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贵州省贵阳市李端棻集团校联合检测2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若分式有意义，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
3．若m＞n，则下列各式中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
5．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．或
6．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
7．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得到的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（　　）
A．2 B．3 C．2.5 D．3.5
9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
10．如图，等腰的底边，面积为120，点P在边BC上，且，是腰AC的垂直平分线，若点D在上运动，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．17
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
11．若，则　 　．
12．函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
14．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共54分）
15．（1）解不等式组：，并写出整数解；
（2）解方程：．
16．先化简，再求值：，请从，0，1，2中选一个认为合适的x值，代入求值．
17．如图，的顶点坐标分别为．
（1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的；
（2）将平移后得到，若点A的对应点，坐标为，请画出平移后的；若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是　 　．
18．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．
19．如图，在中，，，平分交于点E，于点D．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
20．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
（1）求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
（2）若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
21．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，____________；
【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既是中心对称图形，又是轴对称图形的，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别， 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-1≠0，
∴x≠1.
故答案为：A.
【分析】分式有意义，即分母不能为零，据此可以求出x满足的条件.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式m＞n的两边都减去5，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式m＞n的两边同时乘以6，不等号的方向不改变，故B正确；
C、不等式m＞n的两边同时乘以，不等号的方向改变，故C错误；
D、∵m＞n，
∴m2＞n2，
∴m3＞n3，
故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分，且，
，
的周长为，
，
，即，
则的周长是，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出的周长即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，
∴该等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系， 先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形三边关系判断等腰三角形成立的条件，再求周长即可．
6．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点P（3，2）向左平移2个单位长度， 再向上平移2个单位长度所得到的点坐标为 （3-2，2+2），即（1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据平移中，点的坐标变化规律是“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，即可求出点P平移后的坐标.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，先根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和求出和的度数，再由得到，进而算出的度数，推出，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，最后结合建立关于的等式求解。
9．【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得：，
∵ 关于x的分式方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∵解 不能使分母为零，
∴，即，
解得：，
综上所述：且，
故答案为：C．
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式， 将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．
10．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接交于，
因为是的垂直平分线，所以，
的周长，
因为为定值，
所以当最小时，周长最小
因为两点之间线段最短，所以最小值为，
过作于点，
因为，所以，
因为面积为，，所以，
因为，所以，
，
在中，
根据勾股定理得，，
所以，
所以的周长．
故答案为：A．
【分析】 本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识， 如图作于，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当A、D、F共线时，的值最小，最小值就是线段的长；
11．【答案】1
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：1．
【分析】利用完全平方公式将代数式变形为，再将代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据二次根式和分式的意义可得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件，可得，求出x的取值范围即可．
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题图可知，当时，一次函数在一次函数的上方，交点处，
故的解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，由图象得两直线的交点坐标为，再由函数图象的位置关系直接解答即可．
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
15．【答案】解：（1）解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为：2、3、4；
（2）方程两边同乘以，得，
解得，
经验，当时，，
∴是增根，
∴原方程无解，
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则
（1）解第一个不等式的解集为，解第二个不等式的解集为，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在解集范围内写出整数解即可；
（2）分式方程去分母得整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
16．【答案】解：
∵，，，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
17．【答案】（1）解：如图：即为所作，
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴如图，即为所求，
，
∴内部一点P的坐标为，则点 P的对应点的坐标是．
故答案为：.
【分析】本题考查了作图—旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质以及平移的性质是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质 将绕原点顺时针旋转， 确定对应点，再顺次连接即可；
（2）由点和点的坐标可得出平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据平移方式可画出 以及点 P的对应点的坐标．
（1）解：如图：即为所作，
（2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴如图，即为所求，
，
∴内部一点P的坐标为，则点 P的对应点的坐标是；
18．【答案】解：设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米．根据题意得
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
．
答：甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分．
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了分式方程的实际应用和解分式方程，设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米，根据“甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达”列出分式方程求解交检验即可得出答案．
19．【答案】（1）解：，平分，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，∵，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，再由证即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余，先求得∠DBE=30°，得出证明为等腰三角形即可解答．
（1）解：，平分，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
，
，
，
．
20．【答案】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，由题意可得：
，
解得：，
答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件．由题意可得：
，
解得：，
又 ∵为正整数．
∴，
故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元；
恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元；
恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元；
故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-销售问题；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1） 分别设T恤和奥运会吉祥物的单价为未知数，根据题意列方程组并求解即可；
（2） 设购买T恤m件，则购买奥运会吉祥物个，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，再由m为非负整数求出m的整数值，再分别计算总费用并比较它们的大小即可．
（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件．
由题意可得：，
解得：，
又 ∵为正整数．
∴，
故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元；
恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元；
恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元；
故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
21．【答案】解：（1）67.5；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：如图3，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）根据旋转的性质得到，
，，
；
故答案为：67.5.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等腰三角形， 再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出即可；
（2）先求出，再利用角的运算求出，即可证出；
（3） 延长交于点 H， 先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质角的运算求出，再证出，结合，利用等量代换可得.
