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核心素养测评
第2课时　平抛运动的临界和极值问题　斜抛运动
(25分钟　30分)
选择题(1-5题,每小题6分,共30分)
【基础巩固练】
1.袋鼠是世界上跳得最远的哺乳动物,如图所示。袋鼠某次跳跃时,最高点距离水平地面2 m,落地点距离起跳点8 m。将袋鼠视为质点,不计空气阻力,g取10 m/s2,其起跳后的运动过程可视为斜抛运动。下列说法正确的是(　　)
A.到达最高点时速度为零
B.从起跳到最高点的过程用时0.2 s
C.起跳时速度方向与水平方向的夹角为45°
D.从起跳到最高点的过程,速度变化量的方向竖直向上
【解析】选C。到达最高点时竖直方向速度为零,但水平方向速度不为零,所以速度不为零,故A错误;从起跳到最高点的过程用时t== s= s,故B错误;起跳时竖直方向的速度大小为v0y= gt=10× m/s=2 m/s,水平方向的速度大小为v0x== m/s= 2 m/s,起跳时速度方向与水平方向夹角的正切值为tanθ==1,即θ=45°,故C正确;物体做斜抛运动时的加速度为重力加速度,重力加速度的方向竖直向下,某段时间内速度变化量的方向也竖直向下,故D错误。
2.如图所示,一物体在风机口水平抛出,运动时只受重力G和竖直向上的恒定升力F,且F=G。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在网罩N点,M、N间的竖直高度为h,M与右壁水平间距为L,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.若增大初速度v0,物体将撞击右壁,且初速度越大,物体撞击壁速度越大
D.若h足够大,当初速度v0=时,物体撞击右壁时速度最小
【解析】选D。根据牛顿第二定律得G-F=ma,解得a=,该物体做类平抛运动,则h=at2,解得从M运动到N的时间为t=,故A错误;M与N之间的水平距离x=v0t=v0,故B错误;物体撞击右壁时,物体运动的时间为t'=,物体竖直方向的速度为vy=at'=,物体撞击右壁的速度v==,根据数学知识可知,当=即当初速度v0=时,物体撞击右壁速度最小,故若增大初速度v0,物体将可能撞击右壁,初速度越大,物体撞击右壁的速度不一定越大,故C错误,D正确。
【综合应用练】
3.如图所示,一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6 m的C点以水平速度v0跳出,蜘蛛要到达蛛丝,水平速度v0至少为(　　)
A. m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
【解析】选C。当蜘蛛做平抛运动的轨迹恰好与蛛丝相切时v0最小,设蜘蛛跳出后经时间t到达蛛丝,根据平抛运动规律可得x=v0t,y=gt2,蜘蛛到达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向,所以=tan45°,由几何知识得sAO-sC O+y=x,联立解得v0=2 m/s,故选C。
4.【多选】(2026·太原模拟)如图所示,倾角为37°的斜面ABC固定在水平面上,从顶点A垂直斜面向上抛出一个小球,小球每次落到斜面上与斜面碰撞前后瞬间,沿平行斜面方向的分速度不变,垂直斜面方向的分速度大小相等、方向相反,小球第四次落到斜面上的位置刚好在C点,从A运动到C的时间为t,重力加速度为g,不计小球大小和空气阻力,碰撞的时间不计,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
A.小球第一次和第二次离斜面最远点的速度之比为1∶2
B.小球第一次和第二次在斜面上的落点到A点的距离之比为1∶4
C.小球在A点抛出的初速度大小为gt
D.斜面AC长为gt2
【解析】选B、C。小球沿垂直斜面方向做类竖直上抛运动,初速度为v0,加速度大小为a1=gcos37°=g
沿平行斜面方向做的是初速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为a2=gsin37°=g
小球每次从离开斜面到回到斜面的时间都是t0==
则第一次离斜面最远处速度v1=a2×t0,第二次离斜面最远处速度v2=a2×t0
则=,A错误;小球从抛出到第一次到斜面上的时间为t0,从抛出到第二次落到斜面上的时间为2t0,根据比例规律可知,两次落点离A点的距离之比为1∶4,B正确;根据题意,t0==t
解得v0=gt,C正确;AC长x=a2t2=gt2,D错误。
5.(生产生活)如图,一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同,从花洒中喷出的水落于水平地面(P、Q分别为最左、最右端两落点),不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是(　　)
【解析】选D。设水龙头最低点离地面的高度为h,水龙头的半径为R,水滴距离地面的高度为(y+h),初速度为v0,则竖直方向,有h+y=gt2,水平方向,有x=v0t,解得x=v0,其中0≤y≤2R,由于y均匀增加时,x不是均匀增加,且x增加得越来越慢,所以俯视的形状为D图。
- 5 -(共11张PPT)
核心素养测评 第1课时　平抛运动的规律及应用　有约束条件的平抛运动
(25分钟　36分)
选择题(1-4题,每小题6分,共24分)
【基础巩固练】
1.对于水平抛出的垒球,忽略空气阻力,在空中做(　　)
A.变加速曲线运动
B.匀加速曲线运动
C.匀减速曲线运动
D.直线运动
【解析】选B。水平抛出的垒球,忽略空气阻力,垒球做平抛运动,加速度始终为重力加速度,垒球做匀加速曲线运动,故选B。
√
2.(2024·湖北高考)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b
C.荷叶c D.荷叶d
√
【解析】选C。青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=vt,h=gt2,可得v=x,因此水平位移越小,竖直高度越大,所需初速度越小,因此应跳到荷叶c上面。故选C。
【综合应用练】
3.如图所示,某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以v0=
50 m/s的初速度正对墙壁水平击出,击球点距离地面高度H=1.8 m,到竖直墙壁的水平距离x=15 m。网球跟竖直墙壁碰撞后,竖直方向的分速度大小不变,反弹后水平速度的大小变为碰前的60%,g取10 m/s2,网球可视为质点,不计空气阻力,则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离为(　　)
A.8.0 m B.7.5 m
C.7.0 m D.6.0 m
√
【解析】选D。网球运动到与竖直墙壁碰撞的过程中飞行的时间t1== s=0.3 s,网球下落的高度h1=g=0.45 m,与墙壁碰撞时竖直方向的分速度大小vy=gt1=3 m/s,碰撞后竖直方向的分速度大小不变,到落地有vyt2+g=H-h1,解得t2=0.3 s,碰撞后水平方向的分速度变为原来的60%,水平运动的距离x2=v0×60%·t2=9 m,故网球第一次落地点与击球点间的水平距离d=x-x2=6 m,故选D。
4.如图所示,一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点),飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心,半圆轨道半径为R,OB与水平方向夹角为60°,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
√
【解析】选C。飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知速度与水平方向的夹角为30°,则有vy=v0tan30°
又vy=gt,则得v0tan30°=gt,得t=①,水平方向上小球做匀速直线运动,则有R+Rcos60°=v0t②,联立①②解得v0=,故选C。
5.(12分)为吃到美味的坚果,以8 m/s的速度水平飞行的乌鸦,经过电线杆顶端时将坚果从嘴中释放,坚果在空中飞行一段时间后与坚硬的地面撞击而摔裂。若电线杆顶端和坚果落地点的连线与水平方向夹角为37°,不计空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)电线杆的高度和坚果与电线杆的最远距离;(6分)
答案:(1)7.2 m,9.6 m　
【解析】(1)坚果做平抛运动,设电线杆的竖直高度(即坚果的竖直位移)为h,
坚果与电线杆的最远距离(即水平位移)为x,
则h=gt2,x=v0t,tan37°=
解得t=1.2 s,h=7.2 m,x=9.6 m
(2)坚果落地时的瞬时速度大小。(结果可用三角函数的值表示)(6分)
答案: (2)4 m/s
