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广东省广州市番禺区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意．
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意．
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题考查二次根式的运算与化简，核心是掌握同类二次根式合并、二次根式乘法法则及算术平方根非负性。A中与不是同类二次根式，无法直接合并；B中根据算术平方根定义，，结果为非负数；C中依据，计算得；D中先化简，合并同类二次根式得，由此确定正确选项。
2．以下各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B． C． D．13，14，15
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，所以能构成直角三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形，只需验证两小边平方和是否等于最长边平方。A中，满足逆定理；B中，不满足；C中，不满足；D中，不满足，据此选出答案。
3．如图，在中，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的性质，运用对角相等、邻角互补解题。由平行四边形对角相等得，结合已知条件算出；再根据邻角互补，代入度数即可求出。
4．对于函数，下列结论中正确的是（　　）
A．它的图象经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而减小
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A．当时，，
∵，
∴函数的图象不经过点，选项A不符合题意；
B．∵，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C．当时，，
解得：，
∴当时，，选项C不符合题意；
D．∵，
∴y随x的增大而减小，选项D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，结合解析式判断图象过点、象限、增减性及函数值范围。A中将代入得，图象不过该点；B中，，图象过第一、二、四象限；C中解得，即时；D中，随增大而减小，确定正确选项。
5．如图，张军同学家（记作）在广州东站（记作）南偏西的方向且相距，王强家（记作）在广州东站南偏东的方向且相距，则张军家与王强家的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；方位角
【解析】【解答】解：如图，连接，
依题意，，，，，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查方位角与勾股定理的实际应用，先由方位角确定，为直角三角形，再结合、，用勾股定理计算两家距离。
6．某班合唱比赛得分如下：，，，，，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为最后得分，则得分为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：
（分），
故选：C．
【分析】本题考查算术平均数的计算，先去掉最高分9.0和最低分8.6，将剩余8.9、8.7、8.8求和，再用总和除以3，得到最终平均分。
7．下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数
其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为 ×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件；
②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件；
③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数．
综上，满足一次函数关系的是①和②，
故选∶A．
【分析】本题考查一次函数的定义，先列函数关系式再判断是否符合。①由面积公式得，是特殊一次函数；②设初始水量、放水速度，得，符合一次函数；③得，是反比例函数，不属于一次函数，确定符合条件的选项。
8．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，其方差分别为和，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，显然，
由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查样本平均数与方差的意义，平均数反映平均水平，方差反映波动程度。样本数据整体小于样本，故；样本数据更分散、波动大，样本更集中、波动小，故，确定正确结论。
9．如图，点E在正方形的对角线AC上，且，的两直角边，分别交于点M，，若正方形的边长为2，则重叠部分四边形的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作于点P，于点H，如图所示：
，
四边形是正方形，且边长为2，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形是正方形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
正方形的面积为：，
的两直角边分别交于点M，N，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
重叠部分四边形的面积为．
故选：B．
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形与面积转化，过作、，证四边形为正方形；由求长度，得正方形的边长与面积；再证，将四边形面积转化为正方形面积。
10．如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
连接，
∵、D关于对角线对称，
∴与的交点即为所求的点P，的最小值，
∵是的中点，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题考查菱形性质、轴对称最短路径与等边三角形性质，由菱形周长得边长，结合得，为等边三角形；利用菱形对角线对称性，关于的对称点为，最小值为；由等边三角形三线合一得，用勾股定理求。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．已知正比例函数的图象经过点，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，将点代入，得关于的一元一次方程，解方程求出。
