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(共30张PPT)
专题强化课　圆周运动的临界极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式出现,具有一定的综合性
方法规律
关键能力 三种能力:理解能力、逻辑推理能力、分析综合能力
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
模型
动力 学 特征 (1)运动轨迹是水平面内的圆。
(2)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动
临界 状态 (1)与摩擦力有关的临界极值问题。
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
(2)与弹力有关的临界极值问题。
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等
解题 思路 首先要找到临界条件时物体所处的状态;再分析该状态下物体的受力特点;最后根据圆周运动知识列动力学方程求解
角度1　压力、支持力有关的临界问题
【典例1】【多选】如图所示,三角形为一光滑圆锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在圆锥体顶端,另一端系着一个可视为质点的小球,小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,sin37°=0.6,不计空气阻力,则(　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0= rad/s时,小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
√
√
【解析】选B、C。向心力是效果力,不是小球实际受到的力。对小球受力分析,小球受重力、细线的拉力,小球可能受圆锥体的支持力,也可能不受圆锥体的支持力;转速较小时,小球紧贴圆锥面,则FTcosθ+FNsinθ= mg,FTsinθ-FNcosθ=mω2lsinθ,随着转速的增加,FT增大,FN减小,当转速达到ω0时支持力为零,支持力恰好为零时有mgtanθ=mlsinθ,解得ω0= rad/s,A错误,B、C正确;因为2 rad/s> rad/s,所以,当ω=2 rad/s时,小球已经离开斜面,小球只受重力、拉力的作用,D错误。
角度2　摩擦力有关的临界问题
【典例2】(2024·江苏高考)制作陶瓷时,在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同,最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点,则(　　)
A.离转轴越近的陶屑质量越大
B.离转轴越远的陶屑质量越大
C.陶屑只能分布在台面的边缘处
D.陶屑只能分布在一定半径的圆内
√
【解析】选D。与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据摩擦力提供向心力可得μmg=mω2rmax,解得rmax=,因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同,由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定,故rmax为定值,即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过,即陶屑只能分布在半径为的圆内。故A、B、C错误,故D正确。
[强化训练](2025·重庆模拟)如图所示,AC、BC两绳系一质量为m=
0.1 kg的小球,AC绳长L=2 m,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时,若两绳中始终有张力,小球的角速度可能是(取g=10 m/s2)
(　　)
A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
√
【解析】选B。当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时,小球受力如图
甲所示,由合力提供向心力得mgtan30°=mr,又有r=Lsin30°,解得
ω1= rad/s≈2.4 rad/s;当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时,小球受
力如图乙所示,由合力提供向心力得mgtan45°=mr,解得ω2= rad/s
≈3.2 rad/s,故当角速度2.4 rad/s<ω<3.2 rad/s时,两绳始终有张力,故B正
确,A、C、D错误。
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动“轻绳模型”
模型
力学方程 最高点:mg+FT=m
临界特征 恰好过最高点,F弹=0,mg=m,即vmin=
过最高点的条件 在最高点的速度v≥
2.竖直面内圆周运动“轻杆模型”
模型
力学方程 最高点:mg±FN=m
临界特征 ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg
②恰好无弹力,F弹=0,v=
过最高点的条件 在最高点的速度v≥0
角度1　轻绳模型
【典例3】【多选】(2025·汉中模拟)如图所示,一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动,取g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳的拉力大小为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过
4 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过4 m/s
√
√
√
【解析】选A、B、C。设小球通过最高点时的最小速度为v0,则根据重力提供向心力有mg=m,解得v0=2 m/s,故A正确;当小球在最高点的速度为v1=4 m/s时,设轻绳的拉力大小为FT,根据合力提供向心力有FT+mg=m,解得FT=15 N,故B正确;小球在轨迹最低点处速度最大,此时轻绳的拉力最大,根据合力提供向心力有FTm-mg=m,解得vm=4 m/s,故C正确,D错误。
角度2　轻杆模型
【典例4】如图所示,长为l的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,重力加速度为g。关于小球在过最高点时的速度v,下列说法正确的是(　　)
A.v的最小值为
B.v由零逐渐增大,向心力逐渐减小
C.v由逐渐减小,杆对小球的弹力也逐渐减小
D.v由逐渐增大,杆对小球的弹力也逐渐增大
√
【解析】选D。轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动,在最高点速度的最小值为零,A错误;根据Fn=m知小球的速度逐渐增大时,向心力逐渐增大,B错误;当v=时,杆对小球的作用力为零,当v<时,杆对小球的力表现为支持力,且mg-FN=m,所以杆对小球的弹力FN=mg-m,则此时v由逐渐减小,杆对小球的弹力逐渐增大,C错误;当v>时,杆对小球的作用力表现为拉力,且mg+FN=m,所以杆对小球的弹力FN=mmg,则此时v由逐渐增大,杆对小球的弹力逐渐增大,D正确。
【归纳总结】
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
[强化训练] 【多选】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,小球直径略小于管道的尺寸,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管
壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
√
√
