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广东省深圳市云端学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
1．第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”，水是诗人钟爱的写作意象．经测算，一个水分子的直径约为，则一个水分子的直径用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】这道题主要考查同底数幂的乘除运算、合并同类项以及积的乘方相关知识，解题时我们只需要根据对应运算法则，对每个选项逐一验证排除就可以得到结果，熟练掌握这些运算法则是解对本题的关键。
4．下列各图形中，，能确定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；
C、由，不能判定，故C不符合题意；
D、由不能判定，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查平行线的判定定理，我们只需要结合已知给出的角的关系，对应平行线的判定规则逐一判断即可，解题的核心是牢记平行线的判定内容：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
5．迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵分类测试 中包含四大类十六种人格类型．“外交家”这一大类含4种人格类型，
∴他的人格类型是“外交家”的概率为．
故答案为：C．
【分析】这道题核心考查概率公式的实际应用，我们只需要结合题目给出的条件，利用概率公式计算，就能得到对应人格类型为“外交家”的概率。
6．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．72
【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：4个直角三角形的面积和为，
∴一个直角三角形的面积为．
故答案为：A．
【分析】我们可以先计算出大正方形和小正方形的面积之差，这个差值恰好就是题干里4个直角三角形的总面积，将总面积除以4就能得到单个直角三角形的面积。这道题解题的核心，就是理清大正方形、小正方形面积和直角三角形面积之间的关系，掌握这个关系就能顺利求解。
7．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】我们先整理题目中几种烷烃的碳原子数x和氢原子数y的对应值：甲烷为((1，4)、乙烷为(2，6)、丙烷为(3，8)、丁烷为(4，10)；接下来我们可以将这些对应坐标分别代入各个选项验证，也可以根据“碳原子数每增加1个，氢原子数就增加2个”的规律，推导x和y的函数关系式，最终筛选出正确选项。
8．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当为腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：C．
【分析】分类讨论：①当为腰时，则底边；②当为底边时，则腰为；再利用“优美比”的定义求解即可.
9．计算：　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：．
【分析】根据0指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算，即可得到结果。
10．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是　 　．
【答案】4（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系得，
所以x的取值范围是．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】利用三角形三边的关系可得x的取值范围是，再求解即可.
11．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据新运算定义，计算时，令，，则：
故答案为：．
【分析】本题考查新定义运算与多项式乘法运算，解题关键在于读懂新运算的规则，将对应数值代入运算式后，正确展开多项式并合并同类项得到结果。首先明确新运算的计算规则：，题目要求我们计算，因此可以确定对应参数为、；接下来把、代入新运算的公式中，即可得到算式；最后利用多项式乘多项式的法则展开这个乘积，再合并同类项就能得到最终的化简结果。
12．如图，的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在的垂直平分线上，∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴ (等腰三角形两底角相等)．
∵点P在的垂直平分线上，
∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴ (等腰三角形两底角相等)．
∴．
在中，，
∴．
在中，．
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，因此可推出；结合等腰三角形等边对等角的性质，可得，，因此；在 ABC中，根据三角形内角和为180°，可得，进一步计算可得；最后在三角形PBC中，根据三角形内角和为180°，即可得出。
13．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP=4，则AB的长为　 　
【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠CBQ=∠ABC．
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBQ=∠ABC=∠C，
∴ BQ=CQ，
∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）．
如图所示，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB，
∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，
∴∠ADP=2∠C，
∴∠ABC=∠ADP．
又∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠CAP．
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=DP，
∴AB+BP=AD+CD=AC（2），
由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP，
又∵△ABQ的周长为18，BP=4，
∴18－AB= AB+4，
∴ AB=7．
故答案为：7．
【分析】先利用角平分线的定义及等量代换可得∠CBQ=∠ABC=∠C，利用等角对等边的性质可得BQ=CQ，利用线段的和差可得 BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1），再过点P作PD∥BQ交CQ于点D，利用“AAS”证出△ABP≌△ADP，利用全等三角形的性质可得AB=AD，BP=DP，再求出AB+BP=AD+CD=AC（2），最后结合△ABQ的周长为18，BP=4，求出AB=7即可．
14．小端同学在计算：时，解答过程如下．
解：
……第一步
……第二步
……第三步
（1）小端同学的解答从第______步开始出错．
（2）请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值．
【答案】（1）一
（2）解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
【分析】（1）利用完全平方公式即可对原式进行判断；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果。
（1）解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
（2）解：原式
，
当时，原式．
15．（1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线．
（2）判断的位置关系是______．
（3）连接和，则三角形的面积是______．
【答案】解：（1）如图，垂线和平行线即为所求．
（2）；
（3）10
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：（2）的位置关系是，
理由：∵，
∴．
故答案为：．
（3）如图，连接和，
设小方格的边长为1，则三角形的面积是．
故答案为：10.
