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北师大版数学七年级下册期末模拟测试（二）
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为( 则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
该小行星与地球的最近距离约为
故答案为： C
【分析】根据有理数的乘法即可求出答案.
2．将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CE，∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°
∴∠BCD＝360° 90° 90° 30°＝150°．
故答案为：D．
【分析】先利用平行线的性质求出∠ACE＝∠A＝30°，再利用角的运算求出∠BCD的度数即可.
3． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°．若∠1＝18°，则∠2等于（　　）
A．42° B．38° C．36° D．30°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：A.
【分析】由直角三角板的性质可知再根据平行线的性质得 由三角形内角和定理即可得出结论.
5．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O'=∠O的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法易得OD=O'D'，OC=OC，CD=CD'，
依据SSS可判定
故选： B.
【分析】由作法易得OD=O'D'，OC=OC，CD=CD'，根据SSS可得到三角形全等.
6．以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2+2=4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+4>5，能构成三角形，符合题意；
D、3+4<8，不能构成三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断.
7．下列图形是轴对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，不是轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，是轴对称图形，故C符合题意；
对D选项，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
8． 如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由DE垂直平分AB，
得AD=BD，
∴△BDC的周长=BC+CD+CD=BC+CD+AD=BC+AC=13.
故答案为：C.
【分析】利用中垂线的性质，将BD转化为AD，进而表示△BDC的周长即可.
9．如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE=DF
∵，AB=5
∴DF=2
∴DE=2
故答案：B.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DF=DE，由面积可得DF的长，即得DE的长.
10．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得函数图象分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；
故答案为：B．
【分析】根据题意，结合函数图象，一一判断即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．计算：　 　.
【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】先计算乘方，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答.
12．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点P，设∠A 的度数为x，∠BPC 的度数为y，则y与x之间的函数关系式为　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点 P，∠A 的度数为x， 的度数为 y，所以 2∠PBC. 因 为. 2∠PBC+x，∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+y，所以2∠PBC+x=2(∠PBC+y)，所以x=2y，所以
故答案为：
【分析】在 中，利用三角形内角和定理，可得出 由角平分线的定义，可得出 进而推导出y与x的关系式即可
13．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　 　，
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
14．如图，在和中，，，，AC与DE相交于点F．若，则的度数为　 　．
【答案】105°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=60°，∠C=45°，
∴∠C=90°-60°=30°，∠E=90°-45°=45°，
∵BC∥AE，
∴∠C=∠EAF=30°，
∴∠AFE=180°-∠E-∠EAF=180°-45°-30°=105°.
故答案为：105°.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠C，∠E的度数；利用平行线的性质可求出∠EAF的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠AFE的度数.
15．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　 　 ．
【答案】40°
【知识点】概率的简单应用；圆心角的概念
【解析】【解答】解：一等奖区域对应的圆心角度数为.
故答案为：40°.
【分析】利用“概率与圆心角的关系”：转盘区域的概率对应其圆心角占周角（360°）的比例，用周角度数乘以一等奖区域的概率，即可得到对应的圆心角度数40°．
16．如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 　 　。
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
三、解答题（共8题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先按照平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代值计算即可．
18．某次几何课上，黄老师借助字母M，命制了如下几何题目：
（1）如图1，已知AB∥OC，∠A=∠C，证明：AO∥CD.请你将推理过程补充完整；
证明：∵AB∥OC（已知），
∴① ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠C（已知），
∴② ▲ （③ ）
∴AO∥CD（④ ）.
（2）如图2，若AE∥CF，AB∥CD，证明：∠A=∠C.
模仿（1）题，写出推理过程.
【答案】（1）证明：∵AB∥OC（已知），
∴①∠A=∠O（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠C（已知），
∴②∠O=∠C（③等量代换）
∴AO∥CD（④内错角相等，两直线平行）.
（2）解：延长AB，CF相交于点M，
∵AE∥CF，AB∥CD，
∴∠A=∠M，∠C=∠M，
∴∠A=∠C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和判定推理即可；
(2)添加辅助线构造类似图1的模型，同理即可证明。
19．每年的3月 14日是国际数学节，又称圆周率日.中国邮政于2025年3月 14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感.
已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同.凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票.
（1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会.小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少 她获得现金奖励的概率是多少
（2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用.
