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广西崇左市扶绥县扶绥县柳桥镇第二初级中学2025-2026学年下学期 九年级期中质量检测数学
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．已知分别交与的延长线于点和点，则的长等于（　　）
A．9 B．8 C．6 D．2
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选A．
【分析】已知，所以（平行线判定相似，AA），对应边成比例，求得，再根据即可求得。
3．若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵原三角形三边之比为，相似三角形的最长边为，
∴相似比为，
∴相似三角形中，其余两边分别为，，
∴两边之和为，
故选：A．
【分析】
已知原三角形三边比为，其中最长边为比例中的 “7 份”。相似三角形的最长边为
，对应原三角形的 “7 份”，因此相似比为，由此即可求得其余两边总和：
4．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】
解： 已知在 中，，由余弦定理：， 代入
，得：，整理得，
∴
故答案为：C
【分析】
利用的条件，通过余弦定理得到
，再对分式通分，将分子用这个等式替换即可，
5．如图，在中，，已知，则的长可表示为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形；正弦的概念；余弦的概念；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，
∴.
故答案为：C
【分析】先在 中，用的余弦和正弦分别求出和（，）；再在中，用和的正切求出（）；最后用即可得到结果。
6．y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设．根据题意得：，
解得：，
即函数解析式是．
故选：D．
【分析】用待定系数法即可求解．
7．如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵矩形的面积为，点在反比例函数图象上，
∴，
∵反比例函数图象位于二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式．
故答案为：C
【分析】 对于反比例函数
，图象上任意一点向 x 轴、y 轴作垂线，形成的矩形面积.
由于矩形的面积为，根据反比例函数的几何意义得出，根据反比例函数图象位于二、四象限即可得出答案．
8．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（　　）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故选：C
【分析】根据正切定义可得，则，根据勾股定理可得AB，过点D作于点E，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．如图，直线（a是常数，）与双曲线交于点A，与直线交于点B，当面积最小时，a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为1，
故选：B．
【分析】根据题意求出点A，B的横坐标，根据两点间距离可得AB，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
10．已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（　　）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】联立，，得：，
∴，
∵反比例函数，直线交于、两点，
∴根据韦达定理
∴a+m=2，
∵，，
∴=-2a，=-2m，
∴=-（a+m）=-2．
故选B．
【分析】1，联立方程，求根和系数得关系（可利用韦达定理，避免直接解方程）；2，利用原函数关系推出、中和得关系；3，代入求值即可。
11．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值；三角形的双外角平分线模型；求余弦值
【解析】【解答】解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠CBD+∠BCE=(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°-(∠1+∠2)=300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4=∠CBD+∠BCE=(∠CBD+∠BCE)=150°，
∴∠M=30°，
∴∠M的余弦值是．
故选D．
【分析】由∠A＝120°可得∠1+∠2的度数， 三角形的每个内角与其外角互补，因此两个外角和为 ∠CBD+∠BCE的度数，根据BM，CM分别是△ABC的外角平分线，得∠3+∠4的度数， 在中，内角和为 180° 即可求出∠M的度数，得到答案．
12．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；定点定长辅助圆模型；求正弦值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，
∴，
取点，则是的中位线，
∴，
∵，
∴点在半径为的上运动，
∵是的中位线，
∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，，
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴的最大值为，
故选：A．
【分析】以为边向上作等边，过点作轴于点，则，解直角三角形可得CE，根据点的坐标可得，取点，则是的中位线，根据勾股定理可得CD，根据三角形中位线定理可得，则，当与相切时，最大，则正弦值最大，根据勾股定理可得BD，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则，根据切线性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，，则，根据点的坐标可得，根据两点间距离可得FG，DG，再建立方程组，解方程组可得b，再根据正弦定义即可求出答案.
13．如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　．
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴BD＝6，
故答案为：6．
【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。
利用得到，即可求解．
14．在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向下平移5个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，
设反比例函数的表达式为，
把点代入得，，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
故答案为：
【分析】根据点的平移可得点B的坐标为，设反比例函数的表达式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
15．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是　 　（，结果保留整数）
【答案】20
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，
由题意得：，，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．
【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是　 　．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型；A字型相似模型
【解析】【解答】解：如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∴S△CEO=
∴，
故答案为：12．
【分析】作轴于，作轴于，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由点，的坐标得，，，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADN∽△ABM，由相似三角形对应边成比例建立方程，求出，AN=1，则，故有D点坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数k的几何意义可得S△CEO=4，最后利用割补法，由梯形及三角形面积计算公式，根据即可求解.
