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第4讲　运动图像
学习目标 学后评价
1.掌握x-t、v-t图像的意义,会分析其截距、斜率、交点、拐点、面积等意义 完成□　　继续□
2.会用函数思想分析a-t、t、v2-x等非常规图像,会根据图像确定物体的运动情况,解决相关问题 完成□　　继续□
3.掌握运动学图像间的相互转化 完成□　　继续□
考点一　x-t图像
对x-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为位移x
线
斜率
纵截距
特殊点
【典例1】【教材习题改编】(必修一P34T1)小李讲了龟兔沿直线赛道赛跑的故事,故事情节中兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示。下列说法中正确的是(　　)
A.兔子和乌龟是在同一地点、同时出发的
B.乌龟做匀变速直线运动
C.兔子和乌龟在比赛途中相遇过两次
D.兔子先通过预定位移到达终点
【编改溯源】
情境不变,改变考查形式,延伸拓展设问。
【解析】选C。故事中的兔子和乌龟是在同一地点出发的,但不是同时出发,兔子出发较晚,故A错误;x-t图像的斜率表示速度,可知乌龟做的是匀速直线运动,故B错误;由x-t图像可知,两条图线有两个交点,可知兔子和乌龟在比赛途中相遇两次,故C正确;由图像可知,乌龟先通过预定位移到达终点,故D错误。
[母题变式](变设问)龟兔沿直线赛道赛跑的故事中,兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示,下列说法不正确的是(　　)
A.t2时刻和t4时刻乌龟与兔子相遇
B.t1~t2兔子的速度大于乌龟的速度
C.t5~t6兔子的加速度大于乌龟的加速度
D.兔子和乌龟从同一地点开始出发,但兔子出发晚
【解析】选C。t2时刻和t4时刻乌龟与兔子的位置相同,说明二者相遇,故A正确,不符合题意;位移—时间图像的斜率表示速度,由图像可得t1~t2兔子的速度大于乌龟的速度,故B正确,不符合题意;由图像可知,二者做匀速直线运动,故C错误,符合题意;由图像可知,兔子和乌龟都是从位移为零的位置出发,但是出发时刻不相同,乌龟在0时刻出发,兔子在t1时刻出发,故D正确,不符合题意。
考点二　v-t图像
对v-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为速度v
线
斜率
纵截距
面积
特殊点
角度1　v-t图像
【典例2】(2025·海南高考【改编】)如图所示是某汽车通过ETC过程的v-t图像,下列说法正确的是(　　)
A.0~t1内,汽车做匀减速直线运动
B.t1~t2内,汽车静止
C.0~t1和t2~t3内,汽车加速度方向相同
D.0~t1和t2~t3内,汽车速度方向相反
【解析】选A。v-t图像的斜率表示加速度,0~t1时间内加速度为负且恒定,速度为正,加速度方向与速度方向相反,故0~t1时,汽车做匀减速直线运动,故A正确;t1~t2内,汽车做匀速直线运动,故B错误;0~t1内加速度为负,t2~t3内加速度为正,故0~t1和t2~t3内,汽车加速度方向相反,故C错误;0~t1和t2~t3内,汽车速度方向相同,均为正,故D错误。
角度2　v-t图像与相遇问题
【典例3】在足够长的斜面上,使A、B两个相同的小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发,选择沿斜面向上为正方向,它们运动的v-t图像如图所示。在t=4 s时,A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇,据图可知下列说法正确的是(　　)
A.该斜面是光滑斜面
B.t=2 s时,A、B两物块相距最远
C.A、B两物块在斜面上出发时相距50 m
D.t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小相等
【图形剖析】
【解析】选C。开始时A沿斜面上滑,其加速度a1= m/s2=7.5 m/s2,加速度方向沿斜面向下;2 s末开始沿斜面下滑,加速度大小a2
= m/s2=2.5 m/s2,因a1≠a2,则斜面是不光滑的,选项A错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,前2 s内两者距离逐渐减小;t=2 s时,A的速度为零,将要向下运动,B的速度为-10 m/s,向下运动,且向下运动的加速度相等,可知初始时刻相距最远,选项B错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,2 s时A开始向下运动,则A、B两物块在斜面上出发时相距s=t4+t2(t4-t2)=×4 m+×2 m×2 m=50 m,选项C正确;t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小分别为sA=t2(t4-t2)=×2 m×2 m=10 m,sB=t4=×4 m=40 m,选项D错误。
考点三　非常规图像
1.看斜率、截距
对于非常规运动图像,可由物理规律推导出坐标轴对应的两个物理量间的函数关系,根据函数关系来分析图像的斜率、截距的含义。
函数关系 表达式 图像示例 斜率和 纵截距
t =at+v0 k=a b=v0
=v0· +a k=v0 b=a
v2-x v2=2ax+ k=2a b=
2.看面积
a-t 图像 公式依据:at=Δv　面积意义:速度变化量
a-x 图像 公式依据:v2=2ax→ax= 面积意义:速度平方变化量的一半,即
x 图像 公式依据:x=vt→·x=t 面积意义:运动时间t
角度1　a-t图像
【典例4】(2025·山大附中模拟)贵广高铁是连接我国西南、华南地区的高铁大通道,因其串联了我国华南地区和西南地区大片原生态旅游景点和少数民族聚集地。小明同学在贵阳北站乘坐动车时,利用手机加速度传感器测量动车的加速度a随时间t变化的关系。如图所示,6 s时动车由静止开始做加速直线运动,可认为加速度随时间均匀增大,10 s时达到最大加速度1.0 m/s2,并以此加速度做匀加速直线运动直至达到速度252 km/h,随后匀速行驶。对此过程,下列说法正确的是(　　)
A.10 s末动车速度大小为4 m/s
B.6~10 s动车位移大小为4 m
C.动车匀加速运动的时间为248 s
D.动车匀加速运动的位移大小为2.448 km
【解析】选D。a-t图像与坐标轴包围的面积表示速度变化量的大小,由题图可知6~10 s内有Δv=×1×4 m/s=2 m/s,故10 s末速度 v1=
