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广东省广州市天河区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．1，，2 D．1，1，
3．如图，在等边中，点，分别为边，上的中点，若，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
6．一次函数 的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限. B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．矩形四个角都相等
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的四条边相等
D．菱形的对角线互相垂直
8．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．5
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
12．若点，在如图的直线上，则　 　．
13．在中，，，，则　 　．
14．一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为　 　．
15．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为　 　．
三、解答题（本大题有5小题，共35分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．下表是某班41名学生右眼视力的检查结果：
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5
（1）求该班学生右眼视力的平均值；
（2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________．
18．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且．
（1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形；
19．“漏壶”是古代的一种计时器．如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度与漏水时间成一次函数关系．经记录，当漏水时间为2小时时，水面高度为20厘米，当漏水时间为5小时时，水面高度为14厘米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求刚开始计时水面的高度．
20．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的周长；
（2）求的度数．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到、、、，在如图的坐标系描点．
销量统计表
函数（） 1 2 3 4 5
销量（） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆
假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量．例如选择直线或直线等一次函数模型来进行分析．
（1）根据，的坐标，可得直线的解析式为．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式；
（2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量．
在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线，即上的点．可知：时，时，时，；时，；时，．求得偏离方差：．
22．小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答．
（1）已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
（3）在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形．
23．在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果）
（3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点．
①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标；
②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
B.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
C.符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
故选：C．
【分析】本题考查最简二次根式的判定，需紧扣最简二次根式的定义判断，即被开方数是整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式。对各选项化简，，被开方数可完全开方，不符合要求；，被开方数含平方数因数，不符合要求；的被开方数6无平方因数且为整数，符合定义；，被开方数为分数，不符合要求，据此确定正确选项。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形，需先找出最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。选项A中最长边为4，，不满足逆定理；选项B中，满足；选项C中，满足；选项D中，满足，由此选出答案。
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在等边中，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：C．
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，先根据等边三角形三边相等的性质，得；再由D、E分别是、的中点，判定是的中位线，依据中位线等于第三边一半的性质，计算出的长度。
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确 ；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，需熟练运用二次根式的性质、加减法则及平方差公式计算。选项A化简，计算错误；选项B，二次根式结果非负，错误；选项C合并同类二次根式得，错误；选项D套用平方差公式，计算正确。
5．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答
∵一次函数y=2x-3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=-3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
7．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真．
选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真．
选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真．
选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假．
故选：D．
【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，需先写出各命题的逆命题，再结合矩形、菱形的判定定理判断。选项A逆命题“四个角都相等的四边形是矩形”，符合矩形判定，为真；选项B逆命题“矩形的对角线相等且是平行四边形”，矩形本身满足该条件，为真；选项C逆命题“四条边相等的四边形是菱形”，符合菱形定义，为真；选项D逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，存在对角线垂直但非菱形的普通四边形，为假命题。
