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广东省广州市黄埔区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各组解中哪个是二元一次方程组的解（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．子涵同学调查并记录了8位男同学和他们的父亲的身高．用图中的趋势图描述儿子身高与父亲身高之间的关系，请你根据趋势图，估计当父亲身高为时儿子的身高最有可能是（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．相等的两个角是对顶角
D．两个锐角的和是钝角
7．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11． 　 　．
12．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用的调查方式为　 　（填写“全面调查”或“抽样调查”）
13．不等式的正整数解是　 　．
14．如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是　 　，路程是　 　千米．
15．若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为　 　．
16．市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了　 　块大正方形地砖．
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
18．计算：
19．如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
（1）画出平移后的三角形，写出的坐标；
（2）连接，D为上的动点，求出的最小值．
20．某校为了调查七年级学生有理数混合运算能力，从七年级400名学生中随机抽取50名学生参加测试，对这50名学生同时进行30个有理数混合运算的考查，每做正确1个得1分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图如下所示：
组别 成绩x（分） 频数（人数）
第1组 4
第2组 8
第3组 16
第4组
第5组
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于15分为合格，请你估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数．
21．如图，的平分线交的平分线于点M，交于点N，若．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
22．全球气候变暖是当今世界面临的重大挑战之一．我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．为了更好的节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯，A车间购买了2盏甲型节能灯和3盏乙型节能灯，共花费34元；B车间购买了4盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费36元．
（1）1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
（2）若该工厂准备购进甲型和乙型两种型号的节能灯共200盏，且购买资金不超过1400元，那么这个工厂至少要购买甲型节能灯多少盏？
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根．
（1）直接写出：______，______，______；
（2）将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点
①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标；
②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标．
24．【材料阅读】亲爱的同学，请耐心阅读、仔细体会，你将豁然开朗！
二元一次方程有无数个解，如，，，，…在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线l上（如图1所示），且该直线l上任意点的坐标都是方程的解．事实上，以任意二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，我们把这条直线叫做该方程的图象．
【理解运用】
（1）下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号）
①，②，③，④．
（2）在图2所示的平面直角坐标系中，分别画出方程的图象直线和方程的图象直线，直线与相交于点M，求点M的坐标．
【问题延伸】
（3）若点和点分别在（2）中直线和直线上，且线段，求m的取值范围．
25．【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品．
活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①-图②-图③-图④．
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，因为，所以，依据是______．
活动二：张华在框架做好以后，他在P、Q两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线从开始，绕点P以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回，若射线转动20秒后，射灯Q发出的射线从开始，绕点Q以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回．
（2）在射线第一次到达之前，当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①______用含t的式子表示；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出秒时的图形，求此时的度数．
【问题探究】
（3）在（2）的条件下，求当t为何值时．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数；
B．是整数，属于有理数；
C．是分数，属于有理数；
D．因为不是完全立方数（如，），无法表示为整数比，属于无理数．
故选D．
【分析】本题考查无理数的定义及立方根的判断，无理数是无限不循环小数且无法表示为两个整数的比值，据此逐一分析选项。是有限小数属于有理数，是整数属于有理数，是分数属于有理数，中不是完全立方数，不能化为整数比值，因此属于无理数。
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去b，得，故本选项错误；
B、不等式两边同乘，得，故本选项错误；
C、不等式两边同乘，得，故本选项错误；
D、不等式两边同时减去3，得，故本选项正确．
故选：D
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式两边加减乘除运算的符号变化规则判断。不等式两边减，不等号方向不变，得，A错误；两边乘，不等号方向改变，得，B错误；两边乘，不等号方向不变，得，C错误；两边减，不等号方向不变，得，D正确。
3．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：，即，解得：；
将代入①得：，解得．
所以方程组的解为．
故选C．
【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元解法，将方程组中两个方程相加可消去未知数，得到，解得，再把代入，求出，即可确定方程组的解。
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上方，y轴左侧，
∴点P在第二象限，
∵点P到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征及点到坐标轴的距离规律，先由位置判断点在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，再根据点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值，得出横坐标为，纵坐标为，确定点坐标。
5．【答案】B
【知识点】趋势图
【解析】【解答】解：趋势图如图所示：
根据趋势图，估计当父亲身高为时儿子的身高最有可能是．
故选：．
【分析】本题考查根据散点趋势图进行数据估算，观察趋势图中父亲身高对应的儿子身高分布区间，结合数据点的整体变化趋势，选取最贴合的数值。
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理，这两条直线必平行．故A为真命题，符合题意；
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行．若两直线不平行，同旁内角不互补．因此B是假命题，不符合题意；
C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
D．两个锐角的和可能为锐角（如）、直角（如）或钝角（如），因此D是假命题，不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查平行线判定、对顶角定义及角的分类相关命题真假判断，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线方向一致，必然平行，A为真命题；同旁内角互补的前提是两直线平行，B错误；对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，C错误；两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，D错误。
7．【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵代数式与是同类项，
∴，
∴，．
故选：C．
【分析】本题考查同类项的核心定义，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数完全相等，由此可得的指数，的指数，代入即可求出的值。
8．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故答案为：C．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，则正数x就是a的算术平方根，据此求出16的算术平方根，然后判断其与2的大小，如果不小于2，将其作为新的输入数再求算术平方根，这样循环下去直至所求算术平方根小于2输出即可.