【解析】(2)设坚果落地速度大小为v,方向与水平方向夹角为θ,竖直分速度为vy,
则vy=gt,v=,tanθ=
解得v=4 m/s,tanθ=1.5
核心素养测评
第2课时　平抛运动的临界和极值问题　斜抛运动
(25分钟　30分)
选择题(1-5题,每小题6分,共30分)
【基础巩固练】
1.袋鼠是世界上跳得最远的哺乳动物,如图所示。袋鼠某次跳跃时,最高点距离水平地面2 m,落地点距离起跳点8 m。将袋鼠视为质点,不计空气阻力,g取10 m/s2,其起跳后的运动过程可视为斜抛运动。下列说法正确的是(　　)
A.到达最高点时速度为零
B.从起跳到最高点的过程用时0.2 s
C.起跳时速度方向与水平方向的夹角为45°
D.从起跳到最高点的过程,速度变化量的方向竖直向上
2.如图所示,一物体在风机口水平抛出,运动时只受重力G和竖直向上的恒定升力F,且F=G。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在网罩N点,M、N间的竖直高度为h,M与右壁水平间距为L,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.若增大初速度v0,物体将撞击右壁,且初速度越大,物体撞击壁速度越大
D.若h足够大,当初速度v0=时,物体撞击右壁时速度最小
【综合应用练】
3.如图所示,一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6 m的C点以水平速度v0跳出,蜘蛛要到达蛛丝,水平速度v0至少为(　　)
A. m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
4.【多选】(2026·太原模拟)如图所示,倾角为37°的斜面ABC固定在水平面上,从顶点A垂直斜面向上抛出一个小球,小球每次落到斜面上与斜面碰撞前后瞬间,沿平行斜面方向的分速度不变,垂直斜面方向的分速度大小相等、方向相反,小球第四次落到斜面上的位置刚好在C点,从A运动到C的时间为t,重力加速度为g,不计小球大小和空气阻力,碰撞的时间不计,sin37°=0.6,cos37°=0.8,则下列说法正确的是(　　)
A.小球第一次和第二次离斜面最远点的速度之比为1∶2
B.小球第一次和第二次在斜面上的落点到A点的距离之比为1∶4
C.小球在A点抛出的初速度大小为gt
D.斜面AC长为gt2
5.(生产生活)如图,一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同,从花洒中喷出的水落于水平地面(P、Q分别为最左、最右端两落点),不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是(　　)
- 5 -(共51张PPT)
第2讲　抛体运动
考点一　平抛运动的规律及应用
考点三　平抛运动的临界和极值问题
考点四　斜抛运动
模型建构4　类平抛模型
考点二　有约束条件的平抛运动
学习目标 学后评价
1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质 完成□　　继续□
2.掌握抛体运动的规律,会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动 完成□　　继续□
3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题 完成□　　继续□
考点一　平抛运动的规律及应用
平抛运动的相关物理量的特点
物理量 特点
飞行 时间
时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程
水平射程x由初速度v0和下落高度h共同决定
物理量 特点
落地 速度
落地速度只与初速度v0和下落高度h有关
速度 改变量 平抛运动的加速度a=g恒定,做平抛运动的物体在
任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相
同,方向竖直向下
角度1　单物体的平抛运动
【典例1】(2025·云南高考)如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
【图形剖析】
【解析】选D。鸟食的运动视为平抛运动,则在竖直方向有h=gt2,由于hM过M点作一水平面,可看出在相同高度处M点的水平位移大,则在M点接到的鸟食平抛的初速度较大,故C错误,D正确。
角度2　两个物体的平抛运动
【典例2】在一次娱乐活动中,教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包,两沙包在空中的C点相遇,忽略空气阻力,重力加速度为g,则(　　)
A.教师和学生同时抛出沙包
B.学生应先抛出沙包
C.若教师远离学生几步,则需要与学生同时扔出沙包,两沙包才能相遇
D.若已知A和C、B和C的高度差hAC和hBC,可求出A、B两点间的水平距离
√
【思路导引】
(1)根据两个沙包下落的竖直高度的关系,分析下落时间。
(2)根据两个沙包运动的水平位移,分析抛出点的水平距离。
【解析】选D。抛出的沙包做平抛运动,由h=gt2可得t=,由题图可知,教师抛出的沙包下落的高度比学生抛出的沙包下落的高度大,则运动的时间较长,所以教师应先抛出沙包,两沙包才能相遇,故A、B、C错误;若知道A和C、B和C的高度差hAC和hBC,则可计算出两沙包相遇前做平抛运动的时间,A、B两点的水平距离可表示为LAB=v1t1+v2t2=v1+
v2,故D正确。
考点二　有约束条件的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
方法:分解速度 由tanθ==得t= 方法:分解速度 由tanθ==得 t= 方法:分解位移
由tanθ==得t=
2.落点在曲面上的三种情境分析
方法:分解速度 因tanθ== 得t= 方法:利用位移关系 x=R+R·cosθ=v0t y=Rsinθ=gt2 (x-R)2+y2=R2 方法:利用位移关系
x=v0t
y=gt2
x2+y2=R2
3.解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角,找出斜面倾角与位移偏向角或速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
角度1　落点在斜面上
【典例3】【多选】【教材习题改编】(必修二P21T3)在某次演习中,轰炸机沿水平方向投放两枚炸弹A、B,A、B两炸弹间隔为h,从如图所示位置分别以vA和vB水平抛出(图中虚线为竖直线),两炸弹落在倾角θ=45°斜面上的同一位置。已知A炸弹以最短位移到达斜面,B炸弹垂直打在斜面上,忽略空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.vB= B.vA=
C.tB= D.tA=
√
√
【编改溯源】
情境不变,增加条件,改变设问角度。
【思路导引】
【解析】选B、D。作OC平行于水平面,如图所示,A炸弹在空中运动位
移最短,则有tan45°===,(关键点:分解位移),B炸弹垂直打在斜
面上,则有tan45°=(关键点:分解速度),又vAtA=OC=vBtB,联立可得vB=vA,tA=tB,又OA=g,OB=g,OA-OB=h,联立解得OA=2h,
OC=2h,由H=gt2,x=v0t,解得vA=,vB=,tA=,tB=,
选项B、D正确。
【典例4】(2026·阳泉模拟)北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行,运动员某次练习滑雪的过程简化模型如图所示,可看成质点的运动员从M点由静止下滑,从P点以速度v0水平飞出,落至斜面PQ上的N点。已知斜面的倾角为β,重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.运动员从P点运动到N点的时间为
B.运动员从P点运动到N点的位移大小为
C.运动员从P点运动到N点的过程中离开斜面的最大距离为
D.若增大运动员从P点飞出的速度,且运动员仍落至斜面PQ上,则落至斜面上时速度与斜面的夹角会变大
√
【解析】选C。运动员只要落在斜面上,合位移与水平分位移的夹角为β,则有:tanβ==,可得运动员从P点运动到N点的时间t=,故A错误;运动员从P点运动到N点的位移大小为x==,故B错误;将初速度和加速度沿着平行斜面向下和垂直斜面方向分解,则垂直斜面方向的初速度v⊥=v0sinβ,加速度a⊥=gcosβ,运动员在垂直斜面方向做匀减速直线运动,当垂直斜面方向的速度减为零时,离斜面最远,则有:s=,代
入数据可得运动员离斜面最远的距离s=,故C正确;根据平抛运动的推论,速度反向延长线经过水平位移的中点,设速度与水平面的夹角为α,则有:tanα==,tanβ=,两式联立可得:tanα=2tanβ,所以α大小与初速度无关,则速度与斜面的夹角也与初速度无关,若增大运动员从P点飞出的速度,且运动员仍落至斜面PQ上,则落至斜面上时速度与斜面的夹角不变,故D错误。
角度2　落点在曲面上