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
故选：B
【分析】本题考查直角三角形的性质，先由、，根据直角三角形两锐角互余得；再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即为等腰三角形，；最后利用三角形外角等于不相邻两内角和，，计算出的度数。
9．【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴，
原函数为，向上平移3个单位后得到
A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查一次函数的平移与增减性，一次函数平移遵循“上加下减”，原函数向上平移3个单位后解析式为；由随增大而减小可知，将各选项坐标代入求解值，筛选出的选项即可。
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，°，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
∴，
即的最小值为，
故选：C．
【分析】本题考查矩形判定、垂线段最短与勾股定理的综合应用，先由、、，判定四边形是矩形，得；再根据垂线段最短，当时长度最小，即最小；用勾股定理求得，结合三角形面积公式，计算出的最小值。
11．【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
12．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由图可知，该直线对应函数的函数值随着自变量的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，由函数图象可判断出随的增大而减小，比较两点横坐标，可得对应函数值。
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为： ．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形性质与勾股定理，先由、得，根据30°角所对直角边是斜边的一半，得；再代入勾股定理，计算出的长度。
14．【答案】分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该选手的综合成绩为（分），
故答案为：87分．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数为各数据与对应权重乘积的和除以权重总和，将三项成绩分别乘以权重5、4、1，求和后除以权重和10，即可算出综合成绩。
15．【答案】600
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
，，
四边形的面积．
故答案为：600．
【分析】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质及勾股定理，先由平行四边形性质证，得，同理，判定四边形是平行四边形；再由对角线互相垂直，判定其为菱形；用勾股定理求得，得菱形对角线、，根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积。
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考查二次根式的基本运算，先利用二次根式性质计算，再依据二次根式乘法法则计算，最后合并化简结果；
(2)本题考查二次根式乘除混合运算，按从左到右顺序计算，先算乘法，再算除法，最终将结果化为最简二次根式。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）4.9；4.6；少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
【分析】(1)本题考查加权平均数的计算，以各视力值为数据，对应人数为权重，用加权平均数公式，总分数除以总人数41，算出视力平均值。
(2)本题考查众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数值，中位数是数据排序后中间位置的数，41个数据的中位数为第21个数据，据此确定众数和中位数，再结合视力情况提出合理护眼建议。
（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
18．【答案】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，即
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作图作角平分线，依据角平分线的尺规作图方法，保留作图痕迹作出的平分线即可。
(2)本题考查平行四边形的性质与判定，先由平行四边形性质得、，结合角平分线定义推出，得；再由得，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明。
（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，即
，
四边形是平行四边形．
19．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）解：把代入，得，
答：刚开始计时时壶底到水面的高度为24厘米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，设函数关系式为，将两组对应值代入解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值，确定函数关系式。
(2)本题考查一次函数的实际应用，刚开始计时即，将代入函数解析式，求出对应的值，即为初始水面高度。
（1）解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）解：把代入，得，
答：刚开始计时时壶底到水面的高度为24厘米．
20．【答案】（1）解：，，，；
四边形的周长为
．
（2）解：连接，
，，，
．
．
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)本题考查勾股定理的应用，利用网格的直角特征，分别用勾股定理计算、、、的长度，再将四条边长相加，得到四边形的周长。
(2)本题考查勾股定理逆定理的应用，连接，计算、、的长度，验证且，判定为等腰直角三角形，从而得出的度数。
（1）解：，，，；
四边形的周长为
．
（2）解：连接，
，，，
．
．
，
．
21．【答案】（1）解： 选择A、D，设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
，即，
选用直线较为合适，
把代入得，，
预估第五周的销量约为8.1吨．
其他答案如下：，，，，
1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.4 2.05 1
2 3.6 3.6 3.65 3.9 3.6 3.6 2.9
3 4.8 4.7 4.8 5.3 4.8 5.15 4.8
4 6.7 5.8 5.95 6.7 6 6.7 6.7
第五周的销量计算其他情况：
直线 偏离方差比较 第五周的销量
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；方差；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，任意选取两点坐标，设解析式为，将坐标代入方程组求解、，得到直线解析式。
(2)本题考查偏离方差的计算与模型选择，按偏离方差定义计算所选直线的方差，方差越小模型越贴合数据，将代入合适模型的解析式，预估第五周销量。
（1）解： 选择A、D，设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
，即，
选用直线较为合适，
把代入得，，
预估第五周的销量约为8.1吨．
其他答案如下：，，，，
