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广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级下学期第7周数学周末试卷
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入6元记作+6元，那么转出7元记作（　　)
A．- 7元 B．+7元 C． D．±7元
2．下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（　　)
A．2cm B． C． D．
4．如图，在△ABC中， D是AB边上的点， ∠B=∠ACD， AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（ )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．
5．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
6．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（　　）
A．90° B．72° C．54° D．20°
7．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm)与液体密度 呈反比例函数关系，其图象如图所示（ρ＞0），下列说法正确的是（　　)
A．当液体密度 时，浸在液体中的高度
B．当液体密度 时，浸在液体中的高度h=40cm
C．当浸在液体中的高度0D．当液体密度 时，浸在液体中的高度h≥5cm
8．如图，点E是正方形的边上的一个动点，，延长至点F，使，连接与相交于点G，连接的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9． 若a-b=2， 则代数式1+2a-2b的值是 　 　.
10．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则　 　．
11． 如图， 等边三角形 的边长为 3 ， 点 为 边上一点， 且 ， 点 为 边上一点， 若 ， 则 的长为　 　.
12． 如图，在 中， ，D是AC 边的中点，连接BD，将 沿BD翻折，得到 连接CE ，则 的面积是 　 　.
13． 如图， 在Rt△ABC 中，，AD 是BC边的中线，点E是AB上的一点，且 ，连接CE. 则CE的长为 　 　.
14． 计算：
15． 先化简，再求值： 其中x=-3.
16． 2024年秋季学期伊始，深圳市教育局在全市义务教育阶段3年级~5年级（部分学校扩展至初中阶段)推出了“每周半天计划”，巧妙融合校外课程与深度阅读，旨在深化教育内涵，全方位促进学生健康成长与全面发展.开设一段时间后，为了解对课程的期待情况，对下列课程进行了抽样调查：A甘坑小凉帽制作；B梧桐山生态寻踪；C蛇口母港探索海洋奥秘；D东江环保科普基地；E百草园认识中草药材.收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，回答下面问题：
（1）本次调查的学生人数为　 　；
（2）在一个学期中，某街道共有10800名学生准备参加“每周半天计划”，请估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数；
（3）甲学校准备从A、B、D三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，乙学校从B、D、E三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率.
17． 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水.
浓度关系式： 其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位： kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
（2）策略二：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略　 　更优.
18． 如图1， 在四边形ABCD中， AC和BD相交于点O，.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2， E， F ， G分别是BO， CO， AD的中点，连接EF ， GE， GF ，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求 的周长.
19． 我们定义： 在△ABC内有一点P， 连结PA， PB， PC. 在所得的△ACP，△ABP，△BCP中， 有且只有两个三角形相似，则称点P 为△ABC的相似心.
（1）如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若点P 为△ABC的相似心，则　 　∽　 　（填两相似三角形).
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB ，设△OAB的外角平分线AM ，BM 交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH.
①∠BMA 的度数是　 　 .
②求证：点O为△MHG的相似心.
（3）如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数 的图象上， 若点G的坐标是（4，0)，求k的值.
20．【链接教材】
（1）如图1，E、F是直线l上方两点，若点P在直线l上，满足PE=PF，则点P是线段EF的　 　（填特殊直线)与直线l的交点；
（2）【问题延伸】
①如图2，点O是矩形ABCD对角线的交点， OE=OF.要分别在AB、CD边上确定点P、Q，满足PF=EQ，且点O在线段 PQ上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点E或F关于点O对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定 P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）
②如图3，点O是矩形ABCD对角线的交点，OE≠OF.经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点O的线段，就能找到符合题意的P、Q（P、Q分别在AB、CD边上，满足PF=EQ，且点O在线段PQ上).请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图)，并证明PF=EQ.
（3）【举一反三】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，原点O是菱形ABCD对角线的交点，OA=6，OB=2，E（-2，m)，其中m>1，F（3，-2).若P、Q分别在AB、CD边上，满足PF=BQ，且点O在线段PQ上，直接写出m的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 若转入6元记作元，那么转出7元记作元，
故答案为：A.．
【分析】 本题考查正数和负数，正负数常用于表示具有相反意义的量，转入和转出是相反意义的量，已知转入记为正数，可推出转出记为负数．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】解： ∵四边形为边长为的正方形，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：D.
