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(共43张PPT)
第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
考点一　曲线运动的条件和特征
考点三　小船渡河模型
模型建构3　关联速度分解模型
考点二　运动的合成与分解
学习目标 学后评价
1.理解物体做曲线运动的条件,掌握曲线运动的特点 完成□　　继续□
2.会应用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题 完成□　　继续□
3.掌握运动合成与分解这一处理曲线运动的重要思想方法 完成□　　继续□
考点一　曲线运动的条件和特征
曲线运动的条件和特征
条件 F合与速度v不共线
特征 轨迹
速率
角度1　曲线运动的运动轨迹
【典例1】(2026·天一联考)如图所示,物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,这时突然使它所受力反向,大小不变,即由F变为-F。在此力作用下,物体以后的运动情况,下列说法中正确的是(　　)
A.物体可能沿曲线Ba运动
B.物体可能沿直线Bb运动
C.物体可能沿曲线Bc运动
D.物体可能沿原曲线由B返回
√
【解析】选C。物体从A到B运动,因为运动轨迹是在速度与力的夹角之中,所以物体所受恒力方向应是向下的。到达B点后,力的大小不变方向相反,变成向上,由于力的方向发生了改变,曲线Ba不在力与速度的夹角内,故A错误;因为物体在B点的速度方向为切线方向,即直线Bb,而力与速度方向不同,所以物体不可能做直线运动,故B错误;Bc在力与速度的夹角内,物体有可能沿Bc运动,故C正确;很明显,物体不可能由B返回A,故D错误。
角度2　曲线运动的速度、加速度(或合力)
【典例2】质点做曲线运动,从A到B速率逐渐减小,如图所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是(　　)
√
【解析】选A。A图中,加速度方向与速度方向夹角大于90°,质点做减速曲线运动,A正确;B图中,速度方向与加速度方向相同,质点做直线运动,不做曲线运动,B错误;C图中,加速度在速度的右侧,质点运动轨迹应向右侧凹,C错误;D图中,加速度方向与速度方向夹角小于90°,质点做加速曲线运动,D错误。
考点二　运动的合成与分解
1.运动的分解
(1)分解方法:①根据运动的实际效果分解;②正交分解。
(2)遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
2.合运动的性质判断
(1)判断思路
(2)四种常见类型
分运动类型 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动与匀变速直线运动
分运动类型 合运动的性质
两个初速度为零的匀加速直线运动
分运动类型 合运动的性质
两个初速度不为零的匀变速直线运动
角度1　运动的分解
【典例3】(2025·湖南高考)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
√
【图形剖析】
【解析】选C。根据题意可知,物块沿斜面向上做匀减速直线运动,设初
速度大小为v0,加速度大小为a,斜面倾角为θ。物块在水平方向做匀减速
直线运动,初速度大小为v0x=v0cosθ,加速度大小为ax=acosθ,则有
=-2axx,整理可得vx=,可知vx-x图像为类
似抛物线的一部分,故A、B错误;物块在竖直方向做匀减速直线运动,初
速度大小为v0y=v0sinθ,加速度大小为ay=asinθ,则有=-2ayy,整理
可得vy=可知,vy-y图像为类似抛物线的一部分,故
C正确,D错误。
角度2　运动的合成
【典例4】【多选】【教材互鉴】(鲁科必修二P54T5【改编】)在马戏表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以速度v0沿水平方向匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法正确的是(　　)
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.相对地面做变加速曲线运动
D.t时间内猴子对地面的位移大小为
√
√
【编改溯源】
情境不变,设问改变。
【解析】选B、D。猴子在水平方向的加速度为0,在竖直方向有恒定的加速度,根据平行四边形定则,可知合速度与合加速度不在同一条直线上,猴子相对地面做匀变速曲线运动,A、C错误,B正确;t时间内猴子在水平方向和竖直方向的位移分别为x和h,根据运动的合成,知合位移s=,D正确。
考点三　小船渡河模型
1.研究方法
效果 分解 法
(1)将船的实际运动分解为随水漂流的分运动和相对静水的分运动。
(2)根据平行四边形定则,作出位移、速度等物理量的矢量分解图。
(3)根据运动学公式,研究分运动
正交 分解 法
(1)把船随水漂流的分运动和船相对静水的分运动分解到沿河岸和垂直于河岸两个方向上。
(2)根据运动学公式,研究沿河岸和垂直于河岸两个方向的运动
2.模型图解
模型 图解
渡河时间最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关;
(2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为
河宽)
渡河位移最短 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,且xmin=d
模型 图解
渡河位移最短 若v船河。当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直
时,渡河位移最短,且xmin==d
角度1　小船渡河问题
【典例5】一条两岸平直的宽为d的小河如图所示,河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定,船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为∶1,行驶中船头始终垂直河岸,则A、B两渡口沿河岸方向的距离为(　　)
A.d B.d
