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北师大版数学七年级下册期末模拟测试（一）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故答案为： C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案.
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
【答案】A
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；概率的简单应用
【解析】【解答】解答：解：A．出现的点数是6的概率是，故A正确，符合题意；
B．出现的点数为0是不可能事件，故B错误，不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件，故C错误，不符合题意；
D．出现的点数为奇数是随机事件，故D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义、不可能事件的定义、随机事件的定义以及概率的计算方法逐项分析判断即可.
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵S==2BC=12，
∴BC=6，
∵AE是中线，
∴BE=.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积计算公式可得出BC=6，再根据中线的定义，可得出BE=.
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算正确，故本选项符合题意；
D、，原计算错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据负整数指数幂的性质“”可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发，小丽仍以是v2米/分钟的速度前往图书馆，小华先以v1米/分钟的速度
追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟），
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟），设小华分钟后与小丽相遇后，根据题意列方程得到得，进而求出相遇时小华到图书馆的距离.
6．作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是(　　).
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
B：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
C：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
D：AD垂直BC，是BC边长的高，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
7． 已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、时间 B．路程、时间
C．速度、路程 D．速度、路程、时间
【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．
在此变化过程中，变量是路程、时间，
故答案为：B．
【分析】根据变量的定义“在一变化过程中发生改变的量是变量”判断即可．
8．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　)
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点P，
∴PA=PB=PC
∴满足到 A、B、C 三点距离相等的点，是AC、BC 两边垂直平分线的交点，
故答案为：C.
【分析】本题主要是将实际问题转化为几何模型，核心需求是找到到三角形三个顶点距离相等的点。根据线段垂直平分线的性质，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点，就是任意两条边的垂直平分线的交点。
9．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
10．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=135°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由题意得，是等腰直角三角形，中，，；
∴，
∴，
∴正确；
∵，
∴；
∴错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴正确；
综上所述，正确的个数为：．
故答案为：C .
【分析】延长交于点，根据内错角相等，两直线平行判断①；根据邻补角的定义求出∠EFN判断②；根据平行线的性质得到∠BKN的值，然后求出∠AEG的度数，再根据平角的定义求出∠BEF判断③；利用等腰直角三角形的性质判断④解答即可．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 …
油箱剩余油量 50 44 38 …
可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为　 　．
【答案】20
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少．
所以汽车行驶时，油箱中剩余油量为．
故答案为：20．
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系． 根据油箱中剩余油量=油箱加满后的油量-该汽车每千米的油耗×行驶的路程得出Q与s之间的关系，当s=500时，求出对应Q的值即可．
12．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当2为腰时，
三角形不存在；
当4为腰时，周长＝
故正确答案为：10
【分析】先分别讨论2为腰或4为腰，再利用三角形三边关系检验，最后再计算周长即可.
13．已知，，则　 　．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
14．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，QP∥DB，
∴∠BOP=90°，
∴∠POA=60°，
∵CA∥QP，
∴∠OAC=60°，
故答案为：60
【分析】先根据题意结合平行线的性质即可得到∠BOP=90°，进而得到∠POA=60°，再根据平行线的性质即可求解。
15．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝　 　°．
【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
16．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
三、解答题（共9题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
18．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的长最短．
【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）分别找到点关于直线的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）由点C与点F关于直线对称，即PC=PF，此时，要使的长最短，即PB+PF最短，此时根据两点之间线段最短连接BF后，与直线MN的交点即为P点。
（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，点P即为所求．
20．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
21．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的)平均分成 6份，如图所示. 游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去.
（1）求小丽获胜的概率是多少
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平
【答案】（1）解：∵共有6种等可能的情况数，偶数的个数是4个，
∴小丽获胜的概率==.
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是
∵转盘上的奇数有 2个，即 5、7，
∴小芳获胜的概率为
∴小丽获胜的概率≠小芳获胜的概率，
∴这个游戏不公平；修改方案：将转盘上的数字改为 1、2、3、4、5、6（答案不唯一)，此时，小丽获胜的概率 小芳获胜的概率
∴小丽获胜的概率=小芳获胜的概率，游戏公平
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先分别求出小芳和小丽获胜的概率，再比较大小即可.