【典例5】如图所示,科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边,沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°,已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方,且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则石子抛出时的速度大小为(　　)
A.9 m/s B.12 m/s
C.15 m/s D.18 m/s
√
【解析】选C。由题意可知,石子竖直方向的位移为h=h1+Rsin37°,根据h=gt2,代入数据解得t=1.2 s;石子水平方向的位移为x=R+Rcos37°,又x=v0t,解得v0=15 m/s。故C正确,A、B、D错误。
[母题变式] (变设问)若科考队员沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),改变其水平抛出石子的初速度,能否使石子落到坑中某点时的速度方向沿半圆形陨石坑的半径方向
答案:见解析
【解析】假设石子落到坑中某点Q时的速度方向沿半径方向,则Q点速度反向延长线必过圆心O,而根据平抛运动速度反向延长线过水平位移中点可得此时水平位移应为半圆形陨石坑的直径,但水平位移不可能为半圆形陨石坑的直径,故假设不成立,所以石子落入坑中某点的速度方向不可能沿半圆形陨石坑的半径方向。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.解决极值和临界问题的方法
物理 分析 法 根据题意,找到临界轨迹(或临界点),明确临界条件,应用平抛运动的规律结合临界条件求解
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平抛运动的规律列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)
小球在光滑轨道的最高点由静止释放,h为何值时,小球飞得最远
角度1　平抛运动的临界问题
【典例6】如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,竖直墙的厚度d=0.4 m,某人在距离墙壁L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出,要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则可以实现上述要求的速度大小是(　　)
A.2 m/s B.4 m/s
C.8 m/s D.10 m/s
√
【解析】选B。小物件做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大。此时有L=vmaxt1,h=g,代入数据解得vmax=7 m/s,小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小,则有L+d=vmint2,H+ h=g,代入数据解得vmin=3 m/s,故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s,故B正确,A、C、D错误。
角度2　平抛运动的极值问题
【典例7】某跑酷运动员在跳台以不同的速度v0从斜坡最低点正上方水平跳向对面的斜坡,斜坡的倾角为53°(如图所示),已知跳台的高度为h,不计空气阻力,重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6,则该运动员落到斜坡上的最小速度为(　　)
A.
B.
C.
D.
√
【解析】选B。设该运动员落到斜坡上经历的时间为t,由平抛运动的规
律可得,水平方向的位移x=v0t,竖直方向的位移y=gt2,由几何关系可得
x=,又有该运动员落到斜坡上时速度v满足v2=+(gt)2,整理可得
v=,当=时,速度v最小,最小值为
vmin==,B正确。
考点四　斜抛运动
1.斜抛运动的几个物理量

物理量 思路
速度
位移
物理量 思路
飞行 时间 物体上升到最高点的时间
t上==,
从最高点到落地点的时间
t下=,则t下=t上
飞行时间T=t下+t上=
物理量 思路
射高 射程
对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=
2.解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,其逆过程为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动,可根据对称性求解。
【典例8】(2024·江苏高考)喷泉a、b出射点高度相同,形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同
B.初速度相同
C.最高点的速度相同
D.在空中运动的时间相同
√
【解析】选A。水在空中的运动为斜抛运动,只受重力作用,则a、b加速度相同,均为重力加速度,A正确;设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy,水平方向分速度为vx,竖直方向由对称性可知,在空中运动时间t=2,则ta【典例9】(2026·淄博模拟)如图所示为运动会赛场上推铅球的项目。当同学推铅球时,将铅球以速度v0向右上方抛出。经过1 s铅球落到地面。已知v0=6.4 m/s,与水平方向夹角θ=30°,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)铅球抛出时距离地面的高度;
答案:(1)1.8 m　
【解析】(1)以竖直向上为正方向,在竖直方向上,根据位移公式可得
-h=v0sinθgt2
解得h=1.8 m
(2)铅球抛出后离地最大高度。
答案: (2)2.312 m
【解析】(2)从抛出点上升到最高点时间为
t1==0.32 s
从最高点下落时间为t2=t-t1=0.68 s
则H=g=2.312 m
模型建构4　类平抛模型
模型
受力特点 物体所受合外力为恒力,且与初速度方向垂直
运动特点 沿初速度v0方向做匀速直线运动,沿垂直于初速度方
向(即合外力方向)做匀加速直线运动,加速度a=
处 理 方 法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向上列方程求解
【典例】【多选】如图所示,两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上,两斜面间距大于小球直径,斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a、c两小球在斜面顶端。若同时释放,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方向如图所示,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于这些时间的关系正确的是(　　)
A.t1>t3>t2
B.t1=t1'、t2=t2'、t3=t3'
C.t1'>t2'>t3'
D.t1√
√
【思路导引】
(1)对研究对象进行受力分析,确定合力,确定加速度。
(2)确定研究对象的运动性质,根据实际情况对物体的运动进行分解。
(3)根据运动学公式分析计算。
【解析】选A、B。第一种情况,b球做自由落体运动,a、c两球均做匀加速运动。设斜面的高度为h,对a球有=gsin30°·,对b球有h=g,对c球有=gsin 45°·,由数学知识得t1>t3>t2。第二种情况,a、c两个球都做类平抛运动,沿斜面方向都向下做初速度为零的匀加速直线运动,a的加速度为gsin30°,c的加速度为gsin45°,b球做平抛运动,对a球有=gsin30°·t1'2,对b球有h=gt2'2,对c球有=gsin 45°·t,比较可知t1=t1',t2=t2',t3=t3',t1'>t3'>t2',故A、B正确,C、D错误。
[变式训练] 【多选】如图,某一圆柱形风筒内有沿水平方向的恒定风力,为测定风力的大小,现让一质量为m的轻质小球以速率v0=4 m/s从A点沿AB方向进入风筒(图中未画出),小球恰好能沿AB直线运动到O点,若测得CO=AO=R,不计小球所受重力,下列说法正确的是(　　)
A.风力的方向由A指向B
B.风力的大小为
C.小球运动到O点后会返回到A点离开,速率仍为4 m/s
D.若小球仍以速率v0从C点沿CO方向进入风筒,则小球会从A点离开风筒
√
√
【解析】选B、C。小球从A运动到O,到O点时速度刚好为零,故小球做匀减速直线运动,风力方向与初速度方向相反,由B指向A,故A错误;对小球,从A到O,根据动能定理有-F风R=m,故F风==,故B正确; 小球到达O点时速度为零,但仍受到恒定向右的风力作用,所以会向右做匀加速直线运动,根据能量守恒,小球到达A点时速率为v0,接着离开风筒,故C正确;若小球仍以速率v0从C点沿CO方向进入风筒,小球会做类平抛运动,如图,
