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广东省惠州市惠城区2024--2025学年七年级下册数学期末试卷
一、单选题（每题3分，共计30分）
1．下列各数中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意；
B.是无理数，不符合题意；
C.是无理数，不符合题意；
D.是有理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可.
2．下列调查中，应采用全面调查的是（　　）
A．调查超市售卖的草莓农药残留是否超标
B．调查某品牌手机的使用满意度
C．了解全班同学的身高情况
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用抽样调查；
B. 调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查；
C. 了解全班同学的身高情况，采用全面调查；
D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽样调查；
故答案为：C.
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．和为的两个角是邻补角 B．一条直线的垂线只有一个
C．等角的补角相等 D．相等的角是对顶角
【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题；补角
【解析】【分析】解：A. 和为的两个角是邻补角，邻补角需满足相邻且互补，仅和为未必相邻，故A为假命题；
B. 一条直线的垂线只有一个，过一点有且仅有一条垂线，但一条直线可有无数垂线（不同点），故B为假命题；
C. 等角的补角相等，若两角相等，其补角均为减去该角，必相等，故C为真命题；
D. 相等的角是对顶角，对顶角相等，但相等角未必是对顶角（如平行线同位角），故D为假命题；
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义、对顶角的定义、等角的补角的性质以及垂线的定义和真命题的定义逐项分析判断即可.
4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点所在的象限是第四象限.
故答案为：D
【分析】
本题考查平面直角坐标系中象限的坐标特征，牢记四个象限内点的横、纵坐标的正负情况是解题关键.
在平面直角坐标系中，四个象限的坐标特征如下：第一象限：坐标形式为(+，+)；第二象限：坐标形式为(-，+)；第三象限：坐标形式为(-，-)；第四象限：坐标形式为(+，-)；直接根据所在的象限点的特点判断即可得到答案.
5．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，两边同时加2，得，而选项A为，显然不成立．
B、由，两边同时乘以（负数），不等式方向改变，得，故选项B成立．
C、当时，，此时不成立，因此选项C不一定成立．
D、由，两边同时减1，得，而选项D为，显然不成立．
故答案为：B.
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
6．学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（　　）
A．打靶瞄准
B．拉绳插秧
C．跳远测量成绩
D．弯曲河道改直
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、打靶瞄准用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
B、拉绳插秧用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意；
D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据垂线段最短，两端确定一条直线，两点之间线段最短进行判断即可求出答案.
7．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】已知，
∴，
故答案为：A.
【分析】观察已知等式可知：立方数向左（向右）移到三位，立方根向左（向右）移到一位，据此解答即可.
8．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选：C．
【分析】根据甲、乙两人羊数的情况列出方程，先分析甲得乙9只羊后的数量关系，再分析乙得甲9只羊后的数量关系，从而确定方程组即可.
9．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【分析】过点E作，根据直线平行性质即可求出答案.
10．如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这6个小长方的长和宽分别为，
由题意得，，
解得，
∴这6个小长方的长和宽分别为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设这6个小长方的长和宽分别为，结合图形中的等量关系列出方程组，再求解即可.
二、填空题（每题3分，共计15分）
11．化简：　 　．
【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】由于根号具有括号的作用，故先计算根号下的乘方，再根据算术平方根定义求出答案.
12．“与1的和小于零”用不等式表示：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“与1的和小于零”用不等式表示为，
故答案为：．
【分析】利用不等式的定义及表达方法直接列出不等式即可.
13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54°时，∠1=　 　．
【答案】36°
【知识点】角的运算；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54°，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故答案为：36°．
【分析】先利用平行线的性质求出∠3=∠2=54°，再利用角的运算求出∠1的度数即可.
14．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果　 　，那么　 　．
【答案】同旁内角互补；两直线平行
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【分析】利用命题的定义及书写方法求解即可.
15．在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　（填A，B，C，D，E）
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 50 62 55 67 44
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，
则，，，，，
得：，；
得：，；
得：，；
得：，；
得：，；
，且，
B卡片上的数最大．
故答案为：B．
【分析】 本题考查等式性质与不等式应用，设五张卡片数字为，，，，，根据已知和列等式，通过等式作差比较各数大小，确定最大数字对应的卡片。
三、解答题（每题7分，共计21分）
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①得．
解不等式②得．
故原不等式组的解集为．
将解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为
（1）在图中画出正确的平面直角坐标系；
（2）表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ．
【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
（2），，
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】（2）解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据瑞金，过草地的点的坐标建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据点的位置求出坐标即可.
