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核心素养测评 第2讲　匀变速直线运动规律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2025·广西高考)某乘客乘坐的动车进站时,动车速度从36 km/h减小为0,此过程可视为匀减速直线运动,其间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次,则此过程动车行驶距离约为(　　)
A.216 m B.350 m C.600 m D.700 m
2.(2026·西安模拟)为了测试某品牌汽车的加速性能,汽车试驾员在平直的试车道上竖起了三根标志杆A、B、C,AB=BC=s。汽车(可看成质点)匀加速通过AB、BC用时分别为t1、t2,则该汽车的加速度a的大小为(　　)
A. B.
C. D.
3.一汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中,司机忽然发现前方有一警示牌,立即刹车。刹车后汽车立即开始做匀减速直线运动,直至停止。已知从刹车开始计时,汽车在0~2 s内的位移大小为48 m,4~6 s内的位移大小为3 m。用v0、a分别表示汽车匀速行驶时的速度大小及刹车后的加速度大小,则(　　)
A.a= m/s2,v0= m/s
B.a= m/s2,v0= m/s
C.a=8 m/s2,v0=32 m/s
D.a=6 m/s2,v0=30 m/s
4.(科技前沿)2024年4月27日,北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱机器人“天工”,能以6公里每小时的速度稳定奔跑。在一次实验中,“天工”做匀加速直线运动,依次经过A、B、C、D四点,且经过相邻两点的时间间隔都相等,已知A、B间距为x1,C、D间距为x3,根据题目给出的信息,可以求得的是(　　)
A.B、C间的距离 B.A到D的平均速度
C.加速度的大小 D.A点的速度大小
5.如图,若滑板运动员停止运动前的滑行可近似简化为匀变速直线运动,通过某一段距离AB的平均速度大小为9 m/s,最后停在C点,已知xAB=3xBC,则该运动员经过BC段的平均速度大小为(　　)
A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s
【综合应用练】
6.(2025·安徽高考)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动;最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
7.【多选】如图(a)所示,某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程,物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示,tA=11.36 s,tB=11.76 s,tC=12.16 s,tD=12.56 s,
tE=12.96 s。已知斜坡是由长为d=0.6 m的地砖拼接而成,且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是(　　)
A.位置A与D间的距离为1.2 m
B.物体在位置A时的速度为零
C.物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s
D.物块下滑的加速度大小为1.5 m/s2
8.【多选】(2026·西安模拟)大象是群居动物,通常是以家庭为单位结团外出。如图所示,一群大象正横穿一条公路,一小象因贪玩落后象群里的象妈妈40 m处时才察觉,于是小象立刻由静止开始以大小为
1 m/s2的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为2 m/s的速度匀速前行,小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变。下列说法正确的是(　　)
A.从小象开始追赶象妈妈起,经1 s它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中,与象妈妈的最远距离为42 m
C.从小象开始追赶象妈妈起,经20 s小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为88 m
9.(10分)如图(a),为了测试智能汽车自动防撞系统的性能,智能汽车在水平面上匀速直线前行,通过激光雷达和传感器检测到车头正前方26 m处有静止障碍物时,系统立即自动控制汽车,使之做加速度大小为a1的匀减速直线运动,并向驾驶员发出警告,驾驶员在此次测试中未进行任何操作,汽车继续前行至某处时自动触发“紧急制动”,即在切断动力系统的同时提供阻力使汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动,最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞。全程汽车速度的平方随位移变化的图像如图(b)所示。
(1)测试汽车在两个阶段的加速度a1、a2分别为多大 (5分)
(2)测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为多少 (5分)
【情境创新练】
10.(12分)某辆汽车以6 m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速,又以4 m/s2的加速度匀加速到30 m/s并开启定速巡航模式(开启后汽车会自动保持30 m/s的速度匀速行驶,驾驶员无需再踩油门,若驾驶员踩刹车制动,则定速巡航会自动关闭)。(车辆均可视为质点)
(1)求汽车加速阶段行驶的距离;(4分)
(2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭,于是立即报警,在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40 m处。此时一辆警车以10 m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上,然后进行拦截,要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇,然后对失控车进行紧急逼停,求警车加速度的大小。(8分)
- 1 -(共24张PPT)
核心素养测评
第2讲　匀变速直线运动规律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2025·广西高考)某乘客乘坐的动车进站时,动车速度从36 km/h减小为0,此过程可视为匀减速直线运动,其间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次,则此过程动车行驶距离约为(　　)
A.216 m B.350 m C.600 m D.700 m
√
【解析】选B。动车运动的时间为t=×70 s=70 s,动车行驶的距离x=t=×70 m=350 m,故选B。
2.(2026·西安模拟)为了测试某品牌汽车的加速性能,汽车试驾员在平直的试车道上竖起了三根标志杆A、B、C,AB=BC=s。汽车(可看成质点)匀加速通过AB、BC用时分别为t1、t2,则该汽车的加速度a的大小为(　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选B。设前一段时间t1的中间时刻的瞬时速度为v1,后一段时间t2的中间时刻的瞬时速度为v2,所以v1=①,v2=②,根据匀加速直线运动速度-时间公式得:
v2=v1+a(t1+t2)③,联立①②③得:a=,故B正确,A、C、D错误。
3.一汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中,司机忽然发现前方有一警示牌,立即刹车。刹车后汽车立即开始做匀减速直线运动,直至停止。已知从刹车开始计时,汽车在0~2 s内的位移大小为48 m,4~6 s内的位移大小为3 m。用v0、a分别表示汽车匀速行驶时的速度大小及刹车后的加速度大小,则(　　)