22．将若干张长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 30
80 105
…
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？
（3）你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？
【答案】（1）解：由图可得：，
，
故填：55；130.
（2）解：根据题意和所给图形可得出：，
即．
（3）解：不可能，理由如下：
把代入，
解得，
不是整数，所以不可能．
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据白纸张数与纸条长度之间的关系计算求解即可；
（2）张白纸黏合，需黏合次，重叠，根据总长度=白纸原总长度-重叠总长度列出代数式即可；
（3）将代入到（2）中方程，求解x，若为正整数，则可能，否不可能．
（1）解：由图可得：，
，
故填：55；130.
（2）解：根据题意和所给图形可得出：，
即．
（3）解：不可能.
把代入，
解得，
不是整数，所以不可能．
23．填空并完成以下证明：已知：如图，于，于，， ，求证：．
证明，已知
▲
▲ （　　）
，已知
▲ （　　）
，（　　）
．
▲ ， （　　）
又，已知
（　　）
【答案】解：证明，已知
（两直线平行，同位角相等）
，已知
（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
．
， （同旁内角互补，两直线平行）
又，已知
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用.根据垂直定义，得到一组同位角相等等于90°，根据“同位角相等，两直线平行”判定；再利用平行线的性质与已知条件，结合“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”判定、；最后根据平行公理得证
24．【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律.
（1）【数学推理】
如图②，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律可知∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证： AB∥CD.
（2）【尝试探究】
两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.
如图③，光线AB与CD相交于点 E，请你用α表示∠BEC；
（3）如图④，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，则α与β之间满足的等量关系是　 　.
【答案】（1）证明：∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：在△OBC中， ∵∠MON=α，
∴∠2+∠3=180°-α，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，
∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCD
=180° - (180°-2∠2) - (180°-2∠3)
=2(∠2+∠3) - 180°
（3）β=2
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=∠β
∵∠MON=∠3-∠2=
∴β=2
故答案为：β=2
【分析】（1）根据垂直可得∠CON=90°，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠ABC=180°，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=180°-α，根据角之间的关系可得∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）根据角之间的关系即可求出答案.
25．已知∠MON=α，P 是∠MON 平分线上的一点，点 A 在射线OM 上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，作 PC⊥ON 于点C.
（1）如图1，若∠MON=90°，连接AB，作 PD⊥OM 于点D，则 PA 和PB 的数量关系是　 　.
（2）如图2，若∠MON=120°，连接AB，试判断△PAB 的形状，并说明理由.
（3）如图3，当∠MON=60°，点 B 在射线ON 的反向延长线上时，判断线段OC，OA 及BC之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）PA=PB
（2）解：△PAB为等边三角形.
理由：如图，作PD⊥OM于点D，
∵∠PCO=∠PDO=90°，
∴180°
∴∠APD=∠BPC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON，PD⊥OM，
∴PC=PD，
∴△APD≌△BPC（ASA)，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB 为等边三角形.
（3）解：OA=BC+OC.
理由如下：如图，作 PD⊥OM 于点D，
同（1）可证△APD≌△BPC，
∴AD=BC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON 于点C，
∴PC=PD，
在Rt△OPD 和Rt△OPC 中，
∴Rt△OPD≌RtOPC(HL)
∴OC=OD，
∴OA-AD=OD=OC，
∴OA-BC=OC，
即OA=BC+OC.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：（1）∵点P是∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于点C
∴PC=PD
∵∠MON=90°
∴∠APB=90°，∠CPD=90°
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC
∵∠PDA=∠PCB=90°
在△APD和△BPC中
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴PA=PB
故答案为：PA=PB
【分析】（1）根据角平分线性质可得PC=PD，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）作PD⊥OM于点D，根据补角可得∠APB，根据角平分线定义可得∠POA，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得△APD≌△BPC（ASA)，则PA=PB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（3）作 PD⊥OM 于点D，同（1）可证△APD≌△BPC，则AD=BC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OPD≌Rt△OPC(HL)，则OC=OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1北师大版数学七年级下册期末模拟测试（一）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（　　）
A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件
3．如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD＝4，S△ABC＝12，则BE的长为（　　）
A．1.5 B．3 C．4 D．6
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达.现两人各自从自己家同时出发，小丽仍以是v2米/分钟的速度前往图书馆，小华先以v1米/分钟的速度
追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．作△ABC的边BC上的高，下列作法中，正确的是(　　).