【分析】 本题考查的是利用平移设计图案，平移的性质、正方形的性质， 勾股定理等知识，根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
∴，
即：与的面积比是．
故答案为：C.
【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，再利用相似三角形的性质定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【分析】由尺规作图方法知，MN垂直平分AD，而AD等于AB－BC，由于中两直角边已知，则斜边AB可求，AD可求，AF可求；先解可得出余弦值，再利用余弦值解即可得到AE．
6．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于0.2，
以频率估计概率，即，
∴优胜奖区域的圆心角∠AOB=0.2×360°=72°，
故答案为：B.
【分析】根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 设关于的函数解析式为，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
A．根据反比例函数的解析式，当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项错误；
B．当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项错误；
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项错误；
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度，正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出反比例函数解析式，结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，并延长交于Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点G在上运动，
当时，有最小值，
此时，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】 连接，并延长交于Q，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AQ的长，利用勾股定理求出QD的长，再证出 当时，有最小值， 再证出，利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CG的长即可.
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：5.
【分析】 本题考查代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可．
10．【答案】6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再证出MN是的中位线，可得，．再利用线段的和差及等量代换求出即可．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是的那边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=3.
∴∠BAP+∠BPA=120°.
∵∠APD=60°，
∴∠BPA+∠DPC=180°－∠APC=120°，
∴∠BAP=∠DPC.
∴△ABP∽△PCD，
∴
∵BP=1，
∴PC=BC－BP=2.
∴，
∴
故答案为：.
【分析】利用等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，证明∠BAP=∠DPC，即可得△ABP∽△PCD，利用相似三角形的性质得，代入数据即可求得CD的长.
12．【答案】42
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 如图，连接AE，过点B作BM⊥AC于点M，过点B作BN⊥CE于点N，
∵∠ABC=90°，AB=15，BC=20，
∴，
∵，
∴AB BC=AC BM，即15×20=25BM，解得：BM=12，
在Rt△ABM中，
∴CM=AC-AM=25-9=16，
∵D是AC边的中点，
∴，
∵△ABD沿BD翻折，得到△EBD，
∴AD=DE，AB=BE，AE⊥BD，
∴AD=BD=DE=CD=12.5，
∴∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，
在△AEC中，∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠AEC=∠DEA+∠DEC=90°，即AE⊥CE，
∴BD∥CE，
∴∠DBC=∠BCE，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=∠BCE，
在△BCM和△BCN中，
，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴BN=BM=12，CN=CM=16，
∵BD是AE的垂直平分线，
∴AB=BE，
在Rt△ABM和Rt△EBN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△EBN（HL），
∴EN=AM=9，
∴CE=CN-EN=16-9=7，
∴．
故答案为：42.
【分析】 本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积，连接AE，过点B作BM⊥AC于点M，BN⊥CE延长线于点N，首先证明BD垂直平分线段AE，△ACE是直角三角形，证明CE∥BD，可得△FBC≌△GBC，Rt△ABF≌Rt△EBG，然后利用勾股定理即可解决问题．
13．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 取的中点，连接，作于点，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，是边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识． 取的中点，连接，作于点，证明，得到，得，求得，则，由，得，则，求得，求出，，运用勾股定理求出即可．
14．【答案】解：原式
=2.
【知识点】零指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算，，，，然后再合并即可得到答案．
15．【答案】解：
当x=-3时，原式
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值，先把括号内的第一项分子分母因式分解，约分后再通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，然后把的值代入最简结果中进行计算即可得到结果．
16．【答案】（1）200人
（2）解：由题意得，扇形统计图中 C 的百分比为
∴ 扇 形 统 计 图 中 B 的 百 分 比 为
1-15%-20%-25%-30%=10%，
∴ 估计喜欢“简单烹饪”的学生人数约10800×10%=1080 （人).
