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广东省深圳市福田区深圳大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题的核心考点是轴对称图形与中心对称图形的辨别，我们可以依据两类图形的定义来判断：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形；对于中心对称图形，定义为：将一个图形绕某个定点旋转后，如果旋转得到的图形能和原图形重合，这个图形就属于中心对称图形，上述这个定点就是它的对称中心，我们按照这个思路逐一对选项判断即可。
2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意；
B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式为，其中必须满足条件，这一点需要特别注意，我们按照一元二次方程的定义就可以求解本题。
3．下列说法错误的是( )．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故答案为：A．
【分析】当直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
B．两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题；中点四边形模型
【解析】【解答】解：A：等腰三角形的顶角角平分线、底边中线和底边高线重合，但底角的角平分线、中线和高不满足，故A错误．
B：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，当且仅当原四边形对角线相等且垂直时才是正方形，故B错误．
C： 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，故C错误．
D：设正多边形边数为，由内角和公式得，正六边形每个外角为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】这道题主要考查对不同几何知识点的掌握，需要结合等腰三角形三线合一性质、正方形与矩形的判定定理、正多边形的性质、三角形中位线的性质，逐一判断每个命题的真假，只要结合对应知识点逐一验证各选项是否符合相关几何性质即可得到结论。
6．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】本题是一元二次方程在实际增长率问题中的应用，我们可以按照增长关系逐步推导：首先设钢铁产量的月平均增长率为\(x\)，已知一月份产量为560吨，按照增长率计算，二月份的钢铁产量为吨；三月份是在二月份产量的基础上继续增长，因此三月份的钢铁产量为吨。题目已知第一季度总产量为1860吨，将一月、二月、三月的产量相加等于总产量，即可列出对应的一元二次方程，进而求解本题。
7．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接DB，先证出是等边三角形，可得，再求出，利用折叠的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
8．如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，但不一定等于，∴不一定等于，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③错误；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而不一定等于
∴不一定等于，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②④．
故选：B．
【分析】本题综合考查了以下几何知识点：1. 中位线定理的应用
2. 全等三角形的判定条件（如SAS、ASA等）与性质（对应边、角相等）
3. 等腰三角形的性质（底角相等）与判定方法
4. 平行四边形的判定定理（如对边平行且相等）
解题时需灵活运用这些几何定理，通过逻辑推理完成证明或计算。掌握各知识点的内在联系是突破此类问题的关键。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式的结果是　 　.
【答案】4（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：4（x+2）（x-2）.
【分析】先提取公因式4，再将商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
10．用换元法解分式方程：，若设，则，原方程可化成关于y的整式方程是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：因为：
所以：
设，原方程化为；，
所以去分母得：．
故答案为：．
【分析】我们令，根据倒数关系可以得到，将这个关系代入原方程，可以把原方程整理为，之后通过换元法就能求解该方程。
11．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
等腰三角形，
，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可知，，且，据此可推出是等腰三角形，接下来结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可完成相关计算。
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为　 　．
【答案】25
【知识点】全等图形的概念；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=8-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴BG=，
∴四边形BGDH的周长=4BG=25；
故答案为：25．
【分析】根据题意我们可以得到∠A=90°，AB=BE=6，AD与BC平行，BF与DE平行，且AD长度为8。先证明四边形BGDF是菱形，由此可得四条边相等，即BH=DH=DG=BG。设BH=DH=x，那么AH的长度就是8-x，在直角三角形ABH中，根据勾股定理可以列出方程，解方程得到BG的长度后，就可以计算出最终结果了。
13．如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，．
有以下结论：
①当，时，能得到形状唯一的．
②当，时，不能得到形状唯一的．
③当，时，不能得到形状唯一的．
④当，时，能得到形状唯一的．
其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；圆-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为①②④．
【分析】本题考查全等三角形的判定与直角三角形的性质，解题的关键是确定以点\(P\)为圆心、\(PQ\)长为半径画弧时，弧与直线\(AM\)的交点总个数，交点的个数就是满足条件的\(Q\)点的个数。我们可以按照题目给出的四种不同情况，分别以\(P\)为圆心、\(PQ\)长为半径画弧，弧与直线\(AM\)的交点就是符合要求的点\(Q\)，得到\(\triangle PAQ\)后即可得到对应结论。
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．解不等式组，并将解集在数轴上表示．
【答案】解：，
先解不等式①：
展开括号得\(3x+1<2x+4\)，移项后可得\(x<3\)。
再解不等式②：
两边同乘6去分母得\(3(x+1)-6 \leq 2(2x-1)\)，展开整理得\(3x-3 \leq 4x-2\)，移项后可得\(x \geq -1\)。
因此该不等式组的解集为，
在数轴上表示解集为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】求解这类不等式组的问题，只要先分别算出不等式组中两个不等式各自的解集，再找出两个解集的公共部分，就能得到整个不等式组的最终解集。
15．先化简，再求值，从、3、中选择一个合适的值代入．
【答案】解：
，
因为，，
所以当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法分析化简可得，再将a的值代入计算即可.