A． B．
C． D．
7． 已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（　　）
A．速度、时间 B．路程、时间
C．速度、路程 D．速度、路程、时间
8．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　)
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
9．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
10．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论：①GE∥MP；②∠EFN=135°；③∠BEF=75°；④∠AEG=∠PMN.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．小明爸爸是个汽车爱好者，想了解一款汽车的耗油量情况．他将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据：
行驶的路程 0 100 200 …
油箱剩余油量 50 44 38 …
可推测，汽车行驶时，油箱中剩余油量为　 　．
12．等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为　 　．
13．已知，，则　 　．
14．某些灯具的设计原理与抛物线有关．如图，从点照射到抛物线上的光线，等反射后都沿着与平行的方向射出．若，，则　 　．
15．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF，则∠DAF＝　 　°．
16．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为　 　．
三、解答题（共9题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中，．
18．计算：．
19．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的长最短．
20．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
21．在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的)平均分成 6份，如图所示. 游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去.
（1）求小丽获胜的概率是多少
（2）你认为这个游戏公平吗 请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平
22．将若干张长为，宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．
白纸张数 1 2 3 4 5 …
纸条长度 30
80 105
…
（1）根据图，将表格补充完整．
（2）设x张白纸粘合后的总长度为，则y与x之间的关系式是什么？
（3）你认为若干张白纸粘合起来总长度可能为吗？为什么？
23．填空并完成以下证明：已知：如图，于，于，， ，求证：．
证明，已知
▲
▲ （　　）
，已知
▲ （　　）
，（　　）
．
▲ ， （　　）
又，已知
（　　）
24．【学科融合】
物理学中把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律.
（1）【数学推理】
如图②，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律可知∠1=∠2，∠3=∠4.在这样的条件下，求证： AB∥CD.
（2）【尝试探究】
两块平面镜OM，ON，且∠MON=α，入射光线AB 经过两次反射，得到反射光线CD.
如图③，光线AB与CD相交于点 E，请你用α表示∠BEC；
（3）如图④，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BED=β，则α与β之间满足的等量关系是　 　.
25．已知∠MON=α，P 是∠MON 平分线上的一点，点 A 在射线OM 上，作∠APB=180°-α，交直线ON 于点B，作 PC⊥ON 于点C.
（1）如图1，若∠MON=90°，连接AB，作 PD⊥OM 于点D，则 PA 和PB 的数量关系是　 　.
（2）如图2，若∠MON=120°，连接AB，试判断△PAB 的形状，并说明理由.
（3）如图3，当∠MON=60°，点 B 在射线ON 的反向延长线上时，判断线段OC，OA 及BC之间的数量关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故答案为： C.
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案.
2．【答案】A
【知识点】概率公式；事件发生的可能性；概率的简单应用
【解析】【解答】解答：解：A．出现的点数是6的概率是，故A正确，符合题意；
B．出现的点数为0是不可能事件，故B错误，不符合题意；
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为偶数是随机事件，故C错误，不符合题意；
D．出现的点数为奇数是随机事件，故D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用必然事件的定义、不可能事件的定义、随机事件的定义以及概率的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形的中线
【解析】【解答】解：∵S==2BC=12，
∴BC=6，
∵AE是中线，
∴BE=.
故答案为：B.
【分析】根据三角形面积计算公式可得出BC=6，再根据中线的定义，可得出BE=.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算正确，故本选项符合题意；
D、，原计算错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据负整数指数幂的性质“”可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：
由题意得小丽家到图书馆的距离为（米），
∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，
∴，
∴，
∴现在小华开始的速度为（米/分钟），
设小华分钟后与小丽相遇，
由题意得，
得，
则相遇时小华到图书馆的距离为（米），
剩余路程为（米），
再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，
则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，
可知只有选项A符合题意，
故答案为：A.
【分析】由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟），设小华分钟后与小丽相遇后，根据题意列方程得到得，进而求出相遇时小华到图书馆的距离.
