABH的周长是 ▲ ；
②若正方形 ABCD，正方形 CEFG和正方形 AHFK的边长分别是 a，b，c，求证：
（2） 如图 3，以 Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形 ACDE，正方形 BCGF，正方形 ABHK.连接 DG，FH.观察图形中的面积关系，容易看出 猜测 S△ABC与 S△BFH是否相等 并说明理由.
（3）如图 4，在直线 l上方有正方形 ABCD，正方形 AEFG，正方形 CHMN，正方形 DGJK，正方形 DNPQ，求证： S正方形 DGJK+S正方形DNPQ=5S正方形 ABCD.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
B．是最简二次根式，符合题意；
C．，该选项不是最简二次根式，不符合题意；
D．，该选项不是最简二次根式，不符合题意．
故选B．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式，对选项逐个判断即可．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：A：，所以A不正确；
B ：，所以B不正确；
C：，所以C不正确；
D： ，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质可得出A不正确；化简二次根式可得B不正确；合并同类二次根式可得C不正确；根据积的算术平方根进行化简，可得D正确。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，
∴长为8，9，10的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴长为的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴长为20，21，22的三条相等不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴长为6，8，10的三条相等可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此求解即可．
4．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性；多边形的对角线；多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A：正六边形的内角和是 720°，所以A不正确；
B：正六边形的一个外角=，所以B不正确；
C：只有三角形有稳定性，所以C不正确；
D：正六边形的对角线总条数为：（条），所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据多边形的内角和公式可得出A不正确；根据多边形的外角和公式，可得出B不正确；根据三角形具有稳定性可得出C不正确；根据多边形对角线的意义可得出D正确。
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、一组对边平行无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确，符合题意；
C、一组对角相等无法判断四边形是平行四边形，故此选项错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形，据此一一判断得出答案.
6．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由题意得：BC=8-2=6，
∵ 点 D为边 BC的中点， ∠BAC=90°，
∴AD=
故答案为：A.
【分析】首先根据题意得出BC的长，进而根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得出AD的长。
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB=2，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠ABD=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA=OB=AB=2，
∴OC=OA=2，
∴AC=OA+OC=4，
故答案为：C.
【分析】由矩形的性质可得：OA=OB=OC=OD，再根据∠ABD=60°，可知△AOB为等边三角形，进而即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O，
∴OC=OA=AC=2，
∵平行四边形ABCD的周长为12，
∴AB+BC=6，
∵点E是BC的中点，
∴OE=AB，EC=BC，
∴OE+EC=(AB+BC)=3，
∴△COE的周长等于OC+OE+CE=5.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OC=OA=AC=2，由平行四边形周长计算公式得AB+BC=6，根据三角形中位线定理得OE=AB，EC=BC，则OE+EC=(AB+BC)=3，最后根据三角形周长计算方法可算出△COE的周长.
9．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；矩形的判定与性质；三角形-动点问题；等积变换
【解析】【解答】解：解：连接AP，
由勾股定理可知BC =，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC= 90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴∠EPF = 90°，AP = EF，
∵M是EF的中点，
∴PM=EF=AP，
∴当AP取得最小值时，PM取得最小值.
当AP⊥BC时，AP取得最小值，
此时S=AB×AC=BC.AP即：x6x8=x10xAP，
∴AP的最小值为AP=4.8，
∴PM最小值为PM =AP=2.4
故答案为：D.
【分析】首先根据勾股定理可得出BC的长度，进而通过判断四边形AEPF是矩形，可得出PM=EF=AP，进而得出当AP取得最小值时，PM取得最小值.进一步根据面积法即可求得此时AP的长，进一步得出对应的PM的最小值。
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=90°，∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠E=45°，
∴∠DCB=∠ECA
在 △ACE和△BCD中：
∴ △ACE≌△BCD； 即 ① 正确；
∴ ∠CDB =∠E=45°，即 ② 正确；∠DCB= ∠ACE，AE=BD，
∴∠CDB=∠CAB
∴点A，C，B，D四点共圆，
∴ ∠DAB=∠DCB=∠ACE；即 ③ 正确； ∠ACB+∠ADB=180°，
∴∠ADB=90°，
∴ BD2+AD2=AB2，
∵2AC2=AC2+BC2=AB2，
∴ AE2+AD2=2AC2。即 ④ 正确。
故答案为：D.