【分析】（1）借助网格，过点C作出5×1矩形的对角线所在直线，即可得到与平行和垂直的直线；
（2）根据平行线性质，可推出与的位置关系为垂直；
（3）设每个小方格的边长为单位1，利用割补法结合三角形面积公式即可计算出该三角形的面积。
16．我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，思考下面的问题．
（1）如图，已知在四边形中，，，试说明．
解：如图，连接．
（请你补充完整…）
（2）小云同学又连接了，与交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论：
，；
，；
图中共有两对全等三角形；
和的面积相等；
请你通过观察、测量、分析等方法，判断结论正确的有______．（填写序号即可）
【答案】（1）解：如图，连接，∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）①∵，∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故②正确；
③∵，，，
∴，
由①②可知：，，，，共4对三角形全等，故③错误；
④∵，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】
（1）先利用SSS判定，得到对应角相等，再根据内错角相等，两直线平行，即可推出结论；
（2）①先证明，再证明，即可得到对应结论；
②利用ASA判定，根据全等三角形对应边相等得到，，即可推出结论；
③利用SAS判定，结合前面得到的全等，一共可以得到4对全等三角形，即可得出结论；
④由，结合三角形面积公式，可得和面积相等。
（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故②正确；
③∵，，，
∴，
由①②可知：，，，，共4对三角形全等，故③错误；
④∵，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的结论有①②④．
17．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到的频率 a
（1）表中的______， ______．
（2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？
【答案】（1），33
（2）
（3）解：
（个），
答：抽到的次数是560个．
【知识点】利用频率估计概率；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：，；
故答案为：0.11；33；
（2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是．
故答案为：0.16；
【分析】（1）我们可以直接根据题目给出的表格里的试验数据，计算得出a和b的具体数值；
（2）依据“在大量重复试验的情况下，频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，就可以估计出所求的概率；
（3）我们先根据求得的抽中的概率，算出2000个盲盒里的总个数，接着计算出剩下三种角色的总数量，再结合剩下三种角色被抽到的概率相等，就能计算出的数量了。
（1）解：，；
（2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是．
（3）解：
（个），
答：抽到的次数是560个．
18．云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
（2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时；
（3）图2中点表示的意义是______．
（4）点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？
【答案】（1）游览时间，步行的路程
（2）
（3）出发时，步行的路程为千米
（4）解：
可以在点前到达出口．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
（3）点的横坐标为，纵坐标为
所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米．
【分析】（1）利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可；
（2）根据函数图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（3）利用函数图象中的数据并结合题干分析求解即可；
（4）结合图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可.