2 m/s,故A错误;如果6~10 s列车做匀变速运动,则位移为x1=×2×
4 m=4 m,但列车做加速度不断增大的加速运动,故6~10 s内位移应小于4 m,故B错误;由于 v2=252 km/h=70 m/s,列车匀加速运动时间 t2== s=68 s,故C错误;列车匀加速运动位移 x2==
2 448 m,故D正确。
角度2　t图像
【典例5】(2026·晋城模拟)甲、乙两辆玩具车在两条平行直轨道上运动,它们运动的 -t图像如图所示。初始时刻,两车在运动方向上相距l=1 m,甲在后、乙在前,下列说法正确的是(　　)
A.甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B.0~t0时间内,甲、乙两车之间的距离先增大后减小
C.t0时刻甲车的速度大小为8 m/s
D.在t=t0时刻甲、乙两车相遇
【解析】选B。由 x=v0t+at2 可得=v0+at,由图像可知,甲车的初速度v0=2 m/s,加速度a=1 m/s2,所以甲车做初速度为2 m/s、加速度为1 m/s2的匀加速直线运动,故A错误;由图像可知,乙车做v=4 m/s的匀速直线运动,设 t0 时刻甲车速度为v',则有=4 m/s,解得v'=6 m/s,故C错误;由 t0= 可得t0=4 s,则0~t0时间内,甲车的位移为x甲=v0t0+a=16 m
乙车的位移为x乙=vt0=16 m,两车相距d=l+x乙-x甲=1 m
即t0时两车未相遇,所以0~t0 时间内,两车之间的距离先逐渐增大,共速后逐渐减小,故B正确,D错误。
【备选例题】
两款遥控电动玩具车通过速度传感器与计算机相连,在场地上进行直线竞速比赛,两玩具车从同一位置同时同向运动,出发点前方20 m处有一标志杆,通过计算机处理得到两玩具车速度的平方v2与位移x的图像关系如图所示,其图线均为倾斜直线,下列说法正确的是(　　)
A.B车的速度变化更快
B.两车相遇前相距最远距离为3 m
C.A车先到达前方标志杆
D.两车可能相遇两次
【思路导引】
【解析】选C。v2=+2ax由此可知=+2aAx,=4 m2/s2+8 m/s2×x,解得=2 m/s,aA=4 m/s2。
同理可得=16 m2/s2+4 m/s2×x,
解得=4 m/s,aB=2 m/s2。
A车的加速度大,A车的速度变化更快,A错误;当两车速度相同时,两车相距最远,则有+aAt=+aBt,解得t=1 s,两车相距最远距离为d=(t+aBt2)-(t+aAt2)=1 m,B错误;A车通过前方20 m标志杆所用时间为tA,tA+aA=20 m,B车通过前方20 m标志杆所用时间为tB,则有tB+aB=20 m,经过计算知tB>tA,A车先到达标志杆,C正确;两车相遇有xA=xB,即t'+aAt'2=t'+aBt'2,解得t'=2 s,只有一解,相遇一次,D错误。
- 10 -第4讲　运动图像
学习目标 学后评价
1.掌握x-t、v-t图像的意义,会分析其截距、斜率、交点、拐点、面积等意义 完成□　　继续□
2.会用函数思想分析a-t、t、v2-x等非常规图像,会根据图像确定物体的运动情况,解决相关问题 完成□　　继续□
3.掌握运动学图像间的相互转化 完成□　　继续□
考点一　x-t图像
对x-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为位移x
线
斜率
纵截距
特殊点
【典例1】【教材习题改编】(必修一P34T1)小李讲了龟兔沿直线赛道赛跑的故事,故事情节中兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示。下列说法中正确的是(　　)
A.兔子和乌龟是在同一地点、同时出发的
B.乌龟做匀变速直线运动
C.兔子和乌龟在比赛途中相遇过两次
D.兔子先通过预定位移到达终点
【编改溯源】
情境不变,改变考查形式,延伸拓展设问。
[母题变式](变设问)龟兔沿直线赛道赛跑的故事中,兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示,下列说法不正确的是(　　)
A.t2时刻和t4时刻乌龟与兔子相遇
B.t1~t2兔子的速度大于乌龟的速度
C.t5~t6兔子的加速度大于乌龟的加速度
D.兔子和乌龟从同一地点开始出发,但兔子出发晚
考点二　v-t图像
对v-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为速度v
线
斜率
纵截距
面积
特殊点
角度1　v-t图像
【典例2】(2025·海南高考【改编】)如图所示是某汽车通过ETC过程的v-t图像,下列说法正确的是(　　)
A.0~t1内,汽车做匀减速直线运动
B.t1~t2内,汽车静止
C.0~t1和t2~t3内,汽车加速度方向相同
D.0~t1和t2~t3内,汽车速度方向相反
角度2　v-t图像与相遇问题
【典例3】在足够长的斜面上,使A、B两个相同的小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发,选择沿斜面向上为正方向,它们运动的v-t图像如图所示。在t=4 s时,A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇,据图可知下列说法正确的是(　　)
A.该斜面是光滑斜面
B.t=2 s时,A、B两物块相距最远
C.A、B两物块在斜面上出发时相距50 m
D.t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小相等
【图形剖析】
考点三　非常规图像
1.看斜率、截距
对于非常规运动图像,可由物理规律推导出坐标轴对应的两个物理量间的函数关系,根据函数关系来分析图像的斜率、截距的含义。
函数关系 表达式 图像示例 斜率和 纵截距
t =at+v0 k=a b=v0
=v0· +a k=v0 b=a
v2-x v2=2ax+ k=2a b=
2.看面积
a-t 图像 公式依据:at=Δv　面积意义:速度变化量
a-x 图像 公式依据:v2=2ax→ax= 面积意义:速度平方变化量的一半,即
x 图像 公式依据:x=vt→·x=t 面积意义:运动时间t
角度1　a-t图像
【典例4】(2025·山大附中模拟)贵广高铁是连接我国西南、华南地区的高铁大通道,因其串联了我国华南地区和西南地区大片原生态旅游景点和少数民族聚集地。小明同学在贵阳北站乘坐动车时,利用手机加速度传感器测量动车的加速度a随时间t变化的关系。如图所示,6 s时动车由静止开始做加速直线运动,可认为加速度随时间均匀增大,10 s时达到最大加速度1.0 m/s2,并以此加速度做匀加速直线运动直至达到速度252 km/h,随后匀速行驶。对此过程,下列说法正确的是(　　)