【分析】首先根据SAS可证得△ACE≌△BCD（即①正确）进而得出∠CDB =∠E=45°（即 ② 正确）；进而根据∠CDB=∠CAB，可得出点A，C，B，D四点共圆，进一步得出∠DAB=∠DCB=∠ACE（即 ③ 正确）；进而根据圆内接四边形的性质可得出∠ADB=90°，进而根据勾股定理及等腰直角三角形的性质即可得出结论。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
∴x+y=，x-y=，
∴=（x+y（x-y）=。
故答案为：.
【分析】首先根据已知条件求出x+y和x-y的值，进而再根据平方差公式，整体代入即可求得答案。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠BAO=30°，
∵AB=4，
∴BO=2，AO=2，
∴AC=4，BD=4，
∴ 菱形ABCD的面积=。
故答案为：.
【分析】首先根据菱形的性质得出直角三角形ABO，且∠BAO=30°，进而可得出BO=2，AO=2，进而即可得出AC=4，BD=4，进一步根据菱形面积计算公式即可而出答案。
14．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；“引葭赴岸”模型
【解析】【解答】解：设芦苇的长度为x尺，根据题意，可得：
x2-（x-2）2=（）2，解得：x=10.
故答案为：10.
【分析】设芦苇的长度为x尺，根据勾股定理可得出x2-（x-2）2=（）2，解方程求解即可。
15．【答案】3或
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：解：根据题意，点P运动到点D需要12秒，点Q运动到点B需要秒
设经过了xs，PQ=CD，根据题意得，
①当PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，此时PQ=CD，
∴12-x = 3x，
整理得，4x=12，
解得x=3，
经检验3＜，
∴x=3符合题意；
②如图所示，当四边形PQCD为等腰梯形时，PQ=CD，
过点P作PM⊥BC，交BC于点M，过点D作DN⊥BC，交BC于点N，
∴QM =CN= BC-AD =13-12=1(cm)
∴QC= PD+ 2，
即3x = 12 -x + 2，
整理得，4x =14，
解得x=，
经检验＜
∴x=符合题意；
综上所述，经过3或s，使PQ=CD.
故答案为：3或。
【分析】首先根据路程除以速度等于时间可得出点P运动到点D需要12秒，点Q运动到点B需要秒，然后设经过了xs，PQ=CD，可分为两种情况：①PD=CQ时，四边形PQCD为平行四边形，此时PQ=CD，可得出12-x = 3x，解得x=3；②如图所示，当四边形PQCD为等腰梯形时，PQ=CD，可得出3x = 12 -x + 2，解得x=，经检验均符合题意，即可得出答案。
16．【答案】（1）解：
=+2
=
（2）解：
=
=
=
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）首先化简二次根式，进而再合并同类二次根式即可；
（2）首先进行二次根式的除法运算，再进行二次根式的化简，进而再合并同类二次根式即可。
17．【答案】解：由图形得半圆O的半径为2m，
作弦EF//AD，且EF=2.4m，作OH⊥EF于H，连接OF，
由OH⊥EF，得HF=1.2m，
在Rt△OHF中，，
∵1.6+2.6=4.2>4，
∴这辆卡车能通过截面如图所示的隧道.
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】作弦EF//AD，且EF=2.4m，作OH⊥EF于H，连接OF，在直角三角形OFH中，由勾股定理求出OH，再求出隧道高，就可以判断.
18．【答案】解：四边形 EFMN是正方形.
证明： ∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=DM=CF=BE.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF.
∴EF=EN=NM=MF， ∠ENA=∠DMN.
∴四边形 EFMN是菱形.
∵∠ENA=∠DMN， ∠DMN+∠DNM=90°，
∴∠ENA+∠DNM=90°.
∴∠ENM=90°.
∴四边形 EFMN是正方形.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据SAS证得△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF.得出得出EF=EN=NM=MF，进而再证得∠ENM=90°.即可得出四边形 EFMN是正方形.