【答案】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种，
所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为
小颖获得现金奖励的概率为
（2）解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×580=1160（元)
抽到“圆周率”的总次数约为： （次)
抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为： （次)
∴商场这一个月里大约需支付此活动的费用为： 1160+145×10+290×6=4350（元)
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可．
20．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
（1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？
（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
【答案】（1）解：BD＝DE+CE
理由：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
（2）解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°），
∴∠BDE＝180°-90°＝90°＝∠E，
∴BD∥CE．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质求出 BD＝AE，AD＝CE， 再求出 BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 最后证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 ∠E＝∠ADB＝90° ，再求出 ∠BDE＝180°-90°＝90°＝∠E，最后根据平行线的判定方法证明求解即可。
21．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
（2）当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为：（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为：；
【分析】本题考查利用关系式表达变量间的关系，解题关键在于根据数量关系正确列出表达式。
（1）单位耗油量=总耗油量÷行驶里程；剩余油量=油箱初始油量 行驶过程中的耗油量；
（2）将代入剩余油量的表达式，直接计算可得结果；
（3）先计算剩余油量升能支持的行驶距离，再与往返总路程400千米比较，得出结论。
（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
22．如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
【答案】（1）
（2）12；74
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：（1）大正方形的边长为，则面积为，大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为.
（2）∵若，∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
【分析】本题重点考查了完全平方公式的几何意义，面积法以及数形结合思想. 通过面积法推导完全平方公式，并利用公式进行相关计算与几何证明.
（1）用整体边长表示面积，用分割后四部分面积之和表示面积，从而得到；
（2）利用已知面积求及，根据，得，，可求出m、n的值，然后再求出即可；根据，得出，根据，利用完全平方公式变形求出值即可；
(3)通过面积差建立方程，求解m的值根据
得，求出m的值即可．
（1）解：大正方形的边长为，则面积为，
大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为；
（2）解：∵若，
∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
23．学行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．判断AB，CD是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由．
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若∠2＝22°，求∠1的度数．
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，试说明∠1+2∠2＝90°．
【答案】（1）解：认同，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∴2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°
（2）解：∵CP⊥AC，即∠2+∠ACD＝90°，且∠2＝22°，
∴∠ACD＝90°-∠2＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝180°-∠ACD＝180°-68°=112°，
∵AP平分∠BAC，
∴，
∴∠1＝56°
（3）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠BAC＝∠CAP+∠1＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+2∠2＝90°．
【知识点】等式的基本性质；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）先利用“两直线平行、同旁内角互补”得出∠BAC+∠ACD＝180°，然后结合角平分线的定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，代入替换得出2∠1+2∠2＝180°，利用等式的性质即可得出∠1+∠2＝90°；
（2）先结合垂直的定义计算出∠ACD＝68°，然后结合“两直线平行、同旁内角互补”列式并计算出∠BAC=112°，最后结合角平分线的定义即可得出答案；
（3）结合角平分线的定义得出∠ACD＝2∠2，结合垂直的定义以及“两直线平行、同旁内角互补”，综合得出90°+∠1+2∠2＝180°，然后变形计算即可得出答案。
24．【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
1 / 1北师大版数学七年级下册期末模拟测试（二）
一、选择题（每题3分，共30分）
1． 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅.已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为( 则该小行星与地球的最近距离约为（　　）
A． B． C． D．
2．将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若AB∥CE，则∠BCD的大小为（　　）
A．100° B．120° C．135° D．150°
3． 在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．投掷一枚硬币，正面向上
B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形
D．射击运动员射击一次，命中靶心
4．如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°．若∠1＝18°，则∠2等于（　　）
A．42° B．38° C．36° D．30°
5．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明∠O'=∠O的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
6．以下列每组数为长度（单位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（　　）
A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8
7．下列图形是轴对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
8． 如图，在△ABC中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（　　）
A．21 B．14 C．13 D．9
9．如图，在△中，，平分交于点，，垂足为，△的面积为5，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
10．2022年2月5日，电影《长津湖》在青海剧场首映，小李一家开车去观看.最初以某一速度匀速行驶，中途停车加油耽误了十几分钟，为了按时到达剧场，小李在不违反交通规则的前提下加快了速度，仍保持匀速行驶.在此行驶过程中，汽车离剧场的距离y（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．计算：　 　.
12．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点P，设∠A 的度数为x，∠BPC 的度数为y，则y与x之间的函数关系式为　 　.