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．
（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【答案】（1）解：如下图所示：
（2）40
（3）解：∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；作图﹣旋转；坐标系中的中点公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）连接，，先证出四边形是平行四边形，再求出即可；
（3）先证出也是线段的垂直平分线，再结合点B、C的坐标求出点E的坐标即可.
（1）解：如下图所示：
（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
17．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）已知D是BC的中点，因此可以得到；又已知，，因此可得。结合上述条件，可利用直角三角形全等的HL判定定理得到，由全等三角形的性质推出，最后根据角平分线的判定定理即可证明D在∠BAC的平分线上。
（2）已知AD平分∠BAC，，，根据角平分线的性质可以得到；再根据D是BC的中点，可得，结合两个直角相等，即可用HL定理证明，最后根据全等三角形对应边相等即可证明。
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
18．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
【答案】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
（2）解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，列分式方程，解方程即可；
（2）根据总金额不超过3000元，列不等式，解不等式即可.
19．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
（2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于；
（3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴
∴P从B运动到C，即：，，
∴，解得：，
∴当秒时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，，
∴，解得：（秒）；
若点P返回时，，，
∴，解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：如图：当时，作于H，则，，
∵，
∵，
∴，解得：秒；
当时，，
∵，
∴，解得（秒）；
当时，，
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由题目条件可得，根据平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形要成为平行四边形，只需要满足对边，再结合动点运动的路程、速度和时间的关系，就能计算得到t的值；
（2）要求顶点为C、D、Q、P的梯形面积等于，需要根据动点的位置分两种情况讨论：第一种是P从A向D运动、Q从B向C运动，还未到达端点的过程；第二种是P到达端点后开始返回的过程。已知Q、P的运动速度，以及AD、AB、BC的长度，代入梯形面积公式可得，用t表示出QD和PC的长度后代入计算，即可得到对应的t值；
（3）当时，点P正在向终点运动，此时若为等腰三角形，需要分三种情况讨论：分别是、、，结合直角梯形的几何性质，用t表示出△PQD的三条边长，再根据等腰三角形两腰相等的性质列方程求解，就能得到对应的t值。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴
∴P从B运动到C，即：，，
∴，解得：，
∴当秒时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，，
∴，解得：（秒）；
若点P返回时，，，
∴，解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：如图：当时，作于H，则，，
∵，
∵，
∴，解得：秒；
当时，，
∵，
∴，解得（秒）；
当时，，
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
20．【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”．
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为正方形．
【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”．
【答案】任务二：
（1）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
任务三：连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】任务一：
解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】任务一：我们可以逐一对照平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，分析判断出符合要求的图形，完成作答；
任务二：（1）已知AB=AC，由等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠ACB；又因为∠ DBC是直角三角形，E是BD中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可知EC=EB=BD，因此对应角∠ 1=∠2，最后借助角的和差关系，即可完成证明；
（2）首先根据三角形中位线定理，，再结合直角三角形斜边中线的性质得到，；根据“垂等四边形”的定义，该四边形满足AB=BD，因此可推出EF=EC，结合已经证得的邻边相等，就可以证明四边形是菱形；接下来再根据三角形中位线的性质可得EF= AB，最后根据“垂等四边形”的定义，它的对角线互相垂直，即，，因此可得四边形是正方形；任务三：连接，分别交于点，使两条线段分别与BD交于点M，N，先根据三角形中位线定理证明四边形BECF平行四边形，由此可推出BE∥CF，BE=CF；再结合题目给出的，即可进一步得到；接下来我们设设，则，进而即可得出结论。
1 / 1广东省深圳市福田区深圳大学附属中学2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列关于的方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是( )．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．直线与直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
B．两条对角线互相垂直的四边形的四边中点依次连结得到正方形
C．矩形的对角线相等且互相垂直
D．一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角等于
6．某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点对应点为点，且是的垂直平分线，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，四边形，对角线，且平分，为的中点．在上取一点．使，为垂足，取中点，连结．下列五句判断：①；②；③；④连结，则四边形是平行四边形；⑤．其中判断正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．②④⑤ D．③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式的结果是　 　.
