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2026年九年级 5月学业水平调研考试
数 学 试 卷
(本试题卷共 6页，满分 120分，考试时间 120分钟)
★祝 考 试 顺 利★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B铅笔或黑色签字笔。
一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中只有一
项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得 0分）
1．中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，用正、负数来表示具
有相反意义的量．如果向西走 30米记作－30米，那么＋20米表示
A．向东走 20米 B．向南走 20米
C．向西走 20米 D．向北走 20米
2．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．
如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是
A．a6÷a2＝a3 B．a2·a3＝a6 C．(a2)4＝a8 D．a2＋a3＝a5
4．若一元二次方程 x2＋3x－4＝0的两根为 x1，x2，则 x1x2的值是
A．3 B．4 C．－3 D．－4
5．如图，将一块含 30°的直角三角板 ABC按如图
方式放置（∠ABC＝90°），其中点 A，B分别
落在直尺的边上．若∠1＝44°，则∠2等于
A．54° B．46°
C．44° D．23°
6．以下事件为随机事件的是
A．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B．通常加热到 100℃时，水沸腾
C．任意画一个三角形，其内角和是 360°
D．明天太阳从东方升起
九数 第 1 页 共 6 页
7．如图，△ABC和△A′B′C′是以点 O为位似中心的位似图形，点 A在线段 OA′上．若
OA∶OA′＝1∶3，则△ABC和△A′B′C′的周长之比是
A．1∶2 B．1∶3 C．2∶1 D．3∶1
3
8．关于反比例函数 y＝－ ，下列结论错误的是
x ．．
A．图象分别位于二、四象限 B．点(－1，3)在这个函数图象上
C．图象关于原点对称 D．y随 x的增大而增大
9．如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，以点 C为圆心，CA长为半径画弧，
交 AB于点 D，则 的长为
A 1 π B 2 π C 4 π D 1． ． ． ． π
3 3 3 6
10．如图，在矩形 ABCD中，点 E在 DC上，将矩形沿 AE折叠，使点 D落在 BC边上的
EF
点 F处，若 AB＝6，BC＝10，则 的值为
AF
1 2 9 1
A． B． C． D．
3 5 20 2
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．某校计划给每个年级配发 n套劳动工具，则 3个年级共需配发 ★ 套劳动工具．
12．已知一次函数 y=kx＋2（k≠0），若其图象 y随 x的增大而减小，请写出一个满足条件
的 k的值 ★ ．
13．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具．现将 1个七巧板、1
个九连环、1个华容道、1个鲁班锁分别装在 4个不透明的盒子中（每个盒子装 1个），
所有盒子除里面的玩具外均相同．从这 4个盒子中随机抽取 1个盒子，抽中七巧板的
概率是 ★ ．
x y y x
14．计算： x y · x y ＝ ★ ．
15．如图 1，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，点 D为 AC的中点，动点 P从点 D出发，沿着 D→A→B
的路径以每秒 1个单位长度的速度运动到点 B，在此过程中线段 CP的长度 y与运动时间
x（单位：秒）之间的函数关系图象如图 2所示(点 Q为曲线部分的最低点)．
则（1）AC＝ ★ ；（2）点 Q的纵坐标 m的值为 ★ ．
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三、解答题（本大题共 9小题，满分 75分．解答写在答题卡上，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤）
16．（本题满分 6分）
计算：－1101＋ 16 －|－6|× 3 8．
17．（本题满分 6分）
如图，已知点 A、D、C、E在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A=∠EDF．
求证 BC//FE．
18．（本题满分 6分＝2分＋4分）
为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动：
小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，她先在该树前平地上选择一点 A，站立此处，
测得树顶端 D的仰角∠DCE为 37°，再测得点 A离树底端 B的距离为 20米，并测得
眼睛所在位置点 C离点 A的距离为 1.5米．请根据这些数据，求：（1）CE＝ ★ 米；
（2）树 BD的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
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19．（本题满分 8分＝2分×2＋2分＋2分）
某校与科技协会共同组织“校园科技知识竞赛”，从九（1）班和九（2）班各随机抽
取 10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据进行了整理、描述和分析(竞赛
成绩用 x表示，共分成 A，B，C，D四个等级：A：60≤x<70；B：70≤x<80；
C：80≤x<90；D：90≤x≤100)．
【收集数据】
九（1）班 10名学生竞赛成绩：65，70，71，72，82，84，85，90，90，91
九（2）班 10名学生中 C等级学生的竞赛成绩：80，81，83，83
【分析数据】
班级 平均数 中位数 众数 方差
九（1） 80 83 a 83.6
九（2） 80 82 83 92
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ★ ，m＝ ★ .