1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.4 2.05 1
2 3.6 3.6 3.65 3.9 3.6 3.6 2.9
3 4.8 4.7 4.8 5.3 4.8 5.15 4.8
4 6.7 5.8 5.95 6.7 6 6.7 6.7
第五周的销量计算其他情况：
直线 偏离方差比较 第五周的销量
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
22．【答案】（1）解：如图所示；
四边形是矩形，
，
，．
；
（2）A、C、D
（3）证明：连接，
为折痕，
垂直平分，
，
由折叠所得，
，
，，
，
为等边三角形，
，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
沿折叠得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（2）解：由折叠的性质得，，，
∴，
，
，；
把，，代入，得，解得，
∴设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，
∴直线的解析式为；
把，代入，得，解得，
直线的解析式分别为，
∴A．，正确；
B．，错误；
C．，正确；
D．，正确；
故正确的是A，C，D，
故答案为：A，C，D；
【分析】(1)本题考查矩形性质与平面直角坐标系，矩形中，以B为原点，结合、的长度，直接确定点M的坐标。
(2)本题考查折叠性质、勾股定理与一次函数解析式，由折叠得、，用勾股定理求N点坐标，再用待定系数法求三条直线的斜率与截距，逐一判断结论。
(3)本题考查折叠性质、等边三角形与菱形判定，先由折叠证为等边三角形，推出是等边三角形，得；再由折叠得，结合证平行四边形，最后由邻边相等证菱形。
（1）解：如图所示；
四边形是矩形，
，
，．
；
（2）解：由折叠的性质得，，，
∴，
，
，；
把，，代入，得，解得，
∴设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，
∴直线的解析式为；
把，代入，得，解得，
直线的解析式分别为，
∴A．，正确；
B．，错误；
C．，正确；
D．，正确；
故正确的是A，C，D，
故答案为：A，C，D；
（3）证明：连接，
为折痕，
垂直平分，
，
由折叠所得，
，
，，
，
为等边三角形，
，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
沿折叠得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．【答案】（1）解：直线过点，
，解得，
将点代入得：，解得
（2）
（3）解：①由（1）得直线的解析式为，
当时，，所以的坐标为，
当时，，所以的坐标为，
点在上，
点的坐标为其中
过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，
，
，，
即，
．
．
．
的横坐标为；
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是．
（3）②．
由①得，
矩形为正方形，
作于点G，作于点E，
，
又
又，
，
，
点在上，
在正方形中，
，
作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点，
，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．
坐标为，
又，
，
，即的最小值为．
【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数参数，将交点(2，1)代入解析式求k，再将k与交点代入解析式求b。
(2)本题考查一次函数图象与不等式，结合函数图象位置关系，确定时在另两条直线上方的m取值范围。
(3)①本题考查一次函数与全等三角形，由H在上得H(t，t)，作辅助线证，推导M的横坐标。②本题考查正方形性质、对称点与线段和最小值，先证矩形为正方形，得，作P关于的对称点，利用两点之间线段最短，求的长度即为S的最小值。
（1）解：直线过点，
，解得，
将点代入得：，解得
（2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是．
（3）解：①由（1）得直线的解析式为，
当时，，所以的坐标为，
当时，，所以的坐标为，
点在上，
点的坐标为其中
过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，
，
，，
即，
．
．
．
的横坐标为；
②．
由①得，
矩形为正方形，
作于点G，作于点E，
，
又
又，
，
，
点在上，
在正方形中，
，
作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点，
，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．
坐标为，
又，
，
，即的最小值为．
1 / 1广东省广州市天河区2024-2025学年八年级下学期期末数学试题
一、单项选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1．下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
B.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
C.符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
D.，不符合最简二次根式的定义，故本选项不正确；
故选：C．
【分析】本题考查最简二次根式的判定，需紧扣最简二次根式的定义判断，即被开方数是整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式。对各选项化简，，被开方数可完全开方，不符合要求；，被开方数含平方数因数，不符合要求；的被开方数6无平方因数且为整数，符合定义；，被开方数为分数，不符合要求，据此确定正确选项。
2．以下列各组数为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．5，12，13 C．1，，2 D．1，1，
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；
B、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、∵，∴能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形，需先找出最长边，再验证两短边的平方和是否等于最长边的平方。选项A中最长边为4，，不满足逆定理；选项B中，满足；选项C中，满足；选项D中，满足，由此选出答案。
3．如图，在等边中，点，分别为边，上的中点，若，则的长是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵在等边中，，
∴，
∵点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：C．
【分析】本题考查三角形中位线定理的应用，先根据等边三角形三边相等的性质，得；再由D、E分别是、的中点，判定是的中位线，依据中位线等于第三边一半的性质，计算出的长度。
4．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项错误；
B、，故该选项错误；
C、，故该选项错误；
D、，故该选项正确 ；
故选：D．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，需熟练运用二次根式的性质、加减法则及平方差公式计算。选项A化简，计算错误；选项B，二次根式结果非负，错误；选项C合并同类二次根式得，错误；选项D套用平方差公式，计算正确。
5．某校艺术节歌唱比赛中，有位评委对选手的表现打分，某位选手所得个分数组成一组数据．根据评分规则，去掉这组数据中的一个最高分和一个最低分，剩余个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数，
故选：．
【分析】根据各统计量的意义即可求出答案.