（3）解：列表如下：
　 B D E
A （A，B) （A，D) （A，E)
B （B，B) （B，D) （B，E)
D （D，B) （D，D) （D，E)
共有9种等可能的结果，其中他们选择相同课程的结果有2种，
∴他们选择相同课程的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为30÷15%=200 （人).
故答案为：200人.
【分析】 本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式 ．熟练掌握运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率是解题的关键．
（1）用条形统计图中E的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数．
（2）先求出扇形统计图中B的百分比，再根据用样本估计总体，用10800乘以扇形统计图中B的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17．【答案】（1）解：把 代入 得，
解得：w=9.5，经检验，符合题意，
答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水；
（2）解：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
第一次漂洗：把 代入 得，
第二次漂洗：把 代入 得，
∵0.008%<0.01%，
∴如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）二
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗
既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优.
故答案为：二.
【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案．
（1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量；
（2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比；
（3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案．
18．【答案】（1）证明： ∵∠BCA=∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB（ASA)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接 DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=15， AB=CD， AD∥BC， BD=2OD，
∵BD=2AB ，
∴AB=OD，
∴DO=DC，
∵点F 是OC的中点，
∴AF=OA+OF=12，
在Rt△AFD中，
∴点G是AD的中点， ∠AFD=90°，
∵点E，点F 分别是OB， OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF=DG， EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE=DF=9，
∴△EFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24，
∴△EFG的周长为24.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据已知可得，然后再利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接，利用平行四边形的性质可得，，，，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
19．【答案】（1）△APB；△CPA
（2）解：①45°②证明：过点M作MQ⊥x轴， MP⊥y轴， MN⊥AB垂足分别为Q、P、N，连接MO，如图2，∵△OAB的外角平分线AM ， BM 交于点M ，∴MQ=MN， MP=MN，∴MQ=MP，∴OM平分∠AOB，∴∠MOQ=∠MOP=45°，∴∠MOH=∠MOG=135°，∵∠HMO+∠GMO=45°∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，∴∠GMO=∠MHO，又∵∠MOH=∠MOG=135°，∴△OMH∽△OGM，∴点O为△GMH的相似心；
（3）解：过点M 作MQ⊥x轴， MP⊥y轴， MN⊥AB垂足分别为Q、P、N，连接MO，如图3，
由（2）知： △OMH∽△OGM，
∵点G（4，0)， ∠OHG=30°，
由（2）得： MQ=MP=OQ，设长度都为m，
则
∵M（-m，m)在反比例函数 的图象上，
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，
由图可知： ∠APB=∠APC， AP=2，
由 勾 股 定 理 得：
∴△APB∽△CPA，
故答案为： △APB， △CPA；
（2）①解：根据题意得： ∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵△OAB的外角平分线AM ， BM 交于点M ，
=135°，
故答案为： 45°；
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、坐标与图形，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
（1）根据网格的特点和勾股定理可得出，即可证明，即可得到答案；
（2）①根据角平分线定义和三角形外角的定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可；
②作轴，轴，垂足分别为，证明即可；
（3）由相似三角形的性质得到，结合点G的坐标和勾股定理可求出由（2）知，设长度都为m，求出，即可求解．
20．【答案】（1）垂直平分线
（2）解：①如图，作E关于点O对称点E'，连接E'F ，作E'F垂直平分线 PQ，交AB、CD于点 P、Q，连接 PF ，EQ，
②如图，作法同①，
∵点O是矩形ABCD对角线的交点，
∴OP=OQ，
在△EOQ和△HOP中，
∴△EOQ≌△HOP（SAS)，
∴EQ=HP，
∵PM 垂直平分FH ，
∴HP=FP，
∴PF=BQ；
（3）解：m的取值范围为 理由如下：如图4，作F关于点O对称点 F'，连接F'Q，
∴F'（-3，2)，
同（2） ②理△OF'Q≌△OFP，
∴PF=QF'，
∵PF=BQ，
∴QF'=EQ，