（1）图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
（3）点的横坐标为，纵坐标为
所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米．
（4）
可以在点前到达出口．
19．“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究．
小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m）12344.556宽（单位：m）7654a32面积（单位：m2）7121516b1512
我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大．
小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米．
小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16；
请根据以上的研究完成下面的问题：
（1）小云同学的数据表中 ______、 ______；
（2）小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______；
（3）补全小锦同学的做法．
______、______；请画出当时的三个图示说明．
【答案】（1）3.5，15.75
（2）16，4，16
（3）解：，；
②当时，
图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为，
图3中，阴影部分是一个边长为的正方形，
图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以当小正方形面积越小时，原面积越大．
【知识点】完全平方公式的几何背景；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵长方形的周长为16，长为4.5，∴宽为，
∵长为4.5，宽为3.5，
∴面积，
故答案为3.5，15.75；
（2）解：
，
▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为；
故答案为：16；4；16；
（3）解：设相邻的边长为y，则，解得，
由于阴影部分与A相邻的长为，
则阴影部分是一个边长为的正方形；
故答案为：；；
【分析】（1）我们可以借助长方形周长公式计算得到边长$a$，再代入长方形面积公式就能求出$b$；
（2）参考题目里给出的小鲲的解题思路，直接利用配方法进行计算，就可以得到最终结果；
（3）先利用周长公式，求出阴影部分和图形A相邻的这条边的长度，进而可以推导出阴影部分是边长为的正方形，最后参考题目里小锦的解题过程，仿照他的方法就可以解出这道题。
（1）解：∵长方形的周长为16，长为4.5，
∴宽为，
∵长为4.5，宽为3.5，
∴面积，
故答案为3.5，15.75；
（2）解：
，
▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为；
（3）解：设相邻的边长为y，则，解得，
由于阴影部分与A相邻的长为，
则阴影部分是一个边长为的正方形；
②当时，
图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为，
图3中，阴影部分是一个边长为的正方形，
图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以当小正方形面积越小时，原面积越大．
20．在综合实践课上，老师让同学们以一个长方形为操作对象，进行相关问题的研究．
已知长方形中，，在上找一点P，以为对称轴将进行翻折．
【初步感知】若点P与点D重合，如图1所示，试说明；
【类比探究】若点P为边上一个点，如图2所示；
是______三角形；
连接，则的最小值为______；
当点P满足时，的长度是______；
【拓展应用】若点P为边上一个点，如图3所示，当射线恰好经过的中点M时，求的长．
【答案】解：[初步感知]证明：∵四边形是长方形，
∴，，
即，
由翻折可得，，
∴，，
在和中
∴；
[类比探究]等腰，6，2，
[拓展应用][拓展应用]当M在线段延长线上时，如图：
∵M为中点，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
∴，
则，
∴；
当M在线段上时，如图：
同理可得，
∴，
∴；
综上所述，当射线恰好经过的中点M时，的长为2或8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：[类比探究]
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由翻折可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：等腰；
②由翻折可得，，
则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图：
∴当E在线段上时，最小，此时，
则的最小值为6；
故答案为：6；
③由①知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：2；
【分析】[初步感知]因为四边形是长方形，所以可得，且；再结合翻折的性质，可得，，因此可以通过AAS判定定理证明。