【解析】选B、C。小球沿管道上升到最高点的速度可以为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即FN-Fmg=m,因此,外侧管壁一定对小球有作用力,而内侧管壁无作用力,C正确;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小球的作用力和重力的合力提供,D错误。
考点三　斜面内圆周运动的临界问题
1.静摩擦力控制
模型
物块随圆盘做匀速圆周运动
力学 方程 (1)最高点:若f向上,有mgsinθ-f=mω2r
若f向下,有mgsinθ+f=mω2r
若f=0,有mgsinθ=mω2r
(2)最低点有f-mgsinθ=mω2r
临界 特征 物体在转动过程中,最容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时:μmgcosθ-mgsinθ=mω2r
2.轻绳控制、轻杆控制
模型 光滑斜面上,小球在轻绳控制下做变速圆周运动
光滑斜面上,小球在轻杆控制下做变速圆周运动
力学 方程 最高点:mgsinα+FT=m 最高点:mgsinα±FN=m
临界 特征 恰好过最高点,F弹=0, mgsinα=m,即vmin= ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg
②恰好无弹力,F弹=0,
v=
结论 过最高点的条件: v≥ 过最高点的条件:v≥0
角度1　静摩擦力控制
【典例5】(2025·合肥模拟)如图所示,一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘
面的固定轴以不同的角速度匀速转动,盘面上距离转轴l=5 cm处有一可视为
质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动
摩擦因数为,盘面与水平面间的夹角θ=30°,重力加速度大小g取10 m/s2,
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.若圆盘角速度逐渐增大,物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时,摩擦力的方向垂直于物块和圆盘圆心的连线
√
【图形剖析】
【解析】选C。物块在最低点即将滑动时,此时圆盘角速度最大,由合力提供向心力有μmgcos30°-mgsin30°=ml,解得ω1=5 rad/s,故B错误;物块在最高点恰好不受摩擦力时,根据重力的分力提供向心力有mgsin30°=ml,解得ω2=10 rad/s>5 rad/s,物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心,但不会发生相对滑动,故A错误,C正确;由于物块做匀速圆周运动,合力方向指向圆盘中心,重力沿盘面向下的分力与摩擦力的合力提供向心力,则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和圆盘圆心的连线,故D错误。
角度2　轻绳控制、轻杆控制
【典例6】如图所示,在倾角为θ的足够大的固定斜面上,一长度为L的轻绳一端固定在O点,另一端连着一质量为m的小球(视为质点),可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动,通过最高点B。重力加速度大小为g,轻绳与斜面平行,不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过B点时的最小速度可以小于
B.小球通过A点时的加速度为gsinθ+
C.若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开
轻绳,则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
D.小球通过A点时的速度越大,此时斜面对小球的支持力越大
√
【解析】选C。小球通过最高点B时,当绳的拉力为零时速度最小,即
mgsinθ=,可得最小速度vmin=,故A错误;小球在A点受重力、
斜面的支持力以及绳的拉力,沿斜面方向有F-mgsinθ== maA,可得
aA=,故B错误;若小球以的速率通过B点时轻绳突然断裂,则小
球在斜面上做类平抛运动,在平行于斜面底边方向做匀速直线运动,在垂
直于斜面底边方向做初速度为零的匀加速直线运动,故s水平=vBt=
·t,2L=at2,其中a=gsinθ,联立解得s水平=2L,即小球到达与A点等
高处时与A点间的距离为2L,故C正确;斜面对小球的支持力始终等于重
力沿垂直于斜面方向的分力,与小球的速度大小无关,故D错误。
[强化训练](2025·包头模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动,圆筒的半径r=1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则ω的最小值是(　　)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.5 rad/s
√
【解析】选C。对小物体受力分析如图所示,由合力提供向心力有mgcos60°+FN=mω2r,Ff=mgsin60°≤μFN,解得ω≥ rad/s,故C正确。(共26张PPT)
专题强化练 专题强化课　圆周运动的临界极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。
1.猫猫很怕水,当其身上沾到水后,会通过高速抖动的方式将水甩干,可以用这样一个模型来研究这一现象:如图所示,将猫猫的躯干视作水平轴线,半径为R的圆柱(其腿长可忽略),某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转,角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出,重力加速度为g,则角速度ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.2
√
【解析】选A。对猫猫正上方头顶的水滴,根据重力提供向心力得mg=mω2R,解得ω=,故选A。
2.【多选】(2025·宁夏回族自治区月考)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g,则球A在最高点时(　　)
A.球A的速度为零
B.球B的速度为2
C.水平转轴对杆的作用力大小为3mg,方向竖直向上
D.水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上
√
√
【解析】选B、D。由题可知,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力,此时球A的重力提供圆周运动的向心力,则有mg=m,解得vA=,故A错误;球B与球A的角速度相等,根据v=ωr 可知,角速度一定时,线速度与圆周半径成正比,因此 vB=2vA=2,故B正确;对球B受力分析,根据牛顿第二定律可得F-2mg=2m,解得F=6mg,方向竖直向上,以水平转轴为研究对象则有F'=F=6mg,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可知,水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上,故C错误,D正确。
3.如图所示,一质量m=0.4 kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上,现在小球绕AB杆匀速转动,轻绳伸直,OC垂直于AB,此时∠ACO=53°, ∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0 m,足够结实,轻绳BC能承受的最大拉力为1.44 N,小球C可视为质点,g取10 m/s2,sin37°= 0.6,sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度(　　)
A. rad/s≤ω≤2 rad/s
B.2 rad/s≤ω≤2 rad/s