A.10 s末动车速度大小为4 m/s
B.6~10 s动车位移大小为4 m
C.动车匀加速运动的时间为248 s
D.动车匀加速运动的位移大小为2.448 km
角度2　t图像
【典例5】(2026·晋城模拟)甲、乙两辆玩具车在两条平行直轨道上运动,它们运动的 -t图像如图所示。初始时刻,两车在运动方向上相距l=1 m,甲在后、乙在前,下列说法正确的是(　　)
A.甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B.0~t0时间内,甲、乙两车之间的距离先增大后减小
C.t0时刻甲车的速度大小为8 m/s
D.在t=t0时刻甲、乙两车相遇
【备选例题】
两款遥控电动玩具车通过速度传感器与计算机相连,在场地上进行直线竞速比赛,两玩具车从同一位置同时同向运动,出发点前方20 m处有一标志杆,通过计算机处理得到两玩具车速度的平方v2与位移x的图像关系如图所示,其图线均为倾斜直线,下列说法正确的是(　　)
A.B车的速度变化更快
B.两车相遇前相距最远距离为3 m
C.A车先到达前方标志杆
D.两车可能相遇两次
【思路导引】
- 10 -(共30张PPT)
核心素养测评 第4讲　运动图像
(40分钟　64分)
选择题(1-4题,6-8题,每小题6分,共42分)
【基础巩固练】
1.(2024·甘肃高考)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
A.980 m
B.1 230 m
C.1 430 m
D.1 880 m
√
【解析】选C。v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移,故可得
x=(74-25+94)×20× m=1 430 m,故选C。
2.(科技前沿)2025年7月在法国巴黎,中国无人机编队用2 000架无人机践行“用艺术连接世界”的使命,点亮世界光影之夜。某次测试中,无人机从静止开始由起飞点沿直线飞出80 m时切断遥控器信号,经过一段时间后沿原路径回到起飞点。该过程无人机运动位移x与时间t的关系图像如图所示,则无人机(　　)
A.在t=8 s时开始返回
B.在0~8 s内平均速度大小为10 m/s
C.在t=12 s时速度最大
D.在t=16 s时速度大小为5 m/s
√
【解析】选B。x-t图线的斜率表示速度,由题图可知,t=12 s时,斜率由正变负,即无人机在t=12 s时开始返回,故A错误;在0~8 s内平均速度大小为== m/s=10 m/s,故B正确;x-t图线的斜率表示速度,由题图可知,t=
12 s时斜率为零,即t=12 s时速度为零,故C错误;x-t图线的斜率表示速度,t=16 s时的斜率由题中数据无法计算,故D错误。
3.(体育运动)(2024·河北高考)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的v-t图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A.a点 B.b点
C.c点 D.d点
√
【解析】选A。由图像可知,篮球向下运动,速度为负值。当向下运动到速度最大时篮球与地面接触,运动发生突变,速度方向变为向上并做匀减速运动。故第一次反弹后上升至a点,此时速度第一次向上减为零,到达离地面最远的位置。故四个点中篮球位置最高的是a点,故选A。
4.一质点运动的位移—时间图像如图所示,其中0~t1为直线,t1~t2为抛物线,则有关质点运动的速度—时间图像及加速度—时间图像可能正确的是(　　)
√
【解析】选A。位移—时间图像中,0~t1为直线,则质点做匀速直线运动,t1~t2为抛物线,则质点做匀加速直线运动,故A正确。
5.(8分)(2025·福建高考)某运动员在游泳过程中做直线运动,某次入水后的v-t图像如图所示,各阶段图像均为直线。求:
(1)0~2 s内的平均速度大小;(2分)
答案:(1)2.4 m/s　
【解析】(1)0~2 s内的平均速度= m/s=2.4 m/s
(2)44~46 s内的加速度大小;(3分)
答案: (2)0.1 m/s2　
【解析】(2)44~46 s内的加速度a= m/s2=0.1 m/s2
(3)44~46 s内的位移大小。(3分)
答案: (3)4.2 m
【解析】(3)44~46 s内的位移x= m=4.2 m
【综合应用练】
6.(2026·延安模拟)如图所示的四幅图分别为四个物体做直线运动的图像,下列说法正确的是(　　)
A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的平均速度等于
B.乙图中,物体做匀减速直线运动,其加速度大小为10 m/s2
C.丙图中,若物体从静止开始运动,则在0~6 s内物体的位移等于18 m
D.丁图中,物体做匀加速直线运动,其加速度大小为4 m/s2
√
【解析】选D。若为初速度为0的匀变速直线运动,速度—时间图像应为过原点的一条倾斜的直线,其在0~t0这段时间内的平均速度等于,而该图像在任一时刻的速度(不包括始末)都大于做匀变速直线运动的物体的速度,因此可知其平均速度大于,故A错误;根据v2=2ax,整理可得v2=+2ax,可知该图像的斜率为2a= m/s2 =-10 m/s2,解得a=
-5 m/s2,由此可知,乙图中,物体做匀减速直线运动,其加速度大小为
5 m/s2,故B错误;如果物体做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动,若物体从静止开始运动,根据匀变速直线运动的位移—时间公式x=at2,可得在0~6 s内的位移为x=36 m,但根据图像可知,物体做加速度增大的变加速运动,因此可知,其在0~6 s内的位移大于18 m,故C错误;根据x=v0t+at2,可知图线斜率为a=2 m/s2,则加速度a=4 m/s2,故D正确。
【加固训练】
(2026·孝义模拟)在某地客车和货车在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。客车做初速度为零,加速度大小为a1的匀加速直线运动,货车做初速度为v0,加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止,客、货两车在运动过程中的x-v(位置—速度)图像如图所示,其中,虚线与对应的坐标轴垂直。在两车从开始运动至货车停止运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.货车的加速度大小为2 m/s2