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
【答案】（1）解：设，由可得：，∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）可把代入得：．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据”与成正比例，与成反比例 “， 设，则有 ， 将已知条件代入即可求出解析式；
（2）根据 （1）中求解的函数解析式，代入即可求得。
（1）解：设，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）可把代入得：．
18．如图，在平行四边形中，点E在边上，若，求的长．
【答案】解：∵四边形为平行四边形，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
1.利用平行四边形性质，找相似三角形；2， 利用相似三角形的比例关系求解即可。
19．如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，．
（1）求证：；
（2）若，四边形与四边形相似，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴.
∵，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1） 已知四边形是平行四边形，，
，，，故 ，即
，四边形是平行四边形，又因为平分，所以。由，得，因此，故，所以平行四边形ABEF是菱形。菱形的对角线互相垂直，因此。
（2） 根据菱形可得，利用相似四边形对应边成比例可得，故，再解方程即可，注意 舍去负根。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长为．
20．如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，．
（1）求证：；
（2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长．
【答案】解：
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵直线与⊙O相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∵OD是⊙O的半径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∴AB=4，，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）已知直线MN与⊙O相切于点D，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此：OD⊥MN，又因为BC∥MN，所以：OD⊥BC，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，也平分弦所对的弧，即：，根据圆周角定理，圆心角∠DOC是弧DC所对的圆心角，而∠BAC是弧BC所对的圆周角。由于，所以：∠BAC=∠DOC。
（2） 通过角所对的边是斜边的一半反推得，进而可得，然后再根据勾股定理可求解．
21．如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
(1)求的值；
(2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
【答案】解：(1)如图，过点作，垂足为，在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小岛、相距.
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】(1) 第一问通过构造直角三角形，利用方向角（）求出高，再用正弦定义计算； 如图，过点作，垂足为，在中，先利用求出DE长，然后在中，根据正弦的定义由即可；
(2) 第二问通过作垂线（）构造矩形BEDF，将线段进行转化，再用勾股定理求距离 ；过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，在中，利用勾股定理求出BE长，再由矩形的性质可得，，继而得CF长，在中，利用勾股定理求出CD长即可.
22．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由．
【答案】（1）解：将点代入中，得：，
，
反比例函数的表达式为；
将，分别代入中，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下：
轴，
，
，
轴，
，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数表达式即可；将点代入中，得，可求出的值，进而可得反比例函数的表达式；将，分别代入中，得，解方程组即可求出、的值，即，进而可得一次函数的表达式；
（2）根据两直线平行同位角相等，由于轴，轴，可得，，然后由相似三角形的判定即可得出结论．
（1）解：将点代入中，得：，
，
反比例函数的表达式为；
将，分别代入中，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下：
轴，
，
，
轴，
，
，
．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点是线段上一点，且，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，作轴于点，
由点可知在反比例函数上，，
，，，
又，
，
．
即，
∴，
则，
所以反比例函数与一次函数关系为，；
（2）解：设
点D在线段AC上
和中：
即：
解得：
即：
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）过作交轴于，
则的面积与的面积相等，
；
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
当点在轴的正半轴上时，，，
综上所述，，或，．
【分析】
（1）先利用待定系数法求出m，即将代入可求出的值；由于直线AC与x轴的夹角为，因此可过点A作轴，垂足为，则，且等于，根据等腰直角三角形的性质得出等于等于，即，然后再应用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）由于点D在线段AC上，可设出点D的坐标为，则两点距离公式分别求出或表示出OA、CA及DA的长，又因为和中两组角对应相等，则可证两三角形相似，从而利用相似比可得出关于m的一元一次方程，解方程即可；