C.d D.d
√
【解析】选B。设船在静水中速度为v1、河水流速为v2,船头垂直于河岸,小船实际行驶方向与河岸之间夹角为α,则tanα==,A、B两渡口沿河岸方向的距离为x==d,故B正确。
角度2　类小船过河问题
【典例6】现代航天服自带推力系统,航天员进行太空出舱活动离开飞船,即使没有安全绳,也能通过航天服的自带推力系统喷射气体获得1~
4 m/s的反冲速度,使航天员回到飞船。如图所示,某航天员通过航天服的推力系统以v0=3 m/s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点,初速度方向上B点离A点最近,A、B两点间距离d=5 m。航天员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过航天服的推力系统获得大小为u的反冲速度后,运动位移x后回到舱门A点。将航天员视为质点。下列说法正确的是(　　)
A.航天员在B点向下喷气,能到达A点
B.航天员最快能1 s回到舱门
C.当反冲速度大小u1=3 m/s时,x的最小值为5 m
D.当反冲速度大小u2=1.5 m/s时,x的最小值为10 m
√
【图形剖析】
【解析】选D。由分析可知航天员在B点向下喷气获得向上的分速度,因
为同时还有平行于舱壁的速度,故合速度方向不沿BA方向,所以不能到
达A点,故A错误;回到舱门的时间由垂直于舱壁方向的运动决定,设反冲
速度方向与初速度方向夹角为θ,所以回到舱门A点的时间为t=,所
以当u=4 m/s,θ=90°时,航天员回到舱门时间最短,最短时间为tmin==
s=1.25 s,故B错误;当u1=3 m/s时,由于u1=v0=3 m/s,此时航天员无法垂
直于舱壁运动到达舱门A点,所以位移最小值应大于d,即x的最小值应大
于5 m,故C错误;当u2=1.5 m/s时,由分析可知当v合与u2垂直时,位移x有最
小值。设合速度方向与初速度方向夹角为α,如图所示
根据三角函数关系有sinα==
所以位移的最小值为xmin==10 m,故D正确。
模型建构3　关联速度分解模型
类型 模型 图解
绳 关 联
vB=vAcosθ
vAcosθ=v0
类型 模型 图解
绳 关 联
vAcosβ=vBcosα
(1)与绳相连的物体的实际运动分解为沿绳方向的分运动和垂直于绳方向的分运动。 (2)两物体沿绳方向的分速度大小相等
类型 模型 图解
杆 关 联 vBsinα=vAcosα
(1)与杆相连的物体的实际运动分解为沿杆方向的分运动和垂直于杆方向的分运动。 (2)两物体沿杆方向的分速度大小相等
类型 模型 图解
接 触 关 联
v0sinθ=vcosθ
(1)保持相互接触的两物体的实际运动分解为沿接触面方向的分运动和垂直于接触面方向的分运动。 (2)两物体垂直接触面方向的分速度大小相等
角度1　绳(杆)关联
【典例1】(2025·黑吉辽内蒙古高考)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小
B.一直增大
C.先减小后增大
D.先增大后减小
√
【图形剖析】
【解析】选B。设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块,将v块和v沿绳方向和垂直绳方向分解,可得v块cosθ=vsinθ,解得v=,由于塔块匀速下落时θ在减小,故可知v一直增大。故选B。
[变式训练]甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接,乙球处于光滑水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,甲球的速度为v1,乙球的速度为v2,如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.v1∶v2=∶3
B.v1∶v2=3∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
√
【解析】选B。设当乙球距离起点3 m时,轻杆与竖直方向的夹角为θ,则v1在沿轻杆方向的分量为v1杆=v1cos θ,v2在沿轻杆方向的分量为v2杆=v2sinθ,而v1杆=v2杆,由题意知cosθ=,sinθ=,联立解得=,选项A错误,B正确;甲球即将落地时,θ=90°,此时甲球的速度达到最大,而乙球的速度为零,选项C、D错误。
角度2　接触关联
【典例2】如图所示,一根长为L的轻杆OA,O端用铰链固定,轻杆靠在一个高为h的物块上,某时刻杆与水平方向的夹角为θ,物块向右运动的速度为v,则此时A点的速度为(　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选C。如图所示
根据运动的合成与分解可知,接触点B的实际运动为合运动,可将B点运
动的速度vB=v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1,其中v2=vBsinθ
=vsinθ为B点做圆周运动的线速度,v1=vBcosθ为B点沿杆方向运动的
速度。当杆与水平方向夹角为θ时,lOB=,由于B点的线速度为v2=
vsinθ=lOBω,所以ω==,所以A的线速度vA=Lω=,故C
正确,A、B、D错误。核心素养测评
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
(40分钟　60分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(体育运动)(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
【解析】选A。篮球做曲线运动,所受合力指向运动轨迹的凹侧,故选A。
2.神舟十九号与空间站在同一圆周轨道上绕地球做匀速圆周运动,若要使后方的神舟十九号在该轨道追上空间站,神舟十九号持续喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
【解析】选A。要想使神舟十九号在与空间站的同一轨道上对接,则需要使神舟十九号加速,与此同时要想不脱离原轨道,根据向心力的表达式F=可得,必须要增加向心力,即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量,另一方面还要有指向地心的分量,而因喷气产生的推力与喷气方向相反,故选A。