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为，
故答案为：，，．
四、解答题（每题10分，共计30分）
19．完善下面证明题（在空格处填适当的符号或依据）：
已知：如图，，求证：．
证明：（已知）
（邻补角的定义）
（________）
______（________）
（________）
又（________）
________（________）
（________）
【答案】证明：（已知）
（邻补角的定义）
（同角的补角相等）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：同角的补角相等；EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；∠ADE；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质以及推理方法及步骤求解即可.
20．“机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？
【答案】（1），，
（2）解：的人数是：人，
的人数是：人，
补全统计图，
（3）解：
估计全校选择的人数是人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
的占比为
∴，则，
图②中所在扇形的圆心角是，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据B的人数与占比可得总人数，求出D的占比，再根据1减去其他的占比，可得a值，再根据360°乘以D的占比即可.
（2）求出A，C的人数，再补全图形即可.
（3）根据2000乘以A的占比即可求出答案.
（1）解：
的占比为
∴，则，
图②中所在扇形的圆心角是，
故答案为：，，．
（2）解：的人数是：人，
的人数是：人，
补全统计图，
（3）估计全校选择的人数是人
21．根据以下素材，探索完成任务．
“同城跑腿急送”，让你的生活更便利
素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元．
里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米）
重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克）
素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元．
解决问题
任务1 请你确定的值．
任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用．
任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量．
【答案】解：任务1：由题意可以列出方程组，
解得：；
任务2：由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克，
∴乙的这单跑腿费用为（元）；
任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，），
①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意；
②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意；
③若，时，跑腿费用为，
整理得，即，
∵为偶数，
∴代入验证可得，
即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”并结合题干列出二元一次方程组运算求解即可；
任务2：根据“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”并结合题干列式运算即可；
任务3：分类讨论，设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，再利用“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”列式运算即可．
五、解答题（每题12分，共计24分）
22．【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）已知，则点________（填“A或B或C”）在方程的图象上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】
（3）设方程的图象与轴的交点分别是，方程的图象与轴的交点分别是．
①求点A和点D的坐标；
②已知关于的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且，请作出符合题意的图形，并求，的值．
【答案】解：（1）C；
（2）如图所示，函数图象即为所求；
；；
（3）①在中，当时，，
在中，当时，，
；
②关于的二元一次方程组无解，
直线和直线没有交点，
即在这两条直线互相平行，
点B在y轴正半轴上，且，，
∴，
，
即，
将点B的坐标代入得，，
解得，
，
，，
∴，
，
即，
将点C的坐标代入得，，
解得，
如图所示即为所求，
【知识点】二元一次方程的解；点的坐标；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
只有点C在方程的图象上，
故答案为：C；
（2）由图像可知，两条直线的交点坐标为，
二元一次方程组的解是.
【分析】（1）将各点坐标分别代入解析式求出并判断即可；
（2）先画出函数图象，再结合函数图象直接分析求解即可；
（3）①将y=0和x=0分别代入解析式求出点A、D的坐标即可；
②先判断出 直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，再结合求解即可.
23．综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内．
【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________；
【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数；
【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）．
【答案】解：【操作判断】；
【迁移探究】如图2，
由操作判断可知，，
∵
∴，
∴
解得
∴；
【拓展应用】∵，
∴，，
过点E作，
，
∴，，
∴
即
∵，
∴
∴
解得.
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；角n等分模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：操作判断：如图1，过点E作，
，
，，
∵
∴
故答案为：.
【分析】【操作判断】过点E作，先求出，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
【迁移探究】利用对等角的性质及，可得，再求解即可；
【拓展应用】 过点E作，先证出，再求出，再结合，最后求出即可.