小球沿y轴做匀速直线运动,若能到达A点,则R=v0t,得t=,小球沿x轴做匀加速直线运动,加速度a==,位移为x=at2=R 核心素养测评
第1课时　平抛运动的规律及应用　有约束条件的平抛运动
(25分钟　36分)
选择题(1-4题,每小题6分,共24分)
【基础巩固练】
1.对于水平抛出的垒球,忽略空气阻力,在空中做(　　)
A.变加速曲线运动
B.匀加速曲线运动
C.匀减速曲线运动
D.直线运动
2.(2024·湖北高考)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d
【综合应用练】
3.如图所示,某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以v0=50 m/s的初速度正对墙壁水平击出,击球点距离地面高度H=
1.8 m,到竖直墙壁的水平距离x=15 m。网球跟竖直墙壁碰撞后,竖直方向的分速度大小不变,反弹后水平速度的大小变为碰前的60%,g取10 m/s2,网球可视为质点,不计空气阻力,则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离为(　　)
A.8.0 m B.7.5 m C.7.0 m D.6.0 m
4.如图所示,一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点),飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心,半圆轨道半径为R,OB与水平方向夹角为60°,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
5.(12分)为吃到美味的坚果,以8 m/s的速度水平飞行的乌鸦,经过电线杆顶端时将坚果从嘴中释放,坚果在空中飞行一段时间后与坚硬的地面撞击而摔裂。若电线杆顶端和坚果落地点的连线与水平方向夹角为37°,不计空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)电线杆的高度和坚果与电线杆的最远距离;(6分)
(2)坚果落地时的瞬时速度大小。(结果可用三角函数的值表示)(6分)
- 4 -第2讲　抛体运动
学习目标 学后评价
1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质 完成□　　继续□
2.掌握抛体运动的规律,会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动 完成□　　继续□
3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题 完成□　　继续□
考点一　平抛运动的规律及应用
平抛运动的相关物理量的特点
物理量 特点
飞行 时间 时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程 水平射程x由初速度v0和下落高度h共同决定
落地 速度 落地速度只与初速度v0和下落高度h有关
速度 改变量 平抛运动的加速度a=g恒定,做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向竖直向下
角度1　单物体的平抛运动
【典例1】(2025·云南高考)如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【图形剖析】
角度2　两个物体的平抛运动
【典例2】在一次娱乐活动中,教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包,两沙包在空中的C点相遇,忽略空气阻力,重力加速度为g,则(　　)
A.教师和学生同时抛出沙包
B.学生应先抛出沙包
C.若教师远离学生几步,则需要与学生同时扔出沙包,两沙包才能相遇
D.若已知A和C、B和C的高度差hAC和hBC,可求出A、B两点间的水平距离
【思路导引】
(1)根据两个沙包下落的竖直高度的关系,分析下落时间。
(2)根据两个沙包运动的水平位移,分析抛出点的水平距离。
考点二　有约束条件的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
方法:分解速度 由tanθ==得t= 方法:分解速度 由tanθ==得 t= 方法:分解位移 由tanθ==得t=
2.落点在曲面上的三种情境分析
方法:分解速度 因tanθ== 得t= 方法:利用位移关系 x=R+R·cosθ=v0t y=Rsinθ=gt2 (x-R)2+y2=R2 方法:利用位移关系 x=v0t y=gt2 x2+y2=R2
3.解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角,找出斜面倾角与位移偏向角或速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
角度1　落点在斜面上
【典例3】【多选】【教材习题改编】(必修二P21T3)在某次演习中,轰炸机沿水平方向投放两枚炸弹A、B,A、B两炸弹间隔为h,从如图所示位置分别以vA和vB水平抛出(图中虚线为竖直线),两炸弹落在倾角θ=45°斜面上的同一位置。已知A炸弹以最短位移到达斜面,B炸弹垂直打在斜面上,忽略空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.vB= B.vA=
C.tB= D.tA=
【编改溯源】
情境不变,增加条件,改变设问角度。
【思路导引】
【典例4】(2026·阳泉模拟)北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行,运动员某次练习滑雪的过程简化模型如图所示,可看成质点的运动员从M点由静止下滑,从P点以速度v0水平飞出,落至斜面PQ上的N点。已知斜面的倾角为β,重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.运动员从P点运动到N点的时间为
B.运动员从P点运动到N点的位移大小为
C.运动员从P点运动到N点的过程中离开斜面的最大距离为
D.若增大运动员从P点飞出的速度,且运动员仍落至斜面PQ上,则落至斜面上时速度与斜面的夹角会变大
角度2　落点在曲面上
【典例5】如图所示,科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边,沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°,已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方,且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则石子抛出时的速度大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 m/s B.12 m/s
C.15 m/s D.18 m/s
[母题变式] (变设问)若科考队员沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),改变其水平抛出石子的初速度,能否使石子落到坑中某点时的速度方向沿半圆形陨石坑的半径方向
考点三　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.解决极值和临界问题的方法
物理 分析 法 根据题意,找到临界轨迹(或临界点),明确临界条件,应用平抛运动的规律结合临界条件求解
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平抛运动的规律列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 小球在光滑轨道的最高点由静止释放,h为何值时,小球飞得最远
角度1　平抛运动的临界问题
【典例6】如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,竖直墙的厚度d=0.4 m,某人在距离墙壁L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出,要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则可以实现上述要求的速度大小是(　　)
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.10 m/s
角度2　平抛运动的极值问题
【典例7】某跑酷运动员在跳台以不同的速度v0从斜坡最低点正上方水平跳向对面的斜坡,斜坡的倾角为53°(如图所示),已知跳台的高度为h,不计空气阻力,重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6,则该运动员落到斜坡上的最小速度为(　　)
A.
