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广西南宁市天桃实验中学2025-2026学年下学期八年级期中质量调研数学试题
1．下面选项中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（　　）
A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量
4．如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．下列函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．
C．， D．
7．下列函数图象中，表示直线的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
12．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．A，B两地相距
C．快车比慢车早到达目的地
D．快车的速度为，慢车的速度为
13．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
14．如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为　 　米．
15．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为　 　．
16．如图，边长为2的等边的顶点在原点，点在轴上，正方形的边长为4，点在轴上，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的边按顺时针方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着正方形的边也按顺时针方向运动，点比点迟4秒出发，则点运动2026秒后，的值是　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为．
（1）求快递投放点B，C之间的距离；
（2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
19．周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）求书店离小钱家多少千米．
（2）请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米．
20．如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的度数．
21．综合与实践：结合相对容量选择电动汽车电池
电动汽车作为高效、清洁的新型交通工具，深受广大购车用户青睐．电池是电动汽车的核心部件，其相对容量直接决定车辆续航能力，是购车时重点关注的指标．研究表明，电动汽车电池的相对容量易受温度等外界环境影响．相对容量指电池实际能储存的电量与额定容量的比值，额定容量指在标准放电条件下，电池能够存储的电能总量．
【数据整理】
下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．设温度为（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．
（1）【图象绘制】利用函数图象可以刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请在坐标系中根据上述表格补全与的其它对应点，并画出与的函数图象；
（2）【数据分析】温度为 时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为 时，锰酸锂电池的相对容量最高；
（3）温度为 时，两款电池相对容量相同；
（4）随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量分别呈现怎样的变化趋势？
（5）【实际应用】李华居住在广西南宁，计划购买家用电动汽车，优先考虑续航持久性．在不考虑价格等其他因素的前提下，请结合南宁气候特点，给出选择磷酸铁锂电池或锰酸锂电池的建议，并说明理由．
22．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
23．综合与探究
在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究．
定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是　 　（填序号）．
①平行四边形； ②矩形； ③菱形； ④正方形．
（2）【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：；
（3）如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形．
（4）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．中，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
B．是最简二次根式，符合题意，
C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
D．是三次根式，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】
最简二次根式的两个核心条件： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母，也不含小数），结合选项，逐一分析即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意，
B．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意，
C．，故该选项能组成直角三角形，符合题意，
D．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为： C.
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长（其中是最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形。结合选项逐一验证即可。
3．【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量．
购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量．
因此5是常量，是变量．
故答案为：A
【分析】明确常量与变量的定义：
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。
变量：在一个变化过程中，数值可以发生变化的量。
沃柑的零售价是固定不变的数值，是常量；购买沃柑的斤数可以取不同的数值，是变量。
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用垂直的定义可得，再利用多边形的内角和及角的运算求出∠2的度数即可.
5．【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式；
B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式；
C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式；
D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数．
故答案为：D.
【分析】
正比例函数的定义：形如（是常数，且）的函数，叫做正比例函数。
正比例函数中没有常数项且自变量的次数为1，由此逐一分析即可。
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 平行四边形的判定定理：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
7．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了一次函数中系数与图象位置的关系。由 y = 2x + 1 得 k = 2 > 0，函数值随 x 增大而增大，排除 A、C；当 x = 0 时 y = 1，排除 D，故选 B。
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
9．【答案】D
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为，
∴，解得：，
∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为．
故答案为： D.
【分析】弹簧的总长度=原长+伸长量
原长：12cm每挂1kg物体伸长1.5cm，所以挂重kg时，伸长量为cm
因此，总长度：，
题目中说明 “所挂的物体的质量不超过10kg”，同时挂重不能为负数，所以：0≤x≤10。
10．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由网格可知，，，，
，
则是直角三角形，且，
为的中线，
．
故答案为：D.
【分析】根据网格单位长度结合勾股定理，计算出、、de的长度，再根据勾股定理逆定理，，推出是直角三角形，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得。
11．【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】连接，根据正方形性质可得，，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵时，，
∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意；
∵时，，
∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意；
由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，
∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意；
，，
∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
由于A、B两车相向行驶，因此s时，即为A，B两地相距距离，可将B排除；当两车相遇时，，根据图像显示，，可将A排除；由于两车匀速相向行驶，因此在2h-内，直线斜率不变，说明两车均未到达终点。在-之间，由于直线斜率改变，说明快车到达终点，慢车还在行驶。则根据，两个时刻，计算快车比慢车早到达终点的时间，由此推出C。结合行程公式：速度=路程÷时间，可计算出快车和慢车的速度，由此可将D排除。
13．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
14．【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，米，
∴（米），
∴的长为米．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
15．【答案】24
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，
四边形为菱形，
，
又，，
，
，
，
四边形的面积为：．
故答案为：24．
【分析】由题意得：，根据菱形性质可得AC⊥BD，再根据勾股定理可得BD，再根据菱形面积即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：动点以每秒1个单位长度的速度运动，点比点迟4秒出发，
当点运动2026秒后，点的运动路程为个单位长度、点的运动路程为个单位长度，
等边的边长为2，点从点出发在边上按顺时针方向运动；正方形的边长为4，点从点出发在正方形边上也按顺时针方向运动，
由，可知点在2026秒后停在点处、点在2022秒后停在中点处，
由此可得点、点，所以答案为
故答案为：.