1 / 1广东省惠州市惠城区2024--2025学年七年级下册数学期末试卷
一、单选题（每题3分，共计30分）
1．下列各数中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，应采用全面调查的是（　　）
A．调查超市售卖的草莓农药残留是否超标
B．调查某品牌手机的使用满意度
C．了解全班同学的身高情况
D．调查某批次汽车的抗撞击能力
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．和为的两个角是邻补角 B．一条直线的垂线只有一个
C．等角的补角相等 D．相等的角是对顶角
4．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．学源于生活，用于生活，我们要会“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”．下列生活场景中，用到“垂线段最短”这一数学原理的是（　　）
A．打靶瞄准
B．拉绳插秧
C．跳远测量成绩
D．弯曲河道改直
7．已知，，，则（　　）
A． B． C． D．
8．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．2025年春节联欢晚会上，16个人形机器人身着花棉袄，手持红手帕登上舞台，与舞蹈演员默契配合，共同演绎了舞蹈《秧》．小林观看节目时受到启发，将图1中机器人的手臂抽象为图2的示意图，其中手臂，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图所示的大长方形中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共计15分）
11．化简：　 　．
12．“与1的和小于零”用不等式表示：　 　．
13．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=54°时，∠1=　 　．
14．把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果　 　，那么　 　．
15．在数学游艺会上，某同学负责一个游戏项目，她准备了50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡片分别记为A，B，C，D，E．她依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡片上的数字最大．下表是其中一个参与者抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和，则这五张卡片上数字最大的是　 　（填A，B，C，D，E）
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 50 62 55 67 44
三、解答题（每题7分，共计21分）
16．计算：．
17．解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
18．年是中国人民抗日战争和世界反法西斯战争胜利的周年，长征是中国革命事业的伟大转折点、如图是红一方面军长征路线图，如果表示瑞金的点的坐标为，表示过草地的点的坐标为
（1）在图中画出正确的平面直角坐标系；
（2）表示会宁会师的点的坐标为 ，湘江战役的点的坐标为 ，吴起镇会师的点的坐标为 ．
四、解答题（每题10分，共计30分）
19．完善下面证明题（在空格处填适当的符号或依据）：
已知：如图，，求证：．
证明：（已知）
（邻补角的定义）
（________）
______（________）
（________）
又（________）
________（________）
（________）
20．“机器人的一小步，是人类科技发展的一大步．”某校机器人社团对学生进行“最喜欢的人形机器人”随机抽样调查，受访者从“A．天工；B．小顽童；C．行者；D．城市之间；E．钢宝”五款机器人中选择最喜欢的一款，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次调查的学生共有______人，图②中的值为______，图②中所在扇形的圆心角是______度；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）若该校有名学生，请估计全校选择的人数是多少？
21．根据以下素材，探索完成任务．
“同城跑腿急送”，让你的生活更便利
素材1 “同城跑腿急送”送件费用为起送费用、里程费用与重量费用的和，具体计费方式如右． 起送费用 若送件重量不超过5千克，送件里程不超过5千米时，按单收费，每单10元．
里程费用 若送件的里程大于5千米，超出5千米且不超过10千米部分的里程费用为每千米a元，超出10千米部分的里程费用为每千米3元．（实际里程不足1千米，按1千米计算．例如送件实际里程为7.3千米，按8千米算，即计价里程为8千米）
重量费用 若送件的重量大于5千克，超出5千克且不超过10千克部分的重量费用为每千克b元，超出10千克部分的重量费用为每千克5元．（实际重量不足1千克，按1千克计算．例如送件实际重量为6.4千克，按7千克算，即计价重量为7千克）
素材2 甲、乙、丙三人都使用素材1中的“同城跑腿急送”服务： 甲：送件里程6千米，送件重量8千克，费用21元；另送一件里程10千米，送件重量7千克，费用26元． 乙：送件里程12.5千米，送件重量14.3千克． 丙：送件里程与送件重量都已经记不清了，只记得送件里程超过了5千米，送件重量超过了5千克小于10千克，总费用是25元．
解决问题
任务1 请你确定的值．
任务2 帮助乙计算这单跑腿需要的费用．
任务3 确定丙这单跑腿的计价里程以及计价重量．
五、解答题（每题12分，共计24分）
22．【材料阅读】
二元一次方程有无数组解，如：，，，，如果我们将方程的解看成一组有序数对，那么这些有序数对可以用平面直角坐标系中的点表示，探究发现：以方程的解为坐标的点落在同一条直线上，如图1所示，同时这条直线上的点的坐标全都是该方程的解．我们把这条直线称为该方程的图象．
【问题探究】
（1）已知，则点________（填“A或B或C”）在方程的图象上．
（2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出二元一次方程组的解是________；
【拓展延伸】
（3）设方程的图象与轴的交点分别是，方程的图象与轴的交点分别是．
①求点A和点D的坐标；
②已知关于的二元一次方程组无解，点B在y轴正半轴上，且，请作出符合题意的图形，并求，的值．
23．综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内．
【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________；
【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数；
【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意；
B.是无理数，不符合题意；
C.是无理数，不符合题意；
D.是有理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A. 调查超市售卖的草莓农药残留是否超标，采用抽样调查；
B. 调查某品牌手机的使用满意度，采用抽样调查；
C. 了解全班同学的身高情况，采用全面调查；
D. 调查某批次汽车的抗撞击能力，采用抽样调查；
故答案为：C.