9．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳子长为尺，木头长为尺．
由题意可得．
故选D．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，提炼题干中的两个等量关系，绳长减去木长等于剩余绳长尺，木长减去对折后绳长等于剩余木长尺，据此列出对应方程组。
=
10．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
∵不等式组无解，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数范围，先分别求解两个不等式，得到和，不等式组无解说明两个解集无公共部分，即，解此不等式即可得到的取值范围。
11．【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： .
12．【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用的调查方式为抽样调查.
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析。普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查。
13．【答案】1、
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
满足题意的正整数解是、，
故答案为：、．
【分析】本题考查一元一次不等式的求解与正整数解筛选，先通过移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到，再找出满足条件的正整数。
14．【答案】北偏西；20
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西，路程是千米
故答案为：北偏西，
【分析】本题考查方向角的应用与路程计算，去程与返程方向相反、角度相等，路程根据路程=速度×时间计算，速度为千米/小时，时间为小时，算出路程为千米，方向为北偏西。
15．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组，
得：，
整理得：，
，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的解与参数求解，将方程组中两个方程直接相加，化简后得到，再结合已知，建立关于的方程求解。
16．【答案】64
【知识点】推理与论证；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个，
红框边长为：，
正方形场地内基本单元的数量为：，
大正方形的数量为：（个）
故答案为：
【分析】本题考查图形规律推理与面积计算，先找出铺设的最小重复基本单元，确定每个单元含块大地砖，再计算边长场地包含的基本单元数量，两者相乘得到大地砖总数。
17．【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
将解集表示在数轴上如下：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式，再依据不等式组解集口诀确定公共解集，最后在数轴上标注解集范围。
18．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，依次计算立方根、算术平方根，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并计算结果，其中，，，绝对值化简为。
19．【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
由图可得，的坐标为
（2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，
的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)本题考查平移变换的作图与坐标变化规律，点的平移规则为向右平移个单位、向上平移个单位，将各顶点按此规律平移，即可确定的坐标；
(2)本题考查垂线段最短的几何性质，过点作的垂线段，该垂线段的长度就是的最小值。
（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
由图可得，的坐标为
（2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，
的最小值为．
20．【答案】（1）解：根据频数分布直方图可得，
则；
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是．
答：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是304．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】(1)本题考查频数分布表的计算，所有组的频数之和为总人数，用总数减去其他组的频数即可求出；
(2)本题考查频数分布直方图的补全，依据频数表中的数据绘制对应高度的矩形；
(3)本题考查用样本估计总体，先计算样本中合格人数的占比，再乘以总人数得到估计值。
（1）解：根据频数分布直方图可得，
则；
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是．
答：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是304．
21．【答案】（1）证明：∵和 的平分线交于点E，∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)本题考查角平分线定义与平行线的判定，由角平分线得，，结合推出，依据同旁内角互补判定两直线平行；
(2)本题考查角平分线与平行线的性质，先求出，得，再利用平行线的性质求出。
（1）证明：∵和 的平分线交于点E，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是8元；