B.两车同时到达6 m处
C.两车最大间距为18 m
D.货车运动的位移为16 m
√
【解析】选C。根据图像可知,客车的速度随位移增大而增大,货车的速度随位移增大而减小。当x=0时,货车的初速度为v0=6 m/s;当两者的位移均为x1=6 m时它们的速度相同(设为v),由运动学公式得:
对客车有v2=2a1x1,对货车有v2=-2a2x1,联立解得:a1+a2=3 m/s2
当客车的速度v1=8 m/s,货车的速度v2=2 m/s时,两车通过相同的位移(设为x2),由运动学公式得:
对客车有=2a1x2,对货车有=-2a2x2
联立解得:a1=2 m/s2,a2=1 m/s2,v=2 m/s,故A错误;客车到达6 m处的时间为t1=,解得:t1= s,货车到达6 m处的时间为t2=,解得t2=(6-2) s
可得两车不是同时达到6 m处,故B错误;货车运动到速度为零所用时间为t3=,解得:t3=6 s
设两车速度相同时所用时间为t4,
则有:v0-a2t4=a1t4,解得:t4=2 s
作出两车的v-t图像如图所示:
根据v-t图像与时间轴围成的面积表示位移,可知货车停止运动时,即t=
6 s时两车的间距最大,最大间距为Δxm=×12×6 m×6×6 m=18 m,故C正确;根据v-t图像与时间轴围成的面积表示位移,可知货车运动的位移为x货=×6×6 m=18 m,故D错误。
7. 【多选】甲、乙两车从同一地点同时出发做直线运动,其v-t图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.甲车做加速度增大的减速运动
B.t1时刻甲、乙两车相遇
C.t1~t2时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
D.0~t1时间内甲车一直在乙车之前
√
√
【解析】选A、D。由v-t图像的斜率表示加速度,根据图像可知,甲车做加速度增大的减速运动,故A正确;由v-t图像面积表示位移,根据图像可知,0~t1时间内两车的位移不相等,由于两车同时同一地点出发,可知,t1时刻甲、乙两车未相遇,故B错误;由v-t图像面积表位移,根据图像可知,t1~t2时间内甲车的位移小于乙车的位移,则甲车的平均速度小于乙车的平均速度,故C错误;由v-t图像面积表示位移,根据图像可知,0~t1时间内甲车的位移一直比乙车的位移大,甲车一直在乙车之前,故D正确。
8.在飞机降落过程中,利用传感器得到飞机从接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中,飞机的关系图像,如图所示,则下列说法中不正确的是(　　)
A.飞机先做匀速直线运动,后做匀减速直线运动
B.飞机刚接触平直跑道时的速度为75 m/s
C.图中b数值为
D.飞机从刚接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中运动的位移
为1.5 km
√
【解析】选D。由匀速直线运动位移的公式x=v0t,得=v0,由匀变速直
线运动的位移公式x=v0t+at2,得=v0+a,结合题图知飞机先做匀速直
线运动,后做匀减速直线运动,故A正确;由图像交点可得= m/s2、
v0= m/s,解得a=-1.875 m/s2、v0=75 m/s,故B正确;飞机做匀减速所用
的时间为t== s=40 s,则80 s s=40 s,解得b=,故C正确;飞机
做匀减速运动的位移为x=t=×40 m=1.5 km,由于飞机先做匀速直线
运动后做匀减速直线运动,则飞机在跑道上运动的位移大于1.5 km,故D
错误。选不正确的,故选D。
【总结提升】处理图像问题的操作流程:
【情境创新练】
9.(14分)ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图甲,汽车以
15 m/s的速度行驶,如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经过20 s缴费后,再加速至15 m/s行驶;如果过ETC通道,需要在中心线前方10 m处减速至5 m/s,匀速到达中心线后,再加速至15 m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1 m/s2。
(1)求汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程;(4分)
答案:(1)225 m　
【解析】(1)汽车过人工收费通道,设从收费前减速到速度减为0通过的位移为x1,则有02=2(-a)x1
解得x1=112.5 m
设汽车缴费后再加速至15 m/s通过的位移为x2,则=2ax2
解得x2=112.5 m
则汽车从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程为s=x1+x2=225 m
(2)求汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多少时间;(5分)
答案: (2)27 s　
【解析】(2)汽车过人工收费通道,收费前减速和收费后加速的时间t减
=t加== s=15 s
汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共所用时间为t总=t减+t停+t加=(15+20+15)s=50 s
汽车通过ETC通道时,速度减速至5 m/s所用时间为t1== s=
10 s
减速过程通过的位移为
x减=×10 m=100 m
以5 m/s通过位移10 m所用时间为t2= s=2 s
从5 m/s加速至15 m/s所用时间为t3== s=10 s
加速过程通过的位移为
x加=×10 m=100 m
以上三个过程汽车通过的位移一共为x减+x匀+x加=(100+10+100)m=
210 m
则有t4= s=1 s
可知汽车通过ETC通道时,通过路程为225 m所用的总时间为t'总=t1+t2+t3+t4=23 s
汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为Δt=t总-t'总=(50-23)s=27 s
(3)若汽车过人工收费通道时,驾驶员为避免突然刹车让乘客有明显不舒服的顿挫感,刹车时加速度大小随时间变化规律如图乙所示,且刹车结束时车辆恰好停在收费站中心线处,求此次刹车距离。(5分)