13．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则　 　，
14．如图，在和中，，，，AC与DE相交于点F．若，则的度数为　 　．
15．某中学九年级（1）班开展“禁毒知识竞赛”活动，为表扬同学们积极参与，班主任组织转盘抽奖活动．自由转动转盘，当它停止转动时指针落在三等奖区域的概率为，落在二等奖区域的概率为，落在一等奖区域的概率为，则一等奖区域所对的圆心角度数为　 　 ．
16．如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 　 　。
三、解答题（共8题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．某次几何课上，黄老师借助字母M，命制了如下几何题目：
（1）如图1，已知AB∥OC，∠A=∠C，证明：AO∥CD.请你将推理过程补充完整；
证明：∵AB∥OC（已知），
∴① ▲ （两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠C（已知），
∴② ▲ （③ ）
∴AO∥CD（④ ）.
（2）如图2，若AE∥CF，AB∥CD，证明：∠A=∠C.
模仿（1）题，写出推理过程.
19．每年的3月 14日是国际数学节，又称圆周率日.中国邮政于2025年3月 14日发行《数学之美》特种邮票，分别以“圆周率、毕达哥拉斯定理、欧拉公式、莫比乌斯带”为主题，一套四张，方寸间展现数学的无限魅力与艺术美感.
已知每张邮票成本2元，商场将两套邮票分别装入八个相同的盲盒中，每个盲盒装一张且被抽中的概率相同.凡在商场购物满300元的顾客，将获得一次抽盲盒的机会，规定：抽到“圆周率”，获得该邮票且奖励10元；抽到“毕达哥拉斯定理或欧拉公式”，获得该邮票且奖励6元；抽到“莫比乌斯带”，仅获得该邮票.
（1）小颖在该商场消费315元，获得了一次抽盲盒的机会.小颖恰好抽到“圆周率”的概率是多少 她获得现金奖励的概率是多少
（2）此活动推出的一个月里，共抽了580次盲盒，请估计商场这一个月里需要支付此活动的费用.
20．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．
（1）你能说明BD、DE、CE之间的数量关系吗？
（2）请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE？
21．“十一”期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油45升，当行驶150千米时，发现油箱余油量为30升（假设行驶过程中汽车的耗油量是均匀的）．
（1）求该车平均每千米的耗油量，并写出行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式（即用含x的代数式表示Q）；
（2）当（千米）时，求剩余油量Q（升）的值：
（3）当油箱中剩余油量低于3升时，汽车将自动报警，如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请说明理由．
22．如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形．四边形，，，的面积分别为．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为______；
（2）在图2中，若，则______；若，，则______；
（3）如图3，连接交于点N，连接．若与的面积之差为18，求m的值．
23．学行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．判断AB，CD是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来：
（1）【基础巩固】
条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由．
（2）【尝试探究】
小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：
如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若∠2＝22°，求∠1的度数．
（3）【拓展提高】
如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，试说明∠1+2∠2＝90°．
24．【问题提出】如图1，在四边形中，，E是的中点，平分，平分，试判断和之间的数量关系．
【问题解决】小李为解决该问题画出了如下辅助线：如图2，延长，与的延长线相交于点F．
请你结合小李所画的辅助线，回答下面的问题，并将推理过程补充完整：
和之间的数量关系为 ．理由如下：
【拓展延伸】如图3，已知是的中线，，，°，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数乘法的实际应用；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：由题意可得：
该小行星与地球的最近距离约为
故答案为： C
【分析】根据有理数的乘法即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CE，∠A＝30°，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝90°
∴∠BCD＝360° 90° 90° 30°＝150°．
故答案为：D．
【分析】先利用平行线的性质求出∠ACE＝∠A＝30°，再利用角的运算求出∠BCD的度数即可.
3．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A为随机事件，不符合题意；
B为不可能事件，符合题意；
C为必然事件，不符合题意；
D为随机事件忙不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：A.
【分析】由直角三角板的性质可知再根据平行线的性质得 由三角形内角和定理即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作法易得OD=O'D'，OC=OC，CD=CD'，
依据SSS可判定
故选： B.
【分析】由作法易得OD=O'D'，OC=OC，CD=CD'，根据SSS可得到三角形全等.
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、2+2=4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
C、3+4>5，能构成三角形，符合题意；
D、3+4<8，不能构成三角形，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：对A选项，不是轴对称图形，故A不符合题意；
对B选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故B不符合题意；
对C选项，是轴对称图形，故C符合题意；
对D选项，不是轴对称图形，故D不符合题意；
故选：C.
【分析】 如果一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由DE垂直平分AB，
得AD=BD，
∴△BDC的周长=BC+CD+CD=BC+CD+AD=BC+AC=13.
故答案为：C.
【分析】利用中垂线的性质，将BD转化为AD，进而表示△BDC的周长即可.