6．一次函数 的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限. B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答
∵一次函数y=2x-3中，k=2＞0，
∴此函数图象经过一、三象限，
∵b=-3＜0，
∴此函数图象与y轴负半轴相交，
∴此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限.
故答案为：B.
【分析】y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
7．下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．矩形四个角都相等
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的四条边相等
D．菱形的对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：选项A：原命题“矩形四个角都相等”的逆命题为“四个角都相等的四边形是矩形”．根据矩形判定定理，四个角相等的四边形是矩形，逆命题为真．
选项B：原命题“对角线相等的平行四边形是矩形”的逆命题为“矩形的对角线相等且是平行四边形”．矩形本身是平行四边形，且对角线相等，逆命题为真．
选项C：原命题“菱形的四条边相等”的逆命题为“四条边相等的四边形是菱形”．根据菱形定义，四边相等的四边形是菱形，逆命题为真．
选项D：原命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题为“对角线互相垂直的四边形是菱形”．存在对角线垂直但非菱形的四边形（如对角线垂直但边不相等的普通四边形），逆命题为假．
故选：D．
【分析】本题考查命题与逆命题的真假判断，需先写出各命题的逆命题，再结合矩形、菱形的判定定理判断。选项A逆命题“四个角都相等的四边形是矩形”，符合矩形判定，为真；选项B逆命题“矩形的对角线相等且是平行四边形”，矩形本身满足该条件，为真；选项C逆命题“四条边相等的四边形是菱形”，符合菱形定义，为真；选项D逆命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”，存在对角线垂直但非菱形的普通四边形，为假命题。
8．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是斜边的中点，
∴，
又∵，
∴，
故选：B
【分析】本题考查直角三角形的性质，先由、，根据直角三角形两锐角互余得；再依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得，即为等腰三角形，；最后利用三角形外角等于不相邻两内角和，，计算出的度数。
9．在平面直角坐标系中，一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵一次函数y随x的增大而减小，
∴，
原函数为，向上平移3个单位后得到
A．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
B．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
C．当，时，则，解得，不符合题意，故该选项不符合题意；
D．当，时，则，解得，符合题意，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查一次函数的平移与增减性，一次函数平移遵循“上加下减”，原函数向上平移3个单位后解析式为；由随增大而减小可知，将各选项坐标代入求解值，筛选出的选项即可。
10．如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，°，
∴四边形是矩形，
，
由垂线段最短可得时，线段的值最小，
此时，，
∴，
即的最小值为，
故选：C．
【分析】本题考查矩形判定、垂线段最短与勾股定理的综合应用，先由、、，判定四边形是矩形，得；再根据垂线段最短，当时长度最小，即最小；用勾股定理求得，结合三角形面积公式，计算出的最小值。
二、填空题（本题有5个小题，每小题3分，共15分．）
11．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2．
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】要保证二次根式有意义，则需要保证被开方数为非负数，即x－2≥0，解得：x≥2．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解。
12．若点，在如图的直线上，则　 　．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由图可知，该直线对应函数的函数值随着自变量的增大而减小，
，
．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数的增减性，由函数图象可判断出随的增大而减小，比较两点横坐标，可得对应函数值。
13．在中，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：在中，，，，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为： ．