C. rad/s≤ω≤2 rad/s
D. rad/s≤ω≤ rad/s
√
【解析】选A。当轻绳AC和BC的拉力达到最大时,小球C的角速度最大,在竖直方向,有FACsin53°-FBCsin37°-mg=0,在水平方向,有FACcos53°+ FBCcos37°=mLACcos53°
解得ω1=2 rad/s,当轻绳BC的拉力为零时,小球C的角速度最小,在竖直方向,有F'ACsin53°-mg=0
在水平方向,有F'ACcos53°=mLACcos53°,解得ω2= rad/s,所以小球做圆周运动的角速度满足 rad/s≤ω≤2 rad/s,故选A。
4.如图,表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上,半径为R,一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动,从A点由静止沿轨道滑下,一段时间后,小球在P点脱离轨道,速度大小为v,P、O两点的连线与竖直方向的夹角为θ,小球可看作质点,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　)
A.cosθ=,v=
B.cosθ=,v=
C.cosθ=,v=
D.cosθ=,v=
√
【解析】选A。小球在P点脱离轨道时,重力沿半径方向的分力提供向心力,则有mgcosθ=m,小球从A点运动到P点,根据机械能守恒定律有mgR(1-cosθ)=mv2,解得cosθ=,v=,故选A。
5.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为θ,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,x轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为(　　)
A.tanθ B.2tanθ
C.tanθ D.tanθ
√
【解析】选A。设图(b)中圆与y轴正方向的交点的纵坐标为f1,则()2=(4 N)2+(2 N)2,解得f1=8 N,结合图(b)知,滑块运动至最高点时,所受的静摩擦力最小,方向指向圆心,大小为f2=2 N。由合力提供向心力得f2+mgsinθ=mω2r,滑块运动至最低点时,所受的静摩擦力最大,方向指向圆心,大小为f1=8 N,由合力提供向心力得f1-mgsinθ=mω2r,且满足f1≤μmgcosθ,联立知,滑块与圆盘之间的动摩擦因数μ≥tanθ,故选A。
6.如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示,小球到O点距离为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时速度为
B.小球位于初始位置时加速度的大小为4gsinθ
C.小球通过最低点时速度为
D.细线拉力的最大值为6mgsinθ
√
【解析】选C。
由题图乙可知,小球通过最高点时,细线拉力大小为T1=mgsinθ,对小球受力分析,由合力提供向心力可得T1+mgsinθ=m,解得小球通过最高点时速度为v1=,故A错误;小球从释放到最高点过程,只有重力做功机械能守恒,可得-mgLsinθ=mm,联立解得v0=2,小球
位于初位置时的向心加速度大小为a1==4gsinθ,沿斜面向下的加速度大小为a2=gsinθ,则实际加速度大小为a==gsinθ,故B错误;小球从最高点到最低点过程,由机械能守恒可得mm=2mgLsinθ,解得通过最低点时速度为v2=,故C正确;小球在最低点时,细线拉力具有最大值,对其受力分析,由合力提供向心力可得Tmax-mgsinθ=m,解得Tmax=7mgsinθ,故D错误。
7. 【多选】(2026·忻州模拟)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时(　　)
A.小球的高度一定降低
B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
√
√
【解析】选B、D。小球在水平面内做匀速圆周运动,由合外力提供向心力,如图所示,设MP长度为r,轻弹簧弹力为F,与竖直方向夹角为α,轻弹簧原长为l0,劲度系数为k,小球在竖直方向受力平衡,则:Fcosα=mg,即k(l0)cosα=mg,由于k、r、l0、mg都为定值,且等式左边随α增大而减小(0<α<),所以,满足条件的α仅可能有一个值,即分别以角速度ω和ω'匀速转动,最终相对杆静止时,α相同,小球高度相同,弹簧弹力相同,故A错误,B正确;当小球相对杆静止后仅受到弹簧弹力和重力时,则有:
Fsinα=mlsinα,解得:ω0=,当ω≥ω0时,FN向左,有Fsinα+FN=
mω2lsinα,故ω'>ω时FN变大;当ω<ω0时,此时FN向右,有Fsinα-FN=mω2lsinα,故ω<ω'<ω0时,FN可能变小,故C错误;设小球做圆周运动所需向心力的大小为Fn,则小球所受合外力的大小F合=Fn=mω2r,ω变大,其他量不变,则F合一定变大,故D正确。
8.【多选】(2026·西安模拟)如图甲所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,a的质量为3m,b的质量为m。它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为Ra=r,Rb=2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度,在角速度ω增大到一定值的过程中,a、b与圆盘保持相对静止,所受摩擦力大小与ω2满足如图乙所示关系,图中2f2=3f1。下列判断正确的是(　　)
A.图线(1)对应物体a
B.ω3=ω2
C.ω2=ω1
D.ω=ω3时绳上张力大小为6f1
√
√
【解析】选B、D。角速度较小时,两物体受静摩擦力提供向心力,对a有
fa=3mω2r,对b有fb=2mω2r,则角速度较小时,b的静摩擦力较小,则图线(1)
对应物体b,故A错误;当角速度达到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有
T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,当角速度达到 ω3 时,设绳子拉力为 T',
对a、b有T'+3μmg=3mr,T'=2mr,解得ω3=ω2,故B正确;当角速度
达到 ω1 时,b受最大静摩擦力提供向心力,有f1=μmg=2mr,当角速度达
到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,解得ω2=2ω1,故C错误;由上述分析可知ω3=ω2,ω2=2ω1,f1=μmg=2mr,
T'=2mr,联立解得T'=6f1,故D正确。
二、计算题:本题共2小题,共22分。
9.(10分)水平公路上有一段水平圆弧弯道BC。一辆汽车在直道公路上以v0=72 km/h的速率行驶,接近圆弧弯道时以a1=4 m/s2的加速度刹车。然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入直道后以a2=2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知弯道半径为R=28 m,弯道圆弧长度为s=56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为μ=0.7,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,求:
(1)汽车开始刹车时到弯道的距离x。(5分)
答案:(1)25.5 m　
【解析】(1)由匀速圆周运动可知μmg=m
由速度位移公式有v2=2a1x,
解得v=14 m/s,x=25.5 m
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间t。(5分)
答案: (2)8.5 s
【解析】(2)刹车时间t1=,
弯道行驶有s=vt2
加速时间t3=,
所用时间t=t1+t2+t3,
解得t=8.5 s