（2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班级成绩比较好，简要说明理由.
（3）九（1）班共有学生 50人，九（2）班共有学生 50人，按竞赛规定，90分及 90
分以上的学生可以获奖，估计这两个班级可以获奖的总人数是多少
20．（本题满分 8分＝2分×2＋4分）
综合与实践
进位制是为了记数和运算方便约定的记数系统，“逢几进一”就是几
素材 1 进制，几进制的基数就是几．其中十进制数“1024”记作 1024，二进
制数“1011”记作(1011)2，五进制数“1024”记作(1024)5等．
例：八进制数“1024”转换成十进制数为：(1024)8＝1×83＋0×82＋2
素材 2
×81＋4×80＝532．其他进位制也有类似的算法…
将十进制数转换为与其相等的 n
进制数，用十进制的数除以 n，然
后将商继续除以 n，直到商为 0，
素材 3
将各步所得的余数按照逆序排列
即可．例如：把十进制数 66转换 ∴66＝(123)7
为七进制．
请同学们认真阅读上面素材，解决下面的题目：
（1）把(1011)2转换为十进制数为 ★ ；把十进制数 21转换为三
任务
进制数为 ★ ．
（2）请尝试将(101101)2转换为五进制数．
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21．（本题满分 8分＝4分＋4分）
如图，OB是⊙O的半径，弦 CD⊥OB于点 E，AB∥CD，OC的延长线交 AB于点 A．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若 BE＝2，CD＝6，求⊙O的直径．
22．（本题满分 10分＝5分＋3分＋2分）
在“乡村振兴”行动中，某村办企业以 A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，
A原料的单价是 B原料单价的 1.5倍，若用 900元收购 A原料会比用 900元收购 B原
料少 100千克．生产该产品每盒需要 A原料 2千克和 B原料 4千克，每盒还需其他成
本 9元．
（1）求 A，B两种原料的单价分别是每千克多少元 并直接写出每盒产品的成本
（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）市场调查发现：该产品每盒的售价是 60元时，每天可以销售 500盒；每涨价 1
元，每天少销售 10盒．设每盒产品的售价是 x元（x是整数），每天的利润是 w元．
①求 w关于 x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
②求每天的利润 w的最大值．
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23．（本题满分 11分＝3分＋3分＋5分）
（1）如图 1，已知 AB⊥BC于点 B，CE⊥BC于点 C，DE⊥AC交 BC于点 D，求证：
△ABC∽△DCE；
【知识迁移】
（2）如图 2，在矩形 ABCD中，E是 BC上的一点，作 DF⊥AE交 BC于点 F，CE=EF．
若 AB=2，AD=4，求 CE的长；
【拓展应用】
（3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 5，tan∠ACD= 3 ，E为 AD上一点，过点 D
4
作 DG⊥CE交 AC于点 F，交 AB于点 G．
①求菱形 ABCD的面积；
②若 CE=2DF，直接写出 AF的长．
24．（本题满分 12分＝3分＋3分＋4分＋2分）
1
如图 1，抛物线 y=－ x2＋bx＋c与 x轴交于 A、B(4，0)两点，与 y轴交于点 C(0，4)，
2
直线 y=－x＋4经过 B，C两点．点 P是抛物线 x轴上方的一个动点，过点 P作 PM⊥x
轴于点 M，其横坐标为 m（m≠0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图 2，若点 P在直线 y=－x＋4上方，PM交直线 y=－x＋4于点 Q，求线段 PQ的
最大值；
（3）定义：把平行于 y轴的直线 t，把平行于 x轴的直线 r与 x轴、y轴围成的区域（不
含边界点）称为“trxy”域．过点 P作 PN⊥y轴交于点 N，则矩形 PMON即为直线 t：
1
x=m，直线 r：y=－ m2＋bm＋c与 x轴、y轴围成的“trxy”域．令矩形 PMON的周长
2
为 C．
①求C关于m的函数解析式；
②当C≤10且“trxy”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出m的取值