3.如图所示,在一次直升机营救演练中,某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水平方向做匀速直线运动,同时吊绳拉着被营救人员沿竖直方向做匀加速运动,不计空气阻力,此过程中,下列说法正确的是(　　)
A.被营救人员所受的合外力竖直向上
B.被营救人员所受的合外力斜向上
C.相对地面,被营救人员的速度大小随时间均匀增大
D.相对地面,被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线
【解析】选A。被营救人员水平方向做匀速直线运动,竖直方向做匀加速运动,加速度沿竖直方向,因此合外力竖直向上,故A正确,B错误;被营救人员竖直方向的速度随时间均匀增大,水平方向速度不变,因此合速度大小随时间不是均匀变化的,故C错误;被营救人员合外力与合速度不在一条直线上,因此运动轨迹为曲线,故D错误。
4. 【多选】(2026·银川模拟)如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽d,M、N分别是甲、乙两船的出发点,两船头与河岸均成α角,甲船船头恰好对准N点的正对岸P点,经过一段时间乙船恰好到达P点,如果划船速度均为v0,且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是(　　)
A.水流方向向右,大小为v0cosα
B.两船同时到达河对岸,花费时间均为
C.甲船水平位移为v0cosα·
D.甲、乙两船会在PN上某点相遇
【解析】选A、B、D。以乙船为研究对象,如果水流方向向左,则如图1所示
则船的合速度为左斜向上,不可能会达到P点,则说明水流方向一定向右,且依题意知乙船的合速度垂直于对岸,则船向左的分速度与水流速度相抵消,有v水=v0cosα,故A正确;两船在与垂直于河岸方向上的速度都是v0sinα,且河宽均为d,则两船同时到达河对岸,根据运动的独立性,可知花费时间均为t=,故B正确;以甲船为研究对象,水流方向向右,则如图2所示
则船在水平方向上的速度为vx=v水+v0cosα=2v0cosα,则甲船水平位移为x=2v0cosα×,故C错误;甲、乙两船在纵向上的速度都为v0sinα,且这也是乙的合速度,而甲船还有横向速度,相当于两船在纵向上相对静止,而横向上甲船以2v0cosα水平速度靠近乙船,甲船与乙船在横向上的距离为L=,则甲船在横向上运动L所需的时间t1===,即甲、乙两船在PN的中点相遇,故D正确。
5.(2025·大同模拟)如图所示为拍电影时吊威亚的情景。工作人员B向左运动用绕过定滑轮的轻绳将小演员A竖直向上吊起,定滑轮两边轻绳的夹角为θ,A运动的速度大小为vA,B运动的速度大小为vB,当θ=60°时,下列关系正确的是(　　)
A.vA=vB B.vA=vB
C.vB=vA D.vB=vA
【解析】选B。将B的速度分解为沿轻绳方向和垂直于轻绳方向,则A的速度等于沿轻绳方向的速度,即绳两端沿绳方向速度相等,因此有vA=vBsinθ=vB,故选B。
【综合应用练】
6.(2026·商洛模拟)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。以下判断正确的是(　　)
A.在0~1 s内,物体做匀速直线运动
B.在0~1 s内,物体做匀变速直线运动
C.在1~2 s内,物体做匀变速直线运动
D.在1~2 s内,物体做匀变速曲线运动
【解析】选C。在0~1 s内,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为匀加速直线运动,合运动为匀变速曲线运动,故A、B错误;在1~2 s内,水平方向初速度为:v0x=4 m/s,加速度为:ax=4 m/s2。竖直方向初速度为:v0y=3 m/s,加速度为:ay=3 m/s2。根据平行四边形定则合成可以得到合速度为v=5 m/s,合加速度为a=5 m/s2,而且二者方向在同一直线上,根据曲线运动条件可知,合运动为匀变速直线运动,故C正确,D错误。
7.(2026·朔州模拟)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
【解析】选D。罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,在极短时间Δt 内水平方向位移的增加量为a(Δt)2,竖直方向做在自由落体运动,在极短时间Δt 内,竖直方向的位移增加量为g(Δt)2;说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定,则连线的倾角就是一定的,故选D。
8.(2026·铜川模拟)汽车发动机的曲轴连杆机构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动,连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点,若曲轴绕O点做匀速圆周运动,A点速率为12 m/s, OA=15 cm,AB=20 cm。下列说法正确的是(　　)
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA竖直时,活塞的速度大小为8 m/s
C.当OA与AB共线时,活塞的速度大小为12 m/s
D.当OA与AB垂直时,活塞的速度大小为15 m/s
【解析】选D。根据题意,活塞沿水平方向往复运动,则活塞的运动不是匀速直线运动,故A错误;已知A点的线速度为 vA=12 m/s,当OA竖直时,将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解,如图所示
由几何关系可知vAcosθ=v杆1=vB1cosθ,可得vA=vB1=12 m/s,故B错误;当OA和OB共线时,A点在沿杆方向的分速度是0,则活塞的实际速度沿杆也为0,故C错误;当OA与AB垂直时,A点的速度沿杆方向,设AB与OB的夹角为 α,有vA=v杆2=vB2cosα,其中cosα===,解得vB2=15 m/s,故D正确。
【情境创新练】