19．【答案】（1）解：解：600m=0.6km，
∴（km）
即： 从塔顶发射出广播电视节目信号的传播半径 r 1的长为。
（2）解： 400m=0.4km，
∴，
∴
即 r1与 r2之比值 为。
【知识点】二次根式的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）首先把600m转化成0.6km，进而根据求代数式的值即可；
（2）根据（1）的方法求得r2，进而化简二次根式，即可得出 r1与 r2的比值。
20．【答案】（1）13
（2）证明：∵O， A， B， C四点坐标分别是（0， 0) ， （12， 5) ， （17， 17) ， （5， 12) ，
∴四边形 OABC两条对角线长的平方和等于四条边长的平方和点
（3）解：(3)解： 由（2）知：OA = AB = BC = CO =13，
∴四边形OABC是菱形，
∴S菱形OABC=OB· AC =119，
设点B到直线OA的距离为h，
∴S菱形OABC=OA·h，
∴119=13h，
∴h=
∴点B到直线OA的距离为。
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；多边形的面积
【解析】【解答】解：（1）∵O（0，0），A（12，5）
OA=；
故答案为：13；
【分析】（1）已知O（0，0），A（12，5），根据 任意两点 A，B之间的距离 即可得出OA的长；
（2）根据两点间的距离公式进行计算，即可得出结论；
（3）由（2）知：OA = AB = BC = CO =13，即可得出四边形OABC是菱形，进而根据菱形面积的两种求法即可得出点B到直线OA的距离为。
21．【答案】（1）解：四边形 EFGH是菱形，过菱形 ABCD的对角线 AC的中点 O作两条互相垂直的直线，分别交AB， BC， CD， DA于 E， F， G， H四点，
由菱形 ABCD可得 AB∥CD， OA=OC，
∵∠OAE=∠OCG，
∵∠AOE=∠COG，
∴△OAE≌△OCG （ASA) ，
∴OE=OG.
同理可得 OF=OH，
∴四边形 EFGH是平行四边形.
又∵EG⊥FH，
∴四边形 EFGH是菱形 。
（2）解：设AE=x，则BE=2-x，
∴AE=AH，
∴ ∠OAE= ∠OAH，OA= OA，
则(SAS)，
∴OE=OH，
∵OE=EG，OH =FH
∴EG =FH.
∴菱形EFGH是正方形，
∵OA= OC，∠HOA= ∠FOC，OH =OF，
∴(SAS)，
∴AH=CF，
∵AH = AE，
∴AE=CF，
∴AB-AE=CB-CF，
∴BE= BF，
∵ ∠HAE=60°，AE= AH，
∴∠EBF=120°，△AEH是等边三角形，
∴EH =x，
∴∠FEB=∠EFB=30°，
过点B作BM⊥EF于点M，
BM =BE=（2-x）
∴BM ==（2-x）
∴ EF =(2 -x)，
∴(2 -x) =x，
∵ 0∴x=3-.
∴EH=3-，
∴四边形EFGH的面积为EH·EF=(3-)(3-）= 12 -6。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出△OAE≌△OCG ，得出OE=OG.同理可通过全等三角形的对应边相等，可得出OF=OH，进而即可得出四边形 EFGH是平行四边形，进一步根据EG⊥FH，即可得出四边形 EFGH是菱形 ；
（2）又（1）知：四边形 EFGH是菱形，进而通过证明，可得出菱形EFGH是正方形，再通过证明△AEH是等边三角形，AE=x，则BE=2-x，EH =x，过点B作BM⊥EF于点M，根据勾股定理可得出BM ==（2-x）， EF =(2 -x)，可得出(2 -x) =x，解方程即可得出EH=3-，进而即可得出四边形EFGH的面积为EH·EF=(3-)(3-）= 12 -6。
22．【答案】（1）是；；
（2）解：①解：沿BP对折，C落在AD上的Q，
∴ BQ = BC= 2cm.
在Rt△ABQ中，AB=cm，BQ=2cm，
∴AQ =，
∴AB=AQ，
∴∠ABQ=∠AQB=45°，
∴∠QBC = 90°-45°=45°.
由折叠可知，BP平分∠QBC，
∴∠PBQ=× 45°= 22.5°.
②由折叠可知： QR=CM， BC=BQ， AB=TB，
∴QR=QT，
∵∠BQP=90°，
∴∠QTR=45°.
∵∠AQB=45°，
∴∠QTR=∠AQB，
∴SQ∥TR.
