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广东省东莞市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点位于第二象限，
故答案为：B．
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可．
2．下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
B.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C.与是对顶角，故该选项符合题意；
D.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查对顶角的定义，判断依据为“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线”，逐一分析各选项角的位置关系，即可找出符合定义的对顶角。
3．对的描述不正确的是（　　）
A．是一个负数 B．是一个实数
C．是一个无理数 D．是一个有理数
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：选项A：负数是指小于0的数，故为负数，正确；
选项B：实数包括有理数和无理数，为无理数，属于实数，正确；
选项C：无理数是不能表示为分数形式的数，为无理数，正确；
选项D：有理数可表示为整数或分数，是无理数，故D错误；
故选：D．
【分析】本题考查实数的分类及基本概念，结合负数、实数、有理数、无理数定义判断，小于0属于负数，实数包含有理数和无理数，是无限不循环小数，故是无理数，并非有理数。
4．为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的（　　）
A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，则在该调查中，40是样本容量；
故选：B．
【分析】本题考查统计调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，样本容量是样本中个体的数目，本次抽取40名学生，40代表样本的数量，因此是样本容量。
5．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
移项得：，
化简得：，
故选：C．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法，对不等式进行移项操作，将常数项1移到右侧，合并后直接得出解集，移项时不等号方向不改变。
6．如图，是一片叶子标本放在平面直角坐标系下，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标是，
故选：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标确定位置，先根据点A、B的坐标确定坐标轴的位置，再结合网格格点的位置，直接读取点D的坐标。
7．对命题“同位角相等”的描述正确的是（　　）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
【答案】B
【知识点】同位角的概念；真命题与假命题；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查命题的结构与真假判断，将命题改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，明确题设和结论，同位角相等仅在两直线平行时成立，原命题是假命题，定理需为真命题，据此判断正确选项。
8．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据两直线平行，同位角相等，可得，
∵三角板的顶角是直角，
∴，
∴，故与不一定相等；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，
∵与不一定相等
∴与不一定相等；
∵，
∴不一定等于；
观察四个选项，选项C符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角尺的角度特征，根据两直线平行同旁内角互补，可得，结合直角三角尺的直角特征，逐一排除错误选项。
9．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故答案为：A．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
10．如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】实数的混合运算（含开方）；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1，
∴正方形和正方形的边长分别为，1，
∴，
∴
，
故选：B．
【分析】本题考查实数运算与正方形、长方形面积计算，由正方形面积得边长分别为和1，进而得出长方形的长和宽，用长方形面积减去两个正方形面积，得到阴影部分面积和。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分、共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上．
11．实数8的立方根是　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 23=8，
∴ 8的立方根是2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
12．已知，则　 　．（填写“>”或“<”）
【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>．
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给两边同时加，即可判断大小关系。
13．如图，烧杯内液体表面与烧标下底都平行，光线从液体中射向空气时发生折射，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，由得同位角，再利用角的和差，用减去求出。
14．已知x，y满足方程组，则xy的值为　 　．
【答案】2
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
将①代入②，可得：，
解得：，
将代入①，可得：；
当，时，
；
故答案为：2