6．【答案】D
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
B：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
C：AD不垂直BC，不是BC边长的高，不符合题意；
D：AD垂直BC，是BC边长的高，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据三角形高的定义即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．
在此变化过程中，变量是路程、时间，
故答案为：B．
【分析】根据变量的定义“在一变化过程中发生改变的量是变量”判断即可．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点P，
∴PA=PB=PC
∴满足到 A、B、C 三点距离相等的点，是AC、BC 两边垂直平分线的交点，
故答案为：C.
【分析】本题主要是将实际问题转化为几何模型，核心需求是找到到三角形三个顶点距离相等的点。根据线段垂直平分线的性质，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点，就是任意两条边的垂直平分线的交点。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由作图可得：CM=DM.
∵CM=DM，OC=OD，OM=OM，
∴△OCM≌△ODM（SSS），
∴∠1=∠2.
故答案为：A.
【分析】由作图可得：CM=DM，OC=OD，利用SSS证明△OCM≌△ODM，据此判断.
10．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
由题意得，是等腰直角三角形，中，，；
∴，
∴，
∴正确；
∵，
∴；
∴错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正确；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴正确；
综上所述，正确的个数为：．
故答案为：C .
【分析】延长交于点，根据内错角相等，两直线平行判断①；根据邻补角的定义求出∠EFN判断②；根据平行线的性质得到∠BKN的值，然后求出∠AEG的度数，再根据平角的定义求出∠BEF判断③；利用等腰直角三角形的性质判断④解答即可．
11．【答案】20
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察表格得：由表格可知，开始油箱中的油为，每行驶，油量减少．
所以汽车行驶时，油箱中剩余油量为．
故答案为：20．
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系． 根据油箱中剩余油量=油箱加满后的油量-该汽车每千米的油耗×行驶的路程得出Q与s之间的关系，当s=500时，求出对应Q的值即可．
12．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当2为腰时，
三角形不存在；
当4为腰时，周长＝
故正确答案为：10
【分析】先分别讨论2为腰或4为腰，再利用三角形三边关系检验，最后再计算周长即可.
13．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，QP∥DB，
∴∠BOP=90°，
∴∠POA=60°，
∵CA∥QP，
∴∠OAC=60°，
故答案为：60
【分析】先根据题意结合平行线的性质即可得到∠BOP=90°，进而得到∠POA=60°，再根据平行线的性质即可求解。
15．【答案】10
【知识点】三角形内角和定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，
根据题意，得AF平分∠BAC，
∴，
∵AD是的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-50°-90°=40°，
∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，
故答案为：10.
【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=100°，根据题意得AF平分∠BAC，从而根据角平分的定义得∠BAF=50°，接下来再次利用三角形内角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.
16．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠F=90°，∠AEB=90°，
∴∠ACF+∠FAC=90°
∵，
∴∠BAE+∠FAC=90°，
∴∠BAE=∠ACF，
∵，
∴△ABE≌△CAF（AAS），
∴AE=CF=1，AF=BE=4，
∴EF=4-1=3，
故答案为：3
【分析】先根据题意结合三角形全等判定得到△ABE≌△CAF（AAS），再根据三角形全等的性质得到AE=CF=1，AF=BE=4，进而即可求解。
17．【答案】解：原式
．
当，时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】先运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式进行展开，然后合并同类项进行化简，再代入数值即可求解。
18．【答案】解：
．
【知识点】单项式乘多项式；平方差公式及应用
【解析】【分析】根据平方差公式结合单项式乘多项式即可求解。
19．【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，点P即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）分别找到点关于直线的对称点D、E、F，然后顺次连接即可；
（2）由点C与点F关于直线对称，即PC=PF，此时，要使的长最短，即PB+PF最短，此时根据两点之间线段最短连接BF后，与直线MN的交点即为P点。
（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，点P即为所求．
20．【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
21．【答案】（1）解：∵共有6种等可能的情况数，偶数的个数是4个，
∴小丽获胜的概率==.
（2）解：这个游戏不公平，理由如下：
由（1）可知，小丽获胜的概率是
∵转盘上的奇数有 2个，即 5、7，
∴小芳获胜的概率为
∴小丽获胜的概率≠小芳获胜的概率，
∴这个游戏不公平；修改方案：将转盘上的数字改为 1、2、3、4、5、6（答案不唯一)，此时，小丽获胜的概率 小芳获胜的概率
∴小丽获胜的概率=小芳获胜的概率，游戏公平
【知识点】游戏公平性；概率公式
【解析】【分析】（1）先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可；
（2）先分别求出小芳和小丽获胜的概率，再比较大小即可.