9.(12分)(科技前沿)正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车(图甲)。一辆飞行汽车在平直的公路上以108 km/h的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到200 m的高处。用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的y-x图像如图乙所示。g取10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)到达200 m高处时速度的大小;(6分)
答案:(1)10 m/s　
【解析】(1)飞行汽车的水平速度大小v0=30 m/s。
设飞行汽车在空中运动的时间为t,
到达y=200 m高处时速度的大小为v,沿竖直方向分速度的大小为vy,则x=v0t,y=t,v=,
解得v=10 m/s
(2)所受升力与其重力大小的比值。(6分)
答案: (2)1.1
【解析】(2)设飞行汽车在竖直方向的加速度的大小为a,所受升力的大小为F,则
y=at2,F-mg=ma
解得=1.1
- 8 -核心素养测评
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
(40分钟　60分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(体育运动)(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
2.神舟十九号与空间站在同一圆周轨道上绕地球做匀速圆周运动,若要使后方的神舟十九号在该轨道追上空间站,神舟十九号持续喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
3.如图所示,在一次直升机营救演练中,某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水平方向做匀速直线运动,同时吊绳拉着被营救人员沿竖直方向做匀加速运动,不计空气阻力,此过程中,下列说法正确的是(　　)
A.被营救人员所受的合外力竖直向上
B.被营救人员所受的合外力斜向上
C.相对地面,被营救人员的速度大小随时间均匀增大
D.相对地面,被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线
4. 【多选】(2026·银川模拟)如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽d,M、N分别是甲、乙两船的出发点,两船头与河岸均成α角,甲船船头恰好对准N点的正对岸P点,经过一段时间乙船恰好到达P点,如果划船速度均为v0,且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是(　　)
A.水流方向向右,大小为v0cosα
B.两船同时到达河对岸,花费时间均为
C.甲船水平位移为v0cosα·
D.甲、乙两船会在PN上某点相遇
5.(2025·大同模拟)如图所示为拍电影时吊威亚的情景。工作人员B向左运动用绕过定滑轮的轻绳将小演员A竖直向上吊起,定滑轮两边轻绳的夹角为θ,A运动的速度大小为vA,B运动的速度大小为vB,当θ=60°时,下列关系正确的是(　　)
A.vA=vB B.vA=vB
C.vB=vA D.vB=vA
【综合应用练】
6.(2026·商洛模拟)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。以下判断正确的是(　　)
A.在0~1 s内,物体做匀速直线运动
B.在0~1 s内,物体做匀变速直线运动
C.在1~2 s内,物体做匀变速直线运动
D.在1~2 s内,物体做匀变速曲线运动
7.(2026·朔州模拟)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
8.(2026·铜川模拟)汽车发动机的曲轴连杆机构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动,连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点,若曲轴绕O点做匀速圆周运动,A点速率为12 m/s, OA=15 cm,AB=20 cm。下列说法正确的是(　　)
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA竖直时,活塞的速度大小为8 m/s
C.当OA与AB共线时,活塞的速度大小为12 m/s
D.当OA与AB垂直时,活塞的速度大小为15 m/s
【情境创新练】
9.(12分)(科技前沿)正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车(图甲)。一辆飞行汽车在平直的公路上以108 km/h的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到200 m的高处。用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的y-x图像如图乙所示。g取10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)到达200 m高处时速度的大小;(6分)
(2)所受升力与其重力大小的比值。(6分)
- 8 -第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
学习目标 学后评价
1.理解物体做曲线运动的条件,掌握曲线运动的特点 完成□　　继续□
2.会应用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题 完成□　　继续□
3.掌握运动合成与分解这一处理曲线运动的重要思想方法 完成□　　继续□
考点一　曲线运动的条件和特征
曲线运动的条件和特征
条件 F合与速度v不共线
特征 轨迹
速率
角度1　曲线运动的运动轨迹
【典例1】(2026·天一联考)如图所示,物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,这时突然使它所受力反向,大小不变,即由F变为-F。在此力作用下,物体以后的运动情况,下列说法中正确的是(　　)