[类比探究]根据长方形对边平行的性质，可得，由平行线内错角相等推出；再结合翻折的性质，得到，因此可得，即可判定该三角形是等腰三角形。
②根据翻折的性质可得，，因此点E的运动轨迹为以点B为圆心、长度4为半径的圆弧；当点E落在线段上时，取得最小值，此时最小值为。
③由①的结论可得，结合题目条件，可推出；再利用勾股定理计算得到，因为，结合折叠性质，即可得到，进而求解。
[拓展应用]需要分两种情况讨论：分别是点M在线段延长线上，和点M在线段上两种情况，结合中点性质、勾股定理和折叠的性质分别计算即可得到结果。
1 / 1广东省深圳市云端学校2024-2025学年七年级下学期期末数学试题
1．第十五届全运会将于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．“一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红”，水是诗人钟爱的写作意象．经测算，一个水分子的直径约为，则一个水分子的直径用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各图形中，，能确定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．72
7．如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C与H满足的关系式是（　　）
名称 甲烷 乙烷 丙烷 丁烷
结构式
A． B． C． D．
8．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值k称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，，则它的“优美比”k为（　　）
A． B． C．或 D．或
9．计算：　 　．
10．用一根长度为小木棒与两根长度分别为的小木棒组成一个三角形，那么这根小木棒的长度x可以是　 　．
11．在学习教材上的综合与实践《设计自己的运算程序》时，小鲲同学对自己设计的运算给出如下定义：．则的化简结果是　 　．
12．如图，的边的垂直平分线相交于点P，连接．若，则的度数是　 　．
13．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP=4，则AB的长为　 　
14．小端同学在计算：时，解答过程如下．
解：
……第一步
……第二步
……第三步
（1）小端同学的解答从第______步开始出错．
（2）请写出正确的解答过程．并求出当时，该代数式的值．
15．（1）在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段外一点C，不用量角器与三角尺，仅用直尺，画线段的垂线和平行线．
（2）判断的位置关系是______．
（3）连接和，则三角形的面积是______．
16．我们在研究多边形的相关性质时，经常会将多边形分割成三角形进行研究，利用这样的思维方式，思考下面的问题．
（1）如图，已知在四边形中，，，试说明．
解：如图，连接．
（请你补充完整…）
（2）小云同学又连接了，与交于点O，通过观察、分析，他得出以下结论：
，；
，；
图中共有两对全等三角形；
和的面积相等；
请你通过观察、测量、分析等方法，判断结论正确的有______．（填写序号即可）
17．（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到的频率 a
（1）表中的______， ______．
（2）“抽到”的概率的估计值是______（精确到）；
（3）商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？
18．云端学校组织七年级进行“春日蓄能”春季社会实践活动（图1）．下午小鹏同学到达出发点，以一定的速度沿路线“入口-经纬寻踪-能源汇智-光影捕美-出口”进行打卡游览，小鹏同学步行的路程与游览时间之间的部分图象如图2所示（图象不完整）．根据图回答下列问题：
（1）图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；
（2）小鹏同学从“经纬寻踪”到“能源汇智”时行走的平均速度是______千米/时；
（3）图2中点表示的意义是______．
（4）点与出口之间的距离为米，小鹏同学按第一段（入口到经纬寻踪）的步行速度从点出发，可以在点前到达出口吗？
19．“用一根长度为16米的绳子如何围一个面积最大的长方形？”通过小学的学习，我们知道：周长一定的长方形中，正方形的面积最大．小云、小鲲、小锦三位同学从三个不同的方向对这个问题进行了研究．
小云 我尝试围出不同长宽比例的长方形，以下是我选取的长、宽数据表： 长（单位：m）12344.556宽（单位：m）7654a32面积（单位：m2）7121516b1512
我发现当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，所以用长度为16米的绳子围一个长方形区域，当围成一个正方形区域时可使面积最大．
小鲲 我用的是逆用完全平方公式的方法进行验证，做法如下： 设绳子围成的长方形区域的长为y米，则宽为米，根据题意，该长方形区域的面积为平方米． ∵∴当时，代数式有最大值16． （说明：其中▲、■、★表示一个数） 当时，，即当长、宽都等于4米时，围成的长方形区域的面积最大，最大面积为16平方米．