（3）过作交轴于，则的面积与的面积相等，先利用点D的坐标可得直线的解析式为，由于可设直线的解析式为，利用点A的坐标可求得直线的解析式为，令即可求出P的一个坐标，相应地，其关于y轴的对称点亦满足条件，故点P有两个，分别在x轴的正、负半轴上，且到原点距离相等．
1 / 1广西崇左市扶绥县扶绥县柳桥镇第二初级中学2025-2026学年下学期 九年级期中质量检测数学
1．下列图形中，不是相似图形的一组是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知分别交与的延长线于点和点，则的长等于（　　）
A．9 B．8 C．6 D．2
3．若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若∠B=60°，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
5．如图，在中，，已知，则的长可表示为 （ ）
A． B．
C． D．
6．y与x成反比例，当时，则y与x的函数关系式为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形的面积为，则反比例函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（　　）
A． B．3 C． D．2
9．如图，直线（a是常数，）与双曲线交于点A，与直线交于点B，当面积最小时，a的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（　　）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
11．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，分别经过原点和点的动直线，夹角，点是中点，连接，则的最大值是（　　）
A． B． C． D．
13．如图，，AC：CF＝2：3，DE＝9，则BD的长为　 　．
14．在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为　 　．
15．如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为，从A处沿水平方向飞行至B处需，同时在地面C处分别测得A处的仰角为，B处的仰角为．则这架无人机的飞行高度大约是　 　（，结果保留整数）
16．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且．反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是　 　．
17．已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当时，求y的值．
18．如图，在平行四边形中，点E在边上，若，求的长．
19．如图，在中，点E，F分别在边上，连接，平分，．
（1）求证：；
（2）若，四边形与四边形相似，求的长．
20．如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，．
（1）求证：；
（2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长．
21．如图，海中有两个小岛，，某渔船在海中的处测得小岛D位于东北方向上，且相距，该渔船自西向东航行一段时间到达点处，此时测得小岛恰好在点的正北方向上，且相距，又测得点与小岛相距．
(1)求的值；
(2)求小岛，之间的距离(计算过程中的数据不取近似值)．
22．如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，D两点，与y轴交于点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式．
（2）现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，D两点之间滑动（不与点A，D重合），两直角边始终分别平行于x轴、y轴，且与线段交于M，N两点，试判断点P在滑动过程中，与是否总相似，并说明理由．
23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，且．
（1）求反比例函数与一次函数关系式；
（2）点是线段上一点，且，求出点坐标；
（3）在（2）的条件下，在轴上找一点，使的面积与的面积相等，直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C.两个图形的形状相同，符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似形的定义，此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据相似图形的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
，
，
，
，
，
．
故选A．
【分析】已知，所以（平行线判定相似，AA），对应边成比例，求得，再根据即可求得。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵原三角形三边之比为，相似三角形的最长边为，
∴相似比为，
∴相似三角形中，其余两边分别为，，
∴两边之和为，
故选：A．
【分析】
已知原三角形三边比为，其中最长边为比例中的 “7 份”。相似三角形的最长边为
，对应原三角形的 “7 份”，因此相似比为，由此即可求得其余两边总和：
4．【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】
解： 已知在 中，，由余弦定理：， 代入
，得：，整理得，
∴
故答案为：C
【分析】
利用的条件，通过余弦定理得到
，再对分式通分，将分子用这个等式替换即可，
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形；正弦的概念；余弦的概念；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，，
∴.
故答案为：C
【分析】先在 中，用的余弦和正弦分别求出和（，）；再在中，用和的正切求出（）；最后用即可得到结果。
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设．根据题意得：，
解得：，
即函数解析式是．
故选：D．
【分析】用待定系数法即可求解．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵矩形的面积为，点在反比例函数图象上，
∴，
∵反比例函数图象位于二、四象限，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式．
故答案为：C
【分析】 对于反比例函数
，图象上任意一点向 x 轴、y 轴作垂线，形成的矩形面积.