A.物体可能沿曲线Ba运动
B.物体可能沿直线Bb运动
C.物体可能沿曲线Bc运动
D.物体可能沿原曲线由B返回
【解析】选C。物体从A到B运动,因为运动轨迹是在速度与力的夹角之中,所以物体所受恒力方向应是向下的。到达B点后,力的大小不变方向相反,变成向上,由于力的方向发生了改变,曲线Ba不在力与速度的夹角内,故A错误;因为物体在B点的速度方向为切线方向,即直线Bb,而力与速度方向不同,所以物体不可能做直线运动,故B错误;Bc在力与速度的夹角内,物体有可能沿Bc运动,故C正确;很明显,物体不可能由B返回A,故D错误。
角度2　曲线运动的速度、加速度(或合力)
【典例2】质点做曲线运动,从A到B速率逐渐减小,如图所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是(　　)
【解析】选A。A图中,加速度方向与速度方向夹角大于90°,质点做减速曲线运动,A正确;B图中,速度方向与加速度方向相同,质点做直线运动,不做曲线运动,B错误;C图中,加速度在速度的右侧,质点运动轨迹应向右侧凹,C错误;D图中,加速度方向与速度方向夹角小于90°,质点做加速曲线运动,D错误。
考点二　运动的合成与分解
1.运动的分解
(1)分解方法:①根据运动的实际效果分解;②正交分解。
(2)遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
2.合运动的性质判断
(1)判断思路
(2)四种常见类型
分运动类型 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动与匀变速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
角度1　运动的分解
【典例3】(2025·湖南高考)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
【图形剖析】
【解析】选C。根据题意可知,物块沿斜面向上做匀减速直线运动,设初速度大小为v0,加速度大小为a,斜面倾角为θ。物块在水平方向做匀减速直线运动,初速度大小为v0x=v0cosθ,加速度大小为ax=acosθ,则有=-2axx,整理可得vx=,可知vx-x图像为类似抛物线的一部分,故A、B错误;物块在竖直方向做匀减速直线运动,初速度大小为v0y=v0sinθ,加速度大小为ay=asinθ,则有=-2ayy,整理可得vy=可知,vy-y图像为类似抛物线的一部分,故C正确,D错误。
角度2　运动的合成
【典例4】【多选】【教材互鉴】(鲁科必修二P54T5【改编】)在马戏表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以速度v0沿水平方向匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法正确的是(　　)
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.相对地面做变加速曲线运动
D.t时间内猴子对地面的位移大小为
【编改溯源】
情境不变,设问改变。
【解析】选B、D。猴子在水平方向的加速度为0,在竖直方向有恒定的加速度,根据平行四边形定则,可知合速度与合加速度不在同一条直线上,猴子相对地面做匀变速曲线运动,A、C错误,B正确;t时间内猴子在水平方向和竖直方向的位移分别为x和h,根据运动的合成,知合位移s=,D正确。
考点三　小船渡河模型
1.研究方法
效果 分解 法 (1)将船的实际运动分解为随水漂流的分运动和相对静水的分运动。 (2)根据平行四边形定则,作出位移、速度等物理量的矢量分解图。 (3)根据运动学公式,研究分运动
正交 分解 法 (1)把船随水漂流的分运动和船相对静水的分运动分解到沿河岸和垂直于河岸两个方向上。 (2)根据运动学公式,研究沿河岸和垂直于河岸两个方向的运动
2.模型图解
模型 图解
渡河时间最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关; (2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
渡河位移最短 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,且xmin=d
渡河位移最短 若v船角度1　小船渡河问题
【典例5】一条两岸平直的宽为d的小河如图所示,河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定,船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为∶1,行驶中船头始终垂直河岸,则A、B两渡口沿河岸方向的距离为(　　)
A.d B.d
C.d D.d
【解析】选B。设船在静水中速度为v1、河水流速为v2,船头垂直于河岸,小船实际行驶方向与河岸之间夹角为α,则tanα==,A、B两渡口沿河岸方向的距离为x==d,故B正确。
角度2　类小船过河问题
【典例6】现代航天服自带推力系统,航天员进行太空出舱活动离开飞船,即使没有安全绳,也能通过航天服的自带推力系统喷射气体获得1~4 m/s的反冲速度,使航天员回到飞船。如图所示,某航天员通过航天服的推力系统以v0=3 m/s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点,初速度方向上B点离A点最近,A、B两点间距离d=5 m。航天员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过航天服的推力系统获得大小为u的反冲速度后,运动位移x后回到舱门A点。将航天员视为质点。下列说法正确的是(　　)
A.航天员在B点向下喷气,能到达A点
B.航天员最快能1 s回到舱门
C.当反冲速度大小u1=3 m/s时,x的最小值为5 m
D.当反冲速度大小u2=1.5 m/s时,x的最小值为10 m
【图形剖析】
