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专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式呈现,尤其是“动态平衡问题”,以选择题出现的频次较高
方法规律 三类规律:平衡条件、平行四边形定则、三角形定则 三种方法:图像法、解析法、临界法
关键能力 三种能力:理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力
考点一　动态平衡问题
物理 规律 状态 特点 缓慢变化过程中,物体始终满足平衡条件
受力 特点 物体受到的某个或某几个作用力发生缓慢变化
解题 方法 图解 法 (1)选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态。(2)根据平行四边形定则或三角形定则,作出物体受到的这几个力的矢量图。(3)由各边的长度变化及角度变化规律来确定力的大小及方向的变化规律
解析 法 (1)根据平衡条件、数学知识列式,求出待求力与变量间的函数关系式。 (2)根据函数关系式讨论待求力的变化情况
解题 方法 相似 三角 形法 == “力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”相似时,可利用相似三角形对应边成比例判断各力大小的变化
辅助 圆法 物体受三个共点力作用而平衡,其中一力恒定,另外两力的夹角不变时,矢量三角形的外接圆不变,可根据不同位置的长度和角度判断各力的变化
正弦 定理 法 物体受三个共点力作用而处于平衡状态时,表示三个力的矢量组成封闭三角形,根据正弦定理可推出==,可根据比例式判断各力的大小变化
角度1　解析法与图解法
【典例1】如图所示,装有足球的轻网兜系在钉子上,墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后,则(　　)
A.网绳上的拉力变小
B.网绳上的拉力不变
C.墙壁对足球的支持力变大
D.墙壁对足球的支持力不变
角度2　相似三角形法
【典例2】(2026·临汾中学模拟)山西窑洞是中国北方黄土高原上一种特殊的建筑形式,如图所示,abcde为窑洞门的横截面,顶部bcd可简化为半圆弧,c为圆弧的最高点,O为圆弧的圆心,工人师傅利用与轻杆相连的滚轮对bcd粉刷,位置O1为工人师傅与轻杆的接触点,通过调节O1与滚轮之间轻杆的长度,实现滚轮从c点缓慢移至b点,不计滚轮的大小及滚轮与bc间的摩擦,则滚轮与bc段间的弹力FN、轻杆对滚轮的作用力F和O1与滚轮之间轻杆的长度L之间的关系图像可能正确的是(　　)
角度3　辅助圆法与正弦定理法
【典例3】【多选】如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
【图形剖析】
[强化训练]在工地上,经常用如图甲所示的推车搬运水泥,为保证水泥不滑落,推车的支架与底板会设计成钝角,且为120°,其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为50 kg的水泥横放在推车底板上,水泥袋和支架接触;工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为45°。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦,并把这袋水泥简化为圆柱体,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.当底板与水平面间的夹角为30°时,底板对这袋水泥的支持力为500 N
B.当底板与水平面间的夹角为30°时,支架对这袋水泥的支持力为250 N
C.缓慢压下把手的过程中,支架对这袋水泥的支持力一直增大
D.缓慢压下把手的过程中,底板对这袋水泥的支持力一直增大
考点二　平衡中的临界、极值问题
解决极值和临界问题的三种方法
状 态 特 征 临界 问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类: (1)由静止到恰好运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子由松弛到恰好绷紧,拉力F=0。 (3)恰好离开接触面,支持力FN=0
极值 问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题
解题 方法 物理 分析 法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值或最小值
极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
角度1　极值问题
【典例4】小明同学喜欢体育运动,他拖拉重物时拉力最大为
1 000 N,某次训练中,体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上,让他拉动重物沿斜面向上运动,重物与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度g大小为10 m/s2,则他能拉动的重物质量最大为(　　)
A.100 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
角度2临界问题
【典例5】如图为某科普博主带领同学们做实验的情景,有顶角θ不同的圆锥放在桌面上,现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥,有可能被拿起的是(　　)
A.90° B.74°
C.60° D.45°
【模型构建】
[强化训练] 【多选】如图所示,一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接,现用一水平力F拉小球,使细线偏离竖直方向30°,然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向,在转动过程中小球静止不动,重力加速度g取10 m/s2,那么F的大小可能为(　　)
A.15 N B.30 N
C.50 N D.100 N
- 10 -(共25张PPT)
专题强化练 专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共7小题,每小题6分,共42分。