A.a= m/s2,v0= m/s
B.a= m/s2,v0= m/s
C.a=8 m/s2,v0=32 m/s
D.a=6 m/s2,v0=30 m/s
√
【解析】选D。汽车的加速度大小为a,初速度为v0,则汽车在0~2 s内的位移为x1=v0t1a,汽车在4 s时的速度为v=v0-4a,则4~6 s内的位移为x2=vt2a,代入数据解得v0=29.625 m/s,a=5.625 m/s2;但当t3=6 s时,可得速度为v6=-4.125 m/s,这说明在t3=6 s时汽车已停止运动,因此上面的计算不成立。则4~6 s内的位移x2满足0-v2=-2ax2,联立各式计算可得a=6 m/s2,v0=30 m/s,故D正确,A、B、C错误。
4.(科技前沿)2024年4月27日,北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱机器人“天工”,能以6公里每小时的速度稳定奔跑。在一次实验中,“天工”做匀加速直线运动,依次经过A、B、C、D四点,且经过相邻两点的时间间隔都相等,已知A、B间距为x1,C、D间距为x3,根据题目给出的信息,可以求得的是(　　)
A.B、C间的距离 B.A到D的平均速度
C.加速度的大小 D.A点的速度大小
√
【解析】选A。根据匀变速直线运动相等时间间隔内的位移之差是一个定值,可知2x2=x1+x3,解得由B到C的位移x2=,故A正确;由于没有给出具体的时间间隔,因而加速度、在A点的速度大小和由A到D的平均速度均求不出,故B、C、D错误。
5.如图,若滑板运动员停止运动前的滑行可近似简化为匀变速直线运动,通过某一段距离AB的平均速度大小为9 m/s,最后停在C点,已知xAB=3xBC,则该运动员经过BC段的平均速度大小为(　　)
A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s
√
【解析】选C。末速度为0的匀减速直线运动,可逆向为初速度为0的匀加速直线运动,第1T内、第2T内运动的位移比例为1∶3,可知在AB、BC段运动时间相同,AB段平均速度vAB==9 m/s,则BC段平均速度vBC==3 m/s,故选C。
【综合应用练】
6.(2025·安徽高考)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动;最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
√
【解析】选A。由题意可知,设匀加速直线运动的时间为t',匀速运动的速度为v,
匀加速直线运动阶段,由位移公式得x=t'
根据逆向思维,匀减速直线运动阶段的位移等于匀加速直线运动阶段的位移,则匀速直线运动阶段有8x-x-x=vt,联立解得t'=,再根据x=at'2,解得x=at2,B、C、D错误,A正确。
7.【多选】如图(a)所示,某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程,物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示,tA=11.36 s,tB=11.76 s,tC=12.16 s,tD=12.56 s,tE=
12.96 s。已知斜坡是由长为d=0.6 m的地砖拼接而成,且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是(　　)
A.位置A与D间的距离为1.2 m
B.物体在位置A时的速度为零
C.物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s
D.物块下滑的加速度大小为1.5 m/s2
√
√
【解析】选B、C。
选项 选项剖析 对错
C 由图(b)可知相邻两点间的时间间隔T=0.4 s,物块从C到D的时间间隔与物块从D点到E点的时间间隔相等,所以物块在位置D时的速度为C到E中间时刻的速度,则有vD==2.25 m/s √
D AC段与CE段的时间间隔为t=2T=0.80 s,且xCE-xAC=3d-d=2d,由Δx=at2,可知xCE-xAC=a×(2T)2,代入数据解得a=1.875 m/s2 ×
选项 选项剖析 对错
A 由vD=vA+a×3T,代入数据解得vA=0,则位置A、D间的距离xAD==1.35 m ×
B √
8.【多选】(2026·西安模拟)大象是群居动物,通常是以家庭为单位结团外出。如图所示,一群大象正横穿一条公路,一小象因贪玩落后象群里的象妈妈40 m处时才察觉,于是小象立刻由静止开始以大小为1 m/s2的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为2 m/s的速度匀速前行,小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变。下列说法正确的是(　　)
A.从小象开始追赶象妈妈起,经1 s它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中,与象妈妈的最远距离为42 m
C.从小象开始追赶象妈妈起,经20 s小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为88 m
√
√
【解析】选B、D。小象与象妈妈速度相等时,两者相距最远,由v=at得相距最远的时间t=2 s
最远距离xmax=vtt+40 m,得xmax=42 m,故A错误,B正确;小象达到最大速度的时间为t1=,解得t1=4 s,此过程小象的位移为x1=t1,解得x1=8 m
设再经过t2追上象妈妈,则x1+vmaxt2=40 m+v(t1+t2),解得t2=20 s
小象追上象妈妈的时间为t总=t1+t2,解得t总=24 s,故C错误;小象追赶象妈妈过程中的位移大小为x=x1+vmaxt2,解得x=88 m,故D正确。
9.(10分)如图(a),为了测试智能汽车自动防撞系统的性能,智能汽车在水平面上匀速直线前行,通过激光雷达和传感器检测到车头正前方26 m处有静止障碍物时,系统立即自动控制汽车,使之做加速度大小为a1的匀减速直线运动,并向驾驶员发出警告,驾驶员在此次测试中未进行任何操作,汽车继续前行至某处时自动触发“紧急制动”,即在切断动力系统的同时提供阻力使汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动,最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞。全程汽车速度的平方随位移变化的图像如图(b)所示。
(1)测试汽车在两个阶段的加速度a1、a2分别为多大 (5分)
答案:(1)1 m/s2,4 m/s2　
【解析】(1)根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式有v2=2ax
64 m2/s2-100 m2/s2=2a1×18 m
0-64 m2/s2=2a2×(26-18)m
解得a1=-1 m/s2,a2=-4 m/s2
所以测试汽车在两个阶段的加速度大小分别为1 m/s2,4 m/s2
(2)测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为多少 (5分)
答案: (2)4 s
【解析】(2)汽车做加速度大小为a1的匀减速直线运动所用时间t1== s=2 s
汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动所用时间t2== s=
2 s
故测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为t=t1+t2=
2 s+2 s=4 s
【情境创新练】
10.(12分)某辆汽车以6 m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速,又以4 m/s2的加速度匀加速到30 m/s并开启定速巡航模式(开启后汽车会自动保持30 m/s的速度匀速行驶,驾驶员无需再踩油门,若驾驶员踩刹车制动,则定速巡航会自动关闭)。(车辆均可视为质点)
(1)求汽车加速阶段行驶的距离;(4分)
答案:(1)108 m　
【解析】(1)已知v2=30 m/s,v1=6 m/s,a=4 m/s2
汽车做匀加速直线运动,则有=2ax