22．【答案】（1）解：由图可得：，
，
故填：55；130.
（2）解：根据题意和所给图形可得出：，
即．
（3）解：不可能，理由如下：
把代入，
解得，
不是整数，所以不可能．
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）根据白纸张数与纸条长度之间的关系计算求解即可；
（2）张白纸黏合，需黏合次，重叠，根据总长度=白纸原总长度-重叠总长度列出代数式即可；
（3）将代入到（2）中方程，求解x，若为正整数，则可能，否不可能．
（1）解：由图可得：，
，
故填：55；130.
（2）解：根据题意和所给图形可得出：，
即．
（3）解：不可能.
把代入，
解得，
不是整数，所以不可能．
23．【答案】解：证明，已知
（两直线平行，同位角相等）
，已知
（等量代换）
，（内错角相等，两直线平行）
．
， （同旁内角互补，两直线平行）
又，已知
（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题主要考查平行线的判定与性质的综合运用.根据垂直定义，得到一组同位角相等等于90°，根据“同位角相等，两直线平行”判定；再利用平行线的性质与已知条件，结合“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行”判定、；最后根据平行公理得证
24．【答案】（1）证明：∵OM⊥ON，
∴∠CON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠DCB+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：在△OBC中， ∵∠MON=α，
∴∠2+∠3=180°-α，
∵∠1=∠2， ∠3=∠4，
∴∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，
∴∠BEC=180°-∠ABC-∠BCD
=180° - (180°-2∠2) - (180°-2∠3)
=2(∠2+∠3) - 180°
（3）β=2
【知识点】角的运算；平行线的判定；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：（3）∵∠1=∠2，∠3=∠4
∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3
∴∠BED=∠ABC-∠BCD=(180°-2∠2)-(180°-2∠3)=2(∠3-∠2)=∠β
∵∠MON=∠3-∠2=
∴β=2
故答案为：β=2
【分析】（1）根据垂直可得∠CON=90°，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=90°，再根据角之间的关系可得∠DCB+∠ABC=180°，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠2+∠3=180°-α，根据角之间的关系可得∠DCB=180°-2∠3， ∠ABC=180°-2∠2，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）根据角之间的关系即可求出答案.
25．【答案】（1）PA=PB
（2）解：△PAB为等边三角形.
理由：如图，作PD⊥OM于点D，
∵∠PCO=∠PDO=90°，
∴180°
∴∠APD=∠BPC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON，PD⊥OM，
∴PC=PD，
∴△APD≌△BPC（ASA)，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△PAB 为等边三角形.
（3）解：OA=BC+OC.
理由如下：如图，作 PD⊥OM 于点D，
同（1）可证△APD≌△BPC，
∴AD=BC，
∵点 P 在∠MON 的平分线上，且 PC⊥ON 于点C，
∴PC=PD，
在Rt△OPD 和Rt△OPC 中，
∴Rt△OPD≌RtOPC(HL)
∴OC=OD，
∴OA-AD=OD=OC，
∴OA-BC=OC，
即OA=BC+OC.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：（1）∵点P是∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于点C
∴PC=PD
∵∠MON=90°
∴∠APB=90°，∠CPD=90°
∴∠APD+∠BPD=90°，∠BPC+∠BPD=90°
∴∠APD=∠BPC
∵∠PDA=∠PCB=90°
在△APD和△BPC中
∴△APD≌△BPC(ASA)
∴PA=PB
故答案为：PA=PB
【分析】（1）根据角平分线性质可得PC=PD，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）作PD⊥OM于点D，根据补角可得∠APB，根据角平分线定义可得∠POA，再根据角之间的关系可得∠APD=∠BPC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得△APD≌△BPC（ASA)，则PA=PB，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
（3）作 PD⊥OM 于点D，同（1）可证△APD≌△BPC，则AD=BC，根据角平分线性质可得PC=PD，再根据全等三角形判定定理可得Rt△OPD≌Rt△OPC(HL)，则OC=OD，再根据边之间的关系即可求出答案.
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