当Q与D重合时，m有最小值，如图5，
∵四边形ABCD是菱形， OD=OB=2，
∴D（-2，0)，
当Q与C重合时，m有最大值，如图6，
∵四边形ABCD是菱形， OA=OC=6，
∴C（0，6)， E（-2，m)，其中m>1， F（3，-2)
∵CF'=CE，
或
∴m的取值范围为 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）∵点P在直线l上，满足PE=PF，
∴点 P 是线段EF 的垂直平分线与直线l的交点，
故答案为：垂直平分线；
【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，原点对称的性质，两点的距离等知识点 ．
（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）①根据题意进行作图即可；
②同①先画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质即可求证；
（3）作F关于点O对称点，连接，同理可得，则，故有，然后当Q与D重合时，m有最小值，当Q与C重合时，m有最大值，再通过菱形的性质和两点的距离公式即可求解．
1 / 1广东省深圳实验学校初中部2025-2026学年九年级下学期第7周数学周末试卷
1．“数字人民币”应用场景范围逐步扩大，若转入6元记作+6元，那么转出7元记作（　　)
A．- 7元 B．+7元 C． D．±7元
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解： 若转入6元记作元，那么转出7元记作元，
故答案为：A.．
【分析】 本题考查正数和负数，正负数常用于表示具有相反意义的量，转入和转出是相反意义的量，已知转入记为正数，可推出转出记为负数．
2．下列命题，其中是真命题的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线互相垂直的矩形是正方形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐项判断即可。
3．“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（　　)
A．2cm B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；平移的性质；利用平移设计图案
【解析】【解答】解： ∵四边形为边长为的正方形，
∴，
由平移的性质可知，，
∴，
故答案为：D.
【分析】 本题考查的是利用平移设计图案，平移的性质、正方形的性质， 勾股定理等知识，根据正方形的性质、勾股定理求出，根据平移的概念求出，计算即可．
4．如图，在△ABC中， D是AB边上的点， ∠B=∠ACD， AC：AB=1：2，则△ADC与△ABC的面积比是（ )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
∴，
即：与的面积比是．
故答案为：C.
【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，再利用相似三角形的性质定理：相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
5．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【分析】由尺规作图方法知，MN垂直平分AD，而AD等于AB－BC，由于中两直角边已知，则斜边AB可求，AD可求，AF可求；先解可得出余弦值，再利用余弦值解即可得到AE．
6．为迎接六一儿童节到来，某商场规定凡是购物满88元以上都可以获得一次转动转盘的机会.如图①所示，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得对应的奖品.转动转盘若干次，其中指针落入优胜奖区域的频率如图②所示，则转盘中优胜奖区域的圆心角∠AOB的度数近似为（　　）
A．90° B．72° C．54° D．20°
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：如图②，随着次数的增加，频率趋向于0.2，
以频率估计概率，即，
∴优胜奖区域的圆心角∠AOB=0.2×360°=72°，
故答案为：B.
【分析】根据图表信息获取其频率信息估计概率，从而根据占比计算其圆心角度数即可.
7．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm)与液体密度 呈反比例函数关系，其图象如图所示（ρ＞0），下列说法正确的是（　　)
A．当液体密度 时，浸在液体中的高度
B．当液体密度 时，浸在液体中的高度h=40cm
C．当浸在液体中的高度0D．当液体密度 时，浸在液体中的高度h≥5cm
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 设关于的函数解析式为，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
A．根据反比例函数的解析式，当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项错误；
B．当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项错误；
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项错误；
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度，正确，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出反比例函数解析式，结合函数图象，逐项分析判断，求解即可．
8．如图，点E是正方形的边上的一个动点，，延长至点F，使，连接与相交于点G，连接的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，并延长交于Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点G在上运动，
当时，有最小值，
此时，，
，
，
，
，
．
故选：C．
【分析】 连接，并延长交于Q，先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出AQ的长，利用勾股定理求出QD的长，再证出 当时，有最小值， 再证出，利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出CG的长即可.
9． 若a-b=2， 则代数式1+2a-2b的值是 　 　.
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴．
故答案为：5.