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB
∴DE=DF
∵，AB=5
∴DF=2
∴DE=2
故答案：B.
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，由角平分线的性质知DF=DE，由面积可得DF的长，即得DE的长.
10．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意可得函数图象分为三段：第一段由左向右呈下降趋势，第二段与x轴平行，第三段由左向右呈下降趋势，且比第一段更陡，随着时间的增多，汽车离剧场的距离越来越近，即离x轴越来越近，排除A、C、D；
故答案为：B．
【分析】根据题意，结合函数图象，一一判断即可。
11．【答案】0
【知识点】零指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】先计算乘方，在计算零指数幂，最后计算加减即可解答.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：因为∠ABC 的平分线与∠ACD的平分线交于点 P，∠A 的度数为x， 的度数为 y，所以 2∠PBC. 因 为. 2∠PBC+x，∠PCD=∠PBC+∠BPC=∠PBC+y，所以2∠PBC+x=2(∠PBC+y)，所以x=2y，所以
故答案为：
【分析】在 中，利用三角形内角和定理，可得出 由角平分线的定义，可得出 进而推导出y与x的关系式即可
13．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
14．【答案】105°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=60°，∠C=45°，
∴∠C=90°-60°=30°，∠E=90°-45°=45°，
∵BC∥AE，
∴∠C=∠EAF=30°，
∴∠AFE=180°-∠E-∠EAF=180°-45°-30°=105°.
故答案为：105°.
【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠C，∠E的度数；利用平行线的性质可求出∠EAF的度数；然后利用三角形的内角和定理求出∠AFE的度数.
15．【答案】40°
【知识点】概率的简单应用；圆心角的概念
【解析】【解答】解：一等奖区域对应的圆心角度数为.
故答案为：40°.
【分析】利用“概率与圆心角的关系”：转盘区域的概率对应其圆心角占周角（360°）的比例，用周角度数乘以一等奖区域的概率，即可得到对应的圆心角度数40°．
16．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
17．【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先按照平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式化简，再代值计算即可．
18．【答案】（1）证明：∵AB∥OC（已知），
∴①∠A=∠O（两直线平行，内错角相等）
∵∠A=∠C（已知），
∴②∠O=∠C（③等量代换）
∴AO∥CD（④内错角相等，两直线平行）.
（2）解：延长AB，CF相交于点M，
∵AE∥CF，AB∥CD，
∴∠A=∠M，∠C=∠M，
∴∠A=∠C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和判定推理即可；
(2)添加辅助线构造类似图1的模型，同理即可证明。
19．【答案】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“圆周率”的结果有2种，能获得现金奖励的结果有6种，
所以小颖恰好抽到“圆周率”的概率为
小颖获得现金奖励的概率为
（2）解：商场这一个月里需支付邮票的费用为：2×580=1160（元)
抽到“圆周率”的总次数约为： （次)
抽到“毕达哥拉斯定理、欧拉公式”的总次数约为： （次)
∴商场这一个月里大约需支付此活动的费用为： 1160+145×10+290×6=4350（元)
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）根据概率公式计算即可；
（2）根据概率公式计算即可．
20．【答案】（1）解：BD＝DE+CE
理由：∵△BAD≌△ACE，
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE，
即BD＝DE+CE．
（2）解：△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE，
理由是：∵△BAD≌△ACE，
∴∠E＝∠ADB＝90°（添加的条件是∠ADB＝90°），
∴∠BDE＝180°-90°＝90°＝∠E，
∴BD∥CE．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质求出 BD＝AE，AD＝CE， 再求出 BD＝AE＝AD+DE＝CE+DE， 最后证明求解即可；
（2）根据全等三角形的性质求出 ∠E＝∠ADB＝90° ，再求出 ∠BDE＝180°-90°＝90°＝∠E，最后根据平行线的判定方法证明求解即可。
21．【答案】（1）
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为：（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为：；
【分析】本题考查利用关系式表达变量间的关系，解题关键在于根据数量关系正确列出表达式。
（1）单位耗油量=总耗油量÷行驶里程；剩余油量=油箱初始油量 行驶过程中的耗油量；
（2）将代入剩余油量的表达式，直接计算可得结果；
（3）先计算剩余油量升能支持的行驶距离，再与往返总路程400千米比较，得出结论。
（1）解：该汽车平均每千米的耗油量为（升/千米），
∴行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式为；
（2）解：当时，（升），
答：当（千米）时，剩余油量Q的值为17升；
（3）解：他们能在汽车报警前回到家，
（千米），
由知他们能在汽车报警前回到家．
22．【答案】（1）
（2）12；74
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
解：（1）大正方形的边长为，则面积为，大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为.