【分析】利用全面调查的定义及特征（对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查）逐项分析判断即可.
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；对顶角及其性质；邻补角；真命题与假命题；补角
【解析】【分析】解：A. 和为的两个角是邻补角，邻补角需满足相邻且互补，仅和为未必相邻，故A为假命题；
B. 一条直线的垂线只有一个，过一点有且仅有一条垂线，但一条直线可有无数垂线（不同点），故B为假命题；
C. 等角的补角相等，若两角相等，其补角均为减去该角，必相等，故C为真命题；
D. 相等的角是对顶角，对顶角相等，但相等角未必是对顶角（如平行线同位角），故D为假命题；
故答案为：C．
【分析】利用邻补角的定义、对顶角的定义、等角的补角的性质以及垂线的定义和真命题的定义逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点所在的象限是第四象限.
故答案为：D
【分析】
本题考查平面直角坐标系中象限的坐标特征，牢记四个象限内点的横、纵坐标的正负情况是解题关键.
在平面直角坐标系中，四个象限的坐标特征如下：第一象限：坐标形式为(+，+)；第二象限：坐标形式为(-，+)；第三象限：坐标形式为(-，-)；第四象限：坐标形式为(+，-)；直接根据所在的象限点的特点判断即可得到答案.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，两边同时加2，得，而选项A为，显然不成立．
B、由，两边同时乘以（负数），不等式方向改变，得，故选项B成立．
C、当时，，此时不成立，因此选项C不一定成立．
D、由，两边同时减1，得，而选项D为，显然不成立．
故答案为：B.
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、打靶瞄准用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
B、拉绳插秧用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C、跳远测量成绩用到的是“垂线段最短”，符合题意；
D、弯曲河道改直用到的是两点之间，线段最短，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据垂线段最短，两端确定一条直线，两点之间线段最短进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】已知，
∴，
故答案为：A.
【分析】观察已知等式可知：立方数向左（向右）移到三位，立方根向左（向右）移到一位，据此解答即可.
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有x只羊，乙有y只羊，由题意，得：
；
故选：C．
【分析】根据甲、乙两人羊数的情况列出方程，先分析甲得乙9只羊后的数量关系，再分析乙得甲9只羊后的数量关系，从而确定方程组即可.
9．【答案】B
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：B．
【分析】过点E作，根据直线平行性质即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这6个小长方的长和宽分别为，
由题意得，，
解得，
∴这6个小长方的长和宽分别为，
∴，
故答案为：D．
【分析】设这6个小长方的长和宽分别为，结合图形中的等量关系列出方程组，再求解即可.
11．【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．
故答案为：2．
【分析】由于根号具有括号的作用，故先计算根号下的乘方，再根据算术平方根定义求出答案.
12．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：“与1的和小于零”用不等式表示为，
故答案为：．
【分析】利用不等式的定义及表达方法直接列出不等式即可.
13．【答案】36°
【知识点】角的运算；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵三角尺的两边a∥b，
∴∠3=∠2=54°，
∴∠1=180°－90°－∠3=36°．
故答案为：36°．
【分析】先利用平行线的性质求出∠3=∠2=54°，再利用角的运算求出∠1的度数即可.
14．【答案】同旁内角互补；两直线平行
【知识点】同旁内角互补，两直线平行；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：依题意，把命题“同旁内角互补，两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果同旁内角互补，那么两直线平行，
故答案为：同旁内角互补，两直线平行
【分析】利用命题的定义及书写方法求解即可.