10.(12分)小球甲、乙(均视为质点)套在圆环上,现让圆环绕竖直直径MN
做角速度为ω的匀速圆周运动,两小球相对圆环静止。小球甲处在A
点,OA与竖直方向的夹角为60°,小球甲与圆环间的摩擦力刚好为0;小球
乙处在B点,OB为水平半径,且圆环对小球乙的静摩擦力达到最大值,最
大静摩擦力等于滑动摩擦力。将小球丙从圆环的最高点M以大小v0=
的初速度水平向右抛出,小球丙落到与圆心O等高处的C点,重力加速度
大小为g,求:
(1)小球甲、乙的向心加速度大小之比;(4分)
答案:(1)∶2　
【解析】(1)设圆环的半径为R,则小球甲、乙做圆周运动的轨道的半径分别为r甲=Rsin60°、r乙=R
小球甲、乙的向心加速度分别为
a甲=ω2r甲,a乙=ω2r乙
解得a甲∶a乙=∶2
(2)圆环的半径以及O、C两点间的距离;(4分)
答案: (2)　　
【解析】(2)对小球甲受力分析,合力沿水平方向,
有Fn=mgtan60°
由向心力公式有Fn=mω2Rsin60°,
解得R=
对小球丙,由平抛运动的规律有R=gt2,x=v0t
解得x=
(3)小球乙与圆环间的动摩擦因数。(4分)
答案: (3)0.5
【解析】(3)对小球乙受力分析,竖直方向由二力平衡有
fm=mg,
水平方向由弹力充当向心力有FN=mω2R
最大静摩擦力等于滑动摩擦力有fm=μFN
解得μ=0.5专题强化练 专题强化课　圆周运动的临界极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。
1.猫猫很怕水,当其身上沾到水后,会通过高速抖动的方式将水甩干,可以用这样一个模型来研究这一现象:如图所示,将猫猫的躯干视作水平轴线,半径为R的圆柱(其腿长可忽略),某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转,角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出,重力加速度为g,则角速度ω的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
【解析】选A。对猫猫正上方头顶的水滴,根据重力提供向心力得mg=mω2R,解得ω=,故选A。
2.【多选】(2025·宁夏回族自治区月考)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g,则球A在最高点时(　　)
A.球A的速度为零
B.球B的速度为2
C.水平转轴对杆的作用力大小为3mg,方向竖直向上
D.水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上
【解析】选B、D。由题可知,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力,此时球A的重力提供圆周运动的向心力,则有mg=m,解得vA=,故A错误;球B与球A的角速度相等,根据v=ωr 可知,角速度一定时,线速度与圆周半径成正比,因此 vB=2vA=2,故B正确;对球B受力分析,根据牛顿第二定律可得F-2mg=2m,解得F=6mg,方向竖直向上,以水平转轴为研究对象则有F'=F=6mg,方向竖直向下,根据牛顿第三定律可知,水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上,故C错误,D正确。
3.如图所示,一质量m=0.4 kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上,现在小球绕AB杆匀速转动,轻绳伸直,OC垂直于AB,此时∠ACO=53°,∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0 m,足够结实,轻绳BC能承受的最大拉力为1.44 N,小球C可视为质点,g取10 m/s2,sin37°= 0.6,sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度(　　)
A. rad/s≤ω≤2 rad/s
B.2 rad/s≤ω≤2 rad/s
C. rad/s≤ω≤2 rad/s
D. rad/s≤ω≤ rad/s
【解析】选A。当轻绳AC和BC的拉力达到最大时,小球C的角速度最大,在竖直方向,有FACsin53°-FBCsin37°-mg=0,在水平方向,有FACcos53°+FBCcos37°=mLACcos53°
解得ω1=2 rad/s,当轻绳BC的拉力为零时,小球C的角速度最小,在竖直方向,有F'ACsin53°-mg=0
在水平方向,有F'ACcos53°=mLACcos53°,解得ω2= rad/s,所以小球做圆周运动的角速度满足 rad/s≤ω≤2 rad/s,故选A。
4.如图,表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上,半径为R,一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动,从A点由静止沿轨道滑下,一段时间后,小球在P点脱离轨道,速度大小为v,P、O两点的连线与竖直方向的夹角为θ,小球可看作质点,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　)
A.cosθ=,v=
B.cosθ=,v=
C.cosθ=,v=
D.cosθ=,v=
【解析】选A。小球在P点脱离轨道时,重力沿半径方向的分力提供向心力,则有mgcosθ=m,小球从A点运动到P点,根据机械能守恒定律有mgR(1-cosθ)=mv2,解得cosθ=,v=,故选A。
5.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为θ,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,x轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为(　　)
A.tanθ B.2tanθ
C.tanθ D.tanθ
【解析】选A。设图(b)中圆与y轴正方向的交点的纵坐标为f1,则()2=(4 N)2+(2 N)2,解得f1=8 N,结合图(b)知,滑块运动至最高点时,所受的静摩擦力最小,方向指向圆心,大小为f2=2 N。由合力提供向心力得f2+mgsinθ=mω2r,滑块运动至最低点时,所受的静摩擦力最大,方向指向圆心,大小为f1=8 N,由合力提供向心力得f1-mgsinθ=mω2r,且满足f1≤μmgcosθ,联立知,滑块与圆盘之间的动摩擦因数μ≥tanθ,故选A。
6.如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示,小球到O点距离为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时速度为
B.小球位于初始位置时加速度的大小为4gsinθ
C.小球通过最低点时速度为
D.细线拉力的最大值为6mgsinθ
【解析】选C。
由题图乙可知,小球通过最高点时,细线拉力大小为T1=mgsinθ,对小球受力分析,由合力提供向心力可得T1+mgsinθ=m,解得小球通过最高点时速度为v1=,故A错误;小球从释放到最高点过程,只有重力做功机械能守恒,可得-mgLsinθ=mm,联立解得v0=2,小球位于初位置时的向心加速度大小为a1==4gsinθ,沿斜面向下的加速度大小为a2=gsinθ,则实际加速度大小为a==gsinθ,故B错误;小球从最高点到最低点过程,由机械能守恒可得mm=2mgLsinθ,解得通过最低点时速度为v2=,故C正确;小球在最低点时,细线拉力具有最大值,对其受力分析,由合力提供向心力可得Tmax-mgsinθ=m,解得Tmax=7mgsinθ,故D错误。
7. 【多选】(2026·忻州模拟)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时(　　)
A.小球的高度一定降低
B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
【解析】选B、D。小球在水平面内做匀速圆周运动,由合外力提供向心力,如图所示,