【分析】本题考查含30°角的直角三角形性质与勾股定理，先由、得，根据30°角所对直角边是斜边的一半，得；再代入勾股定理，计算出的长度。
14．一次演讲比赛中，某位选手演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面的成绩分别为90分，85分，80分，若按的比例计算综合成绩，则该选手的综合成绩为　 　．
【答案】分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该选手的综合成绩为（分），
故答案为：87分．
【分析】本题考查加权平均数的计算，加权平均数为各数据与对应权重乘积的和除以权重总和，将三项成绩分别乘以权重5、4、1，求和后除以权重和10，即可算出综合成绩。
15．如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】600
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
，
，
，，
四边形的面积．
故答案为：600．
【分析】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质及勾股定理，先由平行四边形性质证，得，同理，判定四边形是平行四边形；再由对角线互相垂直，判定其为菱形；用勾股定理求得，得菱形对角线、，根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积。
三、解答题（本大题有5小题，共35分．解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考查二次根式的基本运算，先利用二次根式性质计算，再依据二次根式乘法法则计算，最后合并化简结果；
(2)本题考查二次根式乘除混合运算，按从左到右顺序计算，先算乘法，再算除法，最终将结果化为最简二次根式。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．下表是某班41名学生右眼视力的检查结果：
视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 2 4 5 3 5 1 1 5 9 5
（1）求该班学生右眼视力的平均值；
（2）填空：该班学生右眼视力的众数为______，中位数为______；根据以上信息，你对该班学生提出的建议是________．
【答案】（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）4.9；4.6；少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
【分析】(1)本题考查加权平均数的计算，以各视力值为数据，对应人数为权重，用加权平均数公式，总分数除以总人数41，算出视力平均值。
(2)本题考查众数、中位数的定义，众数是数据中出现次数最多的数值，中位数是数据排序后中间位置的数，41个数据的中位数为第21个数据，据此确定众数和中位数，再结合视力情况提出合理护眼建议。
（1）解：该班学生右眼视力的平均值为：
，
答：该班学生右眼视力的平均值为4.6．
（2）解：该数据中右眼视力是4.9的有9个，最多，
所以该班学生右眼视力的众数为4.9，
该样本中共有41个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第21个数据是4.6，
所以该班学生右眼视力的中位数为4.6．
建议少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
故答案为：4.9，4.6，少看电视，少玩游戏，少看手机，才能保护视力（合理即可，不唯一）．
18．如图，四边形是平行四边形，点在边上，且．
（1）尺规作图：作的角平分线交边于点（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）中作图的条件下，求证：四边形是平行四边形；
【答案】（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，即
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】(1)本题考查尺规作图作角平分线，依据角平分线的尺规作图方法，保留作图痕迹作出的平分线即可。
(2)本题考查平行四边形的性质与判定，先由平行四边形性质得、，结合角平分线定义推出，得；再由得，进而推出，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明。
（1）如图，即为所求．
（2）证明：为的平分线，
，
四边形为平行四边形，
，，，
，
，
，
，，
，，即
，
四边形是平行四边形．
19．“漏壶”是古代的一种计时器．如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度与漏水时间成一次函数关系．经记录，当漏水时间为2小时时，水面高度为20厘米，当漏水时间为5小时时，水面高度为14厘米．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）求刚开始计时水面的高度．