1. 【多选】将一个质量为4 kg的光滑铅球放在倾角为45°的固定斜面上,并用竖直挡板挡住,铅球处于静止状态,然后让挡板绕O点沿逆时针方向缓慢转动至水平位置。设铅球对挡板的压力大小为F1,铅球对斜面的压力大小为F2。则以下说法正确的是(　　)
A.挡板竖直时F1为40 N
B.挡板竖直时F2为40 N
C.挡板转动过程中F1一直增大
D.挡板转动过程中F2一直减小
√
√
【解析】选A、D。挡板竖直时,根据共点力平衡条件有F2sin45°=mg, F2cos45°=F1,解得F2=40 N,F1=40 N,故A正确,B错误;受力分析图如图
结合牛顿第三定律可知,挡板转动过程中F1先减小后增大,F2一直减小,故C错误、D正确。
2.如图所示,弧面光滑的半圆形柱体放在水平面上,细线连着一个小球绕过柱体,在细线的另一端施加水平向左的拉力F,使小球沿柱面缓慢上移,柱体始终不动,不计小球的大小,在小球上移过程中,下列说法正确的是(　　)
A.拉力F不断增大
B.弧面对球的支持不断增大
C.地面对柱体的支持力不断增大
D.地面对柱体的摩擦力不断增大
√
【解析】选B。在小球缓慢上移过程中,线对球的拉力与弧面对球的支持力始终垂直,设小球与圆心的连线与水平方向成θ角,根据三力平衡得拉力F=mgcosθ,支持力FN=mgsinθ,小球上移,θ增大,cosθ减小,sinθ增大,拉力F不断减小,弧面对球的支持力不断增大,A错误,B正确;对整体研究,地面对柱体的支持力始终等于球和柱体的重力,保持不变,C错误;地面对柱体的摩擦力始终与F等大反向,不断变小,D错误。
3.(2026·吕梁模拟)每逢新春佳节,许多家庭都会悬挂红灯笼来增添喜庆氛围。如图所示,通过三根轻质细线悬挂一个重力大小为G的灯笼,细线a一端固定在天花板上,与竖直方向的夹角为37°,细线b一端悬挂在竖直墙壁上,与竖直墙壁间的夹角为37°,灯笼位置不变,改变细线b的长度将细线b缓慢调节至水平(sin37°=0.6)。下列关于细线a的拉力Fa、细线b的拉力Fb的判断正确的是(　　)
A.初始状态时,Fa=Fb>G
B.Fa一直减小
C.Fb先减小后增大
D.Fb一直减小
√
【解析】选C。细线b处在三个不同位置时,小球均处于平衡状态,对小球受力分析并根据平衡条件可知,它受到的三个力可以构成矢量三角形,如图所示:
由几何关系可知,Fa一直增大,Fb先减小后增大。初始状态时Fa=Fb4.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中,手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
A.F不变,FN增大
B.F不变,FN减小
C.F减小,FN不变
D.F增大,FN减小
√
【解析】选C。小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡,对小球进行受力分析,作出受力示意图如图所示,由三角形相似,得==,当小球上移过程中,半径R不变,AB长度减小,故F减小,FN不变,故C正确。
5. 【多选】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.右手对铅球的弹力一直增大
B.右手对铅球的弹力先增大后减小
C.左手对铅球的弹力一直减小
D.左手对铅球的弹力先增大后减小
√
√
【解析】选B、C。方法一　力的外接圆法:以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2,受力分析如图甲所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,则将三力平移后构成一首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,两力之间的夹角保持120°不变,在力的矢量三角形中,F1与F2夹角保持60°不变,重力G的大小方向不变,作出力的三角形的外接圆,在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,力的三角形变化如图甲所示,分析可得F1开始小于直径,当转过30°时F1等于直径,再转时将小于直径,所以F1先增大后减小,F2开始就小于直径,转动过程中一直减小,选项B、C正确。
方法二　正弦定理法:以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1及左手对铅球的弹力F2,受力分析如图乙所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,将三力平移后构成一个首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ,根据正弦定理有==,右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,θ由0°变为60°,sin(60°+θ)先变大再变小,所以F1先增大后减小,sin(60°-θ)一直变小,所以F2一直减小,选项B、C正确。
6.(2025·河北高考)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G
C.G D.G
√
【解析】选B。分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时,此时拉力F最大,根据平衡条件有2Fmcos45°=G,解得Fm=G,故选B。
7.如图甲所示,我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图,三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为37°。图丙为截面示意图,圆弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间,盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的倍,盖瓦和底瓦形状相同,厚度不计,质量相同、最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小g取