13．已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
14．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是　 　．
【答案】1
【知识点】勾股定理；求算术平方根；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形，
∴，
，，
∴，
∴正方形的边长为：，
正方形的面积．
故答案为：1．
【分析】本题考查勾股定理在赵爽弦图中的应用，在中由勾股定理求，由三角形全等得，算小正方形边长，边长平方即为面积。
15．如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即线段的长为，
故答案为：
【分析】本题考查勾股定理、线段垂直平分线性质与尺规作图，先由勾股定理求；由作图知是垂直平分线，得；设，在中列勾股定理方程，解方程得。
16．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有　 　．
【答案】①③④
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，，
，所以①正确；
一次函数的图象经过第二、四象限，
，
一次函数的图象经过第一、三象限，
，
，所以②错误；
一次函数与的图象的交点P的横坐标为1，
，所以③正确；
当时，，所以④选项符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，①由轴交点纵坐标判断、大小；②由图象象限定、正负，判断符号；③交点横坐标为1，代入得；④时图象在上方，即，确定正确结论。
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查二次根式乘除减混合运算，先按二次根式乘除法法则计算和，再计算减法；
（2）本题考查二次根式化简与减法，先化简、为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．某校羽毛球球队的年龄分布如图的条形图所示，请找出这些队员年龄的众数和中位数，并解释它们的意义．
【答案】解：在这些队员年龄中，15岁出现的次数最多，故众数为15岁，表明队员年龄为15岁的最多；
把队员的年龄从小到大排列，排在中间的两个数分别为15岁，故中位数是15岁，说明队员年龄位于15岁以上和以下各占一半．
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】本题考查众数和中位数的定义与意义，众数是数据中出现次数最多的数，从条形图找出次数最多的年龄；中位数需将数据从小到大排列，取中间位置数或中间两数平均数，再分别解释两者实际意义。
19．如图，将矩形的边折叠，使点D落在上的点F处，折痕为，已知，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：四边形是矩形，，
，，
∴；
（2）解：由折叠得，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题考查矩形性质与勾股定理，矩形，在中，用、长度通过勾股定理求；
（2）本题考查折叠性质与勾股定理，折叠得，矩形对边相等得，求；设，由折叠得，在中列方程求，再用三角形面积公式计算。
（1）解：四边形是矩形，
，
，，
∴；
（2）解：由折叠得，
，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
的面积．
20．（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值．
【答案】解：（1）原式；
（2）∵，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查二次根式乘法与化简，用乘法分配律展开，按二次根式乘法法则计算，化为最简二次根式；
（2）本题考查二次根式化简求值与乘法公式，先算，代入代数式后用平方差公式计算，合并化简得结果。
21．已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出这个一次函数的图象；
（3）观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0．
【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：，解得：，
∴这个一次函数的表达式为：；
（2）列表为：
x 0
y -3 0
描点并连线，函数图象如图所示：
.
（3）
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】（3）由图可知：当时，函数值大于0．
【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，设，代入两点坐标得方程组，解方程组求、；
（2）本题考查一次函数图象画法，求图象与坐标轴交点，描点连线画直线；
（3）本题考查函数图象与不等式，观察图象找直线在轴上方时的范围。
（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为：；
（2）列表为：
x 0
y -3 0
描点并连线，函数图象如图所示：
.
（3）由图可知：当时，函数值大于0．
22．如图，的对角线、相交于点O，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形性质与全等三角形判定，由平行四边形得，，结合，用SAS证全等；
（2）本题考查平行四边形与菱形判定，由平行四边形对角线平分得、，推，定四边形为平行四边形，再由，定其为菱形。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系．
根据图象解答下列问题：
（1）甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？
（2）求乙的行驶速度；
（3）求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式；
（4）甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离．
【答案】（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时；
（2）解：千米/时，
答：乙的行驶速度为千米/时；
（3）解：甲在段的速度为千米，则；甲在段的速度为千米/时，则；
∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为；
（4）解：线段对应的函数关系式为，当甲、乙相遇时，由，
解得，
∵小时时分，
∴甲、乙在下午时分相遇，