【分析】本题考查二元一次方程组求解与代数式求值，用代入消元法，将代入，先求再求，最后计算。
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿轴正方向滚动一周，圆上一点由原点到达点，圆心也从点到达点．点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】由图可知：，
根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为，
根据沿横轴向右滚动一周，则向右运动的距离为：，
即此时圆心的向右运动的距离为：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查坐标与图形变化及圆的周长，圆滚动时圆心纵坐标不变，圆心沿轴移动距离等于圆的周长，结合初始圆心坐标，确定坐标。
三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算，分别计算立方根、算术平方根、绝对值，再将结果相加。
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，箭头图形的顶点分别在格点（网格线的交点）上．
（1）请在网格图中画出该箭头图形向右平移8个单位长度后的图形，点，点，点的对应点分别为；
（2）线段与的位置关系是__________，线段的长度是__________．
【答案】（1）解：平移后的图形如图所示：
（2），9
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）根据平行的性质可得，，
故答案为：，9．
【分析】（1）本题考查平移作图，将箭头各顶点向右平移8个单位，顺次连接对应顶点得到平移后图形；
（2）本题考查平移性质，平移后对应线段平行，长度为与平移距离8之和，直接计算得出。
（1）解：平移后的图形如图所示：
（2）根据平行的性质可得，，
故答案为：，9．
四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
18．解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
【答案】解：
由①得：，
由②得：，
该不等式组的解集是，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组解法，分别解两个不等式，取解集的公共部分为不等式组解集，再按数轴表示规则画出解集。
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都落在格点上，各顶点的坐标分别为：，完成下列问题．
（1）在图中描出A，B，C三点；
（2）顺次连接A，B，C三点构成，求的面积．
【答案】（1）如图所示；
（2）如图所示，
，
的面积是．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系描点，根据坐标在格点上标记对应点；
（2）本题考查坐标系中三角形面积计算，以为底，求出点到的水平距离为高，用计算面积。
（1）如图所示；
（2）如图所示，
，
的面积是．
20．解方程组．
【答案】解：把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】本题考查三元一次方程组解法，用代入消元法，将代入求，再代入求，最后代入求。
21．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程．
（1）如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长．
解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得___________________．
答：该大正方形的边长是_________________．
（2）如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长．
【答案】（1）
（2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则
由边长的实际意义，得
答：该大正方形的边长是．
该大正方形的边长是
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得．
答：该大正方形的边长是
故答案为：．
【分析】（1）本题考查算术平方根应用，大正方形面积为2，设边长为，由，根据算术平方根定义得边长；
（2）本题仿照(1)思路，大正方形面积为5，设边长为，由，求算术平方根得边长。
（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得．
答：该大正方形的边长是
故答案为：．
（2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则
由边长的实际意义，得
答：该大正方形的边长是．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
22．为了加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个，已知1个水基灭火器和1个干粉灭火器共270元，2个水基灭火器和3个干粉灭火器共660元．
（1）求这种型号的水基灭火器和干粉灭火器的单价；
（2）若学校购买这两种灭火器的总价不超过6300元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】（1）解：设这种型号的水基灭火器的单价为元，干粉灭火器的单价为元．
根据题意可得方程组：
解方程组得：
答：这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
（2）设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意，可得：，
解不等式，得，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组实际应用，设水基、干粉灭火器单价为、元，根据总价关系列方程组求解；
（2）本题考查一元一次不等式实际应用，设买水基灭火器个，根据总价限制列不等式，取最大整数解。
（1）解：设这种型号的水基灭火器的单价为元，干粉灭火器的单价为元．
根据题意可得方程组：
解方程组得：
答：这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
（2）设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意，可得：，