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）解：把代入，得，
答：刚开始计时时壶底到水面的高度为24厘米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，设函数关系式为，将两组对应值代入解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出参数值，确定函数关系式。
(2)本题考查一次函数的实际应用，刚开始计时即，将代入函数解析式，求出对应的值，即为初始水面高度。
（1）解：设与之间的函数关系式为（、为常数，且）．
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
（2）解：把代入，得，
答：刚开始计时时壶底到水面的高度为24厘米．
20．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1．
（1）求四边形的周长；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：，，，；
四边形的周长为
．
（2）解：连接，
，，，
．
．
，
．
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1)本题考查勾股定理的应用，利用网格的直角特征，分别用勾股定理计算、、、的长度，再将四条边长相加，得到四边形的周长。
(2)本题考查勾股定理逆定理的应用，连接，计算、、的长度，验证且，判定为等腰直角三角形，从而得出的度数。
（1）解：，，，；
四边形的周长为
．
（2）解：连接，
，，，
．
．
，
．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导某农户种植优质玉米喜获丰收，上市销量日益增加，助手小天对销量（吨）进行了跟踪记录，制作销量统计表，并将数据用坐标表示，得到、、、，在如图的坐标系描点．
销量统计表
函数（） 1 2 3 4 5
销量（） 2.5 3.6 4.8 6.7 ☆
假设销售环境不发生改变，可运用函数与统计知识预测第五周的销量．例如选择直线或直线等一次函数模型来进行分析．
（1）根据，的坐标，可得直线的解析式为．类似的，请任意选择两点坐标，求过这两点的直线解析式；
（2）在运用一次函数模型分析预测第五周的销量时，可以利用偏离方差分析选用哪一个模型预测更适合．请根据以下方框材料，求出（1）中你选择的直线的偏离方差，并与选用直线的预测方案作比较，选择较为合适的模型，预估第五周的销量．
在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组销量所有实际值偏离图象上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差．来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．例如，分析直线，即上的点．可知：时，时，时，；时，；时，．求得偏离方差：．
【答案】（1）解： 选择A、D，设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
，即，
选用直线较为合适，
把代入得，，
预估第五周的销量约为8.1吨．
其他答案如下：，，，，
1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.4 2.05 1
2 3.6 3.6 3.65 3.9 3.6 3.6 2.9
3 4.8 4.7 4.8 5.3 4.8 5.15 4.8
4 6.7 5.8 5.95 6.7 6 6.7 6.7
第五周的销量计算其他情况：
直线 偏离方差比较 第五周的销量
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；方差；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，任意选取两点坐标，设解析式为，将坐标代入方程组求解、，得到直线解析式。
(2)本题考查偏离方差的计算与模型选择，按偏离方差定义计算所选直线的方差，方差越小模型越贴合数据，将代入合适模型的解析式，预估第五周销量。
（1）解： 选择A、D，设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
，
，即，
选用直线较为合适，
把代入得，，
预估第五周的销量约为8.1吨．
其他答案如下：，，，，
1 2.5 2.5 2.5 2.5 2.4 2.05 1
2 3.6 3.6 3.65 3.9 3.6 3.6 2.9
3 4.8 4.7 4.8 5.3 4.8 5.15 4.8
4 6.7 5.8 5.95 6.7 6 6.7 6.7
第五周的销量计算其他情况：
直线 偏离方差比较 第五周的销量
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
，即 选用，
22．小天和小河在学完《平行四边形》之后，研究教材的数学活动；折纸做，，角．学习了以下折法：如图1，先对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到了线段，把纸片展平．两人对此展开了命题研究和折纸拓展，提出了以下3道由易到难的数学题．请你解答．