此时相遇地点到地的距离为千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数图象应用，观察图象横坐标判断出发、到达时间，算时间差；
（2）本题考查行程问题速度计算，用路程÷时间求乙的速度；
（3）本题考查分段函数解析式，分甲行驶两段，按速度求解析式并定自变量范围；
（4）本题考查一次函数交点，求乙的解析式，联立求交点，转化时刻并算相遇点到地距离。
（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时；
（2）解：千米/时，
答：乙的行驶速度为千米/时；
（3）解：甲在段的速度为千米，则；
甲在段的速度为千米/时，则；
∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为；
（4）解：线段对应的函数关系式为，
当甲、乙相遇时，由，
解得，
∵小时时分，
∴甲、乙在下午时分相遇，
此时相遇地点到地的距离为千米．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E．
（1）求k的值与线段的长；
（2）若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标；
（3）若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标．
【答案】（1）解：∵直线交y轴于C，
则当时，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
将点D的坐标代入函数表达式得：，
解得，，
则直线的表达式为：，
∵直线交x轴、y轴于A、B两点，
当时，，当时，，
∴点A、B的坐标分别为：、，
∴；
答：k的值为-1；线段AB的长为10
（2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点，
则直线的表达式为：，
则点，则，
∵，则，
解得：或，
∴点F坐标为或
（3）解：如图，
当时，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行于直线：，
则解析式为
联立，
解得
∴F点坐标为，
∵且，
∴G坐标为即，
综上可得，点G坐标为
【知识点】一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴相交可得点C的坐标，结合已知易求得点D的坐标，将点D的坐标代入直线解析式y=kx+5可求得k的值；根据直线与x轴、y轴相交，分别令y=0、x=0可求得点A、B两点的坐标，然后根据两点间的距离公式计算即可求解；
（2）过点F作FN∥CD交x轴于点N，于是可设点F（m，m+8），用待定系数法可将直线FN的解析式用含m的代数式表示出来，根据直线FN与x轴相交于点N可将点N的坐标用含m的代数式表示出来，然后根据三角形面积的构成则计算即可求解；
（3）由全等三角形的对应边相等可得，结合已知，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形DOFG是平行四边形，根据两直线平行其k值相等可得直线OF的解析式，将直线FN和直线AB的解析式联立解方程组可得点F的坐标，然后根据OD∥GF即可求解．
（1）解：∵直线交y轴于C，则当时，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
将点D的坐标代入函数表达式得：，
解得，，
则直线的表达式为：，
∵直线交x轴、y轴于A、B两点，
当时，，当时，，
∴点A、B的坐标分别为：、，
则；
（2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点，
则直线的表达式为：，
则点，则，
∵，则，
解得：或，
则点F坐标为或；
（3）解：如图，
当时，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行于直线：，
则解析式为
联立，
解得
∴F点坐标为，
∵且，
∴G坐标为即，
综上，点G坐标为．
25．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，．
（1）求的长；
（2）动点P在射线上匀速运动．
①连接，当是等腰三角形时，求的长；
②将菱形的边沿直线翻折，点B的对应点落在边上时记为M，落在边上时记为（不与点D重合），请证明直线与直线平行，并求它们之间的距离．
【答案】（1）四边形是菱形，，
，，，
，
，
；
（2）①分三种情况：
如图1，，此时P与C重合，；
如图2，；
如图3，，过点D作于点G，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
综上，的长是5或8或；
②如图4，过点A作于点K，连接，，
由翻折得：，
，
，
，
，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线与直线之间的距离为．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题考查菱形性质与勾股定理，菱形对角线垂直平分，得，在中求，得；
（2）①本题考查等腰三角形分类讨论，分、、三种情况，结合菱形性质求；②本题考查翻折性质、平行线判定与距离，由翻折得，推，证，用面积法求两平行线距离。
（1）四边形是菱形，，
，，，
，
，
；
（2）①分三种情况：
如图1，，此时P与C重合，；
如图2，；
如图3，，过点D作于点G，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
综上，的长是5或8或；
②如图4，过点A作于点K，连接，，
由翻折得：，
，
，
，
，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线与直线之间的距离为．
1 / 1广东省广州市番禺区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．以下各组数为边长能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B． C． D．13，14，15
3．如图，在中，已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．对于函数，下列结论中正确的是（　　）
A．它的图象经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而减小
5．如图，张军同学家（记作）在广州东站（记作）南偏西的方向且相距，王强家（记作）在广州东站南偏东的方向且相距，则张军家与王强家的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．某班合唱比赛得分如下：，，，，，若去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为最后得分，则得分为（　　）