设MP长度为r,轻弹簧弹力为F,与竖直方向夹角为α,轻弹簧原长为l0,劲度系数为k,小球在竖直方向受力平衡,则:Fcosα=mg,即k(l0)cosα=mg,由于k、r、l0、mg都为定值,且等式左边随α增大而减小(0<α<),所以,满足条件的α仅可能有一个值,即分别以角速度ω和ω'匀速转动,最终相对杆静止时,α相同,小球高度相同,弹簧弹力相同,故A错误,B正确;当小球相对杆静止后仅受到弹簧弹力和重力时,则有:Fsinα=mlsinα,解得:ω0=,当ω≥ω0时,FN向左,有Fsinα+FN=mω2lsinα,故ω'>ω时FN变大;当ω<ω0时,此时FN向右,有Fsinα-FN=mω2lsinα,故ω<ω'<ω0时,FN可能变小,故C错误;设小球做圆周运动所需向心力的大小为Fn,则小球所受合外力的大小F合=Fn=mω2r,ω变大,其他量不变,则F合一定变大,故D正确。
8.【多选】(2026·西安模拟)如图甲所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,a的质量为3m,b的质量为m。它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为Ra=r,Rb=2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度,在角速度ω增大到一定值的过程中,a、b与圆盘保持相对静止,所受摩擦力大小与ω2满足如图乙所示关系,图中2f2=3f1。下列判断正确的是(　　)
A.图线(1)对应物体a
B.ω3=ω2
C.ω2=ω1
D.ω=ω3时绳上张力大小为6f1
【解析】选B、D。角速度较小时,两物体受静摩擦力提供向心力,对a有fa=3mω2r,对b有fb=2mω2r,则角速度较小时,b的静摩擦力较小,则图线(1)对应物体b,故A错误;当角速度达到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,当角速度达到 ω3 时,设绳子拉力为 T',对a、b有T'+3μmg=3mr,T'=2mr,解得ω3=ω2,故B正确;当角速度达到 ω1 时,b受最大静摩擦力提供向心力,有f1=μmg=2mr,当角速度达到 ω2 时,设绳子拉力为 T,对a、b有T+3μmg=3mr,T+μmg=2mr,解得ω2=2ω1,故C错误;由上述分析可知ω3=ω2,ω2=2ω1,f1=μmg=2mr,T'=2mr,联立解得T'=6f1,故D正确。
二、计算题:本题共2小题,共22分。
9.(10分)水平公路上有一段水平圆弧弯道BC。一辆汽车在直道公路上以v0=72 km/h的速率行驶,接近圆弧弯道时以a1=4 m/s2的加速度刹车。然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入直道后以a2=2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知弯道半径为R=28 m,弯道圆弧长度为s=56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为μ=0.7,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,求:
(1)汽车开始刹车时到弯道的距离x。(5分)
答案:(1)25.5 m　
【解析】(1)由匀速圆周运动可知μmg=m
由速度位移公式有v2=2a1x,
解得v=14 m/s,x=25.5 m
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间t。(5分)
答案: (2)8.5 s
【解析】(2)刹车时间t1=,
弯道行驶有s=vt2
加速时间t3=,
所用时间t=t1+t2+t3,
解得t=8.5 s
10.(12分)小球甲、乙(均视为质点)套在圆环上,现让圆环绕竖直直径MN做角速度为ω的匀速圆周运动,两小球相对圆环静止。小球甲处在A点,OA与竖直方向的夹角为60°,小球甲与圆环间的摩擦力刚好为0;小球乙处在B点,OB为水平半径,且圆环对小球乙的静摩擦力达到最大值,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将小球丙从圆环的最高点M以大小v0=的初速度水平向右抛出,小球丙落到与圆心O等高处的C点,重力加速度大小为g,求:
(1)小球甲、乙的向心加速度大小之比;(4分)
答案:(1)∶2　
【解析】(1)设圆环的半径为R,则小球甲、乙做圆周运动的轨道的半径分别为r甲=Rsin60°、r乙=R
小球甲、乙的向心加速度分别为
a甲=ω2r甲,a乙=ω2r乙
解得a甲∶a乙=∶2
(2)圆环的半径以及O、C两点间的距离;(4分)
答案: (2)　　
【解析】(2)对小球甲受力分析,合力沿水平方向,
有Fn=mgtan60°
由向心力公式有
Fn=mω2Rsin60°,
解得R=
对小球丙,由平抛运动的规律有
R=gt2,x=v0t
解得x=
(3)小球乙与圆环间的动摩擦因数。(4分)
答案: (3)0.5
【解析】(3)对小球乙受力分析,竖直方向由二力平衡有
fm=mg,
水平方向由弹力充当向心力有FN=mω2R
最大静摩擦力等于滑动摩擦力有fm=μFN
解得μ=0.5
- 11 -专题强化课　圆周运动的临界极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式出现,具有一定的综合性
方法规律
关键能力 三种能力:理解能力、逻辑推理能力、分析综合能力
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
模型
动力 学 特征 (1)运动轨迹是水平面内的圆。 (2)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动
临界 状态 (1)与摩擦力有关的临界极值问题。 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 (2)与弹力有关的临界极值问题。 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等
解题 思路 首先要找到临界条件时物体所处的状态;再分析该状态下物体的受力特点;最后根据圆周运动知识列动力学方程求解
角度1　压力、支持力有关的临界问题
【典例1】【多选】如图所示,三角形为一光滑圆锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在圆锥体顶端,另一端系着一个可视为质点的小球,小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,sin37°=0.6,不计空气阻力,则(　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0= rad/s时,小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
【解析】选B、C。向心力是效果力,不是小球实际受到的力。对小球受力分析,小球受重力、细线的拉力,小球可能受圆锥体的支持力,也可能不受圆锥体的支持力;转速较小时,小球紧贴圆锥面,则FTcosθ+FNsinθ=mg,FTsinθ-FNcosθ=mω2lsinθ,随着转速的增加,FT增大,FN减小,当转速达到ω0时支持力为零,支持力恰好为零时有mgtanθ=mlsinθ,解得ω0= rad/s,A错误,B、C正确;因为2 rad/s> rad/s,所以,当ω=2 rad/s时,小球已经离开斜面,小球只受重力、拉力的作用,D错误。
角度2　摩擦力有关的临界问题
【典例2】(2024·江苏高考)制作陶瓷时,在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同,最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点,则(　　)
A.离转轴越近的陶屑质量越大
B.离转轴越远的陶屑质量越大
C.陶屑只能分布在台面的边缘处
D.陶屑只能分布在一定半径的圆内