10．用换元法解分式方程：，若设，则，原方程可化成关于y的整式方程是　 　．
11．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，则的度数是　 　．
12．有两个全等矩形纸条，长与宽分别为8和6，按图所示交叉叠放在一起，则重合部分构成的四边形周长为　 　．
13．如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，．
有以下结论：
①当，时，能得到形状唯一的．
②当，时，不能得到形状唯一的．
③当，时，不能得到形状唯一的．
④当，时，能得到形状唯一的．
其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本题共7小题，共61分）
14．解不等式组，并将解集在数轴上表示．
15．先化简，再求值，从、3、中选择一个合适的值代入．
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．
（1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
（2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
（3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
17．在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．
（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．
（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．
18．2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍．
（1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？
（2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？
19．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
（2）当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于；
（3）当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
20．【阅读材料】
我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”．
【探索实践】
【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．
（1）求证：；
（2）求证：四边形为正方形．
【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】本题的核心考点是轴对称图形与中心对称图形的辨别，我们可以依据两类图形的定义来判断：若一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合，该图形就是轴对称图形；对于中心对称图形，定义为：将一个图形绕某个定点旋转后，如果旋转得到的图形能和原图形重合，这个图形就属于中心对称图形，上述这个定点就是它的对称中心，我们按照这个思路逐一对选项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故A选项不符合题意；
B、由已知方程得到，该等式不成立，且不含有未知数，不是一元二次方程，故B选项不符合题意；
C、该方程不是整式方程，故C选项不符合题意；
D、该方程符合一元二次方程的定义，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】本题考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，就是一元二次方程，一元二次方程的一般形式为，其中必须满足条件，这一点需要特别注意，我们按照一元二次方程的定义就可以求解本题。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若，则，原变形正确，故此选项不符合题意；
D、若，则，这里必须满足，原变形错误，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵当x≥-1时，y2≤y1，即k2x≤k1x+b1，∴关于x的不等式k2x≤k1x+b1的解集为x≥-1．
故答案为：A．
【分析】当直线l1：y1=k1x+b1都在直线l2：y2=k2x的上方时，有，结合函数图象即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；矩形的性质；正方形的判定；真命题与假命题；中点四边形模型
【解析】【解答】解：A：等腰三角形的顶角角平分线、底边中线和底边高线重合，但底角的角平分线、中线和高不满足，故A错误．
B：对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，当且仅当原四边形对角线相等且垂直时才是正方形，故B错误．
C： 矩形的对角线相等且互相平分，但互相垂直仅当为正方形时成立，故C错误．
D：设正多边形边数为，由内角和公式得，正六边形每个外角为，故D正确．
故答案为：D．
【分析】这道题主要考查对不同几何知识点的掌握，需要结合等腰三角形三线合一性质、正方形与矩形的判定定理、正多边形的性质、三角形中位线的性质，逐一判断每个命题的真假，只要结合对应知识点逐一验证各选项是否符合相关几何性质即可得到结论。
6．【答案】C
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故答案为：C．