答案: (3)225 m
【解析】(3)设刹车过程的加速度的最大值为amax,由题意可画出汽车刹车过程的v-t图像如图中A所示。由v-t图像知,在2t时间内汽车刹车位移,与以相同初速度经相同时间减速至0的匀减速直线运动位移相同(如B所示)。
设上述假设的匀减速运动的加速度大小为a″,则0=v0amax·2t,
0=v0-a″·2t
得a″=0.5 m/s2
由运动学公式知02=2(-a″)x
解得x=225 m(共33张PPT)
第4讲　运动图像
考点一　x-t图像
考点三　非常规图像
考点二　v-t图像
学习目标 学后评价
1.掌握x-t、v-t图像的意义,会分析其截距、斜率、交点、拐点、面积等意义 完成□　　继续□
2.会用函数思想分析a-t、t、v2-x等非常规图像,会根据图像确定物体的运动情况,解决相关问题 完成□　　继续□
3.掌握运动学图像间的相互转化 完成□　　继续□
考点一　x-t图像
对x-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为位移x
线
斜率
项目 图像示例
纵截距
特殊点
【典例1】【教材习题改编】(必修一P34T1)小李讲了龟兔沿直线赛道赛跑的故事,故事情节中兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示。下列说法中正确的是(　　)
A.兔子和乌龟是在同一地点、同时出发的
B.乌龟做匀变速直线运动
C.兔子和乌龟在比赛途中相遇过两次
D.兔子先通过预定位移到达终点
√
【编改溯源】
情境不变,改变考查形式,延伸拓展设问。
【解析】选C。故事中的兔子和乌龟是在同一地点出发的,但不是同时出发,兔子出发较晚,故A错误;x-t图像的斜率表示速度,可知乌龟做的是匀速直线运动,故B错误;由x-t图像可知,两条图线有两个交点,可知兔子和乌龟在比赛途中相遇两次,故C正确;由图像可知,乌龟先通过预定位移到达终点,故D错误。
[母题变式](变设问)龟兔沿直线赛道赛跑的故事中,兔子和乌龟运动的x-t图像如图所示,下列说法不正确的是(　　)
A.t2时刻和t4时刻乌龟与兔子相遇
B.t1~t2兔子的速度大于乌龟的速度
C.t5~t6兔子的加速度大于乌龟的加速度
D.兔子和乌龟从同一地点开始出发,但兔子出发晚
√
【解析】选C。t2时刻和t4时刻乌龟与兔子的位置相同,说明二者相遇,故A正确,不符合题意;位移—时间图像的斜率表示速度,由图像可得t1~t2兔子的速度大于乌龟的速度,故B正确,不符合题意;由图像可知,二者做匀速直线运动,故C错误,符合题意;由图像可知,兔子和乌龟都是从位移为零的位置出发,但是出发时刻不相同,乌龟在0时刻出发,兔子在t1时刻出发,故D正确,不符合题意。
考点二　v-t图像
对v-t图像的理解
项目 图像示例
轴 横轴为时间t,纵轴为速度v
线
项目 图像示例
斜率
纵截距
项目 图像示例
面积
特殊点
角度1　v-t图像
【典例2】(2025·海南高考【改编】)如图所示是某汽车通过ETC过程的v-t图像,下列说法正确的是(　　)
A.0~t1内,汽车做匀减速直线运动
B.t1~t2内,汽车静止
C.0~t1和t2~t3内,汽车加速度方向相同
D.0~t1和t2~t3内,汽车速度方向相反
√
【解析】选A。v-t图像的斜率表示加速度,0~t1时间内加速度为负且恒定,速度为正,加速度方向与速度方向相反,故0~t1时,汽车做匀减速直线运动,故A正确;t1~t2内,汽车做匀速直线运动,故B错误;0~t1内加速度为负,t2~t3内加速度为正,故0~t1和t2~t3内,汽车加速度方向相反,故C错误;0~t1和t2~t3内,汽车速度方向相同,均为正,故D错误。
角度2　v-t图像与相遇问题
【典例3】在足够长的斜面上,使A、B两个相同的小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发,选择沿斜面向上为正方向,它们运动的v-t图像如图所示。在t=4 s时,A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇,据图可知下列说法正确的是(　　)
A.该斜面是光滑斜面
B.t=2 s时,A、B两物块相距最远
C.A、B两物块在斜面上出发时相距50 m
D.t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小相等
√
【图形剖析】
【解析】选C。开始时A沿斜面上滑,其加速度a1= m/s2=7.5 m/s2,加速度方向沿斜面向下;2 s末开始沿斜面下滑,加速度大小a2= m/s2=
2.5 m/s2,因a1≠a2,则斜面是不光滑的,选项A错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,前2 s内两者距离逐渐减小;t=2 s时,A的速度为零,将要向下运动,B的速度为-10 m/s,向下运动,且向下运动的加速度相等,可知初始时刻相距最远,选项B错误;由题意可知,4 s末两物块相遇,则开始运动时A沿斜面向
上运动,B在A的上方沿斜面向下运动,2 s时A开始向下运动,则A、B两物块在斜面上出发时相距s=t4+t2(t4-t2)=×4 m+×
2 m×2 m=50 m,选项C正确;t=4 s时,A、B两物块相对于出发点的位移大小分别为sA=t2(t4-t2)=×2 m×2 m=10 m,sB=t4
=×4 m=40 m,选项D错误。
考点三　非常规图像
1.看斜率、截距
对于非常规运动图像,可由物理规律推导出坐标轴对应的两个物理量间的函数关系,根据函数关系来分析图像的斜率、截距的含义。
函数关系 表达式 图像示例 斜率和
纵截距
t =at+v0 k=a
b=v0
函数关系 表达式 图像示例 斜率和
纵截距
=v0· +a k=v0
b=a
v2-x v2=2ax+ k=2a
b=
2.看面积
a-t 图像
公式依据:at=Δv　面积意义:速度变化量
a-x 图像
公式依据:v2=2ax→ax=
面积意义:速度平方变化量的一半,即
x 图像
公式依据:x=vt→·x=t
面积意义:运动时间t
角度1　a-t图像
【典例4】(2025·山大附中模拟)贵广高铁是连接我国西南、华南地区的高铁大通道,因其串联了我国华南地区和西南地区大片原生态旅游景点和少数民族聚集地。小明同学在贵阳北站乘坐动车时,利用手机加速度传感器测量动车的加速度a随时间t变化的关系。如图所示,6 s时动车由静止开始做加速直线运动,可认为加速度随时间均匀增大,10 s时达到最大加速度1.0 m/s2,并以此加速度做匀加速直线运动直至达到速度
252 km/h,随后匀速行驶。对此过程,下列说法正确的是(　　)