【解析】选D。由分析可知航天员在B点向下喷气获得向上的分速度,因为同时还有平行于舱壁的速度,故合速度方向不沿BA方向,所以不能到达A点,故A错误;回到舱门的时间由垂直于舱壁方向的运动决定,设反冲速度方向与初速度方向夹角为θ,所以回到舱门A点的时间为t=,所以当u=4 m/s,θ=90°时,航天员回到舱门时间最短,最短时间为tmin== s=1.25 s,故B错误;当u1=3 m/s时,由于u1=v0=
3 m/s,此时航天员无法垂直于舱壁运动到达舱门A点,所以位移最小值应大于d,即x的最小值应大于5 m,故C错误;当u2=1.5 m/s时,由分析可知当v合与u2垂直时,位移x有最小值。设合速度方向与初速度方向夹角为α,如图所示
根据三角函数关系有sinα==
所以位移的最小值为xmin==10 m,故D正确。
模型建构 3　关联速度分解模型
类型 模型 图解
绳 关 联 vB=vAcosθ
vAcosθ=v0
vAcosβ=vBcosα
(1)与绳相连的物体的实际运动分解为沿绳方向的分运动和垂直于绳方向的分运动。 (2)两物体沿绳方向的分速度大小相等
杆 关 联 vBsinα=vAcosα
(1)与杆相连的物体的实际运动分解为沿杆方向的分运动和垂直于杆方向的分运动。 (2)两物体沿杆方向的分速度大小相等
接 触 关 联 v0sinθ=vcosθ
(1)保持相互接触的两物体的实际运动分解为沿接触面方向的分运动和垂直于接触面方向的分运动。 (2)两物体垂直接触面方向的分速度大小相等
角度1　绳(杆)关联
【典例1】(2025·黑吉辽内蒙古高考)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
【图形剖析】
【解析】选B。设两边绳与竖直方向的夹角为θ,塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块,将v块和v沿绳方向和垂直绳方向分解,可得
v块cosθ=vsinθ,解得v=,由于塔块匀速下落时θ在减小,故可知v一直增大。故选B。
[变式训练]甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接,乙球处于光滑水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,甲球的速度为v1,乙球的速度为v2,如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.v1∶v2=∶3
B.v1∶v2=3∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
【解析】选B。设当乙球距离起点3 m时,轻杆与竖直方向的夹角为θ,则v1在沿轻杆方向的分量为v1杆=v1cos θ,v2在沿轻杆方向的分量为v2杆=v2sinθ,而v1杆=v2杆,由题意知cosθ=,sinθ=,联立解得=,选项A错误,B正确;甲球即将落地时,θ=90°,此时甲球的速度达到最大,而乙球的速度为零,选项C、D错误。
角度2　接触关联
【典例2】如图所示,一根长为L的轻杆OA,O端用铰链固定,轻杆靠在一个高为h的物块上,某时刻杆与水平方向的夹角为θ,物块向右运动的速度为v,则此时A点的速度为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C。如图所示
根据运动的合成与分解可知,接触点B的实际运动为合运动,可将B点运动的速度vB=v沿垂直于杆和沿杆的方向分解成v2和v1,其中v2=vBsinθ=vsinθ为B点做圆周运动的线速度,v1=vBcosθ为B点沿杆方向运动的速度。当杆与水平方向夹角为θ时,lOB=,由于B点的线速度为v2=vsinθ=lOBω,所以ω==,所以A的线速度vA=Lω=,故C正确,A、B、D错误。
- 1 -(共21张PPT)
核心素养测评
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
(40分钟　60分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(体育运动)(2023·辽宁高考)某同学在练习投篮,篮球在空中的运动轨
迹如图中虚线所示,篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
【解析】选A。篮球做曲线运动,所受合力指向运动轨迹的凹侧,故选A。
√
2.神舟十九号与空间站在同一圆周轨道上绕地球做匀速圆周运动,若要使后方的神舟十九号在该轨道追上空间站,神舟十九号持续喷射燃气的方向可能正确的是(　　)
√
【解析】选A。要想使神舟十九号在与空间站的同一轨道上对接,则需要使神舟十九号加速,与此同时要想不脱离原轨道,根据向心力的表达式F=可得,必须要增加向心力,即喷气时产生的推力一方面有沿轨道向前的分量,另一方面还要有指向地心的分量,而因喷气产生的推力与喷气方向相反,故选A。
3.如图所示,在一次直升机营救演练中,某段时间内直升机用吊绳拉着被营救人员在水平方向做匀速直线运动,同时吊绳拉着被营救人员沿竖直方向做匀加速运动,不计空气阻力,此过程中,下列说法正确的是(　　)
A.被营救人员所受的合外力竖直向上
B.被营救人员所受的合外力斜向上
C.相对地面,被营救人员的速度大小随时间均匀增大
D.相对地面,被营救人员的运动轨迹为斜向上的直线
√
【解析】选A。被营救人员水平方向做匀速直线运动,竖直方向做匀加速运动,加速度沿竖直方向,因此合外力竖直向上,故A正确,B错误;被营救人员竖直方向的速度随时间均匀增大,水平方向速度不变,因此合速度大小随时间不是均匀变化的,故C错误;被营救人员合外力与合速度不在一条直线上,因此运动轨迹为曲线,故D错误。
4. 【多选】(2026·银川模拟)如图所示,甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽d,M、N分别是甲、乙两船的出发点,两船头与河岸均成α角,甲船船头恰好对准N点的正对岸P点,经过一段时间乙船恰好到达P点,如果划船速度均为v0,且两船相遇不影响各自的航行。下列判断正确的是(　　)
A.水流方向向右,大小为v0cosα
B.两船同时到达河对岸,花费时间均为
C.甲船水平位移为v0cosα·
D.甲、乙两船会在PN上某点相遇
√
√
√
【解析】选A、B、D。以乙船为研究对象,如果水流方向向左,则如图1所示