【分析】本题是一元二次方程在实际增长率问题中的应用，我们可以按照增长关系逐步推导：首先设钢铁产量的月平均增长率为\(x\)，已知一月份产量为560吨，按照增长率计算，二月份的钢铁产量为吨；三月份是在二月份产量的基础上继续增长，因此三月份的钢铁产量为吨。题目已知第一季度总产量为1860吨，将一月、二月、三月的产量相加等于总产量，即可列出对应的一元二次方程，进而求解本题。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵菱形纸片沿折叠，点对应点为点，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】连接DB，先证出是等边三角形，可得，再求出，利用折叠的性质可得，最后利用角的运算求出的度数即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，但不一定等于，∴不一定等于，故①错误；
∵，
∴
∵平分
∴
又∵
∴
∴
∵中点为F
∴，故②正确；
如图所示，延长，交于点H
∵
∴
∵，
∴
∴
∵点F为的中点
∴是的中位线
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵是的中位线
∴
∴，故③错误；
如图所示，连接，
∵，，
∴
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，故④正确；
∵，，而不一定等于
∴不一定等于，故⑤错误，
综上所述，其中判断正确的是②④．
故选：B．
【分析】本题综合考查了以下几何知识点：1. 中位线定理的应用
2. 全等三角形的判定条件（如SAS、ASA等）与性质（对应边、角相等）
3. 等腰三角形的性质（底角相等）与判定方法
4. 平行四边形的判定定理（如对边平行且相等）
解题时需灵活运用这些几何定理，通过逻辑推理完成证明或计算。掌握各知识点的内在联系是突破此类问题的关键。
9．【答案】4（x+2）（x-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：4（x+2）（x-2）.
【分析】先提取公因式4，再将商式利用平方差公式进行第二次分解即可.
10．【答案】
【知识点】解分式方程；换元法解分式方程
【解析】【解答】解：因为：
所以：
设，原方程化为；，
所以去分母得：．
故答案为：．
【分析】我们令，根据倒数关系可以得到，将这个关系代入原方程，可以把原方程整理为，之后通过换元法就能求解该方程。
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
等腰三角形，
，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可知，，且，据此可推出是等腰三角形，接下来结合等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可完成相关计算。
12．【答案】25
【知识点】全等图形的概念；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意得：矩形ABCD≌矩形BEDF，
∴∠A=90°，AB=BE=6，AD∥BC，BF∥DE，AD=8，
∴四边形BGDH是平行四边形，
∴平行四边形BGDH的面积=BG×AB=BH×BE，
∴BG=BH，
∴四边形BGDH是菱形，
∴BH=DH=DG=BG，
设BH=DH=x，则AH=8-x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：62+（8-x）2=x2，
解得：x=，
∴BG=，
∴四边形BGDH的周长=4BG=25；
故答案为：25．
【分析】根据题意我们可以得到∠A=90°，AB=BE=6，AD与BC平行，BF与DE平行，且AD长度为8。先证明四边形BGDF是菱形，由此可得四条边相等，即BH=DH=DG=BG。设BH=DH=x，那么AH的长度就是8-x，在直角三角形ABH中，根据勾股定理可以列出方程，解方程得到BG的长度后，就可以计算出最终结果了。
13．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；圆-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意；
如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为①②④．
【分析】本题考查全等三角形的判定与直角三角形的性质，解题的关键是确定以点\(P\)为圆心、\(PQ\)长为半径画弧时，弧与直线\(AM\)的交点总个数，交点的个数就是满足条件的\(Q\)点的个数。我们可以按照题目给出的四种不同情况，分别以\(P\)为圆心、\(PQ\)长为半径画弧，弧与直线\(AM\)的交点就是符合要求的点\(Q\)，得到\(\triangle PAQ\)后即可得到对应结论。
14．【答案】解：，
先解不等式①：
展开括号得\(3x+1<2x+4\)，移项后可得\(x<3\)。
再解不等式②：
两边同乘6去分母得\(3(x+1)-6 \leq 2(2x-1)\)，展开整理得\(3x-3 \leq 4x-2\)，移项后可得\(x \geq -1\)。
因此该不等式组的解集为，
在数轴上表示解集为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】求解这类不等式组的问题，只要先分别算出不等式组中两个不等式各自的解集，再找出两个解集的公共部分，就能得到整个不等式组的最终解集。
15．【答案】解：
，
因为，，
所以当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；分母有理化；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算的计算方法分析化简可得，再将a的值代入计算即可.
