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(共23张PPT)
第五章　万有引力与宇宙航行
第1讲　万有引力定律
考点一　开普勒行星运动定律
考点二　万有引力定律的应用
学习目标 学后评价
1.理解开普勒行星运动定律,并会用来解决相关问题 完成□　　继续□
2.理解万有引力定律,并会计算万有引力 完成□　　继续□
3.掌握计算天体质量和密度的方法 完成□　　继续□
考点一　开普勒行星运动定律
对开普勒定律的理解
1.开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动,也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动。
2.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只适用于环绕同一中心天体的运动天体。
角度1　开普勒第二定律的理解及应用
【典例1】【多选】节气是指二十四个时节和气候,是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气,如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图,其中夏至时地球在远日点附近,远日点离太阳的距离为a,冬至时地球在近日点附近,近日点离太阳的距离为b,根据示意图,下列说法正确的是(　　)
A.芒种时地球公转速度比小满时慢
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.地球经过近日点、远日点时的速率之比为
b∶a
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将
一年的时间分为四等份
√
√
【解析】选A、B。从题图中我们可以看到,冬至时地球位于近日点附近,在二十四个节气中公转速度最快。随着地球向远日点移动,公转速度逐渐减慢。因此,芒种时的公转速度应该比小满时慢,A正确;由题图可知地球与太阳的连线从芒种到小暑扫过的面积大于从大雪到小寒扫过的面积,根据开普勒第二定律可知芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长,B正确;根据开普勒第二定律得×a·v远·Δt=×b·v近·Δt(关键点:扇形面积公式),解得地球经过近日点、远日点时的速率之比v近∶v远=a∶b,C错误;在天文学上春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始,但由于地球并不是做匀速圆周运动,它们并不刚好将一年的时间分为四等份,D错误。
[母题变式] (变设问)在天文学上,将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示,从地球绕太阳的运动规律分析,下列判断正确的是(　　)
A.在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
B.在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
C.春夏两季比秋冬两季时间短
D.春夏两季和秋冬两季时间相同
√
【解析】选B。根据开普勒第二定律,对每一个行星而言,与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断地变化。近日点连线短,在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较大,远日点连线长,在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较小,A错误,B正确;春夏两季比秋冬两季时间长,C、D错误。
角度2　开普勒第三定律的理解及应用
【典例2】【多选】【教材习题改编】(必修二P58T4)如图所示,地球的公转轨道接近圆,哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归,哈雷彗星最近出现的时间是1986年,预计下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1,线速度大小为v1;在远日点与太阳中心的距离为r2,线速度大小为v2。下列说法正确的是(　　)
A.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=∶
B.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=r2∶r1
C.哈雷彗星轨道的半长轴与地球公转半径之比大于15
D.从2025年到2061年的时间内,哈雷彗星的速度不断增大
√
√
√
【编改溯源】
情境不变,改变考查方式,扩展设问角度
【解析】选B、C、D。由开普勒第二定律,可得v1r1=v2r2,解得v1∶v2=r2∶r1,故A错误、B正确;地球公转周期T=1年,哈雷彗星的周期为T'=(2061-1986)年=75年,根据开普勒第三定律有=,解得=>15,故C正确;从2025年到2061年的时间内,哈雷彗星从远日点向近日点运动,其速度不断增大,故D正确。
考点二　万有引力定律的应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是产生重力mg;二是提供物体随地球自转的向心力F向 赤道上 =mω2R+mg1
重力和向心力在一条直线上, 重力最小
两极上 =mg2
向心力为零, 重力达到最大值
一般 位置 万有引力等于重力mg与向心力
F向的矢量和
星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):由mg=G,得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':由mg'=,得g'=。
角度1　万有引力与重力
【典例3】【多选】将一质量为m的物体放在月球“赤道上”,受到的“重力”为mg0;而将该物体放在月球的“北极点”,物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体,其半径为R,引力常量为G。则月球的(　　)
A.质量为
B.质量为
C.自转周期为2π
D.自转周期为2π
√
√
【解析】选A、D。在月球北极点时,物体受到的“重力”与万有引力大小相等,即G=mg,解得M=,故A正确,B错误;由于在月球赤道上该物体的“重力”为mg0,则有mg-mg0=m()2R,解得月球自转的周期T=2π,故C错误,D正确。
【备选例题】
如图甲所示,一半径为R、密度均匀的球体,在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点,球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去半径为的小球体(球心在OP连线上,右端位于O点),如图乙所示,则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
A.F　　 B.F　　
C.F　　 D.F
√
【解析】选C。设球体的密度为ρ,球体的质量为M,可得M=ρ·πR3,则小球体的质量M'=ρ·π()3=,球体对该质点的万有引力大小F=G,故挖去小球体后,剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余=F-G,解得
F剩余=F,故C正确。
角度2　天体质量的计算
【典例4】【多选】(2025·安徽高考)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r= B.r=+R
C.M= D.M=
√
√
【解析】选B、C。对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒
第三定律有=,
可得r=+R,故A错误,B正确;
对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力有=m()2r,