【解析】选D。与台面相对静止的陶屑做匀速圆周运动,静摩擦力提供向心力,当静摩擦力为最大静摩擦力时,根据摩擦力提供向心力可得μmg=mω2rmax,解得rmax=,因与台面相对静止的这些陶屑的角速度相同,由此可知能与台面相对静止的陶屑离转轴的距离与陶屑质量无关,只要在台面上不发生相对滑动的位置都有陶屑。μ与ω均一定,故rmax为定值,即陶屑离转轴最远的陶屑距离不超过,即陶屑只能分布在半径为的圆内。故A、B、C错误,故D正确。
[强化训练](2025·重庆模拟)如图所示,AC、BC两绳系一质量为m=0.1 kg的小球,AC绳长L=2 m,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时,若两绳中始终有张力,小球的角速度可能是(取g=10 m/s2)(　　)
A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
【解析】选B。当上绳绷紧、下绳恰好伸直但无张力时,小球受力如图甲所示,由合力提供向心力得mgtan30°=mr,又有r=Lsin30°,解得ω1= rad/s≈2.4 rad/s;当下绳绷紧、上绳恰好伸直无张力时,小球受力如图乙所示,由合力提供向心力得mgtan45°=mr,解得ω2= rad/s≈3.2 rad/s,故当角速度2.4 rad/s<ω<3.2 rad/s时,两绳始终有张力,故B正确,A、C、D错误。
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动“轻绳模型”
模型
力学方程 最高点:mg+FT=m
临界特征 恰好过最高点,F弹=0,mg=m, 即vmin=
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥
2.竖直面内圆周运动“轻杆模型”
模型
力学方程 最高点:mg±FN=m
临界特征 ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg ②恰好无弹力,F弹=0,v=
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥0
角度1　轻绳模型
【典例3】【多选】(2025·汉中模拟)如图所示,一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动,取g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳的拉力大小为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过
4 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过4 m/s
【解析】选A、B、C。设小球通过最高点时的最小速度为v0,则根据重力提供向心力有mg=m,解得v0=2 m/s,故A正确;当小球在最高点的速度为v1=4 m/s时,设轻绳的拉力大小为FT,根据合力提供向心力有FT+mg=m,解得FT=15 N,故B正确;小球在轨迹最低点处速度最大,此时轻绳的拉力最大,根据合力提供向心力有FTm-mg=m,解得vm=4 m/s,故C正确,D错误。
角度2　轻杆模型
【典例4】如图所示,长为l的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,重力加速度为g。关于小球在过最高点时的速度v,下列说法正确的是(　　)
A.v的最小值为
B.v由零逐渐增大,向心力逐渐减小
C.v由逐渐减小,杆对小球的弹力也逐渐减小
D.v由逐渐增大,杆对小球的弹力也逐渐增大
【解析】选D。轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动,在最高点速度的最小值为零,A错误;根据Fn=m知小球的速度逐渐增大时,向心力逐渐增大,B错误;当v=时,杆对小球的作用力为零,当v<时,杆对小球的力表现为支持力,且mg-FN=m,所以杆对小球的弹力FN=mg-m,则此时v由逐渐减小,杆对小球的弹力逐渐增大,C错误;当v>时,杆对小球的作用力表现为拉力,且mg+FN=m,所以杆对小球的弹力FN=mmg,则此时v由逐渐增大,杆对小球的弹力逐渐增大,D正确。
【归纳总结】
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
[强化训练] 【多选】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,小球直径略小于管道的尺寸,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
【解析】选B、C。小球沿管道上升到最高点的速度可以为零,故A错误,B正确;小球在水平线ab以下的管道中运动时,由外侧管壁对小球的作用力FN与小球重力在背离圆心方向的分力Fmg的合力提供向心力,即FN-Fmg=m,因此,外侧管壁一定对小球有作用力,而内侧管壁无作用力,C正确;小球在水平线ab以上的管道中运动时,小球受管壁的作用力与小球速度大小有关,小球做圆周运动所需的向心力可能由内侧壁对小球的作用力和重力的合力提供,D错误。
考点三　斜面内圆周运动的临界问题
1.静摩擦力控制
模型 物块随圆盘做匀速圆周运动
力学 方程 (1)最高点:若f向上,有mgsinθ-f=mω2r 若f向下,有mgsinθ+f=mω2r 若f=0,有mgsinθ=mω2r (2)最低点有f-mgsinθ=mω2r
临界 特征 物体在转动过程中,最容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时:μmgcosθ-mgsinθ=mω2r
2.轻绳控制、轻杆控制
模型 光滑斜面上,小球在轻绳控制下做变速圆周运动 光滑斜面上,小球在轻杆控制下做变速圆周运动
力学 方程 最高点:mgsinα+FT=m 最高点:mgsinα±FN=m
临界 特征 恰好过最高点,F弹=0,mgsinα=m,即vmin= ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg ②恰好无弹力,F弹=0,v=
结论 过最高点的条件:v≥ 过最高点的条件:v≥0
角度1　静摩擦力控制
【典例5】(2025·合肥模拟)如图所示,一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动,盘面上距离转轴l=
5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为,盘面与水平面间的夹角θ=30°,重力加速度大小g取10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.若圆盘角速度逐渐增大,物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时,摩擦力的方向垂直于物块和圆盘圆心的连线
【图形剖析】
【解析】选C。物块在最低点即将滑动时,此时圆盘角速度最大,由合力提供向心力有μmgcos30°-mgsin30°=ml,解得ω1=5 rad/s,故B错误;物块在最高点恰好不受摩擦力时,根据重力的分力提供向心力有mgsin30°=ml,解得ω2=10 rad/s>5 rad/s,物块运动到最高点摩擦力一定背离圆心,但不会发生相对滑动,故A错误,C正确;由于物块做匀速圆周运动,合力方向指向圆盘中心,重力沿盘面向下的分力与摩擦力的合力提供向心力,则与圆盘圆心等高点处摩擦力的方向不垂直于物块和圆盘圆心的连线,故D错误。
角度2　轻绳控制、轻杆控制
【典例6】如图所示,在倾角为θ的足够大的固定斜面上,一长度为L的轻绳一端固定在O点,另一端连着一质量为m的小球(视为质点),可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动,通过最高点B。重力加速度大小为g,轻绳与斜面平行,不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过B点时的最小速度可以小于
B.小球通过A点时的加速度为gsinθ+