B.
C.
D.
考点四　斜抛运动
1.斜抛运动的几个物理量
物理量 思路
速度
位移
飞行 时间 物体上升到最高点的时间 t上==, 从最高点到落地点的时间 t下=,则t下=t上 飞行时间T=t下+t上=
射高 射程 对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=
2.解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,其逆过程为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动,可根据对称性求解。
【典例8】(2024·江苏高考)喷泉a、b出射点高度相同,形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同
B.初速度相同
C.最高点的速度相同
D.在空中运动的时间相同
【典例9】(2026·淄博模拟)如图所示为运动会赛场上推铅球的项目。当同学推铅球时,将铅球以速度v0向右上方抛出。经过1 s铅球落到地面。已知v0=6.4 m/s,与水平方向夹角θ=30°,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)铅球抛出时距离地面的高度;
(2)铅球抛出后离地最大高度。
模型建构4　类平抛模型
模型
受力特点 物体所受合外力为恒力,且与初速度方向垂直
运动特点 沿初速度v0方向做匀速直线运动,沿垂直于初速度方向(即合外力方向)做匀加速直线运动,加速度a=
处 理 方 法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向上列方程求解
【典例】【多选】如图所示,两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上,两斜面间距大于小球直径,斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a、c两小球在斜面顶端。若同时释放,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方向如图所示,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于这些时间的关系正确的是(　　)
A.t1>t3>t2
B.t1=t1'、t2=t2'、t3=t3'
C.t1'>t2'>t3'
D.t1【思路导引】
(1)对研究对象进行受力分析,确定合力,确定加速度。
(2)确定研究对象的运动性质,根据实际情况对物体的运动进行分解。
(3)根据运动学公式分析计算。
[变式训练] 【多选】如图,某一圆柱形风筒内有沿水平方向的恒定风力,为测定风力的大小,现让一质量为m的轻质小球以速率v0=4 m/s从A点沿AB方向进入风筒(图中未画出),小球恰好能沿AB直线运动到O点,若测得CO=AO=R,不计小球所受重力,下列说法正确的是(　　)
A.风力的方向由A指向B
B.风力的大小为
C.小球运动到O点后会返回到A点离开,速率仍为4 m/s
D.若小球仍以速率v0从C点沿CO方向进入风筒,则小球会从A点离开风筒
- 16 -核心素养测评
第1课时　平抛运动的规律及应用　有约束条件的平抛运动
(25分钟　36分)
选择题(1-4题,每小题6分,共24分)
【基础巩固练】
1.对于水平抛出的垒球,忽略空气阻力,在空中做(　　)
A.变加速曲线运动
B.匀加速曲线运动
C.匀减速曲线运动
D.直线运动
【解析】选B。水平抛出的垒球,忽略空气阻力,垒球做平抛运动,加速度始终为重力加速度,垒球做匀加速曲线运动,故选B。
2.(2024·湖北高考)如图所示,有五片荷叶伸出荷塘水面,一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上。设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内,a、b高度相同,c、d高度相同,a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动,若以最小的初速度完成跳跃,则它应跳到(　　)
A.荷叶a B.荷叶b C.荷叶c D.荷叶d
【解析】选C。青蛙做平抛运动,水平方向为匀速直线运动,竖直方向为自由落体运动,则有x=vt,h=gt2,可得v=x,因此水平位移越小,竖直高度越大,所需初速度越小,因此应跳到荷叶c上面。故选C。
【综合应用练】
3.如图所示,某同学在面对竖直墙壁练习打网球。该同学将网球以v0=50 m/s的初速度正对墙壁水平击出,击球点距离地面高度H=
1.8 m,到竖直墙壁的水平距离x=15 m。网球跟竖直墙壁碰撞后,竖直方向的分速度大小不变,反弹后水平速度的大小变为碰前的60%,g取10 m/s2,网球可视为质点,不计空气阻力,则网球第一次的落地点与击球点之间的水平距离为(　　)
A.8.0 m B.7.5 m C.7.0 m D.6.0 m
【解析】选D。网球运动到与竖直墙壁碰撞的过程中飞行的时间t1== s=0.3 s,网球下落的高度h1=g=0.45 m,与墙壁碰撞时竖直方向的分速度大小vy=gt1=3 m/s,碰撞后竖直方向的分速度大小不变,到落地有vyt2+g=H-h1,解得t2=0.3 s,碰撞后水平方向的分速度变为原来的60%,水平运动的距离x2=v0×60%·t2=9 m,故网球第一次落地点与击球点间的水平距离d=x-x2=6 m,故选D。
4.如图所示,一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点),飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。O为半圆轨道圆心,半圆轨道半径为R,OB与水平方向夹角为60°,重力加速度为g,则小球抛出时的初速度为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选C。飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点,则知速度与水平方向的夹角为30°,则有vy=v0tan30°
又vy=gt,则得v0tan30°=gt,得t=①,水平方向上小球做匀速直线运动,则有R+Rcos60°=v0t②,联立①②解得v0=,故选C。
5.(12分)为吃到美味的坚果,以8 m/s的速度水平飞行的乌鸦,经过电线杆顶端时将坚果从嘴中释放,坚果在空中飞行一段时间后与坚硬的地面撞击而摔裂。若电线杆顶端和坚果落地点的连线与水平方向夹角为37°,不计空气阻力,sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)电线杆的高度和坚果与电线杆的最远距离;(6分)
答案:(1)7.2 m,9.6 m　
【解析】(1)坚果做平抛运动,设电线杆的竖直高度(即坚果的竖直位移)为h,