可得M=,故C正确,D错误。(共23张PPT)
核心素养测评 第1讲　万有引力定律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2026·宝鸡中学模拟)下列有关万有引力定律的说法错误的是(　　)
A.由开普勒第三定律可知,地球与火星绕太阳公转轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值相等
B.开普勒根据第谷多年观测行星的运动数据,总结提出了行星运动的三大定律
C.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律
D.一个行星沿椭圆轨道绕太阳运动,从远日点向近日点运动的过程中,它的动能逐渐增大,而机械能不变
√
【解析】选A。由开普勒第三定律可知,地球与火星绕太阳公转轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等,A错误,符合题意;开普勒根据第谷多年观测行星的运动数据,总结提出了行星运动的三大定律,B正确,不符合题意;牛顿在发现万有引力定律的过程中应用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律,C正确,不符合题意;一个行星沿椭圆轨道绕太阳运动,从远日点向近日点运动的过程中,只有万有引力做功,它的动能逐渐增大,而机械能不变,D正确,不符合题意。
2.地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的,则(　　)
A.彗星在近日点的速度小于它在远日点的速度
B.彗星从b运行到c的过程中速度一直减小
C.彗星从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间
D.彗星在近日点的加速度约为地球的加速度的
√
【解析】选B。根据开普勒第二定律可知,彗星在近日点的速度大于它在远日点的速度,A错误;从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角,哈雷彗星的速度一直减小,B正确;根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2,可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C错误;根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=,则哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2的比值为==,D错误。
3. 【多选】(2026·大同模拟)如图甲所示,地球卫星仅在地球万有引力作用下沿椭圆轨道绕地球运动,在任意位置,将卫星与地心的距离记为r,卫星的加速度a在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度aτ。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程中aτ的大小随r的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为4∶5
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1
C.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为16∶25
D.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为4∶5
√
√
【解析】选B、C。由图乙可知,卫星Ⅰ的半长轴为=4.5d卫星
Ⅱ的半长轴为=4.5d,故卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1,
故A错误,B正确;由图乙可知,当卫星在近地点时,加速度最大,根据牛顿
第二定律有=mam,解得am=。由图乙可知,卫星Ⅰ在近地点离地球
的距离为 2.5d,卫星Ⅱ在近地点离地球的距离为2d,则卫星Ⅰ和卫星
Ⅱ的加速度最大值之比为amⅠ∶amⅡ==16∶25,故C正确,D错误。
4.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
√
5. 【多选】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则(　　)
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
√
√
【解析】选A、C。在星球M表面,根据万有引力等于重力可得=mg,
则GM=R2g,所以有Gρ·πR3=R2g,解得ρ=;根据图像可知,在M星球表
面的重力加速度为gM=3a0,在星球N表面的重力加速度为gN=a0,星球M的
半径是星球N的3倍,则M与N的密度相等,故A正确;加速度为零时受力平
衡,根据平衡条件可得:mPgM=kx0,mQgN=2kx0,解得=,故B错误;根据动
能定理可得max=Ek,根据图像的面积可得EkP=mP·3a0·x0,EkQ= mQ·
a0·2x0,则==4,故C正确;根据简谐运动的特点可知,P下落过
程中弹簧最大压缩量为2x0,Q下落过程中弹簧最大压缩量为4x0,Q下落
过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍,故D错误。
【综合应用练】
6.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其星球的平均密度与地球的平均密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的周期之比约为(　　)
A.1∶1　　B.8∶3　　C.3∶8　　D.9∶64
√
【解析】选A。靠近行星表面运动的卫星近似认为做匀速圆周运动,其匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,即万有引力等于向心力,有G=mRω2=mR,行星质量 M=ρ·πR3,代入后化简得G·ρ·πR=,整理化简得靠近行星表面运动的卫星周期T=,由此可知卫星周期T仅与密度ρ有关。因水星与地球平均密度相同,故靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的周期之比约为1∶1。故选A。
7.(2025·广东高考)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
√
【解析】选D。根据题意,设地球与太阳间的距离为R,则小行星公转轨
道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得
T==6年,故A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间的距离
减小,由万有引力F=可知,小行星受太阳引力增大,故B错误;由开
普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,故C错误。
由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,即小行星在近
日点的加速度是地球公转加速度的,故D正确。
8.如图所示,有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动,两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切),卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2,卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响,已知引力常量为G,星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为(　　)