A.10 s末动车速度大小为4 m/s
B.6~10 s动车位移大小为4 m
C.动车匀加速运动的时间为248 s
D.动车匀加速运动的位移大小为2.448 km
√
【解析】选D。a-t图像与坐标轴包围的面积表示速度变化量的大小,由题图可知6~10 s内有Δv=×1×4 m/s=2 m/s,故10 s末速度 v1=2 m/s,故A错误;如果6~10 s列车做匀变速运动,则位移为x1=×2×4 m=4 m,但列车做加速度不断增大的加速运动,故6~10 s内位移应小于4 m,故B错误;由于 v2=252 km/h=70 m/s,列车匀加速运动时间 t2== s=68 s,故C错误;列车匀加速运动位移 x2==2 448 m,故D正确。
角度2　t图像
【典例5】(2026·晋城模拟)甲、乙两辆玩具车在两条平行直轨道上运动,它们运动的 -t图像如图所示。初始时刻,两车在运动方向上相距l=1 m,甲在后、乙在前,下列说法正确的是(　　)
A.甲车的加速度大小为0.5 m/s2
B.0~t0时间内,甲、乙两车之间的距离先增大后减小
C.t0时刻甲车的速度大小为8 m/s
D.在t=t0时刻甲、乙两车相遇
√
【解析】选B。由 x=v0t+at2 可得=v0+at,由图像可知,甲车的初速度v0=2 m/s,加速度a=1 m/s2,所以甲车做初速度为2 m/s、加速度为1 m/s2的匀加速直线运动,故A错误;由图像可知,乙车做v=4 m/s的匀速直线运动,设 t0 时刻甲车速度为v',则有=4 m/s,解得v'=6 m/s,故C错误;由 t0= 可得t0=4 s,则0~t0时间内,甲车的位移为x甲=v0t0+a=16 m
乙车的位移为x乙=vt0=16 m,两车相距d=l+x乙-x甲=1 m
即t0时两车未相遇,所以0~t0 时间内,两车之间的距离先逐渐增大,共速后逐渐减小,故B正确,D错误。
【备选例题】
两款遥控电动玩具车通过速度传感器与计算机相连,在场地上进行直线竞速比赛,两玩具车从同一位置同时同向运动,出发点前方20 m处有一标志杆,通过计算机处理得到两玩具车速度的平方v2与位移x的图像关系如图所示,其图线均为倾斜直线,下列说法正确的是(　　)
A.B车的速度变化更快
B.两车相遇前相距最远距离为3 m
C.A车先到达前方标志杆
D.两车可能相遇两次
√
【思路导引】
【解析】选C。v2=+2ax由此可知=+2aAx,=4 m2/s2+8 m/s2×x,解得=2 m/s,aA=4 m/s2。
同理可得=16 m2/s2+4 m/s2×x,
解得=4 m/s,aB=2 m/s2。
A车的加速度大,A车的速度变化更快,A错误;当两车速度相同时,两车相距最远,则有+aAt=+aBt,解得t=1 s,两车相距最远距离为d=(t+aBt2)-(t+aAt2)=1 m,B错误;A车通过前方20 m标志杆所用

时间为tA,tA+aA=20 m,B车通过前方20 m标志杆所用时间为tB,则有tB+aB=20 m,经过计算知tB>tA,A车先到达标志杆,C正确;两车相遇有xA=xB,即t'+aAt'2=t'+aBt'2,解得t'=2 s,只有一解,相遇一次,D错误。核心素养测评 第4讲　运动图像
(40分钟　64分)
选择题(1-4题,6-8题,每小题6分,共42分)
【基础巩固练】
1.(2024·甘肃高考)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
2.(科技前沿)2025年7月在法国巴黎,中国无人机编队用2 000架无人机践行“用艺术连接世界”的使命,点亮世界光影之夜。某次测试中,无人机从静止开始由起飞点沿直线飞出80 m时切断遥控器信号,经过一段时间后沿原路径回到起飞点。该过程无人机运动位移x与时间t的关系图像如图所示,则无人机(　　)
A.在t=8 s时开始返回
B.在0~8 s内平均速度大小为10 m/s
C.在t=12 s时速度最大
D.在t=16 s时速度大小为5 m/s
3.(体育运动)(2024·河北高考)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的v-t图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
4.一质点运动的位移—时间图像如图所示,其中0~t1为直线,t1~t2为抛物线,则有关质点运动的速度—时间图像及加速度—时间图像可能正确的是(　　)
5.(8分)(2025·福建高考)某运动员在游泳过程中做直线运动,某次入水后的v-t图像如图所示,各阶段图像均为直线。求:
(1)0~2 s内的平均速度大小;(2分)
(2)44~46 s内的加速度大小;(3分)
(3)44~46 s内的位移大小。(3分)
【综合应用练】
6.(2026·延安模拟)如图所示的四幅图分别为四个物体做直线运动的图像,下列说法正确的是(　　)
A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的平均速度等于
B.乙图中,物体做匀减速直线运动,其加速度大小为10 m/s2
C.丙图中,若物体从静止开始运动,则在0~6 s内物体的位移等于
18 m
D.丁图中,物体做匀加速直线运动,其加速度大小为4 m/s2
【加固训练】
(2026·孝义模拟)在某地客车和货车在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。客车做初速度为零,加速度大小为a1的匀加速直线运动,货车做初速度为v0,加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止,客、货两车在运动过程中的x-v(位置—速度)图像如图所示,其中,虚线与对应的坐标轴垂直。在两车从开始运动至货车停止运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.货车的加速度大小为2 m/s2
B.两车同时到达6 m处
C.两车最大间距为18 m
D.货车运动的位移为16 m
7. 【多选】甲、乙两车从同一地点同时出发做直线运动,其v-t图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.甲车做加速度增大的减速运动
B.t1时刻甲、乙两车相遇
C.t1~t2时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
D.0~t1时间内甲车一直在乙车之前
