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无锡市第一中学 2025-2026 学年度第二学期阶段性质量检测试卷
高 二 数学 2026.5
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共计 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是正确的．
1.下列求导运算正确的是（ ）
A． ln x 1 B． ln 2x
1
1
x

2x 1
C． 2x 2x D． sin x cos x
2．若随机变量 X 服从两点分布，且 E X 0.4，则 D X （ ）
A．0.24 B． 2.4 C．0.28 D．2.8
3．下列说法中正确的有（ ）
①线性回归方程 y b x a 至少经过一个样本点；
②可以用相关系数 刻画两个变量的相关程度强弱， 值越大则两个变量的相关程度越
强；
③在回归分析中，决定系数 R2 0.98的模型比 R2 0.97的模型拟合效果要好；
④残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高.
A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4 个
X ~ N 1, 2 P X 2 P X 2a 2 ax 1 74. 已知随机变量 且 ，则 展开式中各
项系数和为（ ）
A． 64 B． 128 C． -64 D． -128
1
4

5. 2x 2 展开式中 x2 项系数为（ ）
x
A．32 B．64 C．96 D．128
6. 将一枚均匀的骰子掷两次，记事件 A为“第一次出现偶数点”，事件 B为“两次出现的
点数和为9”，则下列结论中正确的是（ ）
1
A． P AB B．P A B P A P B
9
1
C． P A | B D． A与 B相互独立
3
7.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子
*
里随机取出 n(1 n 6,n N )个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的
红球个数为 个，则随着 n(1 n 6,n N *)的增加，下列说法正确的是（ ）
A．E( )增加，D( )增加 B． E( )增加，D( )减小
C．E( )减小，D( )增加 D． E( )减小，D( )减小
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x
3 21 2x2 x, x 0
8．已知函数 f (x) 20ln x ，g(x) f (x) 2ax，若函数 g(x)有 5 个零 , x 0
x
点，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1 1 1
A． ( , ) B． ( , ) C． ( 1 , 1) D． ( 1 , 1 )
20 4e 20 2e 20 e 40 4e
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得
0分．
9.现安排甲、乙、丙、丁 4名同学参加 A，B，C 三项工作，且每个同学只能参加一项工作，
则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有 43种
B．若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有 42 种
C．若甲，乙两人都不能去参加 A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共
有 14 种
D．若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有 72 种
3
10.已知函数 f x x 3x 2，则（ ）
A． f x 有两个极值点 B.当 x 0 f x2时， 1 f 2x
C．若 f x 在 (a,a 4)有最大值，则 a的取值范围为 ( 5, 2]
D． x1 x2 0是 f x1 f x2 4的充要条件
11. 西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，
谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”
王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际
调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？
假设集市上真有老虎的概率为 0.05，每个人选择说出实情的概率为 0.9，选择说谎的概率
为 0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用 Ai表示事件“第 i人说看见一只老虎在集
市上”， i 1,2,3，用 B表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（ ）
A. P A∣3 B 1 B. P A 73 10 1 1000
C. P (A1A2 ) | B
81 729
D. P B（| A A A）
100 1 2 3 748
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.函数 f (x) x2 x在区间[ 2, t]上的平均变化率是 2，则 t ______．
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13．如图，一个质点在随机外力的作用下，从 0 出发，每次等可能地向左或向右移动一个
单位，共移动 3 次，设质点最终所在位置的坐标为 X，则 E(X ) =___________.
2
14. 已知函数 f x 2elnx 3x e 2 x 2， g x 24x 12me e 3，对任意的
x
x1 1,4 ，总存在 x2 1,e ，使 g x1 f x2 ，则实数m的取值范围是_____.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤.
2 2
15 .已知 (x )n的展开式中第 r 1项的系数为 ar (0 r n)，且 (x )
n的展开式中第
x x
三项的二项式系数与第四项的二项式系数之比为3:8 .
（1）求 n的值；
（2）求展开式中 x4 的系数；
a 2a 3a ... ( 1)n 1（3）求 1 2 3 nan的值.
16．已知函数 f x ax ex.
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 x 0, 时，若 f x xlnx x2恒成立，求实数 a的最大值.
17．某产品当月的销售额 y（单位：千元）与当月的宣传费 x（单位：千元）有关，且 x与
y的成对数据如下表：
x 1 4 9 16 25
y 20 40 50 60 80
(1)判断 y与 x是正相关还是负相关；
(2)由散点图发现可以用函数模型 y b x a 拟合 y与 x的关系，求 y关于 x的回归方程；
(3)已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为 6 x，请你预测该产品月
利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本）
n n
xi x yi y xi yi nxy
附：在线性回归方程 y b x a 中，b i 1 i 1 n n ， a y bx，其中
x x 2 x 2 nx 2i i
i 1 i 1
x， y为样本平均值.
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18. 某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预
赛从 8 道题中任选 4 道作答，答对 3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.
（1）若这 8道题中甲同学能答对其中 4道，记甲在预赛中答对的题目个数为 X ，求 X 的
分布列并计算甲进入决赛的概率.
（2）决赛需要回答 3 道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励 200 元；若答
对 2道题目则获得二等奖，奖励 100 元；若答对 1道题目则获得三等奖，奖励 50 元；若
全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为 p 0 p 1 ，且每
次答题相互独立.
（i）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为 f p ，求 f p 的最大值；
（ii）某班共有 4名学生进入了决赛，若这 4名同学获得总奖金的期望值不小于 325 元，
求此时 p的取值范围.
x 1 3
19. 已知函数 f x ae x 3x a R 的导函数为 f x ．
3
（1）当 a 1时，求 f x 的图象在 0, f 0 处的切线方程；
（2）若 a 1，求 f x 零点的个数；
f x 3
（3）已知 h x lnx ，若 h x 在定义域内有三个不同的极值点 x
x 1
, x2 , x3，
且满足 h x1 h x2 h x3
1
1，求实数 a的取值范围．
e
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