A.　　 B.
C. D.
√
【解析】选A。卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1=,a2=,由开普勒第三定律得==k,整理得R=,星球表面的重力加速度为gc,根据万有引力提供重力得G=mgc,星球质量的表达式为M=ρR3,联立得ρ==,故选A。
9.(10分)随着科技的飞速进步,人类登陆火星的梦想即将成真。小明满怀憧憬地想象着在火星上生活的场景。已知在地球上,小明的跳高成绩能达到1.6 m,火星到太阳的距离约为AU(地球与太阳的距离为1AU),火星半径约为地球半径的,火星质量约为地球质量的,火星的自转周期约为25小时,地球表面重力加速度g取10 m/s2。
(1)若忽略地球及火星自转的影响,求小明在火星上的跳高成绩;(5分)
答案:(1)4 m　
【解析】(1)地球、火星自转比较慢,星球对人的吸引力大部分提供重力,则有=mg
解得g火=0.4g地
小明在地球和火星的一次起跳释放体能相同,有ΔEp=mg火h火,解得h火=
4 m
(2)求一火星年有多少火星天。(结果保留整数)(5分)
答案: (2)684天
【解析】(2)地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,太阳对它们的万有
引力提供向心力,有=mr
解得T=2π
则T火=T地
设一火星年有n火星天数,则n=≈684天
【情境创新练】
10.(12分)(太空探索)设想在2125年,人类开启了在大麦哲伦星系A星球的太空移民计划。已知A星球质量和半径均为地球的,地球表面重力加速度g取10 m/s2,忽略星球自转。一名质量m=50 kg的驾驶员驾驶着一辆质量m0=950 kg的探险车在A星球上进行探索。该车通过面积S=1 m2的光伏板吸收宇宙辐射获取能源,单位面积接收辐射功率P0=1×105 W。当该车输出功率达接收辐射功率的60%时,车辆将保持电量不变行驶。已知行驶过程中的阻力为总重力的。
(1)若该车要保持电量不变,求行驶过程中的最大速度;(6分)
答案:(1)30 m/s　
【解析】(1)根据万有引力等于重力有G=mg
则A星球的重力加速度g0=2g=20 m/s2
光伏板吸收能量转化后的功率为P=ηP0S
解得P=6×104 W
该车的阻力为f=(m+m0)g0=2 000 N
可得,行驶过程中的最大速度为vm==30 m/s
(2)若该车以a=1 m/s2恒定加速度启动车辆,全程行驶675 m,到达时已达最大速度,求保持电量不变行驶的时间。(6分)
答案: (2)20 s
【解析】(2)在匀加速阶段,根据牛顿第二定律有F-f=(m+m0)a
可得,此过程的速度为v1==20 m/s
所用时间为t1==20 s
匀加速通过的位移大小为x1=t1=200 m
此后开始恒定功率运动,根据功能关系有
Pt2-f(x-x1)=(m+m0)() 解得t2=20 s第五章　万有引力与宇宙航行
第1讲　万有引力定律
学习目标 学后评价
1.理解开普勒行星运动定律,并会用来解决相关问题 完成□　　继续□
2.理解万有引力定律,并会计算万有引力 完成□　　继续□
3.掌握计算天体质量和密度的方法 完成□　　继续□
考点一　开普勒行星运动定律
对开普勒定律的理解
1.开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动,也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动。
2.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只适用于环绕同一中心天体的运动天体。
角度1　开普勒第二定律的理解及应用
【典例1】【多选】节气是指二十四个时节和气候,是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气,如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图,其中夏至时地球在远日点附近,远日点离太阳的距离为a,冬至时地球在近日点附近,近日点离太阳的距离为b,根据示意图,下列说法正确的是(　　)
A.芒种时地球公转速度比小满时慢
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.地球经过近日点、远日点时的速率之比为b∶a
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
【解析】选A、B。从题图中我们可以看到,冬至时地球位于近日点附近,在二十四个节气中公转速度最快。随着地球向远日点移动,公转速度逐渐减慢。因此,芒种时的公转速度应该比小满时慢,A正确;由题图可知地球与太阳的连线从芒种到小暑扫过的面积大于从大雪到小寒扫过的面积,根据开普勒第二定律可知芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长,B正确;根据开普勒第二定律得×a·v远·Δt=×b·v近·Δt(关键点:扇形面积公式),解得地球经过近日点、远日点时的速率之比v近∶v远=a∶b,C错误;在天文学上春分、夏至、秋分、冬至四个节气虽然分别代表了春、夏、秋、冬四季的开始,但由于地球并不是做匀速圆周运动,它们并不刚好将一年的时间分为四等份,D错误。
[母题变式] (变设问)在天文学上,将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示,从地球绕太阳的运动规律分析,下列判断正确的是(　　)
A.在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
B.在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
C.春夏两季比秋冬两季时间短
D.春夏两季和秋冬两季时间相同