小锦 我用的是数形结合的方法进行验证． 已知长方形的周长是16，设长方形的一边长是x，则相邻一边长是． 当时，如图1，将此长方形进行如下割补．如图2，长方形B的一边长是x，相邻一边长是______．如图3，将长方形B割补到长方形A的右侧，阴影部分是一个边长为______的正方形（以上两空，均用含x的代数式表示）．通过上述割补，图1中长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差．所以当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，类似上述过程及图示进行割补．当小正方形面积越小时，原面积越大． 当时，该长方形即为正方形． 综上分析，周长是16的长方形的最大面积是16；
请根据以上的研究完成下面的问题：
（1）小云同学的数据表中 ______、 ______；
（2）小鲲同学的解题过程中，▲、■、★表示的数分别为______、______、______；
（3）补全小锦同学的做法．
______、______；请画出当时的三个图示说明．
20．在综合实践课上，老师让同学们以一个长方形为操作对象，进行相关问题的研究．
已知长方形中，，在上找一点P，以为对称轴将进行翻折．
【初步感知】若点P与点D重合，如图1所示，试说明；
【类比探究】若点P为边上一个点，如图2所示；
是______三角形；
连接，则的最小值为______；
当点P满足时，的长度是______；
【拓展应用】若点P为边上一个点，如图3所示，当射线恰好经过的中点M时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、，原选项计算错误，不符合题意；
、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：．
【分析】这道题主要考查同底数幂的乘除运算、合并同类项以及积的乘方相关知识，解题时我们只需要根据对应运算法则，对每个选项逐一验证排除就可以得到结果，熟练掌握这些运算法则是解对本题的关键。
4．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：A、由能判定，不能判定，故A不符合题意；
B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意；
C、由，不能判定，故C不符合题意；
D、由不能判定，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】这道题主要考查平行线的判定定理，我们只需要结合已知给出的角的关系，对应平行线的判定规则逐一判断即可，解题的核心是牢记平行线的判定内容：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
5．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵分类测试 中包含四大类十六种人格类型．“外交家”这一大类含4种人格类型，
∴他的人格类型是“外交家”的概率为．
故答案为：C．
【分析】这道题核心考查概率公式的实际应用，我们只需要结合题目给出的条件，利用概率公式计算，就能得到对应人格类型为“外交家”的概率。
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：4个直角三角形的面积和为，
∴一个直角三角形的面积为．
故答案为：A．
【分析】我们可以先计算出大正方形和小正方形的面积之差，这个差值恰好就是题干里4个直角三角形的总面积，将总面积除以4就能得到单个直角三角形的面积。这道题解题的核心，就是理清大正方形、小正方形面积和直角三角形面积之间的关系，掌握这个关系就能顺利求解。
7．【答案】B
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：首先确定各有机物中C原子数x与H原子数y的对应关系：
甲烷：时，；
乙烷：时，；
丙烷：时，；
丁烷：时，．
A、若，当时，，此选项不符合题意；
B、若，当时，（符合）时，（符合）时，（符合）时，（符合），此选项符合题意；
C、若，当时，，此选项不符合题意；
D、若，当时，，此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】我们先整理题目中几种烷烃的碳原子数x和氢原子数y的对应值：甲烷为((1，4)、乙烷为(2，6)、丙烷为(3，8)、丁烷为(4，10)；接下来我们可以将这些对应坐标分别代入各个选项验证，也可以根据“碳原子数每增加1个，氢原子数就增加2个”的规律，推导x和y的函数关系式，最终筛选出正确选项。
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当为腰时，则底边；
此时，优美比；
当为底边时，则腰为；
此时，优美比；
故选：C．
【分析】分类讨论：①当为腰时，则底边；②当为底边时，则腰为；再利用“优美比”的定义求解即可.
9．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：原式=，
故答案为：．
【分析】根据0指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算，即可得到结果。
10．【答案】4（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形三边关系得，
所以x的取值范围是．
故答案为：4（答案不唯一）．
【分析】利用三角形三边的关系可得x的取值范围是，再求解即可.