15．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用；不等式的性质
【解析】【解答】解：设A，B，C，D，E卡片上对应的数分别为a，b，c，d，e，
则，，，，，
得：，；
得：，；
得：，；
得：，；
得：，；
，且，
B卡片上的数最大．
故答案为：B．
【分析】 本题考查等式性质与不等式应用，设五张卡片数字为，，，，，根据已知和列等式，通过等式作差比较各数大小，确定最大数字对应的卡片。
16．【答案】解：原式
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，立方根，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】解：
解不等式①得．
解不等式②得．
故原不等式组的解集为．
将解集在数轴上表示为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
18．【答案】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
（2），，
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】（2）解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据瑞金，过草地的点的坐标建立直角坐标系即可求出答案.
（2）根据点的位置求出坐标即可.
（1）解：建立平面直角坐标系如图所示：
（2）解：由（）图可得，会宁会师的点的坐标为，湘江战役的点的坐标为，吴起镇会师的点的坐标为，
故答案为：，，．
19．【答案】证明：（已知）
（邻补角的定义）
（同角的补角相等）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补）
又（已知）
（等量代换）
（同旁内角互补，两直线平行）
故答案为：同角的补角相等；EF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；已知；∠ADE；等量代换；同旁内角互补，两直线平行.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质以及推理方法及步骤求解即可.
20．【答案】（1），，
（2）解：的人数是：人，
的人数是：人，
补全统计图，
（3）解：
估计全校选择的人数是人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：
的占比为
∴，则，
图②中所在扇形的圆心角是，
故答案为：，，．
【分析】（1）根据B的人数与占比可得总人数，求出D的占比，再根据1减去其他的占比，可得a值，再根据360°乘以D的占比即可.
（2）求出A，C的人数，再补全图形即可.
（3）根据2000乘以A的占比即可求出答案.
（1）解：
的占比为
∴，则，
图②中所在扇形的圆心角是，
故答案为：，，．
（2）解：的人数是：人，
的人数是：人，
补全统计图，
（3）估计全校选择的人数是人
21．【答案】解：任务1：由题意可以列出方程组，
解得：；
任务2：由题意可知乙的计价里程和计价重量分别为千米，千克，
∴乙的这单跑腿费用为（元）；
任务3：设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克（，），
①若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意；
②若，，可知跑腿费用最少时，，此时费用为（元），不合题意；
③若，时，跑腿费用为，
整理得，即，
∵为偶数，
∴代入验证可得，
即丙这单跑腿的计价里程为8千米，计价重量为8千克．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：根据“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”并结合题干列出二元一次方程组运算求解即可；
任务2：根据“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”并结合题干列式运算即可；
任务3：分类讨论，设丙这单跑腿的计价里程和计价重量分别为千米，千克，再利用“总的费用=起送费用+里程费用+重量费用”列式运算即可．
22．【答案】解：（1）C；
（2）如图所示，函数图象即为所求；
；；
（3）①在中，当时，，
在中，当时，，
；
②关于的二元一次方程组无解，
直线和直线没有交点，
即在这两条直线互相平行，
点B在y轴正半轴上，且，，
∴，
，
即，
将点B的坐标代入得，，
解得，
，
，，
∴，
，
即，
将点C的坐标代入得，，
解得，
如图所示即为所求，
【知识点】二元一次方程的解；点的坐标；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解；
把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解；
只有点C在方程的图象上，
故答案为：C；
（2）由图像可知，两条直线的交点坐标为，
二元一次方程组的解是.
【分析】（1）将各点坐标分别代入解析式求出并判断即可；
（2）先画出函数图象，再结合函数图象直接分析求解即可；
（3）①将y=0和x=0分别代入解析式求出点A、D的坐标即可；
②先判断出 直线和直线没有交点，即在这两条直线互相平行，再结合求解即可.
23．【答案】解：【操作判断】；
【迁移探究】如图2，
由操作判断可知，，
∵
∴，
∴
解得
∴；
【拓展应用】∵，
∴，，
过点E作，
，
∴，，
∴
即
∵，
∴
∴
解得.
【知识点】角的运算；多边形内角与外角；角n等分模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：操作判断：如图1，过点E作，
，
，，
∵
∴
故答案为：.
【分析】【操作判断】过点E作，先求出，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
【迁移探究】利用对等角的性质及，可得，再求解即可；
【拓展应用】 过点E作，先证出，再求出，再结合，最后求出即可.
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