解不等式，得，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个
23．如图，点是内的一点，已知，垂足分别为点，点．连接，点是上的一点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为
（2）由（1）得：，
又，
，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线判定与性质，由、得，同旁内角互补得，代入计算；
（2）本题考查平行线判定，由同角补角相等得，内错角相等证。
（1）解：，
，
，
，
的度数为
（2）由（1）得：，
又，
，
．
24．某中学食堂对新研发点心的咸度偏好展开调查，形成了如下表所示的调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校学生对该款点心咸度的接受程度； 2．为学校优化点心配方提供科学依据．
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分学生
调查内容 请根据你的品尝体验，对该款点心的咸度评分（单选）： A．太咸 B．稍咸 C．适中 D．稍淡 E．太淡
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查被抽查学生共有________人，认为“稍咸”的学生有________人，认为为“太淡”所在扇形的圆心角的大小是________度；
（2）若食堂计划为全校1200名学生供应这款点心，预计有多少名学生认为咸度为“适中”？
【答案】（1），，
（2）由题意，可得学生认为咸度“适中”的人数为：（人）．答：预计有名学生认为咸度“适中”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意，∵太咸的4人，占，
∴本次调查被抽查学生共有（人）．
∴认为“稍咸”的学生有：（人），认为“太淡”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：；；．
【分析】（1）本题考查扇形统计图计算，由“太咸”人数及占比求总人数，总人数乘“稍咸”占比得人数，“太淡”占比乘得圆心角；
（2）本题考查样本估计总体，用样本“适中”占比乘全校人数得预计人数。
（1）解：由题意，∵太咸的4人，占，
∴本次调查被抽查学生共有（人）．
∴认为“稍咸”的学生有：（人），认为“太淡”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：；；．
（2）由题意，可得学生认为咸度“适中”的人数为：（人）．
答：预计有名学生认为咸度“适中”．
六、解答题(四)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25．探究与应用：二元一次方程的为“图象”
【知识结构】
我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现．
【操作提炼】
（1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来．
… -2 0
…
…
0 1 2 …
（2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形．
（3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）．
【拓展应用】
（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解．
（5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程．
【答案】解：（1）符合方程的解的每对x，y的值如下表所示；
… -2 0 1 …
… -4 -1 0 1 2 …
以这些解为坐标的点的位置如图1所示；
（2）2a；
（3）直线；
（4）两个方程的图象如图2所示，
该方程组的解是
（5）
（答案不唯一，除外写一个关于x，y且一组解是的二元一次方程即可．）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程的解，代入值求值，完成表格后按坐标描点；（2）本题考查方程解的规律，将代入，得；（3）本题考查方程图象特征，二元一次方程有无数组解，对应点连成直线；（4）本题考查方程组与函数图象关系，两直线交点坐标为方程组解；（5）本题考查方程构造，代入求交点纵坐标，写出满足该点的二元一次方程。
26．【问题背景】
如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且．
（1）求证：平分；
【拓展迁移】
（2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设．
（1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；
（2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
【答案】（1）证明：如图1，，
，
又，
，
平分；
（2）①如图2，平分，
，
又平分，
，
又，
又∵，
，
，
又，
，
又，
即，
，
当时，；
②或，
当点在点的左侧时，由①知：；
当点在点的右侧时，如图3，
，
又，
，
平分，
，
又平分，
，
又
．
综上所述，和之间的数量关系或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）本题考查平行线性质与角平分线证明，由得，结合，等量代换得，证平分；
（2）①本题考查角平分线与平行线综合应用，由角平分线得，结合得，再由平行线性质得，代入计算；②本题考查动点角度关系，分在左、右两侧，结合角平分线与平行线性质，推导或。
1 / 1广东省东莞市2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．下列各图中，与是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．对的描述不正确的是（　　）
A．是一个负数 B．是一个实数
C．是一个无理数 D．是一个有理数
4．为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的（　　）
A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本