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：根据新运算定义，计算时，令，，则：
故答案为：．
【分析】本题考查新定义运算与多项式乘法运算，解题关键在于读懂新运算的规则，将对应数值代入运算式后，正确展开多项式并合并同类项得到结果。首先明确新运算的计算规则：，题目要求我们计算，因此可以确定对应参数为、；接下来把、代入新运算的公式中，即可得到算式；最后利用多项式乘多项式的法则展开这个乘积，再合并同类项就能得到最终的化简结果。
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵点P在的垂直平分线上，∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴ (等腰三角形两底角相等)．
∵点P在的垂直平分线上，
∴(线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，
∴ (等腰三角形两底角相等)．
∴．
在中，，
∴．
在中，．
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，因此可推出；结合等腰三角形等边对等角的性质，可得，，因此；在 ABC中，根据三角形内角和为180°，可得，进一步计算可得；最后在三角形PBC中，根据三角形内角和为180°，即可得出。
13．【答案】7
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BQ是∠ABC的角平分线，
∴∠CBQ=∠ABC．
又∵∠ABC=2∠C，
∴∠CBQ=∠ABC=∠C，
∴ BQ=CQ，
∴ BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1）．
如图所示，过点P作PD∥BQ交CQ于点D，
则∠CPD=∠CBQ，∠ADP=∠AQB，
∵∠AQB=∠C+∠CBQ=2∠C，
∴∠ADP=2∠C，
∴∠ABC=∠ADP．
又∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠CAP．
在△ABP和△ADP中，
，
∴△ABP≌△ADP（AAS），
∴AB=AD，BP=DP，
∴AB+BP=AD+CD=AC（2），
由（1）（2）得：BQ+AQ=AB+BP，
又∵△ABQ的周长为18，BP=4，
∴18－AB= AB+4，
∴ AB=7．
故答案为：7．
【分析】先利用角平分线的定义及等量代换可得∠CBQ=∠ABC=∠C，利用等角对等边的性质可得BQ=CQ，利用线段的和差可得 BQ+AQ=CQ+AQ=AC（1），再过点P作PD∥BQ交CQ于点D，利用“AAS”证出△ABP≌△ADP，利用全等三角形的性质可得AB=AD，BP=DP，再求出AB+BP=AD+CD=AC（2），最后结合△ABQ的周长为18，BP=4，求出AB=7即可．
14．【答案】（1）一
（2）解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
【分析】（1）利用完全平方公式即可对原式进行判断；
（2）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则去掉括号，再合并同类项即可得到结果。
（1）解：小端的解答从第一步开始出错，完全平方公式展开错误；
（2）解：原式
，
当时，原式．
15．【答案】解：（1）如图，垂线和平行线即为所求．
（2）；
（3）10
【知识点】三角形的面积；尺规作图-垂线；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：（2）的位置关系是，
理由：∵，
∴．
故答案为：．
（3）如图，连接和，
设小方格的边长为1，则三角形的面积是．
故答案为：10.
【分析】（1）借助网格，过点C作出5×1矩形的对角线所在直线，即可得到与平行和垂直的直线；
（2）根据平行线性质，可推出与的位置关系为垂直；
（3）设每个小方格的边长为单位1，利用割补法结合三角形面积公式即可计算出该三角形的面积。
16．【答案】（1）解：如图，连接，∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）①∵，∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故②正确；
③∵，，，
∴，
由①②可知：，，，，共4对三角形全等，故③错误；
④∵，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【分析】
（1）先利用SSS判定，得到对应角相等，再根据内错角相等，两直线平行，即可推出结论；
（2）①先证明，再证明，即可得到对应结论；
②利用ASA判定，根据全等三角形对应边相等得到，，即可推出结论；
③利用SAS判定，结合前面得到的全等，一共可以得到4对全等三角形，即可得出结论；
④由，结合三角形面积公式，可得和面积相等。
（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，故②正确；
③∵，，，
∴，
由①②可知：，，，，共4对三角形全等，故③错误；
④∵，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的结论有①②④．
17．【答案】（1），33
（2）
（3）解：
（个），
答：抽到的次数是560个．
【知识点】利用频率估计概率；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：（1）解：，；
故答案为：0.11；33；
（2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是．
故答案为：0.16；
【分析】（1）我们可以直接根据题目给出的表格里的试验数据，计算得出a和b的具体数值；
（2）依据“在大量重复试验的情况下，频率会逐渐稳定在概率附近”这一规律，就可以估计出所求的概率；
（3）我们先根据求得的抽中的概率，算出2000个盲盒里的总个数，接着计算出剩下三种角色的总数量，再结合剩下三种角色被抽到的概率相等，就能计算出的数量了。
（1）解：，；
（2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是．
（3）解：
（个），
答：抽到的次数是560个．
18．【答案】（1）游览时间，步行的路程
（2）
（3）出发时，步行的路程为千米
（4）解：
可以在点前到达出口．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
（3）点的横坐标为，纵坐标为
所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米．
【分析】（1）利用函数的定义（ 在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量 ）分析求解即可；
（2）根据函数图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可；
（3）利用函数图象中的数据并结合题干分析求解即可；
（4）结合图象中的数据并利用“速度=路程÷时间”求解即可.