解得汽车加速阶段行驶的距离x=108 m
(2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭,于是立即报警,在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40 m处。此时一辆警车以10 m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上,然后进行拦截,要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇,然后对失控车进行紧急逼停,求警车加速度的大小。(8分)
答案: (2)5 m/s2
【解析】(2)已知v3=10 m/s,Δx=40 m
设警车的加速度大小为a1,加速到与汽车共速所用时间为t,由运动学公式有v2=v3+a1t
在0~t时间内,警车的位移x1=v3t+a1t2
失控车的位移x2=v2t
由位移关系
Δx=x2-x1=40 m
联立解得t=4 s,a1=5 m/s2核心素养测评 第2讲　匀变速直线运动规律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2025·广西高考)某乘客乘坐的动车进站时,动车速度从36 km/h减小为0,此过程可视为匀减速直线运动,其间该乘客的脉搏跳动了70次。已知他的脉搏跳动每分钟约为60次,则此过程动车行驶距离约为(　　)
A.216 m B.350 m C.600 m D.700 m
【解析】选B。动车运动的时间为t=×70 s=70 s,动车行驶的距离x=t=×70 m=350 m,故选B。
2.(2026·西安模拟)为了测试某品牌汽车的加速性能,汽车试驾员在平直的试车道上竖起了三根标志杆A、B、C,AB=BC=s。汽车(可看成质点)匀加速通过AB、BC用时分别为t1、t2,则该汽车的加速度a的大小为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选B。设前一段时间t1的中间时刻的瞬时速度为v1,后一段时间t2的中间时刻的瞬时速度为v2,所以v1=①,v2=②,根据匀加速直线运动速度-时间公式得:
v2=v1+a(t1+t2)③,联立①②③得:a=,故B正确,A、C、D错误。
3.一汽车以某一速度在平直公路上匀速行驶。行驶过程中,司机忽然发现前方有一警示牌,立即刹车。刹车后汽车立即开始做匀减速直线运动,直至停止。已知从刹车开始计时,汽车在0~2 s内的位移大小为48 m,4~6 s内的位移大小为3 m。用v0、a分别表示汽车匀速行驶时的速度大小及刹车后的加速度大小,则(　　)
A.a= m/s2,v0= m/s
B.a= m/s2,v0= m/s
C.a=8 m/s2,v0=32 m/s
D.a=6 m/s2,v0=30 m/s
【解析】选D。汽车的加速度大小为a,初速度为v0,则汽车在0~2 s内的位移为x1=v0t1a,汽车在4 s时的速度为v=v0-4a,则4~6 s内的位移为x2=vt2a,代入数据解得v0=29.625 m/s,a=5.625 m/s2;但当t3=6 s时,可得速度为v6=-4.125 m/s,这说明在t3=6 s时汽车已停止运动,因此上面的计算不成立。则4~6 s内的位移x2满足0-v2=-2ax2,联立各式计算可得a=6 m/s2,v0=30 m/s,故D正确,A、B、C错误。
4.(科技前沿)2024年4月27日,北京人形机器人创新中心发布全球首个纯电驱机器人“天工”,能以6公里每小时的速度稳定奔跑。在一次实验中,“天工”做匀加速直线运动,依次经过A、B、C、D四点,且经过相邻两点的时间间隔都相等,已知A、B间距为x1,C、D间距为x3,根据题目给出的信息,可以求得的是(　　)
A.B、C间的距离 B.A到D的平均速度
C.加速度的大小 D.A点的速度大小
【解析】选A。根据匀变速直线运动相等时间间隔内的位移之差是一个定值,可知2x2=x1+x3,解得由B到C的位移x2=,故A正确;由于没有给出具体的时间间隔,因而加速度、在A点的速度大小和由A到D的平均速度均求不出,故B、C、D错误。
5.如图,若滑板运动员停止运动前的滑行可近似简化为匀变速直线运动,通过某一段距离AB的平均速度大小为9 m/s,最后停在C点,已知xAB=3xBC,则该运动员经过BC段的平均速度大小为(　　)
A.5 m/s B.4 m/s C.3 m/s D.2 m/s
【解析】选C。末速度为0的匀减速直线运动,可逆向为初速度为0的匀加速直线运动,第1T内、第2T内运动的位移比例为1∶3,可知在AB、BC段运动时间相同,AB段平均速度vAB==9 m/s,则BC段平均速度vBC==3 m/s,故选C。
【综合应用练】
6.(2025·安徽高考)汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站,先做加速度大小为a的匀加速运动,位移大小为x;接着在t时间内做匀速运动;最后做加速度大小也为a的匀减速运动,到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为8x,则(　　)
A.x=at2 B.x=at2
C.x=at2 D.x=at2
【解析】选A。由题意可知,设匀加速直线运动的时间为t',匀速运动的速度为v,
匀加速直线运动阶段,由位移公式得x=t'
根据逆向思维,匀减速直线运动阶段的位移等于匀加速直线运动阶段的位移,则匀速直线运动阶段有8x-x-x=vt,联立解得t'=,再根据x=at'2,解得x=at2,B、C、D错误,A正确。
7.【多选】如图(a)所示,某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程,物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图(b)所示,tA=11.36 s,tB=11.76 s,tC=12.16 s,tD=12.56 s,
tE=12.96 s。已知斜坡是由长为d=0.6 m的地砖拼接而成,且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是(　　)
A.位置A与D间的距离为1.2 m
B.物体在位置A时的速度为零
C.物块在位置D时的速度大小为2.25 m/s
D.物块下滑的加速度大小为1.5 m/s2
【解析】选B、C。
选项 选项剖析 对错
C 由图(b)可知相邻两点间的时间间隔T=0.4 s,物块从C到D的时间间隔与物块从D点到E点的时间间隔相等,所以物块在位置D时的速度为C到E中间时刻的速度,则有vD==2.25 m/s √
D AC段与CE段的时间间隔为t=2T=0.80 s,且xCE-xAC=3d-d=2d,由Δx=at2,可知xCE-xAC=a×(2T)2,代入数据解得a=1.875 m/s2 ×
A 由vD=vA+a×3T,代入数据解得vA=0,则位置A、D间的距离xAD==1.35 m ×
B √
8.【多选】(2026·西安模拟)大象是群居动物,通常是以家庭为单位结团外出。如图所示,一群大象正横穿一条公路,一小象因贪玩落后象群里的象妈妈40 m处时才察觉,于是小象立刻由静止开始以大小为
1 m/s2的加速度追赶象妈妈。若象妈妈以大小为2 m/s的速度匀速前行,小象达到最大速度4 m/s后的速度保持不变。下列说法正确的是(　　)
A.从小象开始追赶象妈妈起,经1 s它们相距最远
B.小象追赶象妈妈的过程中,与象妈妈的最远距离为42 m
C.从小象开始追赶象妈妈起,经20 s小象追上象妈妈
D.小象追赶象妈妈过程中的位移大小为88 m
【解析】选B、D。小象与象妈妈速度相等时,两者相距最远,由v=at得相距最远的时间t=2 s
最远距离xmax=vtt+40 m,得xmax=42 m,故A错误,B正确;小象达到最大速度的时间为t1=,解得t1=4 s,此过程小象的位移为x1=t1,解得x1=8 m
设再经过t2追上象妈妈,则x1+vmaxt2=40 m+v(t1+t2),解得t2=20 s
小象追上象妈妈的时间为t总=t1+t2,解得t总=24 s,故C错误;小象追赶象妈妈过程中的位移大小为x=x1+vmaxt2,解得x=88 m,故D正确。