由于矩形的面积为，根据反比例函数的几何意义得出，根据反比例函数图象位于二、四象限即可得出答案．
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：在中，，，
∴
∴
由勾股定理得，
过点D作于点E，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
在中，
∴
∵
∴
故选：C
【分析】根据正切定义可得，则，根据勾股定理可得AB，过点D作于点E，根据正切定义可得，则，再根据边之间的关系可得AE，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，最小值为1，
故选：B．
【分析】根据题意求出点A，B的横坐标，根据两点间距离可得AB，再根据三角形面积，结合二次函数的性质即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】联立，，得：，
∴，
∵反比例函数，直线交于、两点，
∴根据韦达定理
∴a+m=2，
∵，，
∴=-2a，=-2m，
∴=-（a+m）=-2．
故选B．
【分析】1，联立方程，求根和系数得关系（可利用韦达定理，避免直接解方程）；2，利用原函数关系推出、中和得关系；3，代入求值即可。
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；求特殊角的三角函数值；三角形的双外角平分线模型；求余弦值
【解析】【解答】解：如图：
∵∠A＝120°，
∴∠1+∠2=60°，
∴∠CBD+∠BCE=(180°-∠2)+(180°-∠1)=360°-(∠1+∠2)=300°，
∵BM，CM分别是△ABC的外角平分线，
∴∠3+∠4=∠CBD+∠BCE=(∠CBD+∠BCE)=150°，
∴∠M=30°，
∴∠M的余弦值是．
故选D．
【分析】由∠A＝120°可得∠1+∠2的度数， 三角形的每个内角与其外角互补，因此两个外角和为 ∠CBD+∠BCE的度数，根据BM，CM分别是△ABC的外角平分线，得∠3+∠4的度数， 在中，内角和为 180° 即可求出∠M的度数，得到答案．
12．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；定点定长辅助圆模型；求正弦值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，以为边向上作等边，过点作轴于点，则，
则的横坐标为，纵坐标为，
∴，
取点，则是的中位线，
∴，
∵，
∴点在半径为的上运动，
∵是的中位线，
∴，
∴，当与相切时，最大，则正弦值最大，
在中，，
过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
设，，
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴的最大值为，
故选：A．
【分析】以为边向上作等边，过点作轴于点，则，解直角三角形可得CE，根据点的坐标可得，取点，则是的中位线，根据勾股定理可得CD，根据三角形中位线定理可得，则，当与相切时，最大，则正弦值最大，根据勾股定理可得BD，过点作轴，过点作于点，过点作于点， 则，根据切线性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，，则，根据点的坐标可得，根据两点间距离可得FG，DG，再建立方程组，解方程组可得b，再根据正弦定义即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴BD＝6，
故答案为：6．
【分析】 平行线分线段成比例定理： 当一组平行线截两条直线时，所得的对应线段成比例。
利用得到，即可求解．
14．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点向下平移5个单位长度得到点B，
∴点B的坐标为，
设反比例函数的表达式为，
把点代入得，，
解得，
∴反比例函数的表达式为，
故答案为：
【分析】根据点的平移可得点B的坐标为，设反比例函数的表达式为，根据待定系数法将点B坐标代入解析式即可求出答案.
15．【答案】20
【知识点】解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，
由题意得：，，
，
在中，，，
在中，，
，
在中，，
即这架无人机的飞行高度大约是，
故答案为：20．
【分析】过点作于点，过点作水平线的垂线，垂足为点，先解直角三角形求出的长，从而可得，再根据直角三角形的性质求出的长即可得．
16．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两点一垂线型；A字型相似模型
【解析】【解答】解：如图，作轴于，作轴于，则，
∵点，的坐标分别为，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点坐标为，代入得，，
∴反比例函数解析式为，
∴S△CEO=
∴，
故答案为：12．
【分析】作轴于，作轴于，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得，由点，的坐标得，，，由平行于三角形一边得直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ADN∽△ABM，由相似三角形对应边成比例建立方程，求出，AN=1，则，故有D点坐标为，利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数k的几何意义可得S△CEO=4，最后利用割补法，由梯形及三角形面积计算公式，根据即可求解.
17．【答案】（1）解：设，由可得：，∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）可把代入得：．
【知识点】函数解析式；函数自变量的取值范围；反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据”与成正比例，与成反比例 “， 设，则有 ， 将已知条件代入即可求出解析式；
（2）根据 （1）中求解的函数解析式，代入即可求得。
（1）解：设，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）解：由（1）可把代入得：．
18．【答案】解：∵四边形为平行四边形，∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】
1.利用平行四边形性质，找相似三角形；2， 利用相似三角形的比例关系求解即可。
19．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴.