【分析】 等边边长为 2，周长为
，点的运动周期为秒。正方形边长为 4，周长为，点的运动周期为秒，比迟 4 秒出发，运动时间为 秒。 动点以每秒1个单位长度的速度运动，点比点迟4秒出发，点运动2026秒后，计算出点的位置，、点在2026秒后停在点处、点在2022秒后停在中点处。则点、点，根据两点之间距离公式即可求得。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1） 先把化简， 再合并同类二次根式即可；（2）先计算根式除法和乘法，再加减即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：∵，，，∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，∴，
在中，，
∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1） "点C的正北方有一小区A"， 说明是直角三角形，根据勾股定理求解即可；
（2） 利用 “” 这个条件，设未知数后再用勾股定理列方程求解即可。
（1）解：∵，，，
∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，
∴，
在中，，
∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
19．【答案】（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米；
（2）解：当时，设函数表达式是，
将点代入得：
，
解得，
所以，
当时，．
答：第18分钟时，小钱离家还有千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1） 图像是“小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系”，的最大值即为书店离小钱家的距离；
（2）选取直线上任意两点，根据待定系数法求得一次函数的解析式，将代入解析式即可。
（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米；
（2）解：当时，设函数表达式是，
将点代入得：
，
解得，
所以，
当时，．
答：第18分钟时，小钱离家还有千米．
20．【答案】（1）证明：在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
，
则，
在中，，则，
在中，，则，
，
则．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求证、的关系即可；
（2）四边形是平行四边形，，求得，在中，、求得、，代入即可。
（1）证明：在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
，
则，
在中，，则，
在中，，则，
，
则．
21．【答案】（1）解：由表格数据，可得下图：
（2）；
（3）20
（4）随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势
（5）解：建议李华选择锰酸锂电池．理由：∵南宁的常年平均气温为以上，
∴以上锰酸锂电池的相对容量较高，
故建议李华选择锰酸锂电池．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；数据分析；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：（2）由图象可得，温度为时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为时，锰酸锂电池的相对容量最高．
故答案为：；.
（3）由图象可得，温度为时，两款电池相对容量相同．
故答案为：.
（4）由图象可得，随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势．
【分析】重点在于区分“ 为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量”．
（1）由表格数据，填入图象，连接即可；
（2）最小， 磷酸铁锂电池的相对容量最低；最大， 锰酸锂电池的相对容量最高；
（3）图象交点即两款电池相对容量相同；
（4）观察图像分析即可；
（5）根据南宁的常年平均气温为以上，而以上锰酸锂电池的相对容量较高，故建议李华选择锰酸锂电池。
（1）解：由表格数据，可得下图：
（2）解：由图象可得，温度为时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为时，锰酸锂电池的相对容量最高．
（3）解：由图象可得，温度为时，两款电池相对容量相同．
（4）解：由图象可得，随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势．
（5）解：建议李华选择锰酸锂电池．
理由：∵南宁的常年平均气温为以上，
∴以上锰酸锂电池的相对容量较高，
故建议李华选择锰酸锂电池．
22．【答案】（1）；
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
【知识点】无理数的估值；二次根式的实际应用；几何体的表面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可；
（2）根据长方形的面积公式以及“长、高比为”的关系联立求解即可；
（3）能否装得下这面团扇是根据团扇的总高度和长方体盒子的高比较计算，若团扇的总高度小于长方体盒子的高，则能，反之则不能。先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
23．【答案】（1）④
（2）证明：邻等对补四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：在四边形中，，
如图，在上截取，连接，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为邻等对补四边形；
（4）解：在中，，，，
四边形是邻等对补四边形，
①当，时，如图，
，，；
②当时，如图，
，，，，，；
③当时，同②；
④当时，，如图，
；
综上所述，的度数为或或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义；
③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义；
故答案为：④.