【解析】选B。根据开普勒第二定律,对每一个行星而言,与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等,行星在此椭圆轨道上运动的速度大小不断地变化。近日点连线短,在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较大,远日点连线长,在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较小,A错误,B正确;春夏两季比秋冬两季时间长,C、D错误。
角度2　开普勒第三定律的理解及应用
【典例2】【多选】【教材习题改编】(必修二P58T4)如图所示,地球的公转轨道接近圆,哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归,哈雷彗星最近出现的时间是1986年,预计下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1,线速度大小为v1;在远日点与太阳中心的距离为r2,线速度大小为v2。下列说法正确的是(　　)
A.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=∶
B.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=r2∶r1
C.哈雷彗星轨道的半长轴与地球公转半径之比大于15
D.从2025年到2061年的时间内,哈雷彗星的速度不断增大
【编改溯源】
情境不变,改变考查方式,扩展设问角度
【解析】选B、C、D。由开普勒第二定律,可得v1r1=v2r2,解得v1∶v2=r2∶r1,故A错误、B正确;地球公转周期T=1年,哈雷彗星的周期为T'=(2061-1986)年=75年,根据开普勒第三定律有=,解得=>15,故C正确;从2025年到2061年的时间内,哈雷彗星从远日点向近日点运动,其速度不断增大,故D正确。
考点二　万有引力定律的应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是产生重力mg;二是提供物体随地球自转的向心力F向 赤道上 =mω2R+mg1 重力和向心力在一条直线上, 重力最小
两极上 =mg2 向心力为零, 重力达到最大值
一般 位置 万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和
星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):由mg=G,得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':由mg'=,得g'=。
2.天体的质量和密度的估算
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①g、RM=;
②M、Rρ=。
(2)利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①T、rM=
②M、Rρ=。
角度1　万有引力与重力
【典例3】【多选】将一质量为m的物体放在月球“赤道上”,受到的“重力”为mg0;而将该物体放在月球的“北极点”,物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体,其半径为R,引力常量为G。则月球的(　　)
A.质量为
B.质量为
C.自转周期为2π
D.自转周期为2π
【解析】选A、D。在月球北极点时,物体受到的“重力”与万有引力大小相等,即G=mg,解得M=,故A正确,B错误;由于在月球赤道上该物体的“重力”为mg0,则有mg-mg0=m()2R,解得月球自转的周期T=2π,故C错误,D正确。
【备选例题】
如图甲所示,一半径为R、密度均匀的球体,在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点,球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去半径为的小球体(球心在OP连线上,右端位于O点),如图乙所示,则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
A.F　　 B.F　　 C.F　　 D.F
【解析】选C。设球体的密度为ρ,球体的质量为M,可得M=ρ·πR3,则小球体的质量M'=ρ·π()3=,球体对该质点的万有引力大小F=G,故挖去小球体后,剩余部分对该质点的万有引力大小F剩余=F-G,解得F剩余=F,故C正确。
角度2　天体质量的计算
【典例4】【多选】(2025·安徽高考)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r=
B.r=+R
C.M=
D.M=
【解析】选B、C。对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道,根据开普勒第三定律有=,
可得r=+R,故A错误,B正确;
对于环月圆轨道,根据万有引力提供向心力有=m()2r,
可得M=,故C正确,D错误。
- 7 -第五章　万有引力与宇宙航行
第1讲　万有引力定律
学习目标 学后评价
1.理解开普勒行星运动定律,并会用来解决相关问题 完成□　　继续□
2.理解万有引力定律,并会计算万有引力 完成□　　继续□
3.掌握计算天体质量和密度的方法 完成□　　继续□
考点一　开普勒行星运动定律
对开普勒定律的理解
1.开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳的运动,也适用于其他天体,例如月球、卫星绕地球的运动。
2.由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1=v2·Δt·r2,解得=,即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比,近日点速度最大,远日点速度最小。
3.开普勒第三定律=k中,k值只与中心天体的质量有关,不同的中心天体k值不同,且该定律只适用于环绕同一中心天体的运动天体。
角度1　开普勒第二定律的理解及应用