10 m/s2,在无扰动的情况下,底瓦与盖瓦均保持静止。若对仅铺设这三片瓦进行研究,则底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选D。根据题意知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的倍,设椽子与底瓦接触点间的弹力FN方向与竖直方向成α角,底瓦半径为R,根据几何关系可知sinα==,可知α=45°,以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象,垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态,可知3mgcos37°=4FNcosα,在无外界干扰的情况下,为使底瓦与盖瓦不下滑,应使3mgsin37°≤4μFN,联立解得≤μ,可知底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为,故选D。
二、计算题:本题共2小题,共28分。
8.(16分)(2025·忻州模拟)均可看作质点的甲、乙、丙三个物体通过轻绳、轻弹簧和轻质光滑定滑轮按如图所示方式连接,图中上、下两弹簧的劲度系数分别为k1 =400 N/m和k2=100 N/m。已知甲的质量为m=
0.1 kg,乙、丙的质量均为2m,甲、乙在同一高度处,整个装置处于静止状态。不计一切摩擦,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求乙、丙间弹簧的压缩量;(5分)
答案:(1)0.01 m　
【解析】(1)设开始乙、丙间弹簧的压缩量为x1,对甲物体,根据平衡条件可得T=mg
对乙物体,根据平衡条件可得2mg=k2x1+T,解得x1=
代入数据得乙、丙间弹簧的压缩量x1=0.01 m。
(2)现用竖直向下的力缓慢拉动甲物体,在拉动过程中,弹簧及与甲、乙相连的绳子都始终竖直,到丙物体刚要离开地面(甲没落地,乙没有与滑轮相碰)时,求乙上升的高度;(5分)
答案: (2)0.03 m　
【解析】(2)设丙物体刚要离开地面时乙、丙间弹簧的伸长量为x2,对丙物体,根据平衡条件可得2mg=k2x2
解得x2=,此过程中乙物体上升的高度为h乙=x1+x2=,代入数据得
h乙=0.03 m。
(3)接(2)问,求丙物体刚要离开地面时,甲、乙两物体的竖直高度差。(6分)
答案: (3)0.09 m
【解析】(3)设开始时,上面的弹簧伸长量为x'1,绳子拉力为T,对滑轮,根据平衡条件可得2T=k1x'1
解得x'1=
设丙物体刚要离开地面时上面的弹簧伸长量为x'2,丙物体刚要离地时,上端弹簧的弹力为8mg=k1x'2
解得x'2=
甲下降的高度为h甲=x1+x2+2(x'2-x'1)=+
甲、乙两物体的高度差为Δh=h甲+h乙=+
代入数据得Δh=0.09 m。
9.(12分)(2025·太原模拟)如图所示,质量M=2 kg的木块套在水平杆上,并用轻绳将木块与质量m= kg的小球相连。用跟水平方向成α=30°角的力F=10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 m/s2。
(1)求运动过程中轻绳与水平方向夹角θ的度数;(4分)
答案:(1)30°　
【解析】(1)对小球进行分析,如图,
水平方向:Fcos30°=Tcosθ
竖直方向:Fsin30°+Tsinθ=mg
解得θ=30°;
(2)求木块与水平杆间的动摩擦因数;(4分)
答案: (2)　
【解析】(2)对木块与小球整体分析如图,
竖直方向:Fsin30°+FN=(M+m)g
水平方向:Fcos30°=μFN
解得μ=;
(3)改变α,使球和木块一起向右匀速运动时拉力最小,求α的正切值。(4分)
答案: (3)
【解析】(3)将摩擦力与杆的支持力合成,令该合
力F0与水平方向夹角为β,则有tanβ==
作出木块与小球整体受力分析如图,
可知,当F方向与F0方向垂直时,拉力最小,且有tanα==μ=。(共30张PPT)
专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式呈现,尤其是“动态平衡问题”,以选择题出现的频次较高
方法规律 三类规律:平衡条件、平行四边形定则、三角形定则
三种方法:图像法、解析法、临界法
关键能力 三种能力:理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力
考点一　动态平衡问题
物理 规律 状态 特点 缓慢变化过程中,物体始终满足平衡条件
受力 特点 物体受到的某个或某几个作用力发生缓慢变化
解题 方法 图解 法
(1)选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态。(2)根据平行四边形定则或三角形定则,作出物体受到的这几个力的矢量图。(3)由各边的长度变化及角度变化规律来确定力的大小及方向的变化规律
解题 方法 解析 法
(1)根据平衡条件、数学知识列式,求出待求力与变量间的函数关系式。
(2)根据函数关系式讨论待求力的变化情况
解题 方法 相似 三角 形法
==
“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”相似时,可利用相似三角形对应边成比例判断各力大小的变化
解题 方法 辅助 圆法
物体受三个共点力作用而平衡,其中一力恒定,另外两力的夹角不变时,矢量三角形的外接圆不变,可根据不同位置的长度和角度判断各力的变化
解题 方法 正弦 定理 法
物体受三个共点力作用而处于平衡状态时,表示三个力的矢量组成封闭三角形,根据正弦定理可推出==,可根据比例式判断各力的大小变化
角度1　解析法与图解法
【典例1】如图所示,装有足球的轻网兜系在钉子上,墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后,则(　　)
A.网绳上的拉力变小
B.网绳上的拉力不变
C.墙壁对足球的支持力变大
D.墙壁对足球的支持力不变
√
【解析】选C。
方法一　图解法:把三力放在一个矢量三角形中,如图甲所示,当网绳长度减小时,θ增大,矢量三角形中,随着θ角增大,FT变大,FN变大,故C正确。
方法二　解析法:对足球受力分析如图乙所示,
设网绳与竖直方向的夹角为θ,将网绳在钉子上多绕几圈后,绳子长度减小,θ增大,由平衡条件可得G=FT2=FTcosθ,网绳的拉力FT随着θ的增大而增大,A、B错误;由平衡条件可得FN=FT1=FTsinθ,解得FN=Gtanθ,所以墙壁对足球的支持力随着θ的增大而增大,C正确,D错误。
角度2　相似三角形法
【典例2】(2026·临汾中学模拟)山西窑洞是中国北方黄土高原上一种特殊的建筑形式,如图所示,abcde为窑洞门的横截面,顶部bcd可简化为半圆弧,c为圆弧的最高点,O为圆弧的圆心,工人师傅利用与轻杆相连的滚轮对bcd粉刷,位置O1为工人师傅与轻杆的接触点,通过调节O1与滚轮之间轻杆的长度,实现滚轮从c点缓慢移至b点,不计滚轮的大小及滚轮与bc间的摩擦,则滚轮与bc段间的弹力FN、轻杆对滚轮的作用力F和O1与滚轮之间轻杆的长度L之间的关系图像可能正确的是(　　)