【分析】 本题考查代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可．
10．“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点；第2次折叠使点落在点处，折痕交于点．若，则　 　．
【答案】6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵已知三角形纸片，第1次折叠使点落在边上的点处，折痕交于点，
∴，．
∵第2次折叠使点落在点处，折痕交于点，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴MN是的中位线，
∴，．
∵，，
∴．
故答案为：6．
【分析】先利用折叠的性质可得，，再证出MN是的中位线，可得，．再利用线段的和差及等量代换求出即可．
11． 如图， 等边三角形 的边长为 3 ， 点 为 边上一点， 且 ， 点 为 边上一点， 若 ， 则 的长为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵△ABC是的那边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC=3.
∴∠BAP+∠BPA=120°.
∵∠APD=60°，
∴∠BPA+∠DPC=180°－∠APC=120°，
∴∠BAP=∠DPC.
∴△ABP∽△PCD，
∴
∵BP=1，
∴PC=BC－BP=2.
∴，
∴
故答案为：.
【分析】利用等边三角形的性质得∠B=∠C=60°，证明∠BAP=∠DPC，即可得△ABP∽△PCD，利用相似三角形的性质得，代入数据即可求得CD的长.
12． 如图，在 中， ，D是AC 边的中点，连接BD，将 沿BD翻折，得到 连接CE ，则 的面积是 　 　.
【答案】42
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 如图，连接AE，过点B作BM⊥AC于点M，过点B作BN⊥CE于点N，
∵∠ABC=90°，AB=15，BC=20，
∴，
∵，
∴AB BC=AC BM，即15×20=25BM，解得：BM=12，
在Rt△ABM中，
∴CM=AC-AM=25-9=16，
∵D是AC边的中点，
∴，
∵△ABD沿BD翻折，得到△EBD，
∴AD=DE，AB=BE，AE⊥BD，
∴AD=BD=DE=CD=12.5，
∴∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，
在△AEC中，∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE=180°，
∴∠AEC=∠DEA+∠DEC=90°，即AE⊥CE，
∴BD∥CE，
∴∠DBC=∠BCE，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DCB=∠BCE，
在△BCM和△BCN中，
，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴BN=BM=12，CN=CM=16，
∵BD是AE的垂直平分线，
∴AB=BE，
在Rt△ABM和Rt△EBN中，
，
∴Rt△ABM≌Rt△EBN（HL），
∴EN=AM=9，
∴CE=CN-EN=16-9=7，
∴．
故答案为：42.
【分析】 本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积，连接AE，过点B作BM⊥AC于点M，BN⊥CE延长线于点N，首先证明BD垂直平分线段AE，△ACE是直角三角形，证明CE∥BD，可得△FBC≌△GBC，Rt△ABF≌Rt△EBG，然后利用勾股定理即可解决问题．
13． 如图， 在Rt△ABC 中，，AD 是BC边的中线，点E是AB上的一点，且 ，连接CE. 则CE的长为 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解： 取的中点，连接，作于点，则，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，是边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识． 取的中点，连接，作于点，证明，得到，得，求得，则，由，得，则，求得，求出，，运用勾股定理求出即可．
14． 计算：
【答案】解：原式
=2.
【知识点】零指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算，，，，然后再合并即可得到答案．
15． 先化简，再求值： 其中x=-3.
【答案】解：
当x=-3时，原式
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算及化简求值，先把括号内的第一项分子分母因式分解，约分后再通分，把除法转换为乘法，约分后得最简结果，然后把的值代入最简结果中进行计算即可得到结果．
16． 2024年秋季学期伊始，深圳市教育局在全市义务教育阶段3年级~5年级（部分学校扩展至初中阶段)推出了“每周半天计划”，巧妙融合校外课程与深度阅读，旨在深化教育内涵，全方位促进学生健康成长与全面发展.开设一段时间后，为了解对课程的期待情况，对下列课程进行了抽样调查：A甘坑小凉帽制作；B梧桐山生态寻踪；C蛇口母港探索海洋奥秘；D东江环保科普基地；E百草园认识中草药材.收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，回答下面问题：
（1）本次调查的学生人数为　 　；
（2）在一个学期中，某街道共有10800名学生准备参加“每周半天计划”，请估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数；
（3）甲学校准备从A、B、D三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，乙学校从B、D、E三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率.