【典例1】【多选】节气是指二十四个时节和气候,是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气,如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图,其中夏至时地球在远日点附近,远日点离太阳的距离为a,冬至时地球在近日点附近,近日点离太阳的距离为b,根据示意图,下列说法正确的是(　　)
A.芒种时地球公转速度比小满时慢
B.芒种到小暑的时间间隔比大雪到小寒的长
C.地球经过近日点、远日点时的速率之比为b∶a
D.春分、夏至、秋分、冬至四个节气刚好将一年的时间分为四等份
[母题变式] (变设问)在天文学上,将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示,从地球绕太阳的运动规律分析,下列判断正确的是(　　)
A.在冬至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
B.在夏至日前后,地球绕太阳的运行速率较小
C.春夏两季比秋冬两季时间短
D.春夏两季和秋冬两季时间相同
角度2　开普勒第三定律的理解及应用
【典例2】【多选】【教材习题改编】(必修二P58T4)如图所示,地球的公转轨道接近圆,哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归,哈雷彗星最近出现的时间是1986年,预计下次飞近地球将在2061年左右。若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1,线速度大小为v1;在远日点与太阳中心的距离为r2,线速度大小为v2。下列说法正确的是(　　)
A.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=∶
B.哈雷彗星的线速度大小v1∶v2=r2∶r1
C.哈雷彗星轨道的半长轴与地球公转半径之比大于15
D.从2025年到2061年的时间内,哈雷彗星的速度不断增大
【编改溯源】
情境不变,改变考查方式,扩展设问角度
考点二　万有引力定律的应用
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果:一是产生重力mg;二是提供物体随地球自转的向心力F向 赤道上 =mω2R+mg1 重力和向心力在一条直线上, 重力最小
两极上 =mg2 向心力为零, 重力达到最大值
一般 位置 万有引力等于重力mg与向心力F向的矢量和
星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转):由mg=G,得g=。
(2)在地球上空距离地心r=R+h处的重力加速度g':由mg'=,得g'=。
2.天体的质量和密度的估算
(1)利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
①g、RM=;
②M、Rρ=。
(2)利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
①T、rM=
②M、Rρ=。
角度1　万有引力与重力
【典例3】【多选】将一质量为m的物体放在月球“赤道上”,受到的“重力”为mg0;而将该物体放在月球的“北极点”,物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体,其半径为R,引力常量为G。则月球的(　　)
A.质量为
B.质量为
C.自转周期为2π
D.自转周期为2π
【备选例题】
如图甲所示,一半径为R、密度均匀的球体,在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点,球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去半径为的小球体(球心在OP连线上,右端位于O点),如图乙所示,则剩余部分对该质点的万有引力大小为(　　)
A.F　　 B.F　　 C.F　　 D.F
角度2　天体质量的计算
【典例4】【多选】(2025·安徽高考)2025年4月,我国已成功构建国际首个基于DRO(远距离逆行轨道)的地月空间三星星座,DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道,该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b,卫星的运行周期为T;卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道,周期也为T。月球的质量为M,半径为R,引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力,则(　　)
A.r=
B.r=+R
C.M=
D.M=
- 7 -核心素养测评 第1讲　万有引力定律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2026·宝鸡中学模拟)下列有关万有引力定律的说法错误的是(　　)
A.由开普勒第三定律可知,地球与火星绕太阳公转轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值相等
B.开普勒根据第谷多年观测行星的运动数据,总结提出了行星运动的三大定律
C.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律
D.一个行星沿椭圆轨道绕太阳运动,从远日点向近日点运动的过程中,它的动能逐渐增大,而机械能不变
2.地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的,则(　　)
A.彗星在近日点的速度小于它在远日点的速度
B.彗星从b运行到c的过程中速度一直减小
C.彗星从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间
D.彗星在近日点的加速度约为地球的加速度的