5．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是一片叶子标本放在平面直角坐标系下，若表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．对命题“同位角相等”的描述正确的是（　　）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角
C．是定理 D．结论：是同位角
8．将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图显示了某地连续5天的日最低气温，则能表示这5天日最低气温变化情况的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，长方形内两个正方形的面积分别为5，1，则图中两块阴影部分的面积之和为（　　）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分、共15分）请将下列各题正确答案填在答题卡相应的位置上．
11．实数8的立方根是　 　．
12．已知，则　 　．（填写“>”或“<”）
13．如图，烧杯内液体表面与烧标下底都平行，光线从液体中射向空气时发生折射，已知，则的度数为　 　．
14．已知x，y满足方程组，则xy的值为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿轴正方向滚动一周，圆上一点由原点到达点，圆心也从点到达点．点的坐标为　 　．
三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
16．计算：．
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，箭头图形的顶点分别在格点（网格线的交点）上．
（1）请在网格图中画出该箭头图形向右平移8个单位长度后的图形，点，点，点的对应点分别为；
（2）线段与的位置关系是__________，线段的长度是__________．
四、解答题（二）（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
18．解不等式组，并把它的解集在如图的数轴上表示出来．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点都落在格点上，各顶点的坐标分别为：，完成下列问题．
（1）在图中描出A，B，C三点；
（2）顺次连接A，B，C三点构成，求的面积．
20．解方程组．
21．阅读与思考，请先完成第（1）小题的填空，再仿照完成第（2）小题的解答过程．
（1）如图1是2个面积为1的小正方形，对所给图形进行分割，拼成如图2面积为2的大正方形，求大正方形的边长．
解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得___________________．
答：该大正方形的边长是_________________．
（2）如图3是由5个面积为1的小正方形拼成的图形，按图中方式裁剪，可以拼成一个如图4的大正方形，求大正方形的边长．
五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
22．为了加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个，已知1个水基灭火器和1个干粉灭火器共270元，2个水基灭火器和3个干粉灭火器共660元．
（1）求这种型号的水基灭火器和干粉灭火器的单价；
（2）若学校购买这两种灭火器的总价不超过6300元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
23．如图，点是内的一点，已知，垂足分别为点，点．连接，点是上的一点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若，求证：．
24．某中学食堂对新研发点心的咸度偏好展开调查，形成了如下表所示的调查报告（不完整）．
调查目的 1．了解本校学生对该款点心咸度的接受程度； 2．为学校优化点心配方提供科学依据．
调查方式 随机抽样调查 调查对象 部分学生
调查内容 请根据你的品尝体验，对该款点心的咸度评分（单选）： A．太咸 B．稍咸 C．适中 D．稍淡 E．太淡
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查被抽查学生共有________人，认为“稍咸”的学生有________人，认为为“太淡”所在扇形的圆心角的大小是________度；
（2）若食堂计划为全校1200名学生供应这款点心，预计有多少名学生认为咸度为“适中”？
六、解答题(四)(本大题共2小题，每小题10分，共20分)
25．探究与应用：二元一次方程的为“图象”
【知识结构】
我们知道二元一次方程有无数组解，每一组解就是一组有序数对，而一组有序数对在平面直角坐标系中以坐标的点呈现．
【操作提炼】
（1）操作填表：使上下每对x，y的值是方程的解，并将以这些解为坐标的点在平面直角坐标系（图1）中描出来．
… -2 0
…
…
0 1 2 …
（2）提炼1：所有满足“任意一个实数，与该实数的2倍组成的有序数对就是的一组解”，即是的一组解，以其所有的解为坐标的点能形成连续不断的图形．
（3）提炼2：一般地，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是一条____________（填“线段”“射线”或“直线”）．
【拓展应用】
（4）根据以上结论，在同一平面直角坐标系（图2）中画出二元一次方程组两个二元一次方程的图象，请直接写出该方程组的解．
（5）若二元一次方程的图象与另一个二元一次方程的图象的交点的横坐标是，请直接写出一个符合条件的二元一次方程．
26．【问题背景】
如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且．
（1）求证：平分；
【拓展迁移】
（2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设．
（1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值；
（2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点位于第二象限，
故答案为：B．
【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，根据各象限的点的坐标的符号特征判断即可．
2．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