9.(10分)如图(a),为了测试智能汽车自动防撞系统的性能,智能汽车在水平面上匀速直线前行,通过激光雷达和传感器检测到车头正前方26 m处有静止障碍物时,系统立即自动控制汽车,使之做加速度大小为a1的匀减速直线运动,并向驾驶员发出警告,驾驶员在此次测试中未进行任何操作,汽车继续前行至某处时自动触发“紧急制动”,即在切断动力系统的同时提供阻力使汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动,最终该汽车恰好没有与障碍物发生碰撞。全程汽车速度的平方随位移变化的图像如图(b)所示。
(1)测试汽车在两个阶段的加速度a1、a2分别为多大 (5分)
答案:(1)1 m/s2,4 m/s2　
【解析】(1)根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式有v2=2ax
64 m2/s2-100 m2/s2=2a1×18 m
0-64 m2/s2=2a2×(26-18)m
解得a1=-1 m/s2,a2=-4 m/s2
所以测试汽车在两个阶段的加速度大小分别为1 m/s2,4 m/s2
(2)测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为多少 (5分)
答案: (2)4 s
(2)汽车做加速度大小为a1的匀减速直线运动所用时间t1==
s=2 s
汽车做加速度大小为a2的匀减速直线运动所用时间t2== s=
2 s
故测试汽车从检测到有障碍物到停止运动所用的总时间为t=t1+t2=2 s+2 s=4 s
【情境创新练】
10.(12分)某辆汽车以6 m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速,又以4 m/s2的加速度匀加速到30 m/s并开启定速巡航模式(开启后汽车会自动保持30 m/s的速度匀速行驶,驾驶员无需再踩油门,若驾驶员踩刹车制动,则定速巡航会自动关闭)。(车辆均可视为质点)
(1)求汽车加速阶段行驶的距离;(4分)
答案:(1)108 m　
【解析】(1)已知v2=30 m/s,v1=6 m/s,a=4 m/s2
汽车做匀加速直线运动,则有=2ax
解得汽车加速阶段行驶的距离x=108 m
(2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭,于是立即报警,在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40 m处。此时一辆警车以10 m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上,然后进行拦截,要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇,然后对失控车进行紧急逼停,求警车加速度的大小。(8分)
答案: (2)5 m/s2
【解析】(2)已知v3=10 m/s,Δx=40 m
设警车的加速度大小为a1,加速到与汽车共速所用时间为t,由运动学公式有v2=v3+a1t
在0~t时间内,警车的位移x1=v3t+a1t2
失控车的位移x2=v2t
由位移关系
Δx=x2-x1=40 m
联立解得t=4 s,a1=5 m/s2
- 1 -第2讲　匀变速直线运动规律
学习目标 学后评价
1.掌握匀变速直线运动的基本公式并能熟练应用 完成□　　继续□
2.灵活使用匀变速直线运动的规律解决实际问题 完成□　　继续□
3.掌握匀变速直线运动的相关推论,并能用其解决实际问题 完成□　　继续□
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
1.巧选运动学公式解决问题
适宜选用公式 适用情境
v=v0+at
x=v0t+at2
v2=2ax
x=t
2.矢量符号规定
基本公式中,除时间t外,x、v0、v、a均为矢量。物体做直线运动时,可以用正、负号表示矢量的方向,与规定的正方向同向时为正,与规定的正方向反向时为负。一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,若v0=0,则以a的方向为正方向。
3.解题流程
角度1　匀变速直线运动基本规律的应用
【典例1】【多选】【教材习题改编】(必修一P46T4)滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式,飞机跑道的前一部分水平,跑道尾段略微翘起,如图所示。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的初速度为0,加速度为8.1 m/s2,位移为180 m;后一段的加速度为5.5 m/s2,飞机的离舰速度为56 m/s,下列说法正确的是(　　)
A.跑道尾段的长为20 m
B.飞机起飞过程所需时间约为6.67 s
C.飞机在前一段末的速度为54 m/s
D.飞机在整个起飞过程的平均速率约为28.4 m/s
【编改溯源】
情境不变,变换题干条件,变换设问。
【解析】选A、C、D。由题意可知,飞机在前一段末的速度满足=2a1x1,解得v1=54 m/s,C正确;跑道尾段的长度为x2,由=2a2x2,解得x2=20 m,A正确;飞机前一段时间为t1,由x1=a1,解得t1≈6.67 s,后一段时间为t2,由v2=v1+a2t2,解得t2≈0.36 s,飞机起飞过程所需时间约为t=t1+t2≈7.03 s,B错误;飞机在整个起飞过程的平均速率为v=≈28.4 m/s,D正确。
[母题变式]滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机起飞跑道的前一部分是水平的,跑道尾段部分略微向上翘起(如图所示)。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小,但能使飞机具有斜向上的速度,有利于飞机的起飞。若一架飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的加速度大小a1=5 m/s2,后一段的加速度大小a2=4 m/s2,测得飞机在甲板上运动的总时间为t=8.5 s,运动的总路程为L=180.5 m,已知航母始终处于静止状态。求:
(1)飞机在水平跑道上运动的时间;
答案:(1)8 s　
【解析】(1)设飞机在水平跑道上运动的时间为t1,则其在倾斜跑道上运动的时间为(t-t1),根据运动学公式可得
L=a1+a1t1(t-t1)+a2
解得t1=8 s,另一个舍去
(2)飞机离舰时的速度大小。
答案: (2)42 m/s
【解析】(2)依题意飞机在跑道上做连续的两段匀加速直线运动,可得飞机离舰时的速度大小为
v=a1t1+a2(t-t1)
解得v=42 m/s
角度2　刹车问题
【典例2】川藏线318是自驾旅行爱好者公认的“必经之路”,某自驾旅行爱好者在驾车经过西藏动物保护区时,发现前方路段60 m处忽然冲出一只牦牛,为避免惊扰保护动物,应与其相隔至少10 m,则汽车紧急刹车行驶,已知汽车原来以20 m/s的速度驾驶,刹车加速度大小为5 m/s2,驾驶员反应时间为0.2 s,则下列说法正确的是(　　)
A.汽车不会惊扰牦牛
B.刹车后5 s汽车行驶的位移大小为37.5 m
C.汽车从发现牦牛到停止运动的时间为4.5 s
D.在反应时间内汽车通过的距离为3.8 m
【模型构建】
【解析】选A。驾驶员在反应时间内的位移x1=vt1=20 m/s×0.2 s=4 m,刹车开始到速度减为零的位移x2== m=40 m,总位移x=x1+x2=44 m,汽车停止时与牦牛的距离Δx=60 m-44 m=16 m>10 m,则可知汽车不会惊扰牦牛,故A正确,D错误;汽车从刹车到停止所用时间t2== s=4 s,即汽车刹车后4 s已经停止运动(易错点:先求出从刹车到停止的时间,再进行判断),因此刹车后5 s汽车行驶的位移大小为40 m,故B错误;汽车从发现牦牛到停止运动的时间为t=t1+t2=4.2 s,故C错误。
【归纳总结】
对于刹车类问题,当车的速度为零时,停止运动。利用基本公式求解此类问题时,应先计算车停下所用时间,再选择合适公式求解。
考点二　匀变速直线运动的推论及应用
1.匀变速直线运动推论的应用
推论 常用情景
中间时刻速度公式(平 均速度公式) (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时 (2)处理纸带类问题,计算瞬时速度时
中间位置速度公式 研究匀变速直线运动中的相邻等位移段时