3. 【多选】(2026·大同模拟)如图甲所示,地球卫星仅在地球万有引力作用下沿椭圆轨道绕地球运动,在任意位置,将卫星与地心的距离记为r,卫星的加速度a在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度aτ。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程中aτ的大小随r的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为4∶5
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1
C.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为16∶25
D.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为4∶5
4.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
5. 【多选】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则(　　)
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【综合应用练】
6.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其星球的平均密度与地球的平均密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的周期之比约为(　　)
A.1∶1　　B.8∶3　　C.3∶8　　D.9∶64
7.(2025·广东高考)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
8.如图所示,有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动,两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切),卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2,卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响,已知引力常量为G,星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为(　　)
A.　　 B.
C. D.
9.(10分)随着科技的飞速进步,人类登陆火星的梦想即将成真。小明满怀憧憬地想象着在火星上生活的场景。已知在地球上,小明的跳高成绩能达到1.6 m,火星到太阳的距离约为AU(地球与太阳的距离为1AU),火星半径约为地球半径的,火星质量约为地球质量的,火星的自转周期约为25小时,地球表面重力加速度g取10 m/s2。
(1)若忽略地球及火星自转的影响,求小明在火星上的跳高成绩;(5分)
(2)求一火星年有多少火星天。(结果保留整数)(5分)
【情境创新练】
10.(12分)(太空探索)设想在2125年,人类开启了在大麦哲伦星系A星球的太空移民计划。已知A星球质量和半径均为地球的,地球表面重力加速度g取10 m/s2,忽略星球自转。一名质量m=50 kg的驾驶员驾驶着一辆质量m0=950 kg的探险车在A星球上进行探索。该车通过面积S=1 m2的光伏板吸收宇宙辐射获取能源,单位面积接收辐射功率P0=1×105 W。当该车输出功率达接收辐射功率的60%时,车辆将保持电量不变行驶。已知行驶过程中的阻力为总重力的。
(1)若该车要保持电量不变,求行驶过程中的最大速度;(6分)
(2)若该车以a=1 m/s2恒定加速度启动车辆,全程行驶675 m,到达时已达最大速度,求保持电量不变行驶的时间。(6分)
- 9 -核心素养测评 第1讲　万有引力定律
(40分钟　70分)
选择题(1-8题,每小题6分,共48分)
【基础巩固练】
1.(2026·宝鸡中学模拟)下列有关万有引力定律的说法错误的是(　　)
A.由开普勒第三定律可知,地球与火星绕太阳公转轨道的半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值相等
B.开普勒根据第谷多年观测行星的运动数据,总结提出了行星运动的三大定律
C.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律
D.一个行星沿椭圆轨道绕太阳运动,从远日点向近日点运动的过程中,它的动能逐渐增大,而机械能不变
【解析】选A。由开普勒第三定律可知,地球与火星绕太阳公转轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值相等,A错误,符合题意;开普勒根据第谷多年观测行星的运动数据,总结提出了行星运动的三大定律,B正确,不符合题意;牛顿在发现万有引力定律的过程中应用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律,C正确,不符合题意;一个行星沿椭圆轨道绕太阳运动,从远日点向近日点运动的过程中,只有万有引力做功,它的动能逐渐增大,而机械能不变,D正确,不符合题意。
2.地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示,彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中,与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2,且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的,则(　　)
A.彗星在近日点的速度小于它在远日点的速度
B.彗星从b运行到c的过程中速度一直减小
C.彗星从a运行到b的时间小于从c运行到d的时间
D.彗星在近日点的加速度约为地球的加速度的