B.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
C.与是对顶角，故该选项符合题意；
D.与不是对顶角，故该选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查对顶角的定义，判断依据为“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线”，逐一分析各选项角的位置关系，即可找出符合定义的对顶角。
3．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：选项A：负数是指小于0的数，故为负数，正确；
选项B：实数包括有理数和无理数，为无理数，属于实数，正确；
选项C：无理数是不能表示为分数形式的数，为无理数，正确；
选项D：有理数可表示为整数或分数，是无理数，故D错误；
故选：D．
【分析】本题考查实数的分类及基本概念，结合负数、实数、有理数、无理数定义判断，小于0属于负数，实数包含有理数和无理数，是无限不循环小数，故是无理数，并非有理数。
4．【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，则在该调查中，40是样本容量；
故选：B．
【分析】本题考查统计调查中总体、个体、样本、样本容量的概念，样本容量是样本中个体的数目，本次抽取40名学生，40代表样本的数量，因此是样本容量。
5．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
移项得：，
化简得：，
故选：C．
【分析】本题考查一元一次不等式的解法，对不等式进行移项操作，将常数项1移到右侧，合并后直接得出解集，移项时不等号方向不改变。
6．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵表示叶柄“底部”的点的坐标为，表示叶片“顶部”的点的坐标为，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标是，
故选：．
【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标确定位置，先根据点A、B的坐标确定坐标轴的位置，再结合网格格点的位置，直接读取点D的坐标。
7．【答案】B
【知识点】同位角的概念；真命题与假命题；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查命题的结构与真假判断，将命题改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，明确题设和结论，同位角相等仅在两直线平行时成立，原命题是假命题，定理需为真命题，据此判断正确选项。
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：根据两直线平行，同位角相等，可得，
∵三角板的顶角是直角，
∴，
∴，故与不一定相等；
根据两直线平行，同旁内角互补，可得，，
∵与不一定相等
∴与不一定相等；
∵，
∴不一定等于；
观察四个选项，选项C符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查平行线的性质与直角三角尺的角度特征，根据两直线平行同旁内角互补，可得，结合直角三角尺的直角特征，逐一排除错误选项。
9．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由五日气温为得到，，
∴气温变化为先下降，然后上升，再上升，再下降．
故答案为：A．
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
10．【答案】B
【知识点】实数的混合运算（含开方）；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵正方形和正方形的面积分别为5，1，
∴正方形和正方形的边长分别为，1，
∴，
∴
，
故选：B．
【分析】本题考查实数运算与正方形、长方形面积计算，由正方形面积得边长分别为和1，进而得出长方形的长和宽，用长方形面积减去两个正方形面积，得到阴影部分面积和。
11．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】∵ 23=8，
∴ 8的立方根是2．
故答案为：2．
【分析】本题考查了立方根的定义，找出2的立方是8是解题的关键．
12．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：>．
【分析】本题考查不等式的基本性质，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，给两边同时加，即可判断大小关系。
13．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
，
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质，由得同位角，再利用角的和差，用减去求出。
14．【答案】2
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：
将①代入②，可得：，
解得：，
将代入①，可得：；
当，时，
；
故答案为：2
【分析】本题考查二元一次方程组求解与代数式求值，用代入消元法，将代入，先求再求，最后计算。
15．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】由图可知：，
根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为，
根据沿横轴向右滚动一周，则向右运动的距离为：，
即此时圆心的向右运动的距离为：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查坐标与图形变化及圆的周长，圆滚动时圆心纵坐标不变，圆心沿轴移动距离等于圆的周长，结合初始圆心坐标，确定坐标。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】求有理数的绝对值的方法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数混合运算，分别计算立方根、算术平方根、绝对值，再将结果相加。
17．【答案】（1）解：平移后的图形如图所示：
（2），9
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）根据平行的性质可得，，
故答案为：，9．