∵，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，∴，
∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长为．
【知识点】公式法解一元二次方程；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；相似多边形
【解析】【分析】（1） 已知四边形是平行四边形，，
，，，故 ，即
，四边形是平行四边形，又因为平分，所以。由，得，因此，故，所以平行四边形ABEF是菱形。菱形的对角线互相垂直，因此。
（2） 根据菱形可得，利用相似四边形对应边成比例可得，故，再解方程即可，注意 舍去负根。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形与四边形相似，
∴，
∴，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴的长为．
20．【答案】解：
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵直线与⊙O相切于点D，
∴，
∵，
∴，
∵OD是⊙O的半径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵E是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵⊙O的半径为4，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∴AB=4，，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）已知直线MN与⊙O相切于点D，根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此：OD⊥MN，又因为BC∥MN，所以：OD⊥BC，根据垂径定理，垂直于弦的半径平分弦，也平分弦所对的弧，即：，根据圆周角定理，圆心角∠DOC是弧DC所对的圆心角，而∠BAC是弧BC所对的圆周角。由于，所以：∠BAC=∠DOC。
（2） 通过角所对的边是斜边的一半反推得，进而可得，然后再根据勾股定理可求解．
21．【答案】解：(1)如图，过点作，垂足为，在中，，，
∴
在中，，
∴；
(2)过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，
在中，，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
因此小岛、相距.
【知识点】求特殊角的三角函数值；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【分析】(1) 第一问通过构造直角三角形，利用方向角（）求出高，再用正弦定义计算； 如图，过点作，垂足为，在中，先利用求出DE长，然后在中，根据正弦的定义由即可；
(2) 第二问通过作垂线（）构造矩形BEDF，将线段进行转化，再用勾股定理求距离 ；过点作，垂足为，则四边形BEDF是矩形，在中，利用勾股定理求出BE长，再由矩形的性质可得，，继而得CF长，在中，利用勾股定理求出CD长即可.
22．【答案】（1）解：将点代入中，得：，
，
反比例函数的表达式为；
将，分别代入中，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下：
轴，
，
，
轴，
，
，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）通过待定系数法求解函数表达式即可；将点代入中，得，可求出的值，进而可得反比例函数的表达式；将，分别代入中，得，解方程组即可求出、的值，即，进而可得一次函数的表达式；
（2）根据两直线平行同位角相等，由于轴，轴，可得，，然后由相似三角形的判定即可得出结论．
（1）解：将点代入中，得：，
，
反比例函数的表达式为；
将，分别代入中，得：，
解得：，
一次函数的表达式为；
（2）解：点P在滑动过程中，与总相似，理由如下：
轴，
，
，
轴，
，
，
．
23．【答案】（1）解：如图，作轴于点，
由点可知在反比例函数上，，
，，，
又，
，
．
即，
∴，
则，
所以反比例函数与一次函数关系为，；
（2）解：设
点D在线段AC上
和中：
即：
解得：
即：
（3），
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）过作交轴于，
则的面积与的面积相等，
；
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
点，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
当点在轴的正半轴上时，，，
综上所述，，或，．
【分析】
（1）先利用待定系数法求出m，即将代入可求出的值；由于直线AC与x轴的夹角为，因此可过点A作轴，垂足为，则，且等于，根据等腰直角三角形的性质得出等于等于，即，然后再应用待定系数法即可求得直线AC的解析式；
（2）由于点D在线段AC上，可设出点D的坐标为，则两点距离公式分别求出或表示出OA、CA及DA的长，又因为和中两组角对应相等，则可证两三角形相似，从而利用相似比可得出关于m的一元一次方程，解方程即可；
（3）过作交轴于，则的面积与的面积相等，先利用点D的坐标可得直线的解析式为，由于可设直线的解析式为，利用点A的坐标可求得直线的解析式为，令即可求出P的一个坐标，相应地，其关于y轴的对称点亦满足条件，故点P有两个，分别在x轴的正、负半轴上，且到原点距离相等．
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