（2）解：设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
答：这个工厂至少要购买甲型节能灯67盏．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲、乙节能灯单价为、元，根据两组购买费用的等量关系列方程组求解；
(2)本题考查一元一次不等式的应用，设甲型买盏，乙型买盏，根据总费用不超过元列不等式，取正整数最小值。
（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是8元；
（2）解：设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
答：这个工厂至少要购买甲型节能灯67盏．
23．【答案】（1）；5；
（2）解：①由得，，，
线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段，
如图，线段即为所求．
点D的坐标为
②设点N的坐标为，
三角形的面积是12，
，
解得或1，
点N的坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：，
，，
，
是64的立方根，
故答案为：；5；
【分析】(1)本题考查非负数的性质与立方根定义，算术平方根和绝对值均为非负数，和为则各项分别为，求出、，的立方根为得；
(2)①本题考查平移坐标变化规律，由到的平移变化推导到的坐标；②本题考查三角形面积公式，设，根据面积公式列方程求解。
（1）解：，
，，
，
是64的立方根，
故答案为：；5；
（2）解：①由得，，，
线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段，
如图，线段即为所求．
点D的坐标为
②设点N的坐标为，
三角形的面积是12，
，
解得或1，
点N的坐标为或
24．【答案】（1）①②④
（2）解：根据题意画图如图所示：
联立，
解得，
点M的坐标为．
（3）
解：点和点分别在直线和上，
，，
，，
；
又，
，
，
解得．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：当时，有，则，故①在的图象上．
当时，有，则，故②在的图象上．
当时，有，则，故③不在的图象上．
当时，有，则，故④在的图象上．
故答案为：①②④．
【分析】（1）将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）将点坐标代入解析式可得，，根据两点间距离，结合提建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．【答案】（1）垂直，内错角相等，两直线平行；
（2）①；
②当时，，，
如图：
作，
，
，
，，
；
当时，运动停止，
，
，
①当时，在垂直方向右侧，如图：
，
，
，
，
，
即，
，
解得：；
②当时，如图：
同理可得：，
，
解得：；
③当时，如上图，
同理可得：，
，
解得：，不符合题意；
综上所述，或
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
内错角相等，两直线平行；
故答案为：垂直，内错角相等，两直线平行；
①当时，，
转动过程中，，
故答案为：；
【分析】(1)本题考查折叠的性质与平行线判定，折叠的性质可得，内错角相等可判定两直线平行；
(2)①本题考查旋转角度与时间的关系，先转秒再转秒，角度为；②本题考查平行线的性质求角度，过交点作平行线，利用内错角、同旁内角的关系计算；
(3)本题考查平行线性质与旋转角度的方程求解，分不同旋转阶段列方程，筛选符合条件的值。
1 / 1广东省广州市黄埔区2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列实数中，无理数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A．是有限小数，属于有理数；
B．是整数，属于有理数；
C．是分数，属于有理数；
D．因为不是完全立方数（如，），无法表示为整数比，属于无理数．
故选D．
【分析】本题考查无理数的定义及立方根的判断，无理数是无限不循环小数且无法表示为两个整数的比值，据此逐一分析选项。是有限小数属于有理数，是整数属于有理数，是分数属于有理数，中不是完全立方数，不能化为整数比值，因此属于无理数。
2．若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式两边同时减去b，得，故本选项错误；
B、不等式两边同乘，得，故本选项错误；
C、不等式两边同乘，得，故本选项错误；
D、不等式两边同时减去3，得，故本选项正确．
故选：D
【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式两边加减乘除运算的符号变化规则判断。不等式两边减，不等号方向不变，得，A错误；两边乘，不等号方向改变，得，B错误；两边乘，不等号方向不变，得，C错误；两边减，不等号方向不变，得，D正确。
3．下列各组解中哪个是二元一次方程组的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①+②得：，即，解得：；
将代入①得：，解得．
所以方程组的解为．
故选C．
【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元解法，将方程组中两个方程相加可消去未知数，得到，解得，再把代入，求出，即可确定方程组的解。
4．在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P在x轴上方，y轴左侧，
∴点P在第二象限，
∵点P到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，
∴，
∴；
故选：A．
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征及点到坐标轴的距离规律，先由位置判断点在第二象限，横坐标为负、纵坐标为正，再根据点到轴距离等于纵坐标绝对值，到轴距离等于横坐标绝对值，得出横坐标为，纵坐标为，确定点坐标。