A． B． C． D．
7．下面的三个问题中都有两个变量：
①等腰三角形的底边长为3，底边上的高x与它的面积y；
②将泳池中的水匀速放出，直至放完，泳池中的剩余水量y与放水时间x；
③从A地到B地铺设一段铁轨，平均每日铺设长度y与铺设天数
其中，变量y与变量x之间的函数关系是一次函数的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为和，其方差分别为和，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
9．如图，点E在正方形的对角线AC上，且，的两直角边，分别交于点M，，若正方形的边长为2，则重叠部分四边形的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（　　）
A． B．3 C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．已知正比例函数的图象经过点，则k的值为　 　．
13．已知，，则　 　．
14．如图是“赵爽弦图”，，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么正方形的面积是　 　．
15．如图，在中，已知，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边，相交于点D，E，连接，则线段的长为　 　．
16．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．某校羽毛球球队的年龄分布如图的条形图所示，请找出这些队员年龄的众数和中位数，并解释它们的意义．
19．如图，将矩形的边折叠，使点D落在上的点F处，折痕为，已知，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
20．（1）计算：；
（2）已知，求代数式的值．
21．已知一次函数的图象经过点(3，3)，(1，－1)．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）画出这个一次函数的图象；
（3）观察函数图象，直接写出取什么值时，函数值大于0．
22．如图，的对角线、相交于点O，．
（1）求证：；
（2）连接，，若，试探究四边形的形状，并对结论给予证明．
23．已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系．
根据图象解答下列问题：
（1）甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？
（2）求乙的行驶速度；
（3）求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式；
（4）甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴、y轴于A、B两点，直线交x轴、y轴的正半轴于D、C两点，，两直线相交于点E．
（1）求k的值与线段的长；
（2）若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标；
（3）若F为线段上的动点，G为线段上的动点，当时，求点G的坐标．
25．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，．
（1）求的长；
（2）动点P在射线上匀速运动．
①连接，当是等腰三角形时，求的长；
②将菱形的边沿直线翻折，点B的对应点落在边上时记为M，落在边上时记为（不与点D重合），请证明直线与直线平行，并求它们之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意．
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项正确，符合题意．
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题考查二次根式的运算与化简，核心是掌握同类二次根式合并、二次根式乘法法则及算术平方根非负性。A中与不是同类二次根式，无法直接合并；B中根据算术平方根定义，，结果为非负数；C中依据，计算得；D中先化简，合并同类二次根式得，由此确定正确选项。
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，所以能构成直角三角形，故符合题意；
B、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、，所以不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，判断三边能否构成直角三角形，只需验证两小边平方和是否等于最长边平方。A中，满足逆定理；B中，不满足；C中，不满足；D中，不满足，据此选出答案。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】本题考查平行四边形的性质，运用对角相等、邻角互补解题。由平行四边形对角相等得，结合已知条件算出；再根据邻角互补，代入度数即可求出。
4．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A．当时，，
∵，
∴函数的图象不经过点，选项A不符合题意；
B．∵，，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C．当时，，
解得：，
∴当时，，选项C不符合题意；
D．∵，
∴y随x的增大而减小，选项D符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，结合解析式判断图象过点、象限、增减性及函数值范围。A中将代入得，图象不过该点；B中，，图象过第一、二、四象限；C中解得，即时；D中，随增大而减小，确定正确选项。
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；方位角
【解析】【解答】解：如图，连接，
依题意，，，，，
，
，
，
故选：B．
【分析】本题考查方位角与勾股定理的实际应用，先由方位角确定，为直角三角形，再结合、，用勾股定理计算两家距离。
6．【答案】C
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：
（分），
故选：C．
【分析】本题考查算术平均数的计算，先去掉最高分9.0和最低分8.6，将剩余8.9、8.7、8.8求和，再用总和除以3，得到最终平均分。
7．【答案】A
【知识点】一次函数的概念
【解析】【解答】解∶①：等腰三角形的底边长为3，面积公式为 ×高，代入底长3，得，即，是正比例函数（一次函数），符合条件；
②：泳池匀速放水，剩余水量与时间的关系为（为初始水量，为放水速度），属于一次函数，符合条件；