（2）∵若，∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
【分析】本题重点考查了完全平方公式的几何意义，面积法以及数形结合思想. 通过面积法推导完全平方公式，并利用公式进行相关计算与几何证明.
（1）用整体边长表示面积，用分割后四部分面积之和表示面积，从而得到；
（2）利用已知面积求及，根据，得，，可求出m、n的值，然后再求出即可；根据，得出，根据，利用完全平方公式变形求出值即可；
(3)通过面积差建立方程，求解m的值根据
得，求出m的值即可．
（1）解：大正方形的边长为，则面积为，
大正方形看作四个四边形的面积之和，则面积为：，
∴关于m，n的等式为；
（2）解：∵若，
∴，，
解得：负值舍去，
∴，
∴；
∵若，
∴，
∵，
∴
．
（3）解：∵，
，
∴
，
∵与的面积之差为18，
∴，
∴，
解得：，负值舍去．
23．【答案】（1）解：认同，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，
∴2∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝90°
（2）解：∵CP⊥AC，即∠2+∠ACD＝90°，且∠2＝22°，
∴∠ACD＝90°-∠2＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝180°-∠ACD＝180°-68°=112°，
∵AP平分∠BAC，
∴，
∴∠1＝56°
（3）证明：∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠2，
∵AP⊥AC，
∴∠CAP＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∵∠BAC＝∠CAP+∠1＝90°+∠1，
∴90°+∠1+2∠2＝180°，
∴∠1+2∠2＝90°．
【知识点】等式的基本性质；角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）先利用“两直线平行、同旁内角互补”得出∠BAC+∠ACD＝180°，然后结合角平分线的定义得出∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2，代入替换得出2∠1+2∠2＝180°，利用等式的性质即可得出∠1+∠2＝90°；
（2）先结合垂直的定义计算出∠ACD＝68°，然后结合“两直线平行、同旁内角互补”列式并计算出∠BAC=112°，最后结合角平分线的定义即可得出答案；
（3）结合角平分线的定义得出∠ACD＝2∠2，结合垂直的定义以及“两直线平行、同旁内角互补”，综合得出90°+∠1+2∠2＝180°，然后变形计算即可得出答案。
24．【答案】【问题解决】解：理由如下：
∵AB∥DC，
∴∠ABE=∠F.
∴E是AD中点，
∴AE=DE，
又∠AEB=∠DEF（对顶角相等），
∴△ABE≌△DFE（AAS），
∴AB=DF.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE.
又∵∠ABE=∠F，
∴∠CBE=∠F，
∴BC=CF.
∵CF=CD+DF，AB=DF，
∴BC=CD+AB．
故答案为：BC=CD+CB.
【拓展延伸】数量关系：EF=2AD.
证明：延长AD至G，使DG=AD，连接CG.
∵AD是中线，
∴BD=CD.
又∠ADB=∠GDC，
∴△ABD≌△GCD（SAS），
∴AD=GD，AB=CG，∠BAD=∠G.
∵AB=AE，
∴AE=CG.
∵∠BAE=∠CAF=90°，
∴∠EAF+∠BAC=180°．
∵∠BAD=∠G.
∴AB∥CG，
∴∠BAC＝∠GCA，
∴∠EAF=∠GCA.
在△AEF和△CGA中，
∴△AEF≌△CGA（SAS），
∴EF=AG.
∵AD=GD，即AG=2AD，
∴EF=2AD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【分析】【问题解决】先根据平行线的性质和线段的中线，证明△ABE≌△DFE（AAS），进而求出AB＝DF；再根据角平分线的性质，得出∠ABE=∠CBE；接着通过角度的等量代换，得出∠CBE=∠F，从而根据等角对等边，求出BC＝CF；最后根据边的等量代换，即可证明BC=CD+CB.
【拓展延伸】先通过作辅助线，得出DG＝AD，结合中线的性质，证明△ABD≌△GCD（SAS）；再根据全等三角形的性质，得出AB=CG，∠BAD=∠G，并结合已知条件AB=AE，得出AE=CG；接着根据已知条件∠BAE=∠CAF=90°，利用平行线的性质证明∠EAF=∠GCA，从而证明△AEF≌△CGA（SAS），从而得出EF=AG；最后通过边的等量代换，即可证明EF=2AD.
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