坚果与电线杆的最远距离(即水平位移)为x,
则h=gt2,x=v0t,tan37°=
解得t=1.2 s,h=7.2 m,x=9.6 m
(2)坚果落地时的瞬时速度大小。(结果可用三角函数的值表示)(6分)
答案: (2)4 m/s
【解析】(2)设坚果落地速度大小为v,方向与水平方向夹角为θ,竖直分速度为vy,
则vy=gt,v=,tanθ=
解得v=4 m/s,tanθ=1.5
- 4 -第2讲　抛体运动
学习目标 学后评价
1.理解平抛运动、斜抛运动的概念及运动性质 完成□　　继续□
2.掌握抛体运动的规律,会用运动的合成与分解的方法处理抛体运动、类抛体运动 完成□　　继续□
3.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题 完成□　　继续□
考点一　平抛运动的规律及应用
平抛运动的相关物理量的特点
物理量 特点
飞行 时间 时间取决于下落高度h,与初速度v0无关
水平 射程 水平射程x由初速度v0和下落高度h共同决定
落地 速度 落地速度只与初速度v0和下落高度h有关
速度 改变量 平抛运动的加速度a=g恒定,做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv=gΔt相同,方向竖直向下
角度1　单物体的平抛运动
【典例1】(2025·云南高考)如图所示,某同学将两颗鸟食从O点水平抛出,两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动,两运动轨迹在同一竖直平面内,则(　　)
A.两颗鸟食同时抛出
B.在N点接到的鸟食后抛出
C.两颗鸟食平抛的初速度相同
D.在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
【图形剖析】
【解析】选D。鸟食的运动视为平抛运动,则在竖直方向有h=gt2,由于hM过M点作一水平面,可看出在相同高度处M点的水平位移大,则在M点接到的鸟食平抛的初速度较大,故C错误,D正确。
角度2　两个物体的平抛运动
【典例2】在一次娱乐活动中,教师和学生分别在A、B两点以速度v1和v2水平抛出沙包,两沙包在空中的C点相遇,忽略空气阻力,重力加速度为g,则(　　)
A.教师和学生同时抛出沙包
B.学生应先抛出沙包
C.若教师远离学生几步,则需要与学生同时扔出沙包,两沙包才能相遇
D.若已知A和C、B和C的高度差hAC和hBC,可求出A、B两点间的水平距离
【思路导引】
(1)根据两个沙包下落的竖直高度的关系,分析下落时间。
(2)根据两个沙包运动的水平位移,分析抛出点的水平距离。
【解析】选D。抛出的沙包做平抛运动,由h=gt2可得t=,由题图可知,教师抛出的沙包下落的高度比学生抛出的沙包下落的高度大,则运动的时间较长,所以教师应先抛出沙包,两沙包才能相遇,故A、B、C错误;若知道A和C、B和C的高度差hAC和hBC,则可计算出两沙包相遇前做平抛运动的时间,A、B两点的水平距离可表示为LAB=v1t1+v2t2=v1+v2,故D正确。
考点二　有约束条件的平抛运动
1.落点在斜面上的三种情境分析
方法:分解速度 由tanθ==得t= 方法:分解速度 由tanθ==得 t= 方法:分解位移 由tanθ==得t=
2.落点在曲面上的三种情境分析
方法:分解速度 因tanθ== 得t= 方法:利用位移关系 x=R+R·cosθ=v0t y=Rsinθ=gt2 (x-R)2+y2=R2 方法:利用位移关系 x=v0t y=gt2 x2+y2=R2
3.解题关键
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度分解方法。
(2)充分运用斜面倾角,找出斜面倾角与位移偏向角或速度偏向角的关系。
(3)“曲面”约束类要灵活应用平抛运动的推论。
角度1　落点在斜面上
【典例3】【多选】【教材习题改编】(必修二P21T3)在某次演习中,轰炸机沿水平方向投放两枚炸弹A、B,A、B两炸弹间隔为h,从如图所示位置分别以vA和vB水平抛出(图中虚线为竖直线),两炸弹落在倾角θ=45°斜面上的同一位置。已知A炸弹以最短位移到达斜面,B炸弹垂直打在斜面上,忽略空气阻力,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.vB= B.vA=
C.tB= D.tA=
【编改溯源】
情境不变,增加条件,改变设问角度。
【思路导引】
【解析】选B、D。作OC平行于水平面,如图所示,A炸弹在空中运动位移最短,则有tan45°===,(关键点:分解位移),B炸弹垂直打在斜面上,则有tan45°=(关键点:分解速度),又vAtA=OC=vBtB,联立可得vB=vA,tA=tB,又OA=g,OB=g,OA-OB=h,联立解得OA=2h,OC=2h,由H=gt2,x=v0t,解得vA=,vB=,tA=,tB=,选项B、D正确。
【典例4】(2026·阳泉模拟)北京冬奥会跳台滑雪比赛在国家跳台滑雪中心“雪如意”举行,运动员某次练习滑雪的过程简化模型如图所示,可看成质点的运动员从M点由静止下滑,从P点以速度v0水平飞出,落至斜面PQ上的N点。已知斜面的倾角为β,重力加速度为g,不计空气阻力,则下列说法正确的是(　　)
A.运动员从P点运动到N点的时间为
B.运动员从P点运动到N点的位移大小为
C.运动员从P点运动到N点的过程中离开斜面的最大距离为
D.若增大运动员从P点飞出的速度,且运动员仍落至斜面PQ上,则落至斜面上时速度与斜面的夹角会变大
【解析】选C。运动员只要落在斜面上,合位移与水平分位移的夹角为β,则有:tanβ==,可得运动员从P点运动到N点的时间t=,故A错误;运动员从P点运动到N点的位移大小为x==,故B错误;将初速度和加速度沿着平行斜面向下和垂直斜面方向分解,则垂直斜面方向的初速度v⊥=v0sinβ,加速度a⊥=gcosβ,运动员在垂直斜面方向做匀减速直线运动,当垂直斜面方向的速度减为零时,离斜面最远,则有:s=,代入数据可得运动员离斜面最远的距离s=,故C正确;根据平抛运动的推论,速度反向延长线经过水平位移的中点,设速度与水平面的夹角为α,则有:tanα==,tanβ=,两式联立可得:tanα=2tanβ,所以α大小与初速度无关,则速度与斜面的夹角也与初速度无关,若增大运动员从P点飞出的速度,且运动员仍落至斜面PQ上,则落至斜面上时速度与斜面的夹角不变,故D错误。
角度2　落点在曲面上
【典例5】如图所示,科考队员站在半径为10 m的半圆形陨石坑(直径水平)边,沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),石子在坑中的落点P与圆心O的连线与水平方向的夹角为37°,已知石子的抛出点在半圆形陨石坑左端的正上方,且到半圆形陨石坑左端的高度为1.2 m。取sin37°=0.6,cos37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,则石子抛出时的速度大小为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.9 m/s B.12 m/s