（1）图中反映了小鹏同学步行的路程与游览时间这两个变量之间的关系，其中自变量为浏览时间，因变量为步行的路程．
（2）
（3）点的横坐标为，纵坐标为
所以点表示的意义是出发时，步行的路程为千米．
（4）
可以在点前到达出口．
19．【答案】（1）3.5，15.75
（2）16，4，16
（3）解：，；
②当时，
图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为，
图3中，阴影部分是一个边长为的正方形，
图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以当小正方形面积越小时，原面积越大．
【知识点】完全平方公式的几何背景；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵长方形的周长为16，长为4.5，∴宽为，
∵长为4.5，宽为3.5，
∴面积，
故答案为3.5，15.75；
（2）解：
，
▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为；
故答案为：16；4；16；
（3）解：设相邻的边长为y，则，解得，
由于阴影部分与A相邻的长为，
则阴影部分是一个边长为的正方形；
故答案为：；；
【分析】（1）我们可以借助长方形周长公式计算得到边长$a$，再代入长方形面积公式就能求出$b$；
（2）参考题目里给出的小鲲的解题思路，直接利用配方法进行计算，就可以得到最终结果；
（3）先利用周长公式，求出阴影部分和图形A相邻的这条边的长度，进而可以推导出阴影部分是边长为的正方形，最后参考题目里小锦的解题过程，仿照他的方法就可以解出这道题。
（1）解：∵长方形的周长为16，长为4.5，
∴宽为，
∵长为4.5，宽为3.5，
∴面积，
故答案为3.5，15.75；
（2）解：
，
▲表示的数为；■表示的数为；★表示的数为；
（3）解：设相邻的边长为y，则，解得，
由于阴影部分与A相邻的长为，
则阴影部分是一个边长为的正方形；
②当时，
图2中，长方形B的一边长为，相邻一边长为，
图3中，阴影部分是一个边长为的正方形，
图1中，长方形的面积可以看成图3中两个正方形的面积之差，
所以当小正方形面积越小时，原面积越大．
20．【答案】解：[初步感知]证明：∵四边形是长方形，
∴，，
即，
由翻折可得，，
∴，，
在和中
∴；
[类比探究]等腰，6，2，
[拓展应用][拓展应用]当M在线段延长线上时，如图：
∵M为中点，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
∴，
则，
∴；
当M在线段上时，如图：
同理可得，
∴，
∴；
综上所述，当射线恰好经过的中点M时，的长为2或8．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：[类比探究]
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由翻折可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：等腰；
②由翻折可得，，
则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图：
∴当E在线段上时，最小，此时，
则的最小值为6；
故答案为：6；
③由①知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：2；
【分析】[初步感知]因为四边形是长方形，所以可得，且；再结合翻折的性质，可得，，因此可以通过AAS判定定理证明。
[类比探究]根据长方形对边平行的性质，可得，由平行线内错角相等推出；再结合翻折的性质，得到，因此可得，即可判定该三角形是等腰三角形。
②根据翻折的性质可得，，因此点E的运动轨迹为以点B为圆心、长度4为半径的圆弧；当点E落在线段上时，取得最小值，此时最小值为。
③由①的结论可得，结合题目条件，可推出；再利用勾股定理计算得到，因为，结合折叠性质，即可得到，进而求解。
[拓展应用]需要分两种情况讨论：分别是点M在线段延长线上，和点M在线段上两种情况，结合中点性质、勾股定理和折叠的性质分别计算即可得到结果。
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