1 / 1贵州省贵阳市李端棻集团校联合检测2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、既是中心对称图形，又是轴对称图形的，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】 本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别， 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，对选项逐个判断，即可判断出答案．
2．若分式有意义，则满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-1≠0，
∴x≠1.
故答案为：A.
【分析】分式有意义，即分母不能为零，据此可以求出x满足的条件.
3．若m＞n，则下列各式中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式m＞n的两边都减去5，不等号的方向不变，故A正确；
B、不等式m＞n的两边同时乘以6，不等号的方向不改变，故B正确；
C、不等式m＞n的两边同时乘以，不等号的方向改变，故C错误；
D、∵m＞n，
∴m2＞n2，
∴m3＞n3，
故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的基本性质进行判断即可.
4．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E，，的周长为，则的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：垂直平分，且，
，
的周长为，
，
，即，
则的周长是，
故答案为：C．
【分析】利用垂直平分线的性质可得，再利用三角形的周长公式及等量代换求出的周长即可.
5．等腰三角形的两边满足，则该等腰三角形的周长是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴是等腰三角形的底，是等腰三角形的腰，
∴该等腰三角形的周长为，
故答案为：．
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，三角形的三边关系， 先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形三边关系判断等腰三角形成立的条件，再求周长即可．
6．下列从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、从左边到右边的变形不属于因式分解，故A不符合题意；
B、从左边到右边的变形不属于因式分解，故B不符合题意；
C、从左边到右边的变形属于因式分解，故C符合题意；
D、从左边到右边的变形属于整式乘法，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可判断得出答案.
7．在平面直角坐标系中，将点向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度所得到的点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：将点P（3，2）向左平移2个单位长度， 再向上平移2个单位长度所得到的点坐标为 （3-2，2+2），即（1，4）.
故答案为：B.
【分析】根据平移中，点的坐标变化规律是“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，即可求出点P平移后的坐标.
8．如图，等腰中，在底边上取点，使得，若，则等于（　　）
A．2 B．3 C．2.5 D．3.5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：A．
【分析】本题考查等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，先根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和求出和的度数，再由得到，进而算出的度数，推出，再利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，最后结合建立关于的等式求解。
9．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；已知分式方程的解求参数；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
解得：，
∵ 关于x的分式方程的解是非负数，
∴，
解得：，
∵解 不能使分母为零，
∴，即，
解得：，
综上所述：且，
故答案为：C．
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式， 将原方程去分母后化为整式方程并整理，然后根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．
10．如图，等腰的底边，面积为120，点P在边BC上，且，是腰AC的垂直平分线，若点D在上运动，则周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．17
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的实际应用-最短路径问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接交于，
因为是的垂直平分线，所以，
的周长，
因为为定值，
所以当最小时，周长最小
因为两点之间线段最短，所以最小值为，
过作于点，
因为，所以，
因为面积为，，所以，
因为，所以，
，
在中，
根据勾股定理得，，
所以，
所以的周长．
故答案为：A．
【分析】 本题考查轴对称-最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识， 如图作于，连接．由垂直平分线段，推出，推出，可得当A、D、F共线时，的值最小，最小值就是线段的长；
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
11．若，则　 　．
【答案】1
【知识点】因式分解﹣公式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：1．
【分析】利用完全平方公式将代数式变形为，再将代入计算即可.
12．函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据二次根式和分式的意义可得，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件，可得，求出x的取值范围即可．
13．如图，一次函数与的图象都经过点，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题图可知，当时，一次函数在一次函数的上方，交点处，
故的解集为，
故答案为：．
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，由图象得两直线的交点坐标为，再由函数图象的位置关系直接解答即可．
14．如图，在中，，，，，点在边上，，点在边上，且，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；直角三角形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，作交于点，交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
又，
，
，，
，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，利用等角对等边的性质可得，最后利用线段的和差求出AE的长即可.