位移差公式 (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时 (2)处理纸带类问题,计算加速度时
比例式 研究初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)中的等时间段或等位移段时
2.逆向思维法
末速度为v的匀减速直线运动的逆过程是反向的加速度相同、初速度为v的匀加速直线运动。两个过程具有对称性,时间对称、位移对称、速度对称。
计算匀减速直线运动的时间、位移、速度时,可转化为计算它的逆过程——匀加速直线运动的时间、位移、速度。
角度1　平均速度法和位移差法
【典例3】(2026·太原模拟)如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的两倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
A.3 m/s　　B.2 m/s　　C.1 m/s　　D.0
【解析】选C。匀变速直线运动平均速度等于初末速度的平均值
则有:=10 m/s,=5 m/s。设公交车加速度大小为a,RS间的距离为x,则ST间的距离为2x,由匀变速直线运动位移—速度公式得:
=-2ax,=-2a·2x,联立得,vR=11 m/s,vS=9 m/s,vT=1 m/s,故C正确,A、B、D错误。
角度2　比例法
【典例4】动车进站时可看作匀减速直线运动,列车停止时,各车厢的车门正好对着站台上对应车厢的候车点,忽略车厢之间的空隙,一乘客站在5号车厢候车点候车,则1号车厢与2、3号车厢在乘客面前经过所用的时间比最接近于(　　)
A.(2)∶(1)
B.(1)∶1
C.2∶
D.()∶1
【解析】选A。根据可逆思想,将动车进站的匀减速直线运动看成初速度为零的反向的匀加速直线运动,根据初速度为零的匀加速直线运动中相邻的相等的位移所用时间之比为1∶(1)∶()∶(2)……,可得1号车厢与2、3号车厢在乘客面前经过所用的时间比为(2)∶(+1)=(2)∶(1)。故选A。
模型建构　 追及相遇模型问题
情境模 型图示 相遇时:x1+x0=x2
物理 规律 单个 物体 运动学公式及推论
物体 之间 相遇时 x1+x0=x2
速度相等时 v1=v2、物体间距离为最大值或最小值
恰好 相遇 速度关系:v1=v2
位移关系:x1+x0=x2
处理 方法 物理 分析 法 建立两物体的运动情境图,分析两物体的速度大小关系,利用速度相等时两物体的位置关系,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离 (1)若速度相等时,xAx0+xB,则A与B会相遇两次
图像 法 根据物体运动的v-t图像或x-t图像,分析它们的速度、位移、位置,通过对速度、位移、位置的比较,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离
解析 法 设经过时间t,二者间的距离Δx=xB+x0-xA,假设追上,则Δx=0。方程中Δ=b2-4ac,Δ<0,追不上;Δ=0,恰好追上,一解;Δ>0,可能两解。或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值
角度1　追及中的距离最值问题及相遇时间问题
【典例1】(2025·潍坊模拟)如图所示,甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
(1)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离Δx;
答案:(1)45 m　
【解析】(1)当两车速度相等时,两者的距离最大,设经过时间t1两者速度相等,由v1=72 km/h=20 m/s,v2=36 km/h=10 m/s
则v1-at1=v2
解得t1=5 s
在t1时间内甲车的位移为
x1=t1=×5 m=75 m
乙车的位移为x2=v2t1=10×5 m=50 m
两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离Δx=x0+x1-x2=
20 m+75 m-50 m=45 m。
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。
答案: (2)12 s
【解析】(2)设经过时间t2甲车停下来,根据运动学公式可得t2=
= s=10 s
在t2时间内,甲车的位移
x1'=t2=×10 m=100 m
乙车的位移为x2'=v2t2=10×10 m=100 m
说明甲车的速度减小到零时,甲、乙两车还相距20 m,两车并排时乙车再运动的时间为
t3== s=2 s
所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间
t=t2+t3=12 s。
【归纳总结】
解决追及、相遇问题的关键
(1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,是分析、判断问题的切入点。
(2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
[变式训练1]在一平直路面上,甲、乙两车做匀变速直线运动,其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻,乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻,甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻,甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
【解析】选A。由v-t图像与横轴所围成的面积表示位移,可知在t=
2 s时刻,甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20-5)×2 m=15 m,因为Δx=x0=15 m,则此时甲车刚好追上乙车,A正确,B错误;由v-t图像的斜率表示加速度,可知a甲= m/s2=5 m/s2,a乙= m/s2=2.5 m/s2,所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小,C错误;0~2 s内两车之间的距离减小,2 s后甲车速度小于乙车速度,两车之间的距离又增大,故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大,D错误。
角度2　临界问题
【典例2】在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车,开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。
【思路导引】
(1)两车不相撞的临界条件是,A车追上B车时其速度与B车相等。
(2)画出运动示意图,设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示。
答案:v0≤
【解析】方法一:物理情境分析法
利用位移公式、速度公式求解,对A车,有
xA=v0t+·(-2a)·t2,vA=v0+(-2a)·t
对B车,有xB=at2,vB=at
两车位移关系有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立以上各式解得v0=
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法二:极值法
利用判别式求解,由方法一可知
xA=x+xB,即v0t+×(-2a)·t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当判别式Δ=(-2v0)2-4·3a·2x=0时,两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法三:图像法
利用v-t图像求解,先作出A、B两车的v-t图像,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车,有vA=v'=v0-2at
对B车,有vB=v'=at
以上两式联立解得t=