√
【解析】选B。滚轮在缓慢移动过程中的受力情况如图所示
由图可知, F 、 FN和它们的合力(大小等于滚轮的重力)构成的力的三角形与几何三角形AO1O 相似,则有 F∝L, FN的大小不随L的变化而改变,故B正确。
角度3　辅助圆法与正弦定理法
【典例3】【多选】如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
√
√
【图形剖析】
【解析】选A、D。方法一　辅助圆法:以重物为研究对象分析受力情况,受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1,由题意知,三个力的合力始终为零,矢量三角形如图所示,
F1、F2的夹角不变,在F2转至水平的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,MN上的张力F1逐渐增大,OM上的张力F2先增大后减小,所以A、D正确,B、C错误。
方法二　正弦定理法:
根据正弦定理==,mg与sinθ3保持不变,sinθ1变大,F1变大,sinθ2先增大后减小,F2先增大后减小,故选A、D。
[强化训练]在工地上,经常用如图甲所示的推车搬运水泥,为保证水泥不滑落,推车的支架与底板会设计成钝角,且为120°,其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为50 kg的水泥横放在推车底板上,水泥袋和支架接触;工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为45°。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦,并把这袋水泥简化为圆柱体,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.当底板与水平面间的夹角为30°时,底板对这袋水泥的支持力为500 N
B.当底板与水平面间的夹角为30°时,支架对这袋水泥的支持力为250 N
C.缓慢压下把手的过程中,支架对这袋水泥的支持力一直增大
D.缓慢压下把手的过程中,底板对这袋水泥的支持力一直增大
√
【解析】选C。当底板与水平面夹角为30°时,底板、支架对水泥作用力大小相等,根据平衡条件有2Ncos30°=mg,可知底板、支架对水泥作用力大小均为N= N,故A、B错误;当缓慢压下把手时,作出动态变化图,如图所示
由图可知支架对水泥的支持力增大,底板对水泥的支持力减小,故C正确,D错误。
考点二　平衡中的临界、极值问题
解决极值和临界问题的三种方法
状 态 特 征 临界 问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类:
(1)由静止到恰好运动,摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子由松弛到恰好绷紧,拉力F=0。
(3)恰好离开接触面,支持力FN=0
状 态 特 征 极值 问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题
解题 方法 物理 分析 法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值或最小值
极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
角度1　极值问题
【典例4】小明同学喜欢体育运动,他拖拉重物时拉力最大为1 000 N,某次训练中,体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上,让他拉动重物沿斜面向上运动,重物与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度g大小为10 m/s2,则他能拉动的重物质量最大为(　　)
A.100 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
√
【解析】选C。设拉力F与斜面夹角为θ,则他恰好拉动重物时有Fcosθ=mgsin15°+μ(mgcos15°-Fsinθ),整理可得F= ==,故当sin(θ+φ)=1时,m最大,则他能拉动的重物质量最大为m==200 kg,故选C。
角度2临界问题
【典例5】如图为某科普博主带领同学们做实验的情景,有顶角θ不同的圆锥放在桌面上,现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥,有可能被拿起的是(　　)
A.90° B.74°
C.60° D.45°
√
【模型构建】
【解析】选D。设左右手对接触面弹力均为F,则对于圆锥整体,若拿的起来时,有2μFcos≥mg+2Fsin,整理得μcossin≥≥0,故μ=0.5≥tan,计算发现只有θ=45°满足条件,故D选项符合题意。
[强化训练] 【多选】如图所示,一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接,现用一水平力F拉小球,使细线偏离竖直方向30°,然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向,在转动过程中小球静止不动,重力加速度g取
10 m/s2,那么F的大小可能为(　　)
A.15 N B.30 N
C.50 N D.100 N
√
√
【解析】选B、C。如图,小球受重力mg、细线拉力FT、拉力F,三个力的合力为零,逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中,F先减小后增大。初位置F=mgtan30°≈28.9 N;F与细线垂直时最小,为F=mgsin30°=25 N;竖直位置F=mg=50 N。故A、D错误,B、C正确。专题强化练 专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共7小题,每小题6分,共42分。
1. 【多选】将一个质量为4 kg的光滑铅球放在倾角为45°的固定斜面上,并用竖直挡板挡住,铅球处于静止状态,然后让挡板绕O点沿逆时针方向缓慢转动至水平位置。设铅球对挡板的压力大小为F1,铅球对斜面的压力大小为F2。则以下说法正确的是(　　)
A.挡板竖直时F1为40 N
B.挡板竖直时F2为40 N
C.挡板转动过程中F1一直增大
D.挡板转动过程中F2一直减小