（1）已知矩形纸片中，，．以点为原点建立平面直角坐标系，求点的坐标；
（2）在（1）的条件下，分别设直线，，的解析式为，，．得到以下四个结论，其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
（3）在图1的折法基础上，两人再次动手操作：如图2，若将延长交于点．将沿折叠，点刚好落在边上点处，把纸片再次展平，连接．试证明四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示；
四边形是矩形，
，
，．
；
（2）A、C、D
（3）证明：连接，
为折痕，
垂直平分，
，
由折叠所得，
，
，，
，
为等边三角形，
，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
沿折叠得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（2）解：由折叠的性质得，，，
∴，
，
，；
把，，代入，得，解得，
∴设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，
∴直线的解析式为；
把，代入，得，解得，
直线的解析式分别为，
∴A．，正确；
B．，错误；
C．，正确；
D．，正确；
故正确的是A，C，D，
故答案为：A，C，D；
【分析】(1)本题考查矩形性质与平面直角坐标系，矩形中，以B为原点，结合、的长度，直接确定点M的坐标。
(2)本题考查折叠性质、勾股定理与一次函数解析式，由折叠得、，用勾股定理求N点坐标，再用待定系数法求三条直线的斜率与截距，逐一判断结论。
(3)本题考查折叠性质、等边三角形与菱形判定，先由折叠证为等边三角形，推出是等边三角形，得；再由折叠得，结合证平行四边形，最后由邻边相等证菱形。
（1）解：如图所示；
四边形是矩形，
，
，．
；
（2）解：由折叠的性质得，，，
∴，
，
，；
把，，代入，得，解得，
∴设直线的解析式为，
把，代入，得，解得，
∴直线的解析式为；
把，代入，得，解得，
直线的解析式分别为，
∴A．，正确；
B．，错误；
C．，正确；
D．，正确；
故正确的是A，C，D，
故答案为：A，C，D；
（3）证明：连接，
为折痕，
垂直平分，
，
由折叠所得，
，
，，
，
为等边三角形，
，
；
，
，
，
是等边三角形，
，
沿折叠得到，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．在平面直角坐标系中，直线，，的解析式分别为，和，其中，，且直线和交于点．
（1）求，的值；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，请结合图象探索的取值范围；（需要画图，并直接写出结果）
（3）如图，当时，设直线与轴和轴分别交于，两点，点在直线上，连接，过点作交线段于点．
①若点的横坐标为，用含的式子表示点的横坐标；
②若在平面直角坐标系中取定点和任意一点，使得四边形为矩形，设，直接写出的最小值．
【答案】（1）解：直线过点，
，解得，
将点代入得：，解得
（2）
（3）解：①由（1）得直线的解析式为，
当时，，所以的坐标为，
当时，，所以的坐标为，
点在上，
点的坐标为其中
过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，
，
，，
即，
．
．
．
的横坐标为；
②
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】（2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是．
（3）②．
由①得，
矩形为正方形，
作于点G，作于点E，
，
又
又，
，
，
点在上，
在正方形中，
，
作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点，
，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．
坐标为，
又，
，
，即的最小值为．
【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数参数，将交点(2，1)代入解析式求k，再将k与交点代入解析式求b。
(2)本题考查一次函数图象与不等式，结合函数图象位置关系，确定时在另两条直线上方的m取值范围。
(3)①本题考查一次函数与全等三角形，由H在上得H(t，t)，作辅助线证，推导M的横坐标。②本题考查正方形性质、对称点与线段和最小值，先证矩形为正方形，得，作P关于的对称点，利用两点之间线段最短，求的长度即为S的最小值。
（1）解：直线过点，
，解得，
将点代入得：，解得
（2）解：如图，当函数的值既大于函数的值，也大于函数的值时，的取值范围是．
（3）解：①由（1）得直线的解析式为，
当时，，所以的坐标为，
当时，，所以的坐标为，
点在上，
点的坐标为其中
过点作垂直轴于点，作垂直轴于点，
，
，，
即，
．
．
．
的横坐标为；
②．
由①得，
矩形为正方形，
作于点G，作于点E，
，
又
又，
，
，
点在上，
在正方形中，
，
作关于的对称点，则坐标为，且，过点作轴交轴于点，
，即当，，三点共线时，最小，最小值为的长．
坐标为，
又，
，
，即的最小值为．
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