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x,它可用图中的阴影部分的面积表示,由图像可知x=v0·t=v0·=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
[变式训练2] 【多选】(2025·聊城模拟)飞盘是一项新兴的运动项目。在某场比赛中,运动员甲以大约10 m/s的速度带飞盘沿直线进攻,他的队友乙正以6 m/s的速度同向奔跑,t=0时刻,两人恰好齐头并进且相距8 m。从该时刻起,乙的速度保持不变,甲由于受到对方队员的围堵,以大小为1 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止。若甲根据经验判断自己与乙之间的距离在10 m以内才有把握成功将球传给乙,从t=0时刻开始,甲在下列哪些时刻伺机把飞盘传出,乙可以顺利接到飞盘(　　)
A.1 s B.4 s C.8 s D.10 s
【解析】选A、C。甲要想把飞盘传给乙,则两人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m,设当经过时间为t时两人之间的同方向距离恰好为6 m,则|v甲tat2-v乙t|=Δx,解得t=2 s或t=6 s或t=(4+2)s,甲停止运动的时间为t0==10 s,两人间距小于10 m时应该在0~2 s和6~(4+2)s之间,故A、C正确。
- 14 -第2讲　匀变速直线运动规律
学习目标 学后评价
1.掌握匀变速直线运动的基本公式并能熟练应用 完成□　　继续□
2.灵活使用匀变速直线运动的规律解决实际问题 完成□　　继续□
3.掌握匀变速直线运动的相关推论,并能用其解决实际问题 完成□　　继续□
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
1.巧选运动学公式解决问题
适宜选用公式 适用情境
v=v0+at
x=v0t+at2
v2=2ax
x=t
2.矢量符号规定
基本公式中,除时间t外,x、v0、v、a均为矢量。物体做直线运动时,可以用正、负号表示矢量的方向,与规定的正方向同向时为正,与规定的正方向反向时为负。一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,若v0=0,则以a的方向为正方向。
3.解题流程
角度1　匀变速直线运动基本规律的应用
【典例1】【多选】【教材习题改编】(必修一P46T4)滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式,飞机跑道的前一部分水平,跑道尾段略微翘起,如图所示。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的初速度为0,加速度为8.1 m/s2,位移为180 m;后一段的加速度为5.5 m/s2,飞机的离舰速度为56 m/s,下列说法正确的是(　　)
A.跑道尾段的长为20 m
B.飞机起飞过程所需时间约为6.67 s
C.飞机在前一段末的速度为54 m/s
D.飞机在整个起飞过程的平均速率约为28.4 m/s
【编改溯源】
情境不变,变换题干条件,变换设问。
[母题变式]滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机起飞跑道的前一部分是水平的,跑道尾段部分略微向上翘起(如图所示)。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小,但能使飞机具有斜向上的速度,有利于飞机的起飞。若一架飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的加速度大小a1=5 m/s2,后一段的加速度大小a2=4 m/s2,测得飞机在甲板上运动的总时间为t=8.5 s,运动的总路程为L=180.5 m,已知航母始终处于静止状态。求:
(1)飞机在水平跑道上运动的时间;
(2)飞机离舰时的速度大小。
角度2　刹车问题
【典例2】川藏线318是自驾旅行爱好者公认的“必经之路”,某自驾旅行爱好者在驾车经过西藏动物保护区时,发现前方路段60 m处忽然冲出一只牦牛,为避免惊扰保护动物,应与其相隔至少10 m,则汽车紧急刹车行驶,已知汽车原来以20 m/s的速度驾驶,刹车加速度大小为5 m/s2,驾驶员反应时间为0.2 s,则下列说法正确的是(　　)
A.汽车不会惊扰牦牛
B.刹车后5 s汽车行驶的位移大小为37.5 m
C.汽车从发现牦牛到停止运动的时间为4.5 s
D.在反应时间内汽车通过的距离为3.8 m
【模型构建】
【归纳总结】
对于刹车类问题,当车的速度为零时,停止运动。利用基本公式求解此类问题时,应先计算车停下所用时间,再选择合适公式求解。
考点二　匀变速直线运动的推论及应用
1.匀变速直线运动推论的应用
推论 常用情景
中间时刻速度公式(平 均速度公式) (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时 (2)处理纸带类问题,计算瞬时速度时
中间位置速度公式 研究匀变速直线运动中的相邻等位移段时
位移差公式 (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时 (2)处理纸带类问题,计算加速度时
比例式 研究初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)中的等时间段或等位移段时
2.逆向思维法
末速度为v的匀减速直线运动的逆过程是反向的加速度相同、初速度为v的匀加速直线运动。两个过程具有对称性,时间对称、位移对称、速度对称。
计算匀减速直线运动的时间、位移、速度时,可转化为计算它的逆过程——匀加速直线运动的时间、位移、速度。
角度1　平均速度法和位移差法
【典例3】(2026·太原模拟)如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的两倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
A.3 m/s　　B.2 m/s　　C.1 m/s　　D.0
角度2　比例法
【典例4】动车进站时可看作匀减速直线运动,列车停止时,各车厢的车门正好对着站台上对应车厢的候车点,忽略车厢之间的空隙,一乘客站在5号车厢候车点候车,则1号车厢与2、3号车厢在乘客面前经过所用的时间比最接近于(　　)
A.(2)∶(1)
B.(1)∶1
C.2∶
D.()∶1
模型建构　 追及相遇模型问题
情境模 型图示 相遇时:x1+x0=x2
物理 规律 单个 物体 运动学公式及推论
物体 之间 相遇时 x1+x0=x2
速度相等时 v1=v2、物体间距离为最大值或最小值
恰好 相遇 速度关系:v1=v2
位移关系:x1+x0=x2
处理 方法 物理 分析 法 建立两物体的运动情境图,分析两物体的速度大小关系,利用速度相等时两物体的位置关系,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离 (1)若速度相等时,xAx0+xB,则A与B会相遇两次
图像 法 根据物体运动的v-t图像或x-t图像,分析它们的速度、位移、位置,通过对速度、位移、位置的比较,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离
解析 法 设经过时间t,二者间的距离Δx=xB+x0-xA,假设追上,则Δx=0。方程中Δ=b2-4ac,Δ<0,追不上;Δ=0,恰好追上,一解;Δ>0,可能两解。或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值
角度1　追及中的距离最值问题及相遇时间问题
【典例1】(2025·潍坊模拟)如图所示,甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
(1)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离Δx;
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。
【归纳总结】
解决追及、相遇问题的关键