【解析】选A、D。挡板竖直时,根据共点力平衡条件有F2sin45°=mg, F2cos45°=F1,解得F2=40 N,F1=40 N,故A正确,B错误;受力分析图如图
结合牛顿第三定律可知,挡板转动过程中F1先减小后增大,F2一直减小,故C错误、D正确。
2.如图所示,弧面光滑的半圆形柱体放在水平面上,细线连着一个小球绕过柱体,在细线的另一端施加水平向左的拉力F,使小球沿柱面缓慢上移,柱体始终不动,不计小球的大小,在小球上移过程中,下列说法正确的是(　　)
A.拉力F不断增大
B.弧面对球的支持不断增大
C.地面对柱体的支持力不断增大
D.地面对柱体的摩擦力不断增大
【解析】选B。在小球缓慢上移过程中,线对球的拉力与弧面对球的支持力始终垂直,设小球与圆心的连线与水平方向成θ角,根据三力平衡得拉力F=mgcosθ,支持力FN=mgsinθ,小球上移,θ增大,cosθ减小,sinθ增大,拉力F不断减小,弧面对球的支持力不断增大,A错误,B正确;对整体研究,地面对柱体的支持力始终等于球和柱体的重力,保持不变,C错误;地面对柱体的摩擦力始终与F等大反向,不断变小,D错误。
3.(2026·吕梁模拟)每逢新春佳节,许多家庭都会悬挂红灯笼来增添喜庆氛围。如图所示,通过三根轻质细线悬挂一个重力大小为G的灯笼,细线a一端固定在天花板上,与竖直方向的夹角为37°,细线b一端悬挂在竖直墙壁上,与竖直墙壁间的夹角为37°,灯笼位置不变,改变细线b的长度将细线b缓慢调节至水平(sin37°=0.6)。下列关于细线a的拉力Fa、细线b的拉力Fb的判断正确的是(　　)
A.初始状态时,Fa=Fb>G
B.Fa一直减小
C.Fb先减小后增大
D.Fb一直减小
【解析】选C。细线b处在三个不同位置时,小球均处于平衡状态,对小球受力分析并根据平衡条件可知,它受到的三个力可以构成矢量三角形,如图所示:
由几何关系可知,Fa一直增大,Fb先减小后增大。初始状态时Fa=Fb4.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中,手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.F不变,FN增大 B.F不变,FN减小
C.F减小,FN不变 D.F增大,FN减小
【解析】选C。小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡,对小球进行受力分析,作出受力示意图如图所示,由三角形相似,得==,当小球上移过程中,半径R不变,AB长度减小,故F减小,FN不变,故C正确。
5. 【多选】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.右手对铅球的弹力一直增大
B.右手对铅球的弹力先增大后减小
C.左手对铅球的弹力一直减小
D.左手对铅球的弹力先增大后减小
【解析】选B、C。方法一　力的外接圆法:以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1和左手对铅球的弹力F2,受力分析如图甲所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,则将三力平移后构成一首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,两力之间的夹角保持120°不变,在力的矢量三角形中,F1与F2夹角保持60°不变,重力G的大小方向不变,作出力的三角形的外接圆,在右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,力的三角形变化如图甲所示,分析可得F1开始小于直径,当转过30°时F1等于直径,再转时将小于直径,所以F1先增大后减小,F2开始就小于直径,转动过程中一直减小,选项B、C正确。
方法二　正弦定理法:以铅球为研究对象,受重力G、右手对铅球的弹力F1及左手对铅球的弹力F2,受力分析如图乙所示,缓慢旋转过程中铅球处于平衡状态,将三力平移后构成一个首尾相连的三角形,两手之间夹角保持60°不变,右手由图示位置缓慢旋转的角度设为θ,根据正弦定理有==,右手由图示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置过程中,θ由0°变为60°,sin(60°+θ)先变大再变小,所以F1先增大后减小,sin(60°-θ)一直变小,所以F2一直减小,选项B、C正确。
6.(2025·河北高考)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G C.G D.G
【解析】选B。分析可知当凹槽底部对小球支持力为零时,此时拉力F最大,根据平衡条件有2Fmcos45°=G,解得Fm=G,故选B。
7.如图甲所示,我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图,三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为37°。图丙为截面示意图,圆弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间,盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的倍,盖瓦和底瓦形状相同,厚度不计,质量相同、最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小g取10 m/s2,在无扰动的情况下,底瓦与盖瓦均保持静止。若对仅铺设这三片瓦进行研究,则底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D。根据题意知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的倍,设椽子与底瓦接触点间的弹力FN方向与竖直方向成α角,底瓦半径为R,根据几何关系可知sinα==,可知α=45°,以两片底瓦和盖瓦整体为研究对象,垂直椽子所在平面方向上整体处于平衡状态,可知3mgcos37°=4FNcosα,在无外界干扰的情况下,为使底瓦与盖瓦不下滑,应使3mgsin37°≤4μFN,联立解得≤μ,可知底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为,故选D。
二、计算题:本题共2小题,共28分。