三、解答题（本大题共7小题，共54分）
15．（1）解不等式组：，并写出整数解；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
∴整数解为：2、3、4；
（2）方程两边同乘以，得，
解得，
经验，当时，，
∴是增根，
∴原方程无解，
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则
（1）解第一个不等式的解集为，解第二个不等式的解集为，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在解集范围内写出整数解即可；
（2）分式方程去分母得整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
16．先化简，再求值：，请从，0，1，2中选一个认为合适的x值，代入求值．
【答案】解：
∵，，，
∴，
∴当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x的值代入计算即可.
17．如图，的顶点坐标分别为．
（1）将绕原点顺时针旋转，请画出旋转后的；
（2）将平移后得到，若点A的对应点，坐标为，请画出平移后的；若内部一点P的坐标为，则点P的对应点的坐标是　 　．
【答案】（1）解：如图：即为所作，
（2）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】（2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴如图，即为所求，
，
∴内部一点P的坐标为，则点 P的对应点的坐标是．
故答案为：.
【分析】本题考查了作图—旋转变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质以及平移的性质是解此题的关键．
（1）根据旋转的性质 将绕原点顺时针旋转， 确定对应点，再顺次连接即可；
（2）由点和点的坐标可得出平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，再根据平移方式可画出 以及点 P的对应点的坐标．
（1）解：如图：即为所作，
（2）解：∵将平移后得到，点对应点坐标为，
∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，
∴如图，即为所求，
，
∴内部一点P的坐标为，则点 P的对应点的坐标是；
18．贵州有“桥梁博物馆”的美誉．世界第一高桥—北盘江大桥位于中国云南省和贵州省的交界处，桥面到江面的垂直距离为米，全长约为1341米．在大桥建成未营运之前，甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达．已知骑自行车的速度是步行速度的3倍，求甲工程师步行的速度和乙工程师骑自行车的速度．
【答案】解：设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米．根据题意得
，
解得，
经检验是原分式方程的解，
．
答：甲工程师步行的速度为米/分；乙工程师骑自行车的速度为米/分．
【知识点】分式方程的解及检验；去分母法解分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】本题考查了分式方程的实际应用和解分式方程，设甲工程师步行的速度为每分钟米，则乙工程师骑自行车的速度为每分钟米，根据“甲、乙两名工程师从桥的一端走到另一端，甲工程师步行先走12分钟后，乙工程师骑自行车出发，结果他们同时到达”列出分式方程求解交检验即可得出答案．
19．如图，在中，，，平分交于点E，于点D．
（1）求证：
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：，平分，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，∵，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质定理得，再由证即可；
（2）根据直角三角形两锐角互余，先求得∠DBE=30°，得出证明为等腰三角形即可解答．
（1）解：，平分，，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）可知：，
∵，
，
，
，
．
20．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
（1）求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
（2）若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，由题意可得：
，
解得：，
答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件．由题意可得：
，
解得：，
又 ∵为正整数．
∴，
故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元；
恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元；
恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元；
故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
【知识点】解一元一次不等式组；二元一次方程组的实际应用-销售问题；加减消元法解二元一次方程组；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法是解题的关键．
（1） 分别设T恤和奥运会吉祥物的单价为未知数，根据题意列方程组并求解即可；
（2） 设购买T恤m件，则购买奥运会吉祥物个，根据题意列关于m的一元一次不等式组并求其解集，再由m为非负整数求出m的整数值，再分别计算总费用并比较它们的大小即可．
（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，
由题意可得：，
解得：，
答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元．
（2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件．
由题意可得：，
解得：，
又 ∵为正整数．
∴，
故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元；
恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元；
恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元；
故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元．
21．综合与实践
【问题情境】在综合与实践课上，老师出示了这样一个情境：
在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点D，E的对应点分别是点B，C．
【初探感知】（1）如图1，____________；
【深入领悟】（2）如图2，当线段经过点C时，求证：；
【融会贯通】（3）如图3，在旋转的过程中，当点D落在的延长线上时，过点E作，交的延长线于点G．请你判断线段和的数量关系，并说明理由．
【答案】解：（1）67.5；
（2）证明：由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3），
理由：如图3，延长交于点 H，
由旋转的性质得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）根据旋转的性质得到，
，，
；
故答案为：67.5.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等腰三角形， 再利用三角形的内角和及等腰三角形的性质求出即可；
（2）先求出，再利用角的运算求出，即可证出；
（3） 延长交于点 H， 先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质角的运算求出，再证出，结合，利用等量代换可得.
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