8.在飞机降落过程中,利用传感器得到飞机从接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中,飞机的关系图像,如图所示,则下列说法中不正确的是(　　)
A.飞机先做匀速直线运动,后做匀减速直线运动
B.飞机刚接触平直跑道时的速度为75 m/s
C.图中b数值为
D.飞机从刚接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中运动的位移为1.5 km
【总结提升】处理图像问题的操作流程:
【情境创新练】
9.(14分)ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图甲,汽车以15 m/s的速度行驶,如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经过20 s缴费后,再加速至15 m/s行驶;如果过ETC通道,需要在中心线前方10 m处减速至5 m/s,匀速到达中心线后,再加速至15 m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1 m/s2。
(1)求汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程;(4分)
(2)求汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多少时间;(5分)
(3)若汽车过人工收费通道时,驾驶员为避免突然刹车让乘客有明显不舒服的顿挫感,刹车时加速度大小随时间变化规律如图乙所示,且刹车结束时车辆恰好停在收费站中心线处,求此次刹车距离。(5分)
- 11 -核心素养测评 第4讲　运动图像
(40分钟　64分)
选择题(1-4题,6-8题,每小题6分,共42分)
【基础巩固练】
1.(2024·甘肃高考)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
【解析】选C。v-t图像中图线与横轴围成的面积表示位移,故可得
x=(74-25+94)×20× m=1 430 m,故选C。
2.(科技前沿)2025年7月在法国巴黎,中国无人机编队用2 000架无人机践行“用艺术连接世界”的使命,点亮世界光影之夜。某次测试中,无人机从静止开始由起飞点沿直线飞出80 m时切断遥控器信号,经过一段时间后沿原路径回到起飞点。该过程无人机运动位移x与时间t的关系图像如图所示,则无人机(　　)
A.在t=8 s时开始返回
B.在0~8 s内平均速度大小为10 m/s
C.在t=12 s时速度最大
D.在t=16 s时速度大小为5 m/s
【解析】选B。x-t图线的斜率表示速度,由题图可知,t=12 s时,斜率由正变负,即无人机在t=12 s时开始返回,故A错误;在0~8 s内平均速度大小为== m/s=10 m/s,故B正确;x-t图线的斜率表示速度,由题图可知,t=12 s时斜率为零,即t=12 s时速度为零,故C错误;x-t图线的斜率表示速度,t=16 s时的斜率由题中数据无法计算,故D错误。
3.(体育运动)(2024·河北高考)篮球比赛前,常通过观察篮球从一定高度由静止下落后的反弹情况判断篮球的弹性。某同学拍摄了该过程,并得出了篮球运动的v-t图像,如图所示。图像中a、b、c、d四点中对应篮球位置最高的是(　　)
A.a点 B.b点 C.c点 D.d点
【解析】选A。由图像可知,篮球向下运动,速度为负值。当向下运动到速度最大时篮球与地面接触,运动发生突变,速度方向变为向上并做匀减速运动。故第一次反弹后上升至a点,此时速度第一次向上减为零,到达离地面最远的位置。故四个点中篮球位置最高的是a点,故选A。
4.一质点运动的位移—时间图像如图所示,其中0~t1为直线,t1~t2为抛物线,则有关质点运动的速度—时间图像及加速度—时间图像可能正确的是(　　)
【解析】选A。位移—时间图像中,0~t1为直线,则质点做匀速直线运动,t1~t2为抛物线,则质点做匀加速直线运动,故A正确。
5.(8分)(2025·福建高考)某运动员在游泳过程中做直线运动,某次入水后的v-t图像如图所示,各阶段图像均为直线。求:
(1)0~2 s内的平均速度大小;(2分)
答案:(1)2.4 m/s　
【解析】(1)0~2 s内的平均速度= m/s=2.4 m/s
(2)44~46 s内的加速度大小;(3分)
答案: (2)0.1 m/s2　
【解析】(2)44~46 s内的加速度a= m/s2=0.1 m/s2
(3)44~46 s内的位移大小。(3分)
答案: (3)4.2 m
【解析】(3)44~46 s内的位移x= m=4.2 m
【综合应用练】
6.(2026·延安模拟)如图所示的四幅图分别为四个物体做直线运动的图像,下列说法正确的是(　　)
A.甲图中,物体在0~t0这段时间内的平均速度等于
B.乙图中,物体做匀减速直线运动,其加速度大小为10 m/s2
C.丙图中,若物体从静止开始运动,则在0~6 s内物体的位移等于
18 m
D.丁图中,物体做匀加速直线运动,其加速度大小为4 m/s2
【解析】选D。若为初速度为0的匀变速直线运动,速度—时间图像应为过原点的一条倾斜的直线,其在0~t0这段时间内的平均速度等于,而该图像在任一时刻的速度(不包括始末)都大于做匀变速直线运动的物体的速度,因此可知其平均速度大于,故A错误;根据v2=2ax,整理可得v2=+2ax,可知该图像的斜率为2a= m/s2 =-10 m/s2,解得a=-5 m/s2,由此可知,乙图中,物体做匀减速直线运动,其加速度大小为5 m/s2,故B错误;如果物体做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动,若物体从静止开始运动,根据匀变速直线运动的位移—时间公式x=at2,可得在0~6 s内的位移为x=36 m,但根据图像可知,物体做加速度增大的变加速运动,因此可知,其在0~6 s内的位移大于18 m,故C错误;根据x=v0t+at2,可知图线斜率为a=2 m/s2,则加速度a=4 m/s2,故D正确。
【加固训练】
(2026·孝义模拟)在某地客车和货车在同一时刻、从同一地点沿同一方向做直线运动。客车做初速度为零,加速度大小为a1的匀加速直线运动,货车做初速度为v0,加速度大小为a2的匀减速直线运动至速度减为零后保持静止,客、货两车在运动过程中的x-v(位置—速度)图像如图所示,其中,虚线与对应的坐标轴垂直。在两车从开始运动至货车停止运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.货车的加速度大小为2 m/s2
B.两车同时到达6 m处