【解析】选B。根据开普勒第二定律可知,彗星在近日点的速度大于它在远日点的速度,A错误;从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角,哈雷彗星的速度一直减小,B正确;根据开普勒第二定律可知哈雷彗星绕太阳经过相同的时间扫过的面积相同,根据S1>S2,可知从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间,C错误;根据牛顿第二定律有G=ma,解得a=,则哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2的比值为==,D错误。
3. 【多选】(2026·大同模拟)如图甲所示,地球卫星仅在地球万有引力作用下沿椭圆轨道绕地球运动,在任意位置,将卫星与地心的距离记为r,卫星的加速度a在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度aτ。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程中aτ的大小随r的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为4∶5
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1
C.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为16∶25
D.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为4∶5
【解析】选B、C。由图乙可知,卫星Ⅰ的半长轴为=4.5d卫星Ⅱ的半长轴为=4.5d,故卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1,故A错误,B正确;由图乙可知,当卫星在近地点时,加速度最大,根据牛顿第二定律有=mam,解得am=。由图乙可知,卫星Ⅰ在近地点离地球的距离为 2.5d,卫星Ⅱ在近地点离地球的距离为2d,则卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为amⅠ∶amⅡ==16∶25,故C正确,D错误。
4.(2024·海南高考)嫦娥六号进入环月圆轨道,周期为T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常量为G,则月球的平均密度为(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
【解析】选D。万有引力提供向心力:
ρ=,D正确。
5. 【多选】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上,把物体P轻放在弹簧上端,P由静止向下运动,物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧,改用物体Q完成同样的过程,其a-x关系如图中虚线所示,假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍,则(　　)
A.M与N的密度相等
B.Q的质量是P的3倍
C.Q下落过程中的最大动能是P的4倍
D.Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的4倍
【解析】选A、C。在星球M表面,根据万有引力等于重力可得=mg,则GM=R2g,所以有Gρ·πR3=R2g,解得ρ=;根据图像可知,在M星球表面的重力加速度为gM=3a0,在星球N表面的重力加速度为gN=a0,星球M的半径是星球N的3倍,则M与N的密度相等,故A正确;加速度为零时受力平衡,根据平衡条件可得:mPgM=kx0,mQgN
=2kx0,解得=,故B错误;根据动能定理可得max=Ek,根据图像的面积可得EkP=mP·3a0·x0,EkQ=mQ·a0·2x0,则==4,故C正确;根据简谐运动的特点可知,P下落过程中弹簧最大压缩量为2x0,Q下落过程中弹簧最大压缩量为4x0,Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍,故D错误。
【综合应用练】
6.水星是太阳系中距离太阳最近的行星,其星球的平均密度与地球的平均密度可视为相同。已知水星半径约为地球半径的,则靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的周期之比约为(　　)
A.1∶1　　B.8∶3　　C.3∶8　　D.9∶64
【解析】选A。靠近行星表面运动的卫星近似认为做匀速圆周运动,其匀速圆周运动的向心力由万有引力提供,即万有引力等于向心力,有G=mRω2=mR,行星质量 M=ρ·πR3,代入后化简得G·ρ·πR=,整理化简得靠近行星表面运动的卫星周期T=,由此可知卫星周期T仅与密度ρ有关。因水星与地球平均密度相同,故靠近水星表面运动的卫星与地球近地卫星做匀速圆周运动的周期之比约为1∶1。故选A。
7.(2025·广东高考)一颗绕太阳运行的小行星,其轨道近日点和远日点到太阳的距离分别约为地球到太阳距离的5倍和7倍。关于该小行星,下列说法正确的是(　　)
A.公转周期约为6年
B.从远日点到近日点所受太阳引力大小逐渐减小
C.从远日点到近日点线速度大小逐渐减小
D.在近日点加速度大小约为地球公转加速度的
【解析】选D。根据题意,设地球与太阳间的距离为R,则小行星公转轨道的半长轴为a==6R,由开普勒第三定律有=,解得T==6年,故A错误;从远日点到近日点,小行星与太阳间的距离减小,由万有引力F=可知,小行星受太阳引力增大,故B错误;由开普勒第二定律可知,从远日点到近日点,小行星线速度逐渐增大,故C错误。
由牛顿第二定律有=ma,解得a=,可知==,即小行星在近日点的加速度是地球公转加速度的,故D正确。
8.如图所示,有两颗卫星绕某星球做椭圆轨道运动,两颗卫星的近地点均与星球表面很近(可视为相切),卫星1和卫星2的轨道远地点到星球表面的最近距离分别为h1、h2,卫星1和卫星2的环绕周期之比为k。忽略星球自转的影响,已知引力常量为G,星球表面的重力加速度为gc。则星球的平均密度为(　　)