则船的合速度为左斜向上,不可能会达到P点,则说明水流方向一定向右,且依
题意知乙船的合速度垂直于对岸,则船向左的分速度与水流速度相抵消,有v水
=v0cosα,故A正确;两船在与垂直于河岸方向上的速度都是v0sinα,且河宽均为
d,则两船同时到达河对岸,根据运动的独立性,可知花费时间均为t=,故B
正确;以甲船为研究对象,水流方向向右,则如图2所示
则船在水平方向上的速度为vx=v水+v0cosα=2v0cosα,则甲船水平位移为x=2v0cosα×,故C错误;甲、乙两船在纵向上的速度都为v0sinα,且这也是乙的合速度,而甲船还有横向速度,相当于两船在纵向上相对静止,而横向上甲船以2v0cosα水平速度靠近乙船,甲船与乙船在横向上的距离为L=,则甲船在横向上运动L所需的时间t1===,即甲、乙两船在PN的中点相遇,故D正确。
5.(2025·大同模拟)如图所示为拍电影时吊威亚的情景。工作人员B向左运动用绕过定滑轮的轻绳将小演员A竖直向上吊起,定滑轮两边轻绳的夹角为θ,A运动的速度大小为vA,B运动的速度大小为vB,当θ=60°时,下列关系正确的是(　　)
A.vA=vB B.vA=vB
C.vB=vA D.vB=vA
√
【解析】选B。将B的速度分解为沿轻绳方向和垂直于轻绳方向,则A的速度等于沿轻绳方向的速度,即绳两端沿绳方向速度相等,因此有vA=vBsinθ=vB,故选B。
【综合应用练】
6.(2026·商洛模拟)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v-t图像。以下判断正确的是(　　)
A.在0~1 s内,物体做匀速直线运动
B.在0~1 s内,物体做匀变速直线运动
C.在1~2 s内,物体做匀变速直线运动
D.在1~2 s内,物体做匀变速曲线运动
√
【解析】选C。在0~1 s内,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为匀加速直线运动,合运动为匀变速曲线运动,故A、B错误;在1~2 s内,水平方向初速度为:v0x=4 m/s,加速度为:ax=4 m/s2。竖直方向初速度为:v0y=3 m/s,加速度为:ay=3 m/s2。根据平行四边形定则合成可以得到合速度为v=
5 m/s,合加速度为a=5 m/s2,而且二者方向在同一直线上,根据曲线运动条件可知,合运动为匀变速直线运动,故C正确,D错误。
7.(2026·朔州模拟)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验:一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力,则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　　)
√
【解析】选D。罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动,在极短时间Δt 内水平方向位移的增加量为a(Δt)2,竖直方向做在自由落体运动,在极短时间Δt 内,竖直方向的位移增加量为g(Δt)2;说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定,则连线的倾角就是一定的,故选D。
8.(2026·铜川模拟)汽车发动机的曲轴连杆机构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动,连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点,若曲轴绕O点做匀速圆周运动,A点速率为12 m/s, OA=15 cm,AB=
20 cm。下列说法正确的是(　　)
A.活塞在水平方向上做匀速直线运动
B.当OA竖直时,活塞的速度大小为8 m/s
C.当OA与AB共线时,活塞的速度大小为12 m/s
D.当OA与AB垂直时,活塞的速度大小为15 m/s
√
【解析】选D。根据题意,活塞沿水平方向往复运动,则活塞的运动不是匀速直线运动,故A错误;已知A点的线速度为 vA=12 m/s,当OA竖直时,将A点和活塞的速度沿杆方向和垂直杆方向分解,如图所示
由几何关系可知vAcosθ=v杆1=vB1cosθ,可得vA=vB1=12 m/s,故B错误;当OA和OB共线时,A点在沿杆方向的分速度是0,则活塞的实际速度沿杆也为0,故C错误;当OA与AB垂直时,A点的速度沿杆方向,设AB与OB的夹角为 α,有vA=v杆2=vB2cosα,其中cosα===,解得vB2=15 m/s,故D正确。
【情境创新练】
9.(12分)(科技前沿)正在公路上行驶的汽车,只需按下一个键,就能轻松切换到飞行模式,变身飞机跃入天空,这就是飞行汽车(图甲)。一辆飞行汽车在平直的公路上以108 km/h的速度行驶,某时刻司机启动飞行模式,汽车保持水平速度不变,沿竖直方向开始匀加速爬升,经过一段时间爬升到200 m的高处。用x表示水平位移,y表示竖直位移,这一过程的y-x图像如图乙所示。g取
10 m/s2,求汽车飞行时:
(1)到达200 m高处时速度的大小;(6分)
答案:(1)10 m/s　
【解析】(1)飞行汽车的水平速度大小v0=30 m/s。
设飞行汽车在空中运动的时间为t,
到达y=200 m高处时速度的大小为v,沿竖直方向分速度的大小为vy,
则x=v0t,y=t,v=,
解得v=10 m/s
(2)所受升力与其重力大小的比值。(6分)
答案: (2)1.1
【解析】(2)设飞行汽车在竖直方向的加速度的大小为a,所受升力的大小为F,则
y=at2,F-mg=ma
解得=1.1第四章　曲线运动
第1讲　曲线运动　运动的合成与分解
学习目标 学后评价
1.理解物体做曲线运动的条件,掌握曲线运动的特点 完成□　　继续□
2.会应用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题 完成□　　继续□
3.掌握运动合成与分解这一处理曲线运动的重要思想方法 完成□　　继续□
考点一　曲线运动的条件和特征
曲线运动的条件和特征
条件 F合与速度v不共线
特征 轨迹
速率
角度1　曲线运动的运动轨迹
【典例1】(2026·天一联考)如图所示,物体在恒力F作用下沿曲线从A运动到B,这时突然使它所受力反向,大小不变,即由F变为-F。在此力作用下,物体以后的运动情况,下列说法中正确的是(　　)