8.(16分)(2025·忻州模拟)均可看作质点的甲、乙、丙三个物体通过轻绳、轻弹簧和轻质光滑定滑轮按如图所示方式连接,图中上、下两弹簧的劲度系数分别为k1 =400 N/m和k2=100 N/m。已知甲的质量为m=0.1 kg,乙、丙的质量均为2m,甲、乙在同一高度处,整个装置处于静止状态。不计一切摩擦,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求乙、丙间弹簧的压缩量;(5分)
答案:(1)0.01 m　
【解析】(1)设开始乙、丙间弹簧的压缩量为x1,对甲物体,根据平衡条件可得T=mg
对乙物体,根据平衡条件可得2mg=k2x1+T,解得x1=
代入数据得乙、丙间弹簧的压缩量x1=0.01 m。
(2)现用竖直向下的力缓慢拉动甲物体,在拉动过程中,弹簧及与甲、乙相连的绳子都始终竖直,到丙物体刚要离开地面(甲没落地,乙没有与滑轮相碰)时,求乙上升的高度;(5分)
答案: (2)0.03 m　
【解析】(2)设丙物体刚要离开地面时乙、丙间弹簧的伸长量为x2,对丙物体,根据平衡条件可得2mg=k2x2
解得x2=,此过程中乙物体上升的高度为h乙=x1+x2=,代入数据得h乙=0.03 m。
(3)接(2)问,求丙物体刚要离开地面时,甲、乙两物体的竖直高度差。(6分)
答案: (3)0.09 m
【解析】(3)设开始时,上面的弹簧伸长量为x'1,绳子拉力为T,对滑轮,根据平衡条件可得2T=k1x'1
解得x'1=
设丙物体刚要离开地面时上面的弹簧伸长量为x'2,丙物体刚要离地时,上端弹簧的弹力为8mg=k1x'2
解得x'2=
甲下降的高度为h甲=x1+x2+2(x'2-x'1)=+
甲、乙两物体的高度差为Δh=h甲+h乙=+
代入数据得Δh=0.09 m。
9.(12分)(2025·太原模拟)如图所示,质量M=2 kg的木块套在水平杆上,并用轻绳将木块与质量m= kg的小球相连。用跟水平方向成α=30°角的力F=10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 m/s2。
(1)求运动过程中轻绳与水平方向夹角θ的度数;(4分)
答案:(1)30°　
【解析】(1)对小球进行分析,如图,
水平方向:Fcos30°=Tcosθ
竖直方向:Fsin30°+Tsinθ=mg
解得θ=30°;
(2)求木块与水平杆间的动摩擦因数;(4分)
答案: (2)　
【解析】(2)对木块与小球整体分析如图,
竖直方向:Fsin30°+FN=(M+m)g
水平方向:Fcos30°=μFN
解得μ=;
(3)改变α,使球和木块一起向右匀速运动时拉力最小,求α的正切值。(4分)
答案: (3)
【解析】(3)将摩擦力与杆的支持力合成,令该合力F0与水平方向夹角为β,则有tanβ==
作出木块与小球整体受力分析如图,
可知,当F方向与F0方向垂直时,拉力最小,且有tanα==μ=。
- 1 -专题强化练 专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共7小题,每小题6分,共42分。
1. 【多选】将一个质量为4 kg的光滑铅球放在倾角为45°的固定斜面上,并用竖直挡板挡住,铅球处于静止状态,然后让挡板绕O点沿逆时针方向缓慢转动至水平位置。设铅球对挡板的压力大小为F1,铅球对斜面的压力大小为F2。则以下说法正确的是(　　)
A.挡板竖直时F1为40 N
B.挡板竖直时F2为40 N
C.挡板转动过程中F1一直增大
D.挡板转动过程中F2一直减小
2.如图所示,弧面光滑的半圆形柱体放在水平面上,细线连着一个小球绕过柱体,在细线的另一端施加水平向左的拉力F,使小球沿柱面缓慢上移,柱体始终不动,不计小球的大小,在小球上移过程中,下列说法正确的是(　　)
A.拉力F不断增大
B.弧面对球的支持不断增大
C.地面对柱体的支持力不断增大
D.地面对柱体的摩擦力不断增大
3.(2026·吕梁模拟)每逢新春佳节,许多家庭都会悬挂红灯笼来增添喜庆氛围。如图所示,通过三根轻质细线悬挂一个重力大小为G的灯笼,细线a一端固定在天花板上,与竖直方向的夹角为37°,细线b一端悬挂在竖直墙壁上,与竖直墙壁间的夹角为37°,灯笼位置不变,改变细线b的长度将细线b缓慢调节至水平(sin37°=0.6)。下列关于细线a的拉力Fa、细线b的拉力Fb的判断正确的是(　　)
A.初始状态时,Fa=Fb>G
B.Fa一直减小
C.Fb先减小后增大
D.Fb一直减小
4.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上,一根细线的下端系着小球,上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线,使小球沿圆环缓慢上移,在移动过程中,手对细线的拉力F和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.F不变,FN增大 B.F不变,FN减小
C.F减小,FN不变 D.F增大,FN减小
5. 【多选】某中学为增强学生体魄,组织学生进行多种体育锻炼。在某次锻炼过程中,一学生将铅球置于两手之间,其中两手之间夹角为60°。保持两手之间夹角不变,将右手由图所示位置沿顺时针方向缓慢旋转60°至水平位置。不计一切摩擦,则在转动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.右手对铅球的弹力一直增大
B.右手对铅球的弹力先增大后减小
C.左手对铅球的弹力一直减小
D.左手对铅球的弹力先增大后减小
6.(2025·河北高考)如图,内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上,左右边沿等高。该截面内,一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球,一端固定于凹槽左边沿,另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力F。小球半径远小于凹槽半径,所受重力大小为G。若小球始终位于内壁最低点,则F的最大值为(　　)
A.G B.G C.G D.G
7.如图甲所示,我国古建屋顶多采用蝴蝶瓦方式铺设。图乙是两片底瓦和一片盖瓦的铺设示意图,三根相同且平行的椽子所在平面与水平面夹角为37°。图丙为截面示意图,圆弧形底瓦放置在两根相邻的椽子正中间,盖瓦的底边恰与底瓦的凹槽中线接触。已知相邻两椽子与底瓦接触点间的距离为底瓦半径的倍,盖瓦和底瓦形状相同,厚度不计,质量相同、最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小g取10 m/s2,在无扰动的情况下,底瓦与盖瓦均保持静止。若对仅铺设这三片瓦进行研究,则底瓦与椽子间的动摩擦因数至少为(　　)