范围．
九数 第 6 页 共 6 页2026 年九年级 5 月学业水平调研考试
数学参考答案及评分说明
一、选择题：(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B A B D C A
二、填空题：(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．)
1
11．3n 12．－2(答案不唯一，负数均可) 13．
4
14．－1 15．（1）6（1 分）；（2）4（2 分）．
三、解答题(共 9 题，共 75 分)
16．解：－1101＋ 16 －|－6|× 3 8
＝－1＋4－6×(－2) ……………………………4 分
＝－1＋4＋12 ……………………………5 分
＝15 ……………………………6 分
17．证明：在△ABC和△DFE中，
AB DF

A EDF ……………………………3 分

AC DE
∴△ABC≌△DFE (SAS). ……………………………4 分
∴∠ACB=∠DEF. ……………………………5 分
∴BC//FE． ……………………………6 分
18．解：（1）CE＝ 20 米 ……………………………2 分
（2）由题意知：EB＝CA＝1.5 米
在 Rt△CED中，
DE＝CE×tan37°≈20×0.75＝15(米) ……………………………4 分
DB＝DE＋EB＝15＋1.5＝16.5(米) ……………………………5 分
答：树 BD的高度为 16.5 米． ……………………………6 分
19．（1）90；30 [对一个记 2 分] ……………………………4 分
（2）九（1）班成绩比较好．理由如下： ……………………………5 分
九（1）班与九（2）的平均数相同，九（1）班中位数、众数高于九（2）班，方差低于
九（2）班，总体九（1）班成绩比较好； ……………………………6 分
3 3
（3） ×50＋ ×50＝30（人） ……………………………7 分
10 10
答：估计这两个班级可以获奖的总人数共有 30 人． ……………………………8 分
20．（1）11；(210)3；[对一个记 2 分] ……………………………4 分
（2）(101101)2＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝45 ……………6 分
＝(140)5 ……………………………8 分
九数 参考答案 第 1 页 共 4 页
21．解：（1）证明：∵CD⊥OB，∴∠CEO＝90°． ……………………………1 分
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CEO＝90°． ……………………………3 分
∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线； ……………………………4 分
1
（2）∵CD⊥OB，∴CE＝ CD＝3， ……………………………5 分
2
设 OB＝OC＝r，
在 Rt△OCE中，OC2＝CE2＋OE2，
∴r2＝32＋(r－2)2， ……………………………6 分
13 13
∴r＝ ，2r＝ ＝6.5， ……………………………7 分
4 2
∴⊙O的直径为 6.5． ……………………………8 分
22．解：（1）设 B原料的单价为每千克 m元，则 A原料的单价为每千克 1.5m元
900 900
依题意，得 － ＝100． ……………………………1 分
m 1.5m
解得，m＝3，1.5m＝4.5． ……………………………2 分
经检验 m＝3 是原方程的根． ……………………………3 分
答：A原料的单价为每千克 4.5 元，B原料的单价为每千克 3 元． …………………4 分
每盒产品的成本为 30 元． ……………………………5 分
【解析】每盒产品的成本为：4.5×2＋4×3＋9＝30（元）．
（2）①w＝(x－30)[500－10(x－60)] ……………………………7 分
w＝－10x2＋1400x－33000； ……………………………8 分
②∵抛物线 w＝－10x2＋1400x－33000
＝－10(x－70)2＋16000 ……………………………9 分
∴当 x=70 时有最大利润，此时 w=16000，即每天的最大利润为 16000 元．………10 分
23．解：（1）证明：∵AC⊥DE，CE⊥BC，
∴∠DCA＋∠CDE=90°，∠CDE＋∠E=90°，
∴∠DCA=∠E. ……………………………1 分
又∵∠B=∠ECD=90°， ……………………………2 分
∴△ABC∽△DCE. ……………………………3 分