A.物体可能沿曲线Ba运动
B.物体可能沿直线Bb运动
C.物体可能沿曲线Bc运动
D.物体可能沿原曲线由B返回
角度2　曲线运动的速度、加速度(或合力)
【典例2】质点做曲线运动,从A到B速率逐渐减小,如图所示,有四位同学用示意图表示A到B的轨迹及速度方向和加速度的方向,其中正确的是(　　)
考点二　运动的合成与分解
1.运动的分解
(1)分解方法:①根据运动的实际效果分解;②正交分解。
(2)遵循的法则:位移、速度、加速度都是矢量,故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则。
2.合运动的性质判断
(1)判断思路
(2)四种常见类型
分运动类型 合运动的性质
两个匀速直线运动
匀速直线运动与匀变速直线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动
角度1　运动的分解
【典例3】(2025·湖南高考)如图,物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面,物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中,下列图像可能正确的是(　　)
【图形剖析】
角度2　运动的合成
【典例4】【多选】【教材互鉴】(鲁科必修二P54T5【改编】)在马戏表演中,猴子沿竖直杆向上做初速度为0、加速度为a的匀加速运动,同时人顶着直杆以速度v0沿水平方向匀速移动,经过时间t,猴子沿杆向上移动的高度为h,人顶杆沿水平地面移动的距离为x,如图所示。关于猴子的运动情况,下列说法正确的是(　　)
A.相对地面的运动轨迹为直线
B.相对地面做匀变速曲线运动
C.相对地面做变加速曲线运动
D.t时间内猴子对地面的位移大小为
【编改溯源】
情境不变,设问改变。
考点三　小船渡河模型
1.研究方法
效果 分解 法 (1)将船的实际运动分解为随水漂流的分运动和相对静水的分运动。 (2)根据平行四边形定则,作出位移、速度等物理量的矢量分解图。 (3)根据运动学公式,研究分运动
正交 分解 法 (1)把船随水漂流的分运动和船相对静水的分运动分解到沿河岸和垂直于河岸两个方向上。 (2)根据运动学公式,研究沿河岸和垂直于河岸两个方向的运动
2.模型图解
模型 图解
渡河时间最短 (1)渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关,与水流速度无关; (2)船头正对河岸时,渡河时间最短,tmin=(d为河宽)
渡河位移最短 若v船>v水,当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cosθ=v水时,合速度垂直于河岸,渡河位移最短,且xmin=d
渡河位移最短 若v船角度1　小船渡河问题
【典例5】一条两岸平直的宽为d的小河如图所示,河水流速恒定。一人驾驶小船从上游渡口A前往下游渡口B。已知全程船在静水中的速度大小恒定,船在静水中的速度大小与河水流速大小之比为∶1,行驶中船头始终垂直河岸,则A、B两渡口沿河岸方向的距离为(　　)
A.d B.d
C.d D.d
角度2　类小船过河问题
【典例6】现代航天服自带推力系统,航天员进行太空出舱活动离开飞船,即使没有安全绳,也能通过航天服的自带推力系统喷射气体获得1~4 m/s的反冲速度,使航天员回到飞船。如图所示,某航天员通过航天服的推力系统以v0=3 m/s的初速度平行于舱壁匀速运动。舱门在舱壁上A点,初速度方向上B点离A点最近,A、B两点间距离d=5 m。航天员在平行舱壁匀速运动到某位置再通过航天服的推力系统获得大小为u的反冲速度后,运动位移x后回到舱门A点。将航天员视为质点。下列说法正确的是(　　)
A.航天员在B点向下喷气,能到达A点
B.航天员最快能1 s回到舱门
C.当反冲速度大小u1=3 m/s时,x的最小值为5 m
D.当反冲速度大小u2=1.5 m/s时,x的最小值为10 m
【图形剖析】
模型建构 3　关联速度分解模型
类型 模型 图解
绳 关 联 vB=vAcosθ
vAcosθ=v0
vAcosβ=vBcosα
(1)与绳相连的物体的实际运动分解为沿绳方向的分运动和垂直于绳方向的分运动。 (2)两物体沿绳方向的分速度大小相等
杆 关 联 vBsinα=vAcosα
(1)与杆相连的物体的实际运动分解为沿杆方向的分运动和垂直于杆方向的分运动。 (2)两物体沿杆方向的分速度大小相等
接 触 关 联 v0sinθ=vcosθ
(1)保持相互接触的两物体的实际运动分解为沿接触面方向的分运动和垂直于接触面方向的分运动。 (2)两物体垂直接触面方向的分速度大小相等
角度1　绳(杆)关联
【典例1】(2025·黑吉辽内蒙古高考)如图,趣味运动会的“聚力建高塔”活动中,两长度相等的细绳一端系在同一塔块上,两名同学分别握住绳的另一端,保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落,则v(　　)
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
【图形剖析】
[变式训练]甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接,乙球处于光滑水平地面上,甲球套在光滑的竖直杆上,初始时轻杆竖直,杆长为4 m。施加微小的扰动,使得乙球沿水平地面向右滑动,当乙球距离起点3 m时,甲球的速度为v1,乙球的速度为v2,如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.v1∶v2=∶3
B.v1∶v2=3∶7
C.甲球即将落地时,乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时,乙球的速度达到最大
角度2　接触关联
【典例2】如图所示,一根长为L的轻杆OA,O端用铰链固定,轻杆靠在一个高为h的物块上,某时刻杆与水平方向的夹角为θ,物块向右运动的速度为v,则此时A点的速度为(　　)
A. B.
C. D.
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