A. B. C. D.
二、计算题:本题共2小题,共28分。
8.(16分)(2025·忻州模拟)均可看作质点的甲、乙、丙三个物体通过轻绳、轻弹簧和轻质光滑定滑轮按如图所示方式连接,图中上、下两弹簧的劲度系数分别为k1 =400 N/m和k2=100 N/m。已知甲的质量为m=0.1 kg,乙、丙的质量均为2m,甲、乙在同一高度处,整个装置处于静止状态。不计一切摩擦,重力加速度g取10 m/s2。
(1)求乙、丙间弹簧的压缩量;(5分)
(2)现用竖直向下的力缓慢拉动甲物体,在拉动过程中,弹簧及与甲、乙相连的绳子都始终竖直,到丙物体刚要离开地面(甲没落地,乙没有与滑轮相碰)时,求乙上升的高度;(5分)
(3)接(2)问,求丙物体刚要离开地面时,甲、乙两物体的竖直高度差。(6分)
9.(12分)(2025·太原模拟)如图所示,质量M=2 kg的木块套在水平杆上,并用轻绳将木块与质量m= kg的小球相连。用跟水平方向成α=30°角的力F=10 N拉着球带动木块一起向右匀速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 m/s2。
(1)求运动过程中轻绳与水平方向夹角θ的度数;(4分)
(2)求木块与水平杆间的动摩擦因数;(4分)
(3)改变α,使球和木块一起向右匀速运动时拉力最小,求α的正切值。(4分)
- 1 -专题强化课一　动态平衡　平衡中的临界、极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式呈现,尤其是“动态平衡问题”,以选择题出现的频次较高
方法规律 三类规律:平衡条件、平行四边形定则、三角形定则 三种方法:图像法、解析法、临界法
关键能力 三种能力:理解能力、模型构建能力、逻辑推理能力
考点一　动态平衡问题
物理 规律 状态 特点 缓慢变化过程中,物体始终满足平衡条件
受力 特点 物体受到的某个或某几个作用力发生缓慢变化
解题 方法 图解 法 (1)选取研究对象在动态变化过程中的几个代表状态。(2)根据平行四边形定则或三角形定则,作出物体受到的这几个力的矢量图。(3)由各边的长度变化及角度变化规律来确定力的大小及方向的变化规律
解析 法 (1)根据平衡条件、数学知识列式,求出待求力与变量间的函数关系式。 (2)根据函数关系式讨论待求力的变化情况
解题 方法 相似 三角 形法 == “力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”相似时,可利用相似三角形对应边成比例判断各力大小的变化
辅助 圆法 物体受三个共点力作用而平衡,其中一力恒定,另外两力的夹角不变时,矢量三角形的外接圆不变,可根据不同位置的长度和角度判断各力的变化
正弦 定理 法 物体受三个共点力作用而处于平衡状态时,表示三个力的矢量组成封闭三角形,根据正弦定理可推出==,可根据比例式判断各力的大小变化
角度1　解析法与图解法
【典例1】如图所示,装有足球的轻网兜系在钉子上,墙壁光滑。将网绳在钉子上多绕几圈后,则(　　)
A.网绳上的拉力变小
B.网绳上的拉力不变
C.墙壁对足球的支持力变大
D.墙壁对足球的支持力不变
【解析】选C。
方法一　图解法:把三力放在一个矢量三角形中,如图甲所示,当网绳长度减小时,θ增大,矢量三角形中,随着θ角增大,FT变大,FN变大,故C正确。
方法二　解析法:对足球受力分析如图乙所示,
设网绳与竖直方向的夹角为θ,将网绳在钉子上多绕几圈后,绳子长度减小,θ增大,由平衡条件可得G=FT2=FTcosθ,网绳的拉力FT随着θ的增大而增大,A、B错误;由平衡条件可得FN=FT1=FTsinθ,解得FN=Gtanθ,所以墙壁对足球的支持力随着θ的增大而增大,C正确,D错误。
角度2　相似三角形法
【典例2】(2026·临汾中学模拟)山西窑洞是中国北方黄土高原上一种特殊的建筑形式,如图所示,abcde为窑洞门的横截面,顶部bcd可简化为半圆弧,c为圆弧的最高点,O为圆弧的圆心,工人师傅利用与轻杆相连的滚轮对bcd粉刷,位置O1为工人师傅与轻杆的接触点,通过调节O1与滚轮之间轻杆的长度,实现滚轮从c点缓慢移至b点,不计滚轮的大小及滚轮与bc间的摩擦,则滚轮与bc段间的弹力FN、轻杆对滚轮的作用力F和O1与滚轮之间轻杆的长度L之间的关系图像可能正确的是(　　)
【解析】选B。滚轮在缓慢移动过程中的受力情况如图所示
由图可知, F 、 FN和它们的合力(大小等于滚轮的重力)构成的力的三角形与几何三角形AO1O 相似,则有 F∝L, FN的大小不随L的变化而改变,故B正确。
角度3　辅助圆法与正弦定理法
【典例3】【多选】如图,柔软轻绳ON的一端O固定,其中间某点M拴一重物,用手拉住绳的另一端N。初始时,OM竖直且MN被拉直,OM与MN之间的夹角为α(α>)。现将重物向右上方缓慢拉起,并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)
A.MN上的张力逐渐增大
B.MN上的张力先增大后减小
C.OM上的张力逐渐增大
D.OM上的张力先增大后减小
【图形剖析】