5．子涵同学调查并记录了8位男同学和他们的父亲的身高．用图中的趋势图描述儿子身高与父亲身高之间的关系，请你根据趋势图，估计当父亲身高为时儿子的身高最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】趋势图
【解析】【解答】解：趋势图如图所示：
根据趋势图，估计当父亲身高为时儿子的身高最有可能是．
故选：．
【分析】本题考查根据散点趋势图进行数据估算，观察趋势图中父亲身高对应的儿子身高分布区间，结合数据点的整体变化趋势，选取最贴合的数值。
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C．相等的两个角是对顶角
D．两个锐角的和是钝角
【答案】A
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A．在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们的方向相同，根据平行线判定定理，这两条直线必平行．故A为真命题，符合题意；
B．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补的前提是两直线平行．若两直线不平行，同旁内角不互补．因此B是假命题，不符合题意；
C．对顶角一定相等，但相等的角未必是对顶角，故C是假命题，不符合题意；
D．两个锐角的和可能为锐角（如）、直角（如）或钝角（如），因此D是假命题，不符合题意．
故选：A．
【分析】本题考查平行线判定、对顶角定义及角的分类相关命题真假判断，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线方向一致，必然平行，A为真命题；同旁内角互补的前提是两直线平行，B错误；对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，C错误；两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，D错误。
7．已知代数式与是同类项，那么m、n的值分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵代数式与是同类项，
∴，
∴，．
故选：C．
【分析】本题考查同类项的核心定义，同类项要求所含字母相同且相同字母的指数完全相等，由此可得的指数，的指数，代入即可求出的值。
8．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：根据题意可知，当输入x的值为16时，
，
，
把4再次输入数值转换器，
，
，
把2再次输入数值转换器，
．
故答案为：C．
【分析】如果一个正数x的平方等于a，则正数x就是a的算术平方根，据此求出16的算术平方根，然后判断其与2的大小，如果不小于2，将其作为新的输入数再求算术平方根，这样循环下去直至所求算术平方根小于2输出即可.
9．《孙子算经》是中国南北朝数学著作，是《算经十书》之一，书中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．如果设绳子长x尺，木头长y尺，那么所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绳子长为尺，木头长为尺．
由题意可得．
故选D．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，提炼题干中的两个等量关系，绳长减去木长等于剩余绳长尺，木长减去对折后绳长等于剩余木长尺，据此列出对应方程组。
=
10．若不等式组无解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式，得：；
解不等式，得：；
∵不等式组无解，
∴，解得：．
故选：D．
【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数范围，先分别求解两个不等式，得到和，不等式组无解说明两个解集无公共部分，即，解此不等式即可得到的取值范围。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11． 　 　．
【答案】
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解： .
12．调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用的调查方式为　 　（填写“全面调查”或“抽样调查”）
【答案】抽样调查
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：调查某批次汽车的抗撞击能力，适宜采用的调查方式为抽样调查.
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析。普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查。
13．不等式的正整数解是　 　．
【答案】1、
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：，
，
，
，
满足题意的正整数解是、，
故答案为：、．
【分析】本题考查一元一次不等式的求解与正整数解筛选，先通过移项、合并同类项、系数化为1解不等式，得到，再找出满足条件的正整数。
14．如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是　 　，路程是　 　千米．
【答案】北偏西；20
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西，路程是千米
故答案为：北偏西，
【分析】本题考查方向角的应用与路程计算，去程与返程方向相反、角度相等，路程根据路程=速度×时间计算，速度为千米/小时，时间为小时，算出路程为千米，方向为北偏西。
15．若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：方程组，
得：，
整理得：，
，