A.　　 B.
C. D.
【解析】选A。卫星1、卫星2轨道的半长轴分别为a1=,a2=,由开普勒第三定律得==k,整理得R=,星球表面的重力加速度为gc,根据万有引力提供重力得G=mgc,星球质量的表达式为M=ρR3,联立得ρ==,故选A。
9.(10分)随着科技的飞速进步,人类登陆火星的梦想即将成真。小明满怀憧憬地想象着在火星上生活的场景。已知在地球上,小明的跳高成绩能达到1.6 m,火星到太阳的距离约为AU(地球与太阳的距离为1AU),火星半径约为地球半径的,火星质量约为地球质量的,火星的自转周期约为25小时,地球表面重力加速度g取10 m/s2。
(1)若忽略地球及火星自转的影响,求小明在火星上的跳高成绩;(5分)
答案:(1)4 m　
【解析】(1)地球、火星自转比较慢,星球对人的吸引力大部分提供重力,则有=mg
解得g火=0.4g地
小明在地球和火星的一次起跳释放体能相同,有ΔEp=mg火h火,解得h火=4 m
(2)求一火星年有多少火星天。(结果保留整数)(5分)
答案: (2)684天
【解析】(2)地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,太阳对它们的万有引力提供向心力,有=mr
解得T=2π
则T火=T地
设一火星年有n火星天数,则n=≈684天
【情境创新练】
10.(12分)(太空探索)设想在2125年,人类开启了在大麦哲伦星系A星球的太空移民计划。已知A星球质量和半径均为地球的,地球表面重力加速度g取10 m/s2,忽略星球自转。一名质量m=50 kg的驾驶员驾驶着一辆质量m0=950 kg的探险车在A星球上进行探索。该车通过面积S=1 m2的光伏板吸收宇宙辐射获取能源,单位面积接收辐射功率P0=1×105 W。当该车输出功率达接收辐射功率的60%时,车辆将保持电量不变行驶。已知行驶过程中的阻力为总重力的。
(1)若该车要保持电量不变,求行驶过程中的最大速度;(6分)
答案:(1)30 m/s　
【解析】(1)根据万有引力等于重力有G=mg
则A星球的重力加速度g0=2g=20 m/s2
光伏板吸收能量转化后的功率为P=ηP0S
解得P=6×104 W
该车的阻力为f=(m+m0)g0=2 000 N
可得,行驶过程中的最大速度为vm==30 m/s
(2)若该车以a=1 m/s2恒定加速度启动车辆,全程行驶675 m,到达时已达最大速度,求保持电量不变行驶的时间。(6分)
答案: (2)20 s
【解析】(2)在匀加速阶段,根据牛顿第二定律有F-f=(m+m0)a
可得,此过程的速度为v1==20 m/s
所用时间为t1==20 s
匀加速通过的位移大小为x1=t1=200 m
此后开始恒定功率运动,根据功能关系有
Pt2-f(x-x1)=(m+m0)()
解得t2=20 s
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