【解析】选A、D。方法一　辅助圆法:以重物为研究对象分析受力情况,受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1,由题意知,三个力的合力始终为零,矢量三角形如图所示,
F1、F2的夹角不变,在F2转至水平的过程中,矢量三角形在同一外接圆上,由图可知,MN上的张力F1逐渐增大,OM上的张力F2先增大后减小,所以A、D正确,B、C错误。
方法二　正弦定理法:
根据正弦定理==,mg与sinθ3保持不变,sinθ1变大,F1变大,sinθ2先增大后减小,F2先增大后减小,故选A、D。
[强化训练]在工地上,经常用如图甲所示的推车搬运水泥,为保证水泥不滑落,推车的支架与底板会设计成钝角,且为120°,其侧视图如图乙所示。工人现将一袋质量为50 kg的水泥横放在推车底板上,水泥袋和支架接触;工人用双手缓慢压下把手直至底板与水平面间的夹角为45°。不计这袋水泥与支架及底板间的摩擦,并把这袋水泥简化为圆柱体,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.当底板与水平面间的夹角为30°时,底板对这袋水泥的支持力为500 N
B.当底板与水平面间的夹角为30°时,支架对这袋水泥的支持力为250 N
C.缓慢压下把手的过程中,支架对这袋水泥的支持力一直增大
D.缓慢压下把手的过程中,底板对这袋水泥的支持力一直增大
【解析】选C。当底板与水平面夹角为30°时,底板、支架对水泥作用力大小相等,根据平衡条件有2Ncos30°=mg,可知底板、支架对水泥作用力大小均为N= N,故A、B错误;当缓慢压下把手时,作出动态变化图,如图所示
由图可知支架对水泥的支持力增大,底板对水泥的支持力减小,故C正确,D错误。
考点二　平衡中的临界、极值问题
解决极值和临界问题的三种方法
状 态 特 征 临界 问题 当某物理量变化时,会引起其他几个物理量的变化,从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”,该类问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。临界常见的种类: (1)由静止到恰好运动,摩擦力达到最大静摩擦力。 (2)绳子由松弛到恰好绷紧,拉力F=0。 (3)恰好离开接触面,支持力FN=0
极值 问题 平衡中的极值问题,一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题
解题 方法 物理 分析 法 根据平衡条件,作出力的矢量图,通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值或最小值
极限 法 正确进行受力分析和变化过程分析,找到平衡的临界点和极值点;临界条件必须在变化中寻找,不能在一个状态上研究临界问题,要把某个物理量推向极大或极小
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
角度1　极值问题
【典例4】小明同学喜欢体育运动,他拖拉重物时拉力最大为
1 000 N,某次训练中,体育老师将不同质量的重物置于倾角为15°的斜面上,让他拉动重物沿斜面向上运动,重物与斜面间的动摩擦因数为,重力加速度g大小为10 m/s2,则他能拉动的重物质量最大为(　　)
A.100 kg B.100 kg
C.200 kg D.200 kg
【解析】选C。设拉力F与斜面夹角为θ,则他恰好拉动重物时有Fcosθ=mgsin15°+μ(mgcos15°-Fsinθ),整理可得F===,故当sin(θ+φ)=1时,m最大,则他能拉动的重物质量最大为m==200 kg,故选C。
角度2临界问题
【典例5】如图为某科普博主带领同学们做实验的情景,有顶角θ不同的圆锥放在桌面上,现让同学们挑战按图示那样用手压紧圆锥表面将其拿起。若手与圆锥体间的动摩擦因数为0.5,最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。则以下不同顶角圆锥,有可能被拿起的是(　　)
A.90° B.74°
C.60° D.45°
【模型构建】
【解析】选D。设左右手对接触面弹力均为F,则对于圆锥整体,若拿的起来时,有2μFcos≥mg+2Fsin,整理得μcossin≥≥0,故μ=0.5≥tan,计算发现只有θ=45°满足条件,故D选项符合题意。
[强化训练] 【多选】如图所示,一质量为5 kg的小球用长为L的轻质细线连接,现用一水平力F拉小球,使细线偏离竖直方向30°,然后逆时针缓慢转动力F至竖直方向,在转动过程中小球静止不动,重力加速度g取10 m/s2,那么F的大小可能为(　　)
A.15 N B.30 N
C.50 N D.100 N
【解析】选B、C。如图,小球受重力mg、细线拉力FT、拉力F,三个力的合力为零,逆时针缓慢转动力F至竖直方向的过程中,F先减小后增大。初位置F=mgtan30°≈28.9 N;F与细线垂直时最小,为F=mgsin30°=25 N;竖直位置F=mg=50 N。故A、D错误,B、C正确。
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