C.若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳,则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
D.小球通过A点时的速度越大,此时斜面对小球的支持力越大
【解析】选C。小球通过最高点B时,当绳的拉力为零时速度最小,即mgsinθ=,可得最小速度vmin=,故A错误;小球在A点受重力、斜面的支持力以及绳的拉力,沿斜面方向有F-mgsinθ== maA,可得aA=,故B错误;若小球以的速率通过B点时轻绳突然断裂,则小球在斜面上做类平抛运动,在平行于斜面底边方向做匀速直线运动,在垂直于斜面底边方向做初速度为零的匀加速直线运动,故s水平=vBt=·t,2L=at2,其中a=gsinθ,联立解得s水平=2L,即小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L,故C正确;斜面对小球的支持力始终等于重力沿垂直于斜面方向的分力,与小球的速度大小无关,故D错误。
[强化训练](2025·包头模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动,圆筒的半径r=1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则ω的最小值是(　　)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.5 rad/s
【解析】选C。对小物体受力分析如图所示,
由合力提供向心力有mgcos60°+FN=mω2r,Ff=mgsin60°≤μFN,解得ω≥ rad/s,故C正确。
- 12 -专题强化练 专题强化课　圆周运动的临界极值问题
(40分钟　70分)
一、选择题:本题共8小题,每小题6分,共48分。
1.猫猫很怕水,当其身上沾到水后,会通过高速抖动的方式将水甩干,可以用这样一个模型来研究这一现象:如图所示,将猫猫的躯干视作水平轴线,半径为R的圆柱(其腿长可忽略),某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转,角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出,重力加速度为g,则角速度ω的最小值为(　　)
A. B. C. D.2
2.【多选】(2025·宁夏回族自治区月考)如图所示,轻杆长3L,在杆两端分别固定质量为m的球A和质量为2m的球B,光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点,外界给系统一定能量后,杆和球在竖直平面内转动,球A运动到最高点时,杆对球A恰好无作用力。忽略空气阻力,重力加速度为g,则球A在最高点时(　　)
A.球A的速度为零
B.球B的速度为2
C.水平转轴对杆的作用力大小为3mg,方向竖直向上
D.水平转轴对杆的作用力大小为6mg,方向竖直向上
3.如图所示,一质量m=0.4 kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上,现在小球绕AB杆匀速转动,轻绳伸直,OC垂直于AB,此时∠ACO=53°,∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0 m,足够结实,轻绳BC能承受的最大拉力为1.44 N,小球C可视为质点,g取10 m/s2,sin37°= 0.6,sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度(　　)
A. rad/s≤ω≤2 rad/s
B.2 rad/s≤ω≤2 rad/s
C. rad/s≤ω≤2 rad/s
D. rad/s≤ω≤ rad/s
4.如图,表面光滑的竖直圆环轨道固定在水平面上,半径为R,一小球静止在轨道的最高点A点。小球受到轻微的扰动,从A点由静止沿轨道滑下,一段时间后,小球在P点脱离轨道,速度大小为v,P、O两点的连线与竖直方向的夹角为θ,小球可看作质点,重力加速度大小为g,下列说法正确的是(　　)
A.cosθ=,v=
B.cosθ=,v=
C.cosθ=,v=
D.cosθ=,v=
5.如图(a)所示,倾斜圆盘与水平面的夹角为θ,它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动,在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系,x轴沿水平方向,y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止,其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图(b)所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为(　　)
A.tanθ B.2tanθ
C.tanθ D.tanθ
6.如图甲所示,倾角为θ的光滑斜面固定在水平地面上,细线一端与质量为m、可看成质点的小球相连,另一端穿入小孔O与力传感器(位于斜面体内部)连接,传感器可实时记录细线拉力大小及小球走过的路程s。初始时,细线水平,小球位于小孔O的右侧,现敲击小球,使小球获得一平行于斜面向上的初速度v0,此后传感器记录细线拉力T的大小随小球走过的路程s的变化图像如图乙所示,小球到O点距离为L,重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时速度为
B.小球位于初始位置时加速度的大小为4gsinθ
C.小球通过最低点时速度为
D.细线拉力的最大值为6mgsinθ
7. 【多选】(2026·忻州模拟)如图,矩形金属框MNQP竖直放置,其中MN、PQ足够长,且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点,另一端连接一个质量为m的小球,小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω'匀速转动时,小球均相对PQ杆静止。若ω'>ω,则与以ω匀速转动时相比,以ω'匀速转动时(　　)
A.小球的高度一定降低
B.弹簧弹力的大小一定不变
C.小球对杆压力的大小一定变大
D.小球所受合外力的大小一定变大
8.【多选】(2026·西安模拟)如图甲所示,小木块a和b(可视为质点)用轻绳连接置于水平圆盘上,a的质量为3m,b的质量为m。它们分居圆心两侧,与圆心的距离分别为Ra=r,Rb=2r,a、b与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动,木块和圆盘保持相对静止。ω表示圆盘转动的角速度,在角速度ω增大到一定值的过程中,a、b与圆盘保持相对静止,所受摩擦力大小与ω2满足如图乙所示关系,图中2f2=3f1。下列判断正确的是(　　)
A.图线(1)对应物体a
B.ω3=ω2
C.ω2=ω1
D.ω=ω3时绳上张力大小为6f1
二、计算题:本题共2小题,共22分。
9.(10分)水平公路上有一段水平圆弧弯道BC。一辆汽车在直道公路上以v0=72 km/h的速率行驶,接近圆弧弯道时以a1=4 m/s2的加速度刹车。然后以不发生侧滑的最大速率通过圆弧弯道。进入直道后以a2=2 m/s2的加速度恢复到原速率继续行驶。已知弯道半径为R=28 m,弯道圆弧长度为s=56 m,橡胶轮胎与路面的动摩擦因数为μ=0.7,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g取10 m/s2,求:
(1)汽车开始刹车时到弯道的距离x。(5分)
(2)汽车从刹车开始至恢复到原速率所用时间t。(5分)
10.(12分)小球甲、乙(均视为质点)套在圆环上,现让圆环绕竖直直径MN做角速度为ω的匀速圆周运动,两小球相对圆环静止。小球甲处在A点,OA与竖直方向的夹角为60°,小球甲与圆环间的摩擦力刚好为0;小球乙处在B点,OB为水平半径,且圆环对小球乙的静摩擦力达到最大值,最大静摩擦力等于滑动摩擦力。将小球丙从圆环的最高点M以大小v0=的初速度水平向右抛出,小球丙落到与圆心O等高处的C点,重力加速度大小为g,求:
(1)小球甲、乙的向心加速度大小之比;(4分)
(2)圆环的半径以及O、C两点间的距离;(4分)
(3)小球乙与圆环间的动摩擦因数。(4分)
- 11 -专题强化课　圆周运动的临界极值问题
链接高考 本专题在高考中常以选择题或计算题的形式出现,具有一定的综合性
方法规律
关键能力 三种能力:理解能力、逻辑推理能力、分析综合能力
考点一　水平面内圆周运动的临界问题
模型
动力 学 特征 (1)运动轨迹是水平面内的圆。 (2)合外力沿水平方向指向圆心,提供向心力,竖直方向合力为零,物体在水平面内做匀速圆周运动
临界 状态 (1)与摩擦力有关的临界极值问题。 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 (2)与弹力有关的临界极值问题。 压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零;绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等
解题 思路 首先要找到临界条件时物体所处的状态;再分析该状态下物体的受力特点;最后根据圆周运动知识列动力学方程求解
角度1　压力、支持力有关的临界问题
【典例1】【多选】如图所示,三角形为一光滑圆锥体的正视图,锥面与竖直方向的夹角为θ=37°。一根长为l=1 m的细线一端系在圆锥体顶端,另一端系着一个可视为质点的小球,小球在水平面内绕圆锥体的轴做匀速圆周运动,重力加速度g取10 m/s2,sin37°=0.6,不计空气阻力,则(　　)
A.小球受重力、支持力、拉力和向心力
B.小球可能只受拉力和重力
C.当ω0= rad/s时,小球对圆锥体的压力刚好为零
D.当ω=2 rad/s时,小球受重力、支持力和拉力作用
角度2　摩擦力有关的临界问题
【典例2】(2024·江苏高考)制作陶瓷时,在水平面内匀速转动的台面上有一些陶屑。假设陶屑与台面间的动摩擦因数均相同,最大静摩擦力等于滑动摩檫力。将陶屑视为质点,则(　　)
A.离转轴越近的陶屑质量越大
B.离转轴越远的陶屑质量越大
C.陶屑只能分布在台面的边缘处
D.陶屑只能分布在一定半径的圆内
[强化训练](2025·重庆模拟)如图所示,AC、BC两绳系一质量为m=0.1 kg的小球,AC绳长L=2 m,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,两绳拉直时与竖直轴的夹角分别为30°和45°。小球在水平面内做匀速圆周运动时,若两绳中始终有张力,小球的角速度可能是(取g=10 m/s2)(　　)
A.2 rad/s B.2.5 rad/s
C.3.5 rad/s D.4 rad/s
考点二　竖直面内圆周运动的临界问题
1.竖直面内圆周运动“轻绳模型”
模型
力学方程 最高点:mg+FT=m
临界特征 恰好过最高点,F弹=0,mg=m, 即vmin=
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥
2.竖直面内圆周运动“轻杆模型”
模型
力学方程 最高点:mg±FN=m
临界特征 ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg ②恰好无弹力,F弹=0,v=
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥0
角度1　轻绳模型
【典例3】【多选】(2025·汉中模拟)如图所示,一质量为m=0.5 kg的小球(可视为质点),用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动,取g=10 m/s2,下列说法正确的是(　　)
A.小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s时,轻绳的拉力大小为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过
4 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N,小球的最大速度不能超过4 m/s
角度2　轻杆模型
【典例4】如图所示,长为l的轻杆,一端固定一个小球,另一端固定在光滑的水平轴上,使小球在竖直平面内做圆周运动,重力加速度为g。关于小球在过最高点时的速度v,下列说法正确的是(　　)
A.v的最小值为
B.v由零逐渐增大,向心力逐渐减小
C.v由逐渐减小,杆对小球的弹力也逐渐减小
D.v由逐渐增大,杆对小球的弹力也逐渐增大
【归纳总结】
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
[强化训练] 【多选】如图所示,小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动,小球直径略小于管道的尺寸,内侧壁半径为R,小球半径为r,重力加速度为g,则下列说法正确的是(　　)
A.小球通过最高点时的最小速度vmin=
B.小球通过最高点时的最小速度vmin=0
C.小球在水平线ab以下的管道中运动时,内侧管壁对小球一定无作用力
D.小球在水平线ab以上的管道中运动时,外侧管壁对小球一定有作用力
考点三　斜面内圆周运动的临界问题
1.静摩擦力控制
模型 物块随圆盘做匀速圆周运动
力学 方程 (1)最高点:若f向上,有mgsinθ-f=mω2r 若f向下,有mgsinθ+f=mω2r 若f=0,有mgsinθ=mω2r (2)最低点有f-mgsinθ=mω2r
临界 特征 物体在转动过程中,最容易滑动的位置是最低点,恰好滑动时:μmgcosθ-mgsinθ=mω2r
2.轻绳控制、轻杆控制
模型 光滑斜面上,小球在轻绳控制下做变速圆周运动 光滑斜面上,小球在轻杆控制下做变速圆周运动
力学 方程 最高点:mgsinα+FT=m 最高点:mgsinα±FN=m
临界 特征 恰好过最高点,F弹=0,mgsinα=m,即vmin= ①恰好过最高点,v=0,F弹=mg ②恰好无弹力,F弹=0,v=
结论 过最高点的条件:v≥ 过最高点的条件:v≥0
角度1　静摩擦力控制
【典例5】(2025·合肥模拟)如图所示,一倾斜圆盘可绕通过圆心、垂直于盘面的固定轴以不同的角速度匀速转动,盘面上距离转轴l=
5 cm处有一可视为质点的物块在圆盘上且始终与圆盘保持相对静止。已知物块与盘面间的动摩擦因数为,盘面与水平面间的夹角θ=30°,重力加速度大小g取10 m/s2,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,下列说法正确的是(　　)
A.若圆盘角速度逐渐增大,物块会在最高点发生相对滑动
B.圆盘转动时角速度可能为5 rad/s
C.物块运动到最高点时所受摩擦力方向一定背离圆心
D.物块运动到与圆盘圆心等高点时,摩擦力的方向垂直于物块和圆盘圆心的连线
【图形剖析】
角度2　轻绳控制、轻杆控制
【典例6】如图所示,在倾角为θ的足够大的固定斜面上,一长度为L的轻绳一端固定在O点,另一端连着一质量为m的小球(视为质点),可绕斜面上的O点自由转动。现使小球从最低点A以速率v开始在斜面上做圆周运动,通过最高点B。重力加速度大小为g,轻绳与斜面平行,不计一切摩擦。下列说法正确的是(　　)
A.小球通过B点时的最小速度可以小于
B.小球通过A点时的加速度为gsinθ+
C.若小球以的速率通过B点时突然脱落而离开轻绳,则小球到达与A点等高处时与A点间的距离为2L
D.小球通过A点时的速度越大,此时斜面对小球的支持力越大
[强化训练](2025·包头模拟)如图所示,一倾斜的圆筒绕固定轴OO1以恒定的角速度ω转动,圆筒的半径r=1.5 m。筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止,小物体与圆筒间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),转动轴与水平面间的夹角为60°,重力加速度g取10 m/s2,则ω的最小值是(　　)
A.1 rad/s B. rad/s
C. rad/s D.5 rad/s
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