【分析】（1）本题考查平移作图，将箭头各顶点向右平移8个单位，顺次连接对应顶点得到平移后图形；
（2）本题考查平移性质，平移后对应线段平行，长度为与平移距离8之和，直接计算得出。
（1）解：平移后的图形如图所示：
（2）根据平行的性质可得，，
故答案为：，9．
18．【答案】解：
由①得：，
由②得：，
该不等式组的解集是，
在数轴上表示该不等式组的解集如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组解法，分别解两个不等式，取解集的公共部分为不等式组解集，再按数轴表示规则画出解集。
19．【答案】（1）如图所示；
（2）如图所示，
，
的面积是．
【知识点】点的坐标；三角形的面积
【解析】【分析】（1）本题考查平面直角坐标系描点，根据坐标在格点上标记对应点；
（2）本题考查坐标系中三角形面积计算，以为底，求出点到的水平距离为高，用计算面积。
（1）如图所示；
（2）如图所示，
，
的面积是．
20．【答案】解：把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
把代入中，得，
，
∴方程组的解为．
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】本题考查三元一次方程组解法，用代入消元法，将代入求，再代入求，最后代入求。
21．【答案】（1）
（2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则
由边长的实际意义，得
答：该大正方形的边长是．
该大正方形的边长是
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得．
答：该大正方形的边长是
故答案为：．
【分析】（1）本题考查算术平方根应用，大正方形面积为2，设边长为，由，根据算术平方根定义得边长；
（2）本题仿照(1)思路，大正方形面积为5，设边长为，由，求算术平方根得边长。
（1）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为2，则
由边长的实际意义，得．
答：该大正方形的边长是
故答案为：．
（2）解：设大正方形的边长为，由于拼成的大正方形的面积为5，则
由边长的实际意义，得
答：该大正方形的边长是．
22．【答案】（1）解：设这种型号的水基灭火器的单价为元，干粉灭火器的单价为元．
根据题意可得方程组：
解方程组得：
答：这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
（2）设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意，可得：，
解不等式，得，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程组实际应用，设水基、干粉灭火器单价为、元，根据总价关系列方程组求解；
（2）本题考查一元一次不等式实际应用，设买水基灭火器个，根据总价限制列不等式，取最大整数解。
（1）解：设这种型号的水基灭火器的单价为元，干粉灭火器的单价为元．
根据题意可得方程组：
解方程组得：
答：这种型号的水基灭火器的单价为150元，干粉灭火器的单价为120元
（2）设购买这种型号的水基灭火器个，则购买干粉灭火器个，
根据题意，可得：，
解不等式，得，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器10个
23．【答案】（1）解：，
，
，
，
的度数为
（2）由（1）得：，
又，
，
．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）本题考查平行线判定与性质，由、得，同旁内角互补得，代入计算；
（2）本题考查平行线判定，由同角补角相等得，内错角相等证。
（1）解：，
，
，
，
的度数为
（2）由（1）得：，
又，
，
．
24．【答案】（1），，
（2）由题意，可得学生认为咸度“适中”的人数为：（人）．答：预计有名学生认为咸度“适中”．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意，∵太咸的4人，占，
∴本次调查被抽查学生共有（人）．
∴认为“稍咸”的学生有：（人），认为“太淡”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：；；．
【分析】（1）本题考查扇形统计图计算，由“太咸”人数及占比求总人数，总人数乘“稍咸”占比得人数，“太淡”占比乘得圆心角；
（2）本题考查样本估计总体，用样本“适中”占比乘全校人数得预计人数。
（1）解：由题意，∵太咸的4人，占，
∴本次调查被抽查学生共有（人）．
∴认为“稍咸”的学生有：（人），认为“太淡”所在扇形的圆心角为：．
故答案为：；；．
（2）由题意，可得学生认为咸度“适中”的人数为：（人）．
答：预计有名学生认为咸度“适中”．
25．【答案】解：（1）符合方程的解的每对x，y的值如下表所示；
… -2 0 1 …
… -4 -1 0 1 2 …
以这些解为坐标的点的位置如图1所示；
（2）2a；
（3）直线；
（4）两个方程的图象如图2所示，
该方程组的解是
（5）
（答案不唯一，除外写一个关于x，y且一组解是的二元一次方程即可．）
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；描点法画函数图象
【解析】【分析】（1）本题考查二元一次方程的解，代入值求值，完成表格后按坐标描点；（2）本题考查方程解的规律，将代入，得；（3）本题考查方程图象特征，二元一次方程有无数组解，对应点连成直线；（4）本题考查方程组与函数图象关系，两直线交点坐标为方程组解；（5）本题考查方程构造，代入求交点纵坐标，写出满足该点的二元一次方程。
26．【答案】（1）证明：如图1，，
，
又，
，
平分；
（2）①如图2，平分，
，
又平分，
，
又，
又∵，
，
，
又，
，
又，
即，
，
当时，；
②或，
当点在点的左侧时，由①知：；
当点在点的右侧时，如图3，
，
又，
，
平分，
，
又平分，
，
又
．
综上所述，和之间的数量关系或．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）本题考查平行线性质与角平分线证明，由得，结合，等量代换得，证平分；
（2）①本题考查角平分线与平行线综合应用，由角平分线得，结合得，再由平行线性质得，代入计算；②本题考查动点角度关系，分在左、右两侧，结合角平分线与平行线性质，推导或。
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