16．【答案】（1）解：如下图所示：
（2）40
（3）解：∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；作图﹣旋转；坐标系中的中点公式；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【分析】（1）先利用点旋转的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）连接，，先证出四边形是平行四边形，再求出即可；
（3）先证出也是线段的垂直平分线，再结合点B、C的坐标求出点E的坐标即可.
（1）解：如下图所示：
（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
17．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）已知D是BC的中点，因此可以得到；又已知，，因此可得。结合上述条件，可利用直角三角形全等的HL判定定理得到，由全等三角形的性质推出，最后根据角平分线的判定定理即可证明D在∠BAC的平分线上。
（2）已知AD平分∠BAC，，，根据角平分线的性质可以得到；再根据D是BC的中点，可得，结合两个直角相等，即可用HL定理证明，最后根据全等三角形对应边相等即可证明。
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BDE与△DCF是直角三角形．
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF．
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD是△ABC的角平分线；
（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD＝CD．
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE＝CF．
18．【答案】（1）解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元
（2）解：设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物，
依题意，得：，
解得：．
∴m的最大值为10，
答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍，列分式方程，解方程即可；
（2）根据总金额不超过3000元，列不等式，解不等式即可.
19．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴
∴P从B运动到C，即：，，
∴，解得：，
∴当秒时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，，
∴，解得：（秒）；
若点P返回时，，，
∴，解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：如图：当时，作于H，则，，
∵，
∵，
∴，解得：秒；
当时，，
∵，
∴，解得（秒）；
当时，，
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
【知识点】平行四边形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）由题目条件可得，根据平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形要成为平行四边形，只需要满足对边，再结合动点运动的路程、速度和时间的关系，就能计算得到t的值；
（2）要求顶点为C、D、Q、P的梯形面积等于，需要根据动点的位置分两种情况讨论：第一种是P从A向D运动、Q从B向C运动，还未到达端点的过程；第二种是P到达端点后开始返回的过程。已知Q、P的运动速度，以及AD、AB、BC的长度，代入梯形面积公式可得，用t表示出QD和PC的长度后代入计算，即可得到对应的t值；
（3）当时，点P正在向终点运动，此时若为等腰三角形，需要分三种情况讨论：分别是、、，结合直角梯形的几何性质，用t表示出△PQD的三条边长，再根据等腰三角形两腰相等的性质列方程求解，就能得到对应的t值。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
∵，
∴
∴P从B运动到C，即：，，
∴，解得：，
∴当秒时，四边形是平行四边形；
（2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，，
∴，解得：（秒）；
若点P返回时，，，
∴，解得：（秒）．
故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等；
（3）解：如图：当时，作于H，则，，
∵，
∵，
∴，解得：秒；
当时，，
∵，
∴，解得（秒）；
当时，，
∵，
∴，即，
∵，
∴方程无实根，
综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形．
20．【答案】任务二：
（1）如图，
证明：∵，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
（2）∵四边形是“垂等四边形”，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵由上已证，
∴，
∵平行四边形，
∴四边形是菱形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
任务三：连接，分别交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵折叠，
∴，，，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
设，则，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴四边形是“垂等四边形”．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】任务一：
解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意；
B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意；
C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意；
D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意，
故答案为：D；
【分析】任务一：我们可以逐一对照平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，分析判断出符合要求的图形，完成作答；
任务二：（1）已知AB=AC，由等腰三角形两底角相等的性质，可得∠ABC=∠ACB；又因为∠ DBC是直角三角形，E是BD中点，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可知EC=EB=BD，因此对应角∠ 1=∠2，最后借助角的和差关系，即可完成证明；
（2）首先根据三角形中位线定理，，再结合直角三角形斜边中线的性质得到，；根据“垂等四边形”的定义，该四边形满足AB=BD，因此可推出EF=EC，结合已经证得的邻边相等，就可以证明四边形是菱形；接下来再根据三角形中位线的性质可得EF= AB，最后根据“垂等四边形”的定义，它的对角线互相垂直，即，，因此可得四边形是正方形；任务三：连接，分别交于点，使两条线段分别与BD交于点M，N，先根据三角形中位线定理证明四边形BECF平行四边形，由此可推出BE∥CF，BE=CF；再结合题目给出的，即可进一步得到；接下来我们设设，则，进而即可得出结论。
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