【答案】（1）200人
（2）解：由题意得，扇形统计图中 C 的百分比为
∴ 扇 形 统 计 图 中 B 的 百 分 比 为
1-15%-20%-25%-30%=10%，
∴ 估计喜欢“简单烹饪”的学生人数约10800×10%=1080 （人).
（3）解：列表如下：
　 B D E
A （A，B) （A，D) （A，E)
B （B，B) （B，D) （B，E)
D （D，B) （D，D) （D，E)
共有9种等可能的结果，其中他们选择相同课程的结果有2种，
∴他们选择相同课程的概率为
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）本次调查的学生人数为30÷15%=200 （人).
故答案为：200人.
【分析】 本题主要考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式 ．熟练掌握运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率是解题的关键．
（1）用条形统计图中E的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数．
（2）先求出扇形统计图中B的百分比，再根据用样本估计总体，用10800乘以扇形统计图中B的百分比，即可得出答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同课程的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17． 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg水.
浓度关系式： 其中d前、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位： kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
（2）策略二：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略　 　更优.
【答案】（1）解：把 代入 得，
解得：w=9.5，经检验，符合题意，
答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要9.5kg清水；
（2）解：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
第一次漂洗：把 代入 得，
第二次漂洗：把 代入 得，
∵0.008%<0.01%，
∴如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）二
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（3）由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗
既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优.
故答案为：二.
【分析】 本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案．
（1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量；
（2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比；
（3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案．
18． 如图1， 在四边形ABCD中， AC和BD相交于点O，.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2， E， F ， G分别是BO， CO， AD的中点，连接EF ， GE， GF ，若BD=2AB，BC=15，AC=16，求 的周长.
【答案】（1）证明： ∵∠BCA=∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB（ASA)，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接 DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=15， AB=CD， AD∥BC， BD=2OD，
∵BD=2AB ，
∴AB=OD，
∴DO=DC，
∵点F 是OC的中点，
∴AF=OA+OF=12，
在Rt△AFD中，
∴点G是AD的中点， ∠AFD=90°，
∵点E，点F 分别是OB， OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF=DG， EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE=DF=9，
∴△EFG的周长=GE+GF+EF=9+7.5+7.5=24，
∴△EFG的周长为24.
【知识点】勾股定理的应用；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据已知可得，然后再利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接，利用平行四边形的性质可得，，，，，从而可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而在中，利用勾股定理求出的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出的长，再根据三角形的中位线定理可得，，从而可得四边形是平行四边形，进而可得，最后进行计算即可解答．
19． 我们定义： 在△ABC内有一点P， 连结PA， PB， PC. 在所得的△ACP，△ABP，△BCP中， 有且只有两个三角形相似，则称点P 为△ABC的相似心.
（1）如图1，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，若点P 为△ABC的相似心，则　 　∽　 　（填两相似三角形).
（2）如图2，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴，y轴正半轴上的两个动点，连结AB ，设△OAB的外角平分线AM ，BM 交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH.
①∠BMA 的度数是　 　 .
②求证：点O为△MHG的相似心.
（3）如图3，在（2）的条件下，若点M在反比例函数 的图象上， 若点G的坐标是（4，0)，求k的值.