③：铺设总长度固定时，每日铺设长度与天数满足（为总长度），不符合一次函数．
综上，满足一次函数关系的是①和②，
故选∶A．
【分析】本题考查一次函数的定义，先列函数关系式再判断是否符合。①由面积公式得，是特殊一次函数；②设初始水量、放水速度，得，符合一次函数；③得，是反比例函数，不属于一次函数，确定符合条件的选项。
8．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：样本A的数据均不大于10，而样本B的数据均不小于10，显然，
由图可知A中数据波动程度较大，B中数据较稳定，
∴，
故选：A．
【分析】本题考查样本平均数与方差的意义，平均数反映平均水平，方差反映波动程度。样本数据整体小于样本，故；样本数据更分散、波动大，样本更集中、波动小，故，确定正确结论。
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E作于点P，于点H，如图所示：
，
四边形是正方形，且边长为2，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
是等腰直角三角形，
，
矩形是正方形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
正方形的面积为：，
的两直角边分别交于点M，N，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
重叠部分四边形的面积为．
故选：B．
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形与面积转化，过作、，证四边形为正方形；由求长度，得正方形的边长与面积；再证，将四边形面积转化为正方形面积。
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
连接，
∵、D关于对角线对称，
∴与的交点即为所求的点P，的最小值，
∵是的中点，
∴，
∵菱形周长为16，
∴，
∴
∴．
故选：C．
【分析】本题考查菱形性质、轴对称最短路径与等边三角形性质，由菱形周长得边长，结合得，为等边三角形；利用菱形对角线对称性，关于的对称点为，最小值为；由等边三角形三线合一得，用勾股定理求。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
12．【答案】
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，将点代入，得关于的一元一次方程，解方程求出。
13．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
14．【答案】1
【知识点】勾股定理；求算术平方根；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意知，在正方形中，，，和是四个全等的直角三角形，
∴，
，，
∴，
∴正方形的边长为：，
正方形的面积．
故答案为：1．
【分析】本题考查勾股定理在赵爽弦图中的应用，在中由勾股定理求，由三角形全等得，算小正方形边长，边长平方即为面积。
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即线段的长为，
故答案为：
【分析】本题考查勾股定理、线段垂直平分线性质与尺规作图，先由勾股定理求；由作图知是垂直平分线，得；设，在中列勾股定理方程，解方程得。
16．【答案】①③④
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：一次函数与的图象分别交y轴于点，，
，所以①正确；
一次函数的图象经过第二、四象限，
，
一次函数的图象经过第一、三象限，
，
，所以②错误；
一次函数与的图象的交点P的横坐标为1，
，所以③正确；
当时，，所以④选项符合题意．
故答案为：①③④．
【分析】本题考查一次函数图象与一元一次不等式，①由轴交点纵坐标判断、大小；②由图象象限定、正负，判断符号；③交点横坐标为1，代入得；④时图象在上方，即，确定正确结论。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查二次根式乘除减混合运算，先按二次根式乘除法法则计算和，再计算减法；
（2）本题考查二次根式化简与减法，先化简、为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解：在这些队员年龄中，15岁出现的次数最多，故众数为15岁，表明队员年龄为15岁的最多；
把队员的年龄从小到大排列，排在中间的两个数分别为15岁，故中位数是15岁，说明队员年龄位于15岁以上和以下各占一半．
【知识点】中位数；众数
【解析】【分析】本题考查众数和中位数的定义与意义，众数是数据中出现次数最多的数，从条形图找出次数最多的年龄；中位数需将数据从小到大排列，取中间位置数或中间两数平均数，再分别解释两者实际意义。
19．【答案】（1）解：四边形是矩形，，
，，
∴；
（2）解：由折叠得，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题考查矩形性质与勾股定理，矩形，在中，用、长度通过勾股定理求；
（2）本题考查折叠性质与勾股定理，折叠得，矩形对边相等得，求；设，由折叠得，在中列方程求，再用三角形面积公式计算。
（1）解：四边形是矩形，
，
，，
∴；
（2）解：由折叠得，
，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
的面积．
20．【答案】解：（1）原式；
（2）∵，
∴，
∴
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）本题考查二次根式乘法与化简，用乘法分配律展开，按二次根式乘法法则计算，化为最简二次根式；
（2）本题考查二次根式化简求值与乘法公式，先算，代入代数式后用平方差公式计算，合并化简得结果。
21．【答案】（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：，解得：，
∴这个一次函数的表达式为：；
（2）列表为：
x 0
y -3 0
描点并连线，函数图象如图所示：
.
（3）
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】（3）由图可知：当时，函数值大于0．
【分析】（1）本题考查待定系数法求一次函数解析式，设，代入两点坐标得方程组，解方程组求、；
（2）本题考查一次函数图象画法，求图象与坐标轴交点，描点连线画直线；
（3）本题考查函数图象与不等式，观察图象找直线在轴上方时的范围。
（1）解：设这个一次函数的表达式为，把点（3，3），（1，-1）代入得：，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为：；
（2）列表为：
x 0
y -3 0
描点并连线，函数图象如图所示：
.