，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组的解与参数求解，将方程组中两个方程直接相加，化简后得到，再结合已知，建立关于的方程求解。
16．市政部门决定对公园的广场重新整修，按照图中的排列方式重新铺设广场地砖，需要用到两种规格的正方形地砖，其中一种是边长为的大正方形地砖，一种是边长为的小正方形地砖．为节约成本，铺设边缘部分时，可以将大正方形瓷砖分割成相等的两块使用．经过一段时间工作后，工人们已经铺设了一块边长为的正方形场地，那么他至少使用了　 　块大正方形地砖．
【答案】64
【知识点】推理与论证；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：如图：
可以发现，红框部分是一个可重复的基本单元，每个基本单元内大正方形的数量为4个，
红框边长为：，
正方形场地内基本单元的数量为：，
大正方形的数量为：（个）
故答案为：
【分析】本题考查图形规律推理与面积计算，先找出铺设的最小重复基本单元，确定每个单元含块大地砖，再计算边长场地包含的基本单元数量，两者相乘得到大地砖总数。
三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为
将解集表示在数轴上如下：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的求解与数轴表示，先分别求解两个不等式，再依据不等式组解集口诀确定公共解集，最后在数轴上标注解集范围。
18．计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，依次计算立方根、算术平方根，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并计算结果，其中，，，绝对值化简为。
19．如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形．
（1）画出平移后的三角形，写出的坐标；
（2）连接，D为上的动点，求出的最小值．
【答案】（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
由图可得，的坐标为
（2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，
的最小值为．
【知识点】垂线段最短及其应用；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)本题考查平移变换的作图与坐标变化规律，点的平移规则为向右平移个单位、向上平移个单位，将各顶点按此规律平移，即可确定的坐标；
(2)本题考查垂线段最短的几何性质，过点作的垂线段，该垂线段的长度就是的最小值。
（1）解：由题意得，三角形ABC向右平移4个单位长度，向上平移3个单位长度得到三角形，
如图，三角形即为所求．
由图可得，的坐标为
（2）解：过点C作的垂线，交于点D，此时取得最小值，
的最小值为．
20．某校为了调查七年级学生有理数混合运算能力，从七年级400名学生中随机抽取50名学生参加测试，对这50名学生同时进行30个有理数混合运算的考查，每做正确1个得1分，根据测试成绩绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图如下所示：
组别 成绩x（分） 频数（人数）
第1组 4
第2组 8
第3组 16
第4组
第5组
请结合图表完成下列各题：
（1）求表中的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若测试成绩不低于15分为合格，请你估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数．
【答案】（1）解：根据频数分布直方图可得，
则；
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是．
答：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是304．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】(1)本题考查频数分布表的计算，所有组的频数之和为总人数，用总数减去其他组的频数即可求出；
(2)本题考查频数分布直方图的补全，依据频数表中的数据绘制对应高度的矩形；
(3)本题考查用样本估计总体，先计算样本中合格人数的占比，再乘以总人数得到估计值。
（1）解：根据频数分布直方图可得，
则；
（2）解：补全频数分布直方图如图所示：
（3）解：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是．
答：估计该校七年级学生有理数混合运算能力测试合格的人数是304．
21．如图，的平分线交的平分线于点M，交于点N，若．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵和 的平分线交于点E，∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】(1)本题考查角平分线定义与平行线的判定，由角平分线得，，结合推出，依据同旁内角互补判定两直线平行；
(2)本题考查角平分线与平行线的性质，先求出，得，再利用平行线的性质求出。
（1）证明：∵和 的平分线交于点E，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
22．全球气候变暖是当今世界面临的重大挑战之一．我国承诺，二氧化碳排放力争于2030年前“碳达峰”，2060年前实现“碳中和”．为了更好的节能减排，一家工厂将照明灯换成了节能灯，A车间购买了2盏甲型节能灯和3盏乙型节能灯，共花费34元；B车间购买了4盏甲型节能灯和2盏乙型节能灯，共花费36元．
（1）1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元？
（2）若该工厂准备购进甲型和乙型两种型号的节能灯共200盏，且购买资金不超过1400元，那么这个工厂至少要购买甲型节能灯多少盏？
【答案】（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是8元；