（2）同（1）可证△ABE∽△FCD，
AB BE
∴ ＝ ，∴BE·CF＝AB·CD， ……………………………4 分
CF CD
设 CE=EF＝x，则 CF＝2x，BE＝4－x，
∴(4－x)×2x＝2×2，
解得 x1＝2＋ 2 (不合题意，舍去)，x2＝2－ 2 ……………………………5 分
∴CE的长为 2－ 2 ． ……………………………6 分
九数 参考答案 第 2 页 共 4 页
（3）①如图，连接 BD交 AC于点 O， ……………………………7 分
∵四边形 ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
tan ACD= OD∴ ∠ = 3 ，
OC 4
设 OD＝3k，OC＝4k，∴(3k)2＋(4k)2＝52，
解得 k＝1，k＝－1(舍去)，
OD＝3，OC＝4， ……………………………8 分
∴S 1 1菱形 ABCD＝ AC×BD＝ ×2OC×2OD＝24． ……………………………9 分2 2
13
② ． ……………………………11 分
4
【解析】记 BD与 CE交点为M，∵DG⊥CE，∴∠DFC＋∠FCE=90°，
∵AC⊥BD，∴∠OMC＋∠FCE=90°，∴∠OMC＝∠DFC，
又∠DOF＝∠MOC=90°，∴△OMC∽△OFD，
OM CM OC 4 4
∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CM＝ DF，
OF DF OD 3 3
2 1 EM 1
∵CE=2DF，∴CM＝ CE，∴EM＝ CE，∴ ＝ ，
3 3 CM 2
∵四边形 ABCD BM CM菱形，∴AD//BC，∴△BMC∽△DME，∴ ＝ ＝2，
DM EM
∵DM＋BM＝BD＝6，∴DM＝2，∴OM＝1，
OM 4 3 13
∵ ＝ ，∴OF＝ ，∴AF＝OA－OF＝ ．
OF 3 4 4
1
24．解：（1）∵B(4，0)，C(0，4)都在抛物线 y=－ x2＋bx＋c上，
2
1
42 4b c 0 b 1
∴ 2 ，解得 c ……………………………2 分 c 4 4
1
∴抛物线的解析式为 y=－ x2＋x＋4 ……………………………3 分
2
1
（2）∵点P（m，－ m2＋m＋4），则点Q（m，－m＋4），……………………4分
2
1 1
∴PQ=－ m2＋m＋4－(－m＋4)=－ m2＋2m
2 2
1
=－ (m2
1
－4m)=－ (m－2)2＋2 ……………………………5分
2 2
∴当m=2时，线段PQ的最大值2． ……………………………6分
九数 参考答案 第 3 页 共 4 页
1
（3）①∵点 P（m，－ m2＋m＋4），
2
1
(i)当－2＜m＜0时，PM=－ m2＋m＋4，PN=－m， ……………………………7分
2
1
∴C=2(－ m2＋m＋4－m)=－m2＋8 ……………………………8分
2
1
(ii)当0＜m＜4时，PM=－ m2＋m＋4，PN=m，
2
1
∴C=2(－ m2＋m＋4＋m)=－m2＋4m＋8 ……………………………9分
2
m2 8 ( 2 m 0)
∴C= 2 ……………………………10分
m 4m 8 (0 m 4)
②1－ 7 ＜m≤1－ 5 或2＋ 2 ≤m＜1＋ 7 ． ……………………………12分
【解析】当－2＜m＜0时，－m2＋8≤10都成立
5
当 m＝－1 时，P(－1， )，
2
当 C≤10 且“trxy”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点时，仅包含点(－1，1)，
1
当 y＝1 时，－ m2＋m＋4＝1，m1＝1－ 7 ，m2 2
＝1＋ 7 (舍去)；
1
当 y＝2 时，－ m2＋m＋4＝2，m1＝1－ 5 ，m2＝1＋ 5 (舍去)；2
∴1－ 7 ＜m≤1－ 5
当 0＜m＜4 时，C≤10，－m2＋4m＋8≤10，
令－m2＋4m＋8＝10，m1＝2＋ 2 ，m2＝2－ 2 ，
当 0＜m＜4，－m2＋4m＋8≤10 时，0＜m≤2－ 2 ，或 2＋ 2 ≤m＜4，
“trxy”域内恰有奇数个横、纵坐标均为整数的点，仅包含点(1，1)，(2，1)，(3，1)，
当 y＝1 时，m1＝1－ 7 (舍去)，m2＝1＋ 7 ，
∴符合条件 m的取值范围是 1－ 7 ＜m≤1－ 5 或 2＋ 2 ≤m＜1＋ 7 ．
注：
1．按照评分标准分步评分，不得随意变更给分点；
2．第 16 题至第 24 题的其它解法，只要思路清晰，解法正确，都应按步骤给予相应分数．
九数 参考答案 第 4 页 共 4 页

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