【答案】（1）△APB；△CPA
（2）解：①45°②证明：过点M作MQ⊥x轴， MP⊥y轴， MN⊥AB垂足分别为Q、P、N，连接MO，如图2，∵△OAB的外角平分线AM ， BM 交于点M ，∴MQ=MN， MP=MN，∴MQ=MP，∴OM平分∠AOB，∴∠MOQ=∠MOP=45°，∴∠MOH=∠MOG=135°，∵∠HMO+∠GMO=45°∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45°，∴∠GMO=∠MHO，又∵∠MOH=∠MOG=135°，∴△OMH∽△OGM，∴点O为△GMH的相似心；
（3）解：过点M 作MQ⊥x轴， MP⊥y轴， MN⊥AB垂足分别为Q、P、N，连接MO，如图3，
由（2）知： △OMH∽△OGM，
∵点G（4，0)， ∠OHG=30°，
由（2）得： MQ=MP=OQ，设长度都为m，
则
∵M（-m，m)在反比例函数 的图象上，
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的实际应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点上，
由图可知： ∠APB=∠APC， AP=2，
由 勾 股 定 理 得：
∴△APB∽△CPA，
故答案为： △APB， △CPA；
（2）①解：根据题意得： ∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵△OAB的外角平分线AM ， BM 交于点M ，
=135°，
故答案为： 45°；
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、坐标与图形，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．
（1）根据网格的特点和勾股定理可得出，即可证明，即可得到答案；
（2）①根据角平分线定义和三角形外角的定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可；
②作轴，轴，垂足分别为，证明即可；
（3）由相似三角形的性质得到，结合点G的坐标和勾股定理可求出由（2）知，设长度都为m，求出，即可求解．
20．【链接教材】
（1）如图1，E、F是直线l上方两点，若点P在直线l上，满足PE=PF，则点P是线段EF的　 　（填特殊直线)与直线l的交点；
（2）【问题延伸】
①如图2，点O是矩形ABCD对角线的交点， OE=OF.要分别在AB、CD边上确定点P、Q，满足PF=EQ，且点O在线段 PQ上.经过思考，小文发现可以利用矩形的中心对称性，将点E或F关于点O对称，再作该对称点和另一点所组成的线段的中垂线.请你根据她的思路在图2中尺规作图确定 P、Q的位置（不写作法，保留作图痕迹）
②如图3，点O是矩形ABCD对角线的交点，OE≠OF.经过深入探究，聪明的小文发现进一步利用矩形的中心对称性，在问题①思路的基础上再添加一条过点O的线段，就能找到符合题意的P、Q（P、Q分别在AB、CD边上，满足PF=EQ，且点O在线段PQ上).请在图3中用直尺简单构图（不要求圆规作图)，并证明PF=EQ.
（3）【举一反三】
如图4，在平面直角坐标系xOy中，原点O是菱形ABCD对角线的交点，OA=6，OB=2，E（-2，m)，其中m>1，F（3，-2).若P、Q分别在AB、CD边上，满足PF=BQ，且点O在线段PQ上，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）垂直平分线
（2）解：①如图，作E关于点O对称点E'，连接E'F ，作E'F垂直平分线 PQ，交AB、CD于点 P、Q，连接 PF ，EQ，
②如图，作法同①，
∵点O是矩形ABCD对角线的交点，
∴OP=OQ，
在△EOQ和△HOP中，
∴△EOQ≌△HOP（SAS)，
∴EQ=HP，
∵PM 垂直平分FH ，
∴HP=FP，
∴PF=BQ；
（3）解：m的取值范围为 理由如下：如图4，作F关于点O对称点 F'，连接F'Q，
∴F'（-3，2)，
同（2） ②理△OF'Q≌△OFP，
∴PF=QF'，
∵PF=BQ，
∴QF'=EQ，
当Q与D重合时，m有最小值，如图5，
∵四边形ABCD是菱形， OD=OB=2，
∴D（-2，0)，
当Q与C重合时，m有最大值，如图6，
∵四边形ABCD是菱形， OA=OC=6，
∴C（0，6)， E（-2，m)，其中m>1， F（3，-2)
∵CF'=CE，
或
∴m的取值范围为 或
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】解：（1）∵点P在直线l上，满足PE=PF，
∴点 P 是线段EF 的垂直平分线与直线l的交点，
故答案为：垂直平分线；
【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，原点对称的性质，两点的距离等知识点 ．
（1）根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）①根据题意进行作图即可；
②同①先画出图形，然后根据全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质即可求证；
（3）作F关于点O对称点，连接，同理可得，则，故有，然后当Q与D重合时，m有最小值，当Q与C重合时，m有最大值，再通过菱形的性质和两点的距离公式即可求解．
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