（3）由图可知：当时，函数值大于0．
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查平行四边形性质与全等三角形判定，由平行四边形得，，结合，用SAS证全等；
（2）本题考查平行四边形与菱形判定，由平行四边形对角线平分得、，推，定四边形为平行四边形，再由，定其为菱形。
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：四边形是菱形，
证明：如图，连接，，
四边形是平行四边形，对角线、相交于点O，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
23．【答案】（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时；
（2）解：千米/时，
答：乙的行驶速度为千米/时；
（3）解：甲在段的速度为千米，则；甲在段的速度为千米/时，则；
∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为；
（4）解：线段对应的函数关系式为，当甲、乙相遇时，由，
解得，
∵小时时分，
∴甲、乙在下午时分相遇，
此时相遇地点到地的距离为千米．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）本题考查一次函数图象应用，观察图象横坐标判断出发、到达时间，算时间差；
（2）本题考查行程问题速度计算，用路程÷时间求乙的速度；
（3）本题考查分段函数解析式，分甲行驶两段，按速度求解析式并定自变量范围；
（4）本题考查一次函数交点，求乙的解析式，联立求交点，转化时刻并算相遇点到地距离。
（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时；
（2）解：千米/时，
答：乙的行驶速度为千米/时；
（3）解：甲在段的速度为千米，则；
甲在段的速度为千米/时，则；
∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为；
（4）解：线段对应的函数关系式为，
当甲、乙相遇时，由，
解得，
∵小时时分，
∴甲、乙在下午时分相遇，
此时相遇地点到地的距离为千米．
24．【答案】（1）解：∵直线交y轴于C，
则当时，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
将点D的坐标代入函数表达式得：，
解得，，
则直线的表达式为：，
∵直线交x轴、y轴于A、B两点，
当时，，当时，，
∴点A、B的坐标分别为：、，
∴；
答：k的值为-1；线段AB的长为10
（2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点，
则直线的表达式为：，
则点，则，
∵，则，
解得：或，
∴点F坐标为或
（3）解：如图，
当时，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行于直线：，
则解析式为
联立，
解得
∴F点坐标为，
∵且，
∴G坐标为即，
综上可得，点G坐标为
【知识点】一次函数中的动态几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据直线与坐标轴相交可得点C的坐标，结合已知易求得点D的坐标，将点D的坐标代入直线解析式y=kx+5可求得k的值；根据直线与x轴、y轴相交，分别令y=0、x=0可求得点A、B两点的坐标，然后根据两点间的距离公式计算即可求解；
（2）过点F作FN∥CD交x轴于点N，于是可设点F（m，m+8），用待定系数法可将直线FN的解析式用含m的代数式表示出来，根据直线FN与x轴相交于点N可将点N的坐标用含m的代数式表示出来，然后根据三角形面积的构成则计算即可求解；
（3）由全等三角形的对应边相等可得，结合已知，根据有两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形DOFG是平行四边形，根据两直线平行其k值相等可得直线OF的解析式，将直线FN和直线AB的解析式联立解方程组可得点F的坐标，然后根据OD∥GF即可求解．
（1）解：∵直线交y轴于C，则当时，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
将点D的坐标代入函数表达式得：，
解得，，
则直线的表达式为：，
∵直线交x轴、y轴于A、B两点，
当时，，当时，，
∴点A、B的坐标分别为：、，
则；
（2）解：过点F作直线交x轴于点N，设点，
则直线的表达式为：，
则点，则，
∵，则，
解得：或，
则点F坐标为或；
（3）解：如图，
当时，，，
∴四边形是平行四边形，
∴平行于直线：，
则解析式为
联立，
解得
∴F点坐标为，
∵且，
∴G坐标为即，
综上，点G坐标为．
25．【答案】（1）四边形是菱形，，
，，，
，
，
；
（2）①分三种情况：
如图1，，此时P与C重合，；
如图2，；
如图3，，过点D作于点G，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
综上，的长是5或8或；
②如图4，过点A作于点K，连接，，
由翻折得：，
，
，
，
，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线与直线之间的距离为．
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）本题考查菱形性质与勾股定理，菱形对角线垂直平分，得，在中求，得；
（2）①本题考查等腰三角形分类讨论，分、、三种情况，结合菱形性质求；②本题考查翻折性质、平行线判定与距离，由翻折得，推，证，用面积法求两平行线距离。
（1）四边形是菱形，，
，，，
，
，
；
（2）①分三种情况：
如图1，，此时P与C重合，；
如图2，；
如图3，，过点D作于点G，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
综上，的长是5或8或；
②如图4，过点A作于点K，连接，，
由翻折得：，
，
，
，
，，
，
同理得：，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则直线与直线之间的距离为．
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