C.15 m/s D.18 m/s
【解析】选C。由题意可知,石子竖直方向的位移为h=h1+Rsin37°,根据h=gt2,代入数据解得t=1.2 s;石子水平方向的位移为x=R+Rcos37°,又x=v0t,解得v0=15 m/s。故C正确,A、B、D错误。
[母题变式] (变设问)若科考队员沿水平方向向坑中抛出一石子(视为质点),改变其水平抛出石子的初速度,能否使石子落到坑中某点时的速度方向沿半圆形陨石坑的半径方向
答案:见解析
【解析】假设石子落到坑中某点Q时的速度方向沿半径方向,则Q点速度反向延长线必过圆心O,而根据平抛运动速度反向延长线过水平位移中点可得此时水平位移应为半圆形陨石坑的直径,但水平位移不可能为半圆形陨石坑的直径,故假设不成立,所以石子落入坑中某点的速度方向不可能沿半圆形陨石坑的半径方向。
考点三　平抛运动的临界和极值问题
1.常见的三种临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”,表明题述的过程中存在着“起止点”,而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点往往是临界点。
2.解决极值和临界问题的方法
物理 分析 法 根据题意,找到临界轨迹(或临界点),明确临界条件,应用平抛运动的规律结合临界条件求解
数学 分析 法 通过对问题的分析,根据平抛运动的规律列出物理量之间的函数关系(或画出函数图像),用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值) 小球在光滑轨道的最高点由静止释放,h为何值时,小球飞得最远
角度1　平抛运动的临界问题
【典例6】如图所示,窗子上、下沿间的高度H=1.6 m,竖直墙的厚度d=0.4 m,某人在距离墙壁L=1.4 m、距窗子上沿h=0.2 m处的P点,将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出,要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2,则可以实现上述要求的速度大小是(　　)
A.2 m/s B.4 m/s C.8 m/s D.10 m/s
【解析】选B。小物件做平抛运动,恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大。此时有L=vmaxt1,h=g,代入数据解得vmax=7 m/s,小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小,则有L+d=vmint2,H+h=g,代入数据解得vmin=3 m/s,故v的取值范围是
3 m/s≤v≤7 m/s,故B正确,A、C、D错误。
角度2　平抛运动的极值问题
【典例7】某跑酷运动员在跳台以不同的速度v0从斜坡最低点正上方水平跳向对面的斜坡,斜坡的倾角为53°(如图所示),已知跳台的高度为h,不计空气阻力,重力加速度为g,sin53°=0.8,cos53°=0.6,则该运动员落到斜坡上的最小速度为(　　)
A.
B.
C.
D.
【解析】选B。设该运动员落到斜坡上经历的时间为t,由平抛运动的规律可得,水平方向的位移x=v0t,竖直方向的位移y=gt2,由几何关系可得x=,又有该运动员落到斜坡上时速度v满足v2=+(gt)2,整理可得v=,当=时,速度v最小,最小值为vmin==,B正确。
考点四　斜抛运动
1.斜抛运动的几个物理量
物理量 思路
速度
位移
飞行 时间 物体上升到最高点的时间 t上==, 从最高点到落地点的时间 t下=,则t下=t上 飞行时间T=t下+t上=
射高 射程 对于给定的v0,当θ=45°时,射程达到最大值,smax=
2.解题技巧
(1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动,其逆过程为平抛运动。
(2)分析完整的斜上抛运动,可根据对称性求解。
【典例8】(2024·江苏高考)喷泉a、b出射点高度相同,形成如图所示的形状,不计空气阻力,则喷泉a、b的(　　)
A.加速度相同
B.初速度相同
C.最高点的速度相同
D.在空中运动的时间相同
【解析】选A。水在空中的运动为斜抛运动,只受重力作用,则a、b加速度相同,均为重力加速度,A正确;设喷泉喷出的水竖直方向的分速度为vy,水平方向分速度为vx,竖直方向由对称性可知,在空中运动时间t=2,则ta【典例9】(2026·淄博模拟)如图所示为运动会赛场上推铅球的项目。当同学推铅球时,将铅球以速度v0向右上方抛出。经过1 s铅球落到地面。已知v0=6.4 m/s,与水平方向夹角θ=30°,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力,求:
(1)铅球抛出时距离地面的高度;
答案:(1)1.8 m　
【解析】(1)以竖直向上为正方向,在竖直方向上,根据位移公式可得
-h=v0sinθgt2
解得h=1.8 m
(2)铅球抛出后离地最大高度。
答案: (2)2.312 m
【解析】(2)从抛出点上升到最高点时间为
t1==0.32 s
从最高点下落时间为t2=t-t1=0.68 s
则H=g=2.312 m
模型建构4　类平抛模型
模型
受力特点 物体所受合外力为恒力,且与初速度方向垂直
运动特点 沿初速度v0方向做匀速直线运动,沿垂直于初速度方向(即合外力方向)做匀加速直线运动,加速度a=
处 理 方 法 常规 分解 将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动,两分运动彼此独立,互不影响,且与合运动具有等时性
特殊 分解 对于有些问题,可以过抛出点建立适当的直角坐标系,将加速度a分解为ax、ay,初速度v0分解为vx、vy,然后分别在x、y方向上列方程求解
【典例】【多选】如图所示,两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上,两斜面间距大于小球直径,斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c,开始均静止于同一高度处,其中b小球在两斜面之间,a、c两小球在斜面顶端。若同时释放,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出,初速度方向如图所示,小球a、b、c到达该水平面的时间分别为t1'、t2'、t3'。下列关于这些时间的关系正确的是(　　)
A.t1>t3>t2
B.t1=t1'、t2=t2'、t3=t3'
C.t1'>t2'>t3'
D.t1【思路导引】
(1)对研究对象进行受力分析,确定合力,确定加速度。
(2)确定研究对象的运动性质,根据实际情况对物体的运动进行分解。