C.两车最大间距为18 m
D.货车运动的位移为16 m
【解析】选C。根据图像可知,客车的速度随位移增大而增大,货车的速度随位移增大而减小。当x=0时,货车的初速度为v0=6 m/s;当两者的位移均为x1=6 m时它们的速度相同(设为v),由运动学公式得:
对客车有v2=2a1x1,对货车有v2=-2a2x1,联立解得:a1+a2=3 m/s2
当客车的速度v1=8 m/s,货车的速度v2=2 m/s时,两车通过相同的位移(设为x2),由运动学公式得:
对客车有=2a1x2,对货车有=-2a2x2
联立解得:a1=2 m/s2,a2=1 m/s2,v=2 m/s,故A错误;客车到达6 m处的时间为t1=,解得:t1= s,货车到达6 m处的时间为t2=,解得t2=(6-2) s
可得两车不是同时达到6 m处,故B错误;货车运动到速度为零所用时间为t3=,解得:t3=6 s
设两车速度相同时所用时间为t4,则有:v0-a2t4=a1t4,解得:t4=2 s
作出两车的v-t图像如图所示:
根据v-t图像与时间轴围成的面积表示位移,可知货车停止运动时,即t=6 s时两车的间距最大,最大间距为Δxm=×12×6 m×6×6 m=
18 m,故C正确;根据v-t图像与时间轴围成的面积表示位移,可知货车运动的位移为x货=×6×6 m=18 m,故D错误。
7. 【多选】甲、乙两车从同一地点同时出发做直线运动,其v-t图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.甲车做加速度增大的减速运动
B.t1时刻甲、乙两车相遇
C.t1~t2时间内甲车的平均速度大于乙车的平均速度
D.0~t1时间内甲车一直在乙车之前
【解析】选A、D。
由v-t图像的斜率表示加速度,根据图像可知,甲车做加速度增大的减速运动,故A正确;由v-t图像面积表示位移,根据图像可知,0~t1时间内两车的位移不相等,由于两车同时同一地点出发,可知,t1时刻甲、乙两车未相遇,故B错误;由v-t图像面积表位移,根据图像可知,t1~t2时间内甲车的位移小于乙车的位移,则甲车的平均速度小于乙车的平均速度,故C错误;由v-t图像面积表示位移,根据图像可知,0~t1时间内甲车的位移一直比乙车的位移大,甲车一直在乙车之前,故D正确。
8.在飞机降落过程中,利用传感器得到飞机从接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中,飞机的关系图像,如图所示,则下列说法中不正确的是(　　)
A.飞机先做匀速直线运动,后做匀减速直线运动
B.飞机刚接触平直跑道时的速度为75 m/s
C.图中b数值为
D.飞机从刚接触平直跑道到最终停止在跑道上的过程中运动的位移为1.5 km
【解析】选D。由匀速直线运动位移的公式x=v0t,得=v0,由匀变速直线运动的位移公式x=v0t+at2,得=v0+a,结合题图知飞机先做匀速直线运动,后做匀减速直线运动,故A正确;由图像交点可得= m/s2、v0= m/s,解得a=-1.875 m/s2、v0=75 m/s,故B正确;飞机做匀减速所用的时间为t== s=40 s,则80 s s=40 s,解得b=,故C正确;飞机做匀减速运动的位移为x=t=×40 m=1.5 km,由于飞机先做匀速直线运动后做匀减速直线运动,则飞机在跑道上运动的位移大于1.5 km,故D错误。选不正确的,故选D。
【总结提升】处理图像问题的操作流程:
【情境创新练】
9.(14分)ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。如图甲,汽车以15 m/s的速度行驶,如果过人工收费通道,需要在收费站中心线处减速至0,经过20 s缴费后,再加速至15 m/s行驶;如果过ETC通道,需要在中心线前方10 m处减速至5 m/s,匀速到达中心线后,再加速至15 m/s行驶。设汽车加速和减速的加速度大小均为1 m/s2。
(1)求汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程;(4分)
答案:(1)225 m　
【解析】(1)汽车过人工收费通道,设从收费前减速到速度减为0通过的位移为x1,则有
02=2(-a)x1
解得x1=112.5 m
设汽车缴费后再加速至15 m/s通过的位移为x2,则=2ax2
解得x2=112.5 m
则汽车从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共通过的路程为s=x1+x2=225 m
(2)求汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多少时间;(5分)
答案: (2)27 s　
【解析】(2)汽车过人工收费通道,收费前减速和收费后加速的时间t减=t加== s=15 s
汽车过人工收费通道,从收费前减速开始,到收费后加速结束,总共所用时间为t总=t减+t停+t加=(15+20+15)s=50 s
汽车通过ETC通道时,速度减速至5 m/s所用时间为t1== s=
10 s
减速过程通过的位移为
x减=×10 m=100 m
以5 m/s通过位移10 m所用时间为t2= s=2 s
从5 m/s加速至15 m/s所用时间为t3== s=10 s
加速过程通过的位移为
x加=×10 m=100 m
以上三个过程汽车通过的位移一共为x减+x匀+x加=(100+10+100)m=210 m
则有t4= s=1 s
可知汽车通过ETC通道时,通过路程为225 m所用的总时间为t'总=t1+t2+t3+t4=23 s
汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为Δt=t总-t'总=(50-23)s=27 s
(3)若汽车过人工收费通道时,驾驶员为避免突然刹车让乘客有明显不舒服的顿挫感,刹车时加速度大小随时间变化规律如图乙所示,且刹车结束时车辆恰好停在收费站中心线处,求此次刹车距离。(5分)
答案: (3)225 m
【解析】(3)设刹车过程的加速度的最大值为amax,由题意可画出汽车刹车过程的v-t图像如图中A所示。由v-t图像知,在2t时间内汽车刹车位移,与以相同初速度经相同时间减速至0的匀减速直线运动位移相同(如B所示)。
设上述假设的匀减速运动的加速度大小为a″,则0=v0amax·2t,0=v0-a″·2t
得a″=0.5 m/s2
由运动学公式知02=2(-a″)x
解得x=225 m
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