∵∠BQP=90°， ∠STQ=90°，
∴ST∥QR.
∴四边形 QRTS 是平行四边形
【知识点】二次根式的化简求值；平行四边形的判定；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】(1)①解：由折叠可知AH=AB=cm，MC= MN = HD = AD- AH =(2-)cm，
∴MD = CD- MC = - (2 -) = (2-2)cm，
∴
∴长方形HDMN是“长与宽的比值为”的长方形，
故答案为：是；
②解：由①知DM=(2-2)cm，DH=(2-)cm，
故答案为：(2-2)，(2-)；
【分析】（1）①由折叠性质可得AH=AB=cm，MC= MN = HD = AD- AH =(2-)cm，进而得出MD = CD- MC = - (2 -) = (2-2)cm，进一步即可得出，即可得出答案；②由①知DM=(2-2)cm，DH=(2-)cm，
（2）①通过计算可得出AB=AQ，根据等腰直角三角形的性质可得出∠ABQ=∠AQB=45°，进而根据角平分线的定义即可得出∠PBQ=× 45°= 22.5°.②由折叠可知： QR=CM， BC=BQ， AB=TB，通过计算可得出QR=QT，根据等腰直角三角形的性质可得出∠QTR=45°.进而得出∠QTR=∠AQB，可得出SQ∥TR.进一步根据ST∥QR.即可得出结论四边形 QRTS 是平行四边形
23．【答案】（1）解：①12； ②如图 2，延长 FG交 AB 于点 J，连接 AF.则四边形 BCGJ是矩形，
∴BC=GJ=a，
∴FJ=a+b，
在直角三角形 AFK中，由勾股定理得：
在 Rt△AFJ中，
（2）解：猜测 理由如下：
如图 3，作 CM⊥AB交 AB于点 M，作 FN⊥BH交 HB延长线于点 N.则∠CMB=∠FNB=90°.
∴∠CBM+∠CBN=90°， ∠CBN+∠NBF=90°，
∴∠CBM=∠FBN，
在△CBM和△FBN中，
∴△CBM≌△FBN （AAS) ，
∴CM=FN.
（3）证明：设 CH=a， AE=b.
如图 4，作 DR⊥FM，分别延长 GA， NC，交 DR于点 S， T.则 GS⊥DS， NT⊥DT.
由（2）可知△ABE≌△BCH， BE=CH=a， A E=B H=b，
同理可得△DCT≌△BCH， △ABE≌△ADS， △ADS≌△DCT，
∴CT=DS=a， AS=DT=b，
∴GS=2b， NT=2a，
∴S正方形 DGJK+S正方形 DNPQ=5S正方形 ABCD
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明；平行四边形的面积；勾股树模型；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：（1）①设BH=x，则CH=4-x，
∴ HE = HC+CE =4 - x+ 3 =7 -x，
在Rt△ABH中，AB=4，BH=x，
由勾股定理得：AH==；
在Rt△HEF中，HE=7-x，FE=3，
由勾股定理得：HF==
又∵AH=HF，
∴=
解得：x=3，
∴BH = 3，
在直角三角形ABH中，由勾股定理得：AH= == 5，
∴△ABH的周长是AB+BH+AH=4+3+5=12，
故答案为：12；
【分析】（1）①设BH=x，则CH=4-x，根据勾股定理可分别得出AH==；HF==，进而根据AH=HF，可得出=，解方程即可得出BH = 3，进一步根据勾股定理可得出AH= == 5，即可得出△ABH的周长是AB+BH+AH=4+3+5=12；②延长 FG交 AB 于点 J，连接 AF.则四边形 BCGJ是矩形，由勾股定理得： 根据直角三角形中边角关系即可得出结论；
（2）通过证明△CBM≌△FBN ，可得出CM=FN.根据正方形的性质可知AB=BH，进一步根据三角形的面积计算公式即可得出；
（3）设 CH=a， AE=b.作 DR⊥FM，分别延长 GA， NC，交 DR于点 S， T.则 GS⊥DS， NT⊥DT.由（2）可知△ABE≌△BCH， BE=CH=a， A E=B H=b，可得出进一步可计算得出，即可得出S正方形 DGJK+S正方形 DNPQ=5S正方形 ABCD。
1 / 1

展开更多......

收起↑