(1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,是分析、判断问题的切入点。
(2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
[变式训练1]在一平直路面上,甲、乙两车做匀变速直线运动,其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻,乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻,甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻,甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
角度2　临界问题
【典例2】在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车,开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。
【思路导引】
(1)两车不相撞的临界条件是,A车追上B车时其速度与B车相等。
(2)画出运动示意图,设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示。
[变式训练2] 【多选】(2025·聊城模拟)飞盘是一项新兴的运动项目。在某场比赛中,运动员甲以大约10 m/s的速度带飞盘沿直线进攻,他的队友乙正以6 m/s的速度同向奔跑,t=0时刻,两人恰好齐头并进且相距8 m。从该时刻起,乙的速度保持不变,甲由于受到对方队员的围堵,以大小为1 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止。若甲根据经验判断自己与乙之间的距离在10 m以内才有把握成功将球传给乙,从t=0时刻开始,甲在下列哪些时刻伺机把飞盘传出,乙可以顺利接到飞盘(　　)
A.1 s B.4 s C.8 s D.10 s
- 14 -(共46张PPT)
第2讲　匀变速直线运动规律
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
模型建构　 追及相遇模型问题
考点二　匀变速直线运动的推论及应用
学习目标 学后评价
1.掌握匀变速直线运动的基本公式并能熟练应用 完成□　　继续□
2.灵活使用匀变速直线运动的规律解决实际问题 完成□　　继续□
3.掌握匀变速直线运动的相关推论,并能用其解决实际问题 完成□　　继续□
考点一　匀变速直线运动的基本规律及应用
1.巧选运动学公式解决问题
适宜选用公式 适用情境
v=v0+at
x=v0t+at2
适宜选用公式 适用情境
v2=2ax
x=t
2.矢量符号规定
基本公式中,除时间t外,x、v0、v、a均为矢量。物体做直线运动时,可以用正、负号表示矢量的方向,与规定的正方向同向时为正,与规定的正方向反向时为负。一般情况下,我们规定初速度的方向为正方向,若v0=0,则以a的方向为正方向。
3.解题流程
角度1　匀变速直线运动基本规律的应用
【典例1】【多选】【教材习题改编】(必修一P46T4)滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式,飞机跑道的前一部分水平,跑道尾段略微翘起,如图所示。假设某飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的初速度为0,加速度为8.1 m/s2,位移为180 m;后一段的加速度为5.5 m/s2,飞机的离舰速度为56 m/s,下列说法正确的是(　　)
A.跑道尾段的长为20 m
B.飞机起飞过程所需时间约为6.67 s
C.飞机在前一段末的速度为54 m/s
D.飞机在整个起飞过程的平均速率约为28.4 m/s
√
√
√
【编改溯源】
情境不变,变换题干条件,变换设问。
【解析】选A、C、D。由题意可知,飞机在前一段末的速度满足=2a1x1,解得v1=54 m/s,C正确;跑道尾段的长度为x2,由=2a2x2,解得x2=20 m,A正确;飞机前一段时间为t1,由x1=a1,解得t1≈6.67 s,后一段时间为t2,由v2=v1+a2t2,解得t2≈0.36 s,飞机起飞过程所需时间约为t=t1+t2≈7.03 s,B错误;飞机在整个起飞过程的平均速率为v=≈
28.4 m/s,D正确。
[母题变式]滑跃式起飞是一种航母舰载机的起飞方式。飞机起飞跑道的前一部分是水平的,跑道尾段部分略微向上翘起(如图所示)。飞机在尾段翘起跑道上的运动虽然会使加速度略有减小,但能使飞机具有斜向上的速度,有利于飞机的起飞。若一架飞机滑跃式起飞过程是两段连续的匀加速直线运动,前一段的加速度大小a1=5 m/s2,后一段的加速度大小a2=4 m/s2,测得飞机在甲板上运动的总时间为t=8.5 s,运动的总路程为L=180.5 m,已知航母始终处于静止状态。求:
(1)飞机在水平跑道上运动的时间;
答案:(1)8 s　
【解析】(1)设飞机在水平跑道上运动的时间为t1,则其在倾斜跑道上运动的时间为(t-t1),根据运动学公式可得
L=a1+a1t1(t-t1)+a2
解得t1=8 s,另一个舍去
(2)飞机离舰时的速度大小。
答案: (2)42 m/s
【解析】(2)依题意飞机在跑道上做连续的两段匀加速直线运动,可得飞机离舰时的速度大小为
v=a1t1+a2(t-t1)
解得v=42 m/s
角度2　刹车问题
【典例2】川藏线318是自驾旅行爱好者公认的“必经之路”,某自驾旅行爱好者在驾车经过西藏动物保护区时,发现前方路段60 m处忽然冲出一只牦牛,为避免惊扰保护动物,应与其相隔至少10 m,则汽车紧急刹车行驶,已知汽车原来以20 m/s的速度驾驶,刹车加速度大小为5 m/s2,驾驶员反应时间为0.2 s,则下列说法正确的是(　　)
A.汽车不会惊扰牦牛
B.刹车后5 s汽车行驶的位移大小为37.5 m
C.汽车从发现牦牛到停止运动的时间为4.5 s
D.在反应时间内汽车通过的距离为3.8 m
√
【模型构建】
【解析】选A。驾驶员在反应时间内的位移x1=vt1=20 m/s×0.2 s=4 m,刹车开始到速度减为零的位移x2== m=40 m,总位移x=x1+x2=44 m,汽车停止时与牦牛的距离Δx=60 m-44 m=16 m>10 m,则可知汽车不会惊扰牦牛,故A正确,D错误;汽车从刹车到停止所用时间t2== s=4 s,即汽车刹车后4 s已经停止运动(易错点:先求出从刹车到停止的时间,再进行判断),因此刹车后5 s汽车行驶的位移大小为40 m,故B错误;汽车从发现牦牛到停止运动的时间为t=t1+t2=4.2 s,故C错误。
【归纳总结】
对于刹车类问题,当车的速度为零时,停止运动。利用基本公式求解此类问题时,应先计算车停下所用时间,再选择合适公式求解。
考点二　匀变速直线运动的推论
及应用
1.匀变速直线运动推论的应用
推论 常用情景
中间时刻速度公式(平 均速度公 式) (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时
(2)处理纸带类问题,计算瞬时速度时
推论 常用情景
中间位置速度公式 研究匀变速直线运动中的相邻等位移段时
位移差公式 (1)研究匀变速直线运动中的相邻等时间段时
(2)处理纸带类问题,计算加速度时
推论 常用情景
比例式 研究初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)中的等时间段或等位移段时
2.逆向思维法
末速度为v的匀减速直线运动的逆过程是反向的加速度相同、初速度为v的匀加速直线运动。两个过程具有对称性,时间对称、位移对称、速度对称。
计算匀减速直线运动的时间、位移、速度时,可转化为计算它的逆过程——匀加速直线运动的时间、位移、速度。
角度1　平均速度法和位移差法
【典例3】(2026·太原模拟)如图所示,电动公交车做匀减速直线运动进站,连续经过R、S、T三点,已知ST间的距离是RS的两倍,RS段的平均速度是10 m/s,ST段的平均速度是5 m/s,则公交车经过T点时的瞬时速度为(　　)
A.3 m/s　　B.2 m/s　　C.1 m/s　　D.0
√
【解析】选C。匀变速直线运动平均速度等于初末速度的平均值
则有:=10 m/s,=5 m/s。设公交车加速度大小为a,RS间的距离为x,则ST间的距离为2x,由匀变速直线运动位移—速度公式得:
=-2ax,=-2a·2x,联立得,vR=11 m/s,vS=9 m/s,vT=1 m/s,故C正确,A、B、D错误。
角度2　比例法
【典例4】动车进站时可看作匀减速直线运动,列车停止时,各车厢的车门正好对着站台上对应车厢的候车点,忽略车厢之间的空隙,一乘客站在5号车厢候车点候车,则1号车厢与2、3号车厢在乘客面前经过所用的时间比最接近于(　　)
A.(2)∶(1)
B.(1)∶1
C.2∶
D.()∶1
√
【解析】选A。根据可逆思想,将动车进站的匀减速直线运动看成初速度为零的反向的匀加速直线运动,根据初速度为零的匀加速直线运动中相邻的相等的位移所用时间之比为1∶(1)∶()∶(2)……,可得1号车厢与2、3号车厢在乘客面前经过所用的时间比为(2)∶(+1)=(2)∶(1)。故选A。
模型建构　 追及相遇模型问题
情境模 型图示
相遇时:x1+x0=x2
物理 规律 单个 物体 运动学公式及推论
物体 之间 相遇时 x1+x0=x2
速度相等时 v1=v2、物体间距离为最大值或最小值
恰好 相遇 速度关系:v1=v2
位移关系:x1+x0=x2
处理 方法 物理 分析 法 建立两物体的运动情境图,分析两物体的速度大小关系,利用速度相等时两物体的位置关系,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离
(1)若速度相等时,xA(2)若速度相等时,xA=x0+xB,则A恰好能追上B;
(3)若速度相等时,xA>x0+xB,则A与B会相遇两次
处理 方法 图像 法 根据物体运动的v-t图像或x-t图像,分析它们的速度、位移、位置,通过对速度、位移、位置的比较,判断能否追上,分析二者的最近或最远距离
解析 法 设经过时间t,二者间的距离Δx=xB+x0-xA,假设追上,则Δx=0。方程中Δ=b2-4ac,Δ<0,追不上;Δ=0,恰好追上,一解;Δ>0,可能两解。或利用函数极值求解二者距离最大值或最小值
角度1　追及中的距离最值问题及相遇时间问题
【典例1】(2025·潍坊模拟)如图所示,甲、乙两辆5G自动驾驶测试车,在不同车道上沿同一方向做匀速直线运动,甲车在乙车前,甲车的速度大小v1=72 km/h,乙车的速度大小v2=36 km/h。当甲、乙两车相距x0=20 m时,甲车因前方突发情况紧急刹车,已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动,加速度大小a=2 m/s2,从刹车时开始计时,两车均可看作质点。求:
(1)两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离Δx;
答案:(1)45 m　
【解析】(1)当两车速度相等时,两者的距离最大,设经过时间t1两者速度相等,由v1=72 km/h=20 m/s,v2=36 km/h=10 m/s
则v1-at1=v2 解得t1=5 s
在t1时间内甲车的位移为x1=t1=×5 m=75 m
乙车的位移为x2=v2t1=10×5 m=50 m
两车并排行驶之前,两者在运动方向上的最远距离Δx=x0+x1-x2=
20 m+75 m-50 m=45 m。
(2)从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间t。
答案: (2)12 s
【解析】(2)设经过时间t2甲车停下来,根据运动学公式可得t2=
= s=10 s
在t2时间内,甲车的位移
x1'=t2=×10 m=100 m
乙车的位移为x2'=v2t2=10×10 m=100 m
说明甲车的速度减小到零时,甲、乙两车还相距20 m,两车并排时乙车再运动的时间为
t3== s=2 s
所以从甲车开始减速到两车并排行驶所用时间
t=t2+t3=12 s。
【归纳总结】
解决追及、相遇问题的关键
(1)一个临界条件:速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件,是分析、判断问题的切入点。
(2)两个等量关系:时间等量关系和位移等量关系。通过画草图找出两物体的位移关系是解题的突破口。
[变式训练1]在一平直路面上,甲、乙两车做匀变速直线运动,其速度与时间的关系图像如图。t=0时刻,乙车在甲车前方15 m处。则下列说法正确的是(　　)
A.t=2 s时刻,甲车刚好追上乙车
B.t=4 s时刻,甲车刚好追上乙车
C.乙车的加速度大小大于甲车的加速度大小
D.0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先增大后减小
【解析】选A。由v-t图像与横轴所围成的面积表示位移,可知在t=
2 s时刻,甲车比乙车多走的距离为Δx=×(20-5)×2 m=15 m,因为Δx=x0=15 m,则此时甲车刚好追上乙车,A正确,B错误;由v-t图像的斜率表示加速度,可知a甲= m/s2=5 m/s2,a乙= m/s2=2.5 m/s2,所以乙车的加速度大小小于甲车的加速度大小,C错误;0~2 s内两车之间的距离减小,2 s后甲车速度小于乙车速度,两车之间的距离又增大,故0~4 s过程中甲、乙两车之间的距离先减小后增大,D错误。
角度2　临界问题
【典例2】在水平轨道上有A和B两辆儿童遥控赛车,开始时两者相距x。A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不相撞,求A车的初速度v0满足什么条件。
【思路导引】
(1)两车不相撞的临界条件是,A车追上B车时其速度与B车相等。
(2)画出运动示意图,设A、B两车从相距x到A车追上B车时,A车的位移为xA、末速度为vA、所用时间为t;B车的位移为xB、末速度为vB,运动过程如图所示。
答案:v0≤
【解析】方法一:物理情境分析法
利用位移公式、速度公式求解,对A车,有
xA=v0t+·(-2a)·t2,vA=v0+(-2a)·t
对B车,有xB=at2,vB=at
两车位移关系有x=xA-xB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB
联立以上各式解得v0=
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法二:极值法
利用判别式求解,由方法一可知
xA=x+xB,即v0t+×(-2a)·t2=x+at2
整理得3at2-2v0t+2x=0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当判别式Δ=(-2v0)2-4·3a·2x=0时,两车刚好不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
方法三:图像法
利用v-t图像求解,先作出A、B两车的v-t图像,如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车,有vA=v'=v0-2at
对B车,有vB=v'=at
以上两式联立解得t=
经t时间两车发生的位移之差为原来两车间距离x,它可用图中的阴影部分的面积表示,由图像可知x=v0·t=v0·=
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤。
[变式训练2] 【多选】(2025·聊城模拟)飞盘是一项新兴的运动项目。在某场比赛中,运动员甲以大约10 m/s的速度带飞盘沿直线进攻,他的队友乙正以6 m/s的速度同向奔跑,t=0时刻,两人恰好齐头并进且相距8 m。从该时刻起,乙的速度保持不变,甲由于受到对方队员的围堵,以大小为
1 m/s2的加速度做匀减速直线运动直至停止。若甲根据经验判断自己与乙之间的距离在10 m以内才有把握成功将球传给乙,从t=0时刻开始,甲在下列哪些时刻伺机把飞盘传出,乙可以顺利接到飞盘(　　)
A.1 s B.4 s C.8 s D.10 s
√
√
【解析】选A、C。甲要想把飞盘传给乙,则两人沿同一方向的位移之差小于Δx= m=6 m,设当经过时间为t时两人之间的同方向距离恰好为6 m,则|v甲tat2-v乙t|=Δx,解得t=2 s或t=6 s或t=(4+2)s,甲停止运动的时间为t0==10 s,两人间距小于10 m时应该在0~2 s和6~(4+2)s之间,故A、C正确。

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