（2）解：设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
答：这个工厂至少要购买甲型节能灯67盏．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲、乙节能灯单价为、元，根据两组购买费用的等量关系列方程组求解；
(2)本题考查一元一次不等式的应用，设甲型买盏，乙型买盏，根据总费用不超过元列不等式，取正整数最小值。
（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，
根据题意得：，
解得：，
答：1盏甲型节能灯的售价是5元，1盏乙型节能灯的售价是8元；
（2）解：设这个工厂要购买甲型节能灯m盏，则购买乙型节能灯盏，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
的最小值为67，
答：这个工厂至少要购买甲型节能灯67盏．
23．如图，在平面直角坐标系中，点，，且，m是64的立方根．
（1）直接写出：______，______，______；
（2）将线段平移得到线段，点B的对应点是点，点A的对应点是点
①在图中的平面直角坐标系中，画出平移后的线段，并直接写出点D的坐标；
②若点N在y轴上，且三角形的面积是12，求点N的坐标．
【答案】（1）；5；
（2）解：①由得，，，
线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段，
如图，线段即为所求．
点D的坐标为
②设点N的坐标为，
三角形的面积是12，
，
解得或1，
点N的坐标为或
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：，
，，
，
是64的立方根，
故答案为：；5；
【分析】(1)本题考查非负数的性质与立方根定义，算术平方根和绝对值均为非负数，和为则各项分别为，求出、，的立方根为得；
(2)①本题考查平移坐标变化规律，由到的平移变化推导到的坐标；②本题考查三角形面积公式，设，根据面积公式列方程求解。
（1）解：，
，，
，
是64的立方根，
故答案为：；5；
（2）解：①由得，，，
线段向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到线段，
如图，线段即为所求．
点D的坐标为
②设点N的坐标为，
三角形的面积是12，
，
解得或1，
点N的坐标为或
24．【材料阅读】亲爱的同学，请耐心阅读、仔细体会，你将豁然开朗！
二元一次方程有无数个解，如，，，，…在平面直角坐标系中，将这些解分别看成点，，，…，可以发现这些点在同一条直线l上（如图1所示），且该直线l上任意点的坐标都是方程的解．事实上，以任意二元一次方程的解为坐标的点都在同一条直线上，我们把这条直线叫做该方程的图象．
【理解运用】
（1）下列各点中，在方程的图象上的有________（填序号）
①，②，③，④．
（2）在图2所示的平面直角坐标系中，分别画出方程的图象直线和方程的图象直线，直线与相交于点M，求点M的坐标．
【问题延伸】
（3）若点和点分别在（2）中直线和直线上，且线段，求m的取值范围．
【答案】（1）①②④
（2）解：根据题意画图如图所示：
联立，
解得，
点M的坐标为．
（3）
解：点和点分别在直线和上，
，，
，，
；
又，
，
，
解得．
【知识点】一次函数的概念；一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系；描点法画函数图象；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：当时，有，则，故①在的图象上．
当时，有，则，故②在的图象上．
当时，有，则，故③不在的图象上．
当时，有，则，故④在的图象上．
故答案为：①②④．
【分析】（1）将各点坐标代入解析式逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象，联立两函数解析式，解方程组即可求出答案.
（3）将点坐标代入解析式可得，，根据两点间距离，结合提建立不等式，解不等式即可求出答案.
25．【问题情境】在劳动课上，陈老师带同学们制作手工艺品．
活动一：张华先通过折纸折出一个框架，折纸过程如下：图①-图②-图③-图④．
（1）通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，因为，所以，依据是______．
活动二：张华在框架做好以后，他在P、Q两点处安装了两个小射灯，射灯P发出的射线从开始，绕点P以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回，若射线转动20秒后，射灯Q发出的射线从开始，绕点Q以每秒的速度顺时针旋转，每次碰到后立即原路返回．
（2）在射线第一次到达之前，当射灯Q转动t秒时，射线转动到如图⑤的位置．
①______用含t的式子表示；
②记射线与射线的交点为点O，在图⑥中画出秒时的图形，求此时的度数．
【问题探究】
（3）在（2）的条件下，求当t为何值时．
【答案】（1）垂直，内错角相等，两直线平行；
（2）①；
②当时，，，
如图：
作，
，
，
，，
；
当时，运动停止，
，
，
①当时，在垂直方向右侧，如图：
，
，
，
，
，
即，
，
解得：；
②当时，如图：
同理可得：，
，
解得：；
③当时，如上图，
同理可得：，
，
解得：，不符合题意；
综上所述，或
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
，
内错角相等，两直线平行；
故答案为：垂直，内错角相等，两直线平行；
①当时，，
转动过程中，，
故答案为：；
【分析】(1)本题考查折叠的性质与平行线判定，折叠的性质可得，内错角相等可判定两直线平行；
(2)①本题考查旋转角度与时间的关系，先转秒再转秒，角度为；②本题考查平行线的性质求角度，过交点作平行线，利用内错角、同旁内角的关系计算；
(3)本题考查平行线性质与旋转角度的方程求解，分不同旋转阶段列方程，筛选符合条件的值。
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