(3)根据运动学公式分析计算。
【解析】选A、B。第一种情况,b球做自由落体运动,a、c两球均做匀加速运动。设斜面的高度为h,对a球有=gsin30°·,对b球有h=g,对c球有=gsin 45°·,由数学知识得t1>t3>t2。第二种情况,a、c两个球都做类平抛运动,沿斜面方向都向下做初速度为零的匀加速直线运动,a的加速度为gsin30°,c的加速度为gsin45°,b球做平抛运动,对a球有=gsin30°·t1'2,对b球有h=gt2'2,对c球有=gsin 45°·t,比较可知t1=t1',t2=t2',t3=t3',t1'>t3'>t2',故A、B正确,C、D错误。
[变式训练] 【多选】如图,某一圆柱形风筒内有沿水平方向的恒定风力,为测定风力的大小,现让一质量为m的轻质小球以速率v0=4 m/s从A点沿AB方向进入风筒(图中未画出),小球恰好能沿AB直线运动到O点,若测得CO=AO=R,不计小球所受重力,下列说法正确的是(　　)
A.风力的方向由A指向B
B.风力的大小为
C.小球运动到O点后会返回到A点离开,速率仍为4 m/s
D.若小球仍以速率v0从C点沿CO方向进入风筒,则小球会从A点离开风筒
【解析】选B、C。小球从A运动到O,到O点时速度刚好为零,故小球做匀减速直线运动,风力方向与初速度方向相反,由B指向A,故A错误;对小球,从A到O,根据动能定理有-F风R=m,故F风==,故B正确; 小球到达O点时速度为零,但仍受到恒定向右的风力作用,所以会向右做匀加速直线运动,根据能量守恒,小球到达A点时速率为v0,接着离开风筒,故C正确;若小球仍以速率v0从C点沿CO方向进入风筒,小球会做类平抛运动,如图,
小球沿y轴做匀速直线运动,若能到达A点,则R=v0t,得t=,小球沿x轴做匀加速直线运动,加速度a==,位移为x=at2=R- 16 -(共12张PPT)
核心素养测评 第2课时　平抛运动的临界和极值问题　斜抛运动
(25分钟　30分)
选择题(1-5题,每小题6分,共30分)
【基础巩固练】
1.袋鼠是世界上跳得最远的哺乳动物,如图所示。袋鼠某次跳跃时,最高点距离水平地面2 m,落地点距离起跳点8 m。将袋鼠视为质点,不计空气阻力,g取10 m/s2,其起跳后的运动过程可视为斜抛运动。下列说法正确的是(　　)
A.到达最高点时速度为零
B.从起跳到最高点的过程用时0.2 s
C.起跳时速度方向与水平方向的夹角为45°
D.从起跳到最高点的过程,速度变化量的方向竖直向上
√
【解析】选C。到达最高点时竖直方向速度为零,但水平方向速度不为
零,所以速度不为零,故A错误;从起跳到最高点的过程用时t==
s= s,故B错误;起跳时竖直方向的速度大小为v0y= gt=10×
m/s=2 m/s,水平方向的速度大小为v0x== m/s= 2 m/s,
起跳时速度方向与水平方向夹角的正切值为tanθ==1,即θ=45°,故C正
确;物体做斜抛运动时的加速度为重力加速度,重力加速度的方向竖直向
下,某段时间内速度变化量的方向也竖直向下,故D错误。
2.如图所示,一物体在风机口水平抛出,运动时只受重力G和竖直向上的恒定升力F,且F=G。如果物体从M点以水平初速度v0开始运动,最后落在网罩N点,M、N间的竖直高度为h,M与右壁水平间距为L,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.从M运动到N的时间为
B.M与N之间的水平距离为v0
C.若增大初速度v0,物体将撞击右壁,且初速度越大,物体撞击壁速度越大
D.若h足够大,当初速度v0=时,物体撞击右壁时速度最小
√
【解析】选D。根据牛顿第二定律得G-F=ma,解得a=,该物体做类平抛运动,则h=at2,解得从M运动到N的时间为t=,故A错误;M与N之间的水平距离x=v0t=v0,故B错误;物体撞击右壁时,物体运动的时间为t'=,物体竖直方向的速度为vy=at'=,物体撞击右壁的速度v==,根据数学知识可知,当=即当初速度v0=时,物体撞击右壁速度最小,故若增大初速度v0,物体将可能撞击
右壁,初速度越大,物体撞击右壁的速度不一定越大,故C错误,D正确。
【综合应用练】
3.如图所示,一只蜘蛛在地面与竖直墙壁间结网,蛛丝AB与水平地面之间的夹角为45°,A到地面的距离为1 m,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计,若蜘蛛从竖直墙上距地面0.6 m的C点以水平速度v0跳出,蜘蛛要到达蛛丝,水平速度v0至少为(　　)
A. m/s B.2 m/s
C.2 m/s D.2 m/s
√
【解析】选C。当蜘蛛做平抛运动的轨迹恰好与蛛丝相切时v0最小,设蜘蛛跳出后经时间t到达蛛丝,根据平抛运动规律可得x=v0t,y=gt2,蜘蛛到达蛛丝时速度方向恰好沿蛛丝方向,所以=tan45°,由几何知识得sAO-sC O+y=x,联立解得v0=2 m/s,故选C。
4.【多选】(2026·太原模拟)如图所示,倾角为37°的斜面ABC固定在水平面上,从顶点A垂直斜面向上抛出一个小球,小球每次落到斜面上与斜面碰撞前后瞬间,沿平行斜面方向的分速度不变,垂直斜面方向的分速度大小相等、方向相反,小球第四次落到斜面上的位置刚好在C点,从A运动到C的时间为t,重力加速度为g,不计小球大小和空气阻力,碰撞的时间不计,sin37°=0.6,cos37° =0.8,则下列说法正确的是(　　)
A.小球第一次和第二次离斜面最远点的速度之比为1∶2
B.小球第一次和第二次在斜面上的落点到A点的距离之比为1∶4
C.小球在A点抛出的初速度大小为gt
D.斜面AC长为gt2
√
√
【解析】选B、C。小球沿垂直斜面方向做类竖直上抛运动,初速度为v0,加速度大小为a1=gcos37°=g
沿平行斜面方向做的是初速度为零的匀加速直线运动,加速度大小为a2=gsin37°=g
小球每次从离开斜面到回到斜面的时间都是t0==
则第一次离斜面最远处速度v1=a2×t0,第二次离斜面最远处速度v2=a2×t0
则=,A错误;小球从抛出到第一次到斜面上的时间为t0,从抛出到第二次落到斜面上的时间为2t0,根据比例规律可知,两次落点离A点的距离之比为1∶4,B正确;根据题意,t0==t
解得v0=gt,C正确;AC长x=a2t2=gt2,D错误。
5.(生产生活)如图,一竖直放置的花洒出水孔分布在圆形区域内。水流从出水孔水平向左射出。假设每个出水孔出水速度相同,从花洒中喷出的水落于水平地面(P、Q分别为最左、最右端两落点),不计空气阻力。落点区域俯视图的形状最可能的是(　　)
√
【解析】选D。设水龙头最低点离地面的高度为h,水龙头的半径为R,水滴距离地面的高度为(y+h),初速度为v0,则竖直方向,有h+y=gt2,水平方向,有x=v0t,解得x=v0,其中0≤y≤2R,由于y均匀增加时,x不是均匀增加,且x增加得越来越慢,所以俯视的形状为D图。

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