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义： 一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 逐项分析即可；
（2）根据邻等对补四边形的定义，得出，再根据，得出，即可求得；
（3）属于截长补短模型，根据邻等对补四边形的定义，由于，只需证明出即可，因此可在上截取，连接，证明，得到，推出，，即可得到结论；
（4）分四种情况：①当，时；②当时；③当时；④当时，；分别求解即可．
（1）解：①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义；
③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义；
（2）证明：邻等对补四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：在四边形中，，
如图，在上截取，连接，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为邻等对补四边形；
（4）解：在中，，，，
四边形是邻等对补四边形，
①当，时，如图，
，，；
②当时，如图，
，，，，，；
③当时，同②；
④当时，，如图，
；
综上所述，的度数为或或．
1 / 1广西南宁市天桃实验中学2025-2026学年下学期八年级期中质量调研数学试题
1．下面选项中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．中，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
B．是最简二次根式，符合题意，
C．，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意，
D．是三次根式，不是二次根式，不符合题意．
故答案为：B.
【分析】
最简二次根式的两个核心条件： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2.被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母，也不含小数），结合选项，逐一分析即可。
2．下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意，
B．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意，
C．，故该选项能组成直角三角形，符合题意，
D．，故该选项不能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为： C.
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长（其中是最长边）满足，那么这个三角形是直角三角形。结合选项逐一验证即可。
3．广西南宁市武鸣区是全国知名的沃柑主产区，南宁沃柑以果皮光滑、果肉脆嫩、甜度高、汁水足而闻名，是南宁的特色水果名片．南宁沃柑的市场零售价为5元/斤，买m斤沃柑共支付n元，则5和m分别是（　　）
A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量
【答案】A
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：沃柑的零售价5元/斤是固定不变的数值，故5是常量．
购买沃柑的斤数可以取不同的数值，故是变量．
因此5是常量，是变量．
故答案为：A
【分析】明确常量与变量的定义：
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。
变量：在一个变化过程中，数值可以发生变化的量。
沃柑的零售价是固定不变的数值，是常量；购买沃柑的斤数可以取不同的数值，是变量。
4．如图1是化学实验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图，如图2是其简化示意图．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用垂直的定义可得，再利用多边形的内角和及角的运算求出∠2的度数即可.
5．下列函数中，为正比例函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：A中，含有常数项，不符合正比例函数的形式；
B中，的最高次数为2，不符合正比例函数的形式；
C中，分母中含自变量，不符合正比例函数的形式；
D中，符合（为常数且）的形式，是正比例函数．
故答案为：D.
【分析】
正比例函数的定义：形如（是常数，且）的函数，叫做正比例函数。
正比例函数中没有常数项且自变量的次数为1，由此逐一分析即可。
6．如图，四边形的对角线，相交于点O，下列条件中，一定能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．
C．， D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故符合题意；
B、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、由，无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、由无法判定四边形是平行四边形，故不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 平行四边形的判定定理：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
7．下列函数图象中，表示直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：一次函数的一次项系数为，
随的增大而增大，则可排除选项，
当时，，则可排除选项，
故选：B．
【分析】本题以一次函数的图象为背景，考查了一次函数中系数与图象位置的关系。由 y = 2x + 1 得 k = 2 > 0，函数值随 x 增大而增大，排除 A、C；当 x = 0 时 y = 1，排除 D，故选 B。
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ OA=OB=OC=AC，
∵ ∠ABD=60°，
∴ △AOB为等边三角形，
∴ AO=OB=AB=2，
∴ AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的性质可知，根据等边三角形的判定与性质可可得AO=AB，即可求得.
9．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为，
∴，解得：，
∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为．
故答案为： D.
【分析】弹簧的总长度=原长+伸长量
原长：12cm每挂1kg物体伸长1.5cm，所以挂重kg时，伸长量为cm
因此，总长度：，
题目中说明 “所挂的物体的质量不超过10kg”，同时挂重不能为负数，所以：0≤x≤10。
10．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点均在格点（网格线的交点）上，若为的中线，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由网格可知，，，，
，
则是直角三角形，且，
为的中线，
．
故答案为：D.
【分析】根据网格单位长度结合勾股定理，计算出、、de的长度，再根据勾股定理逆定理，，推出是直角三角形，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得。
11．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】连接，根据正方形性质可得，，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
12．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（　　）
A．两车出发后相遇
B．A，B两地相距
C．快车比慢车早到达目的地
D．快车的速度为，慢车的速度为
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵时，，
∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意；
∵时，，
∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意；
由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，
∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意；
，，
∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
由于A、B两车相向行驶，因此s时，即为A，B两地相距距离，可将B排除；当两车相遇时，，根据图像显示，，可将A排除；由于两车匀速相向行驶，因此在2h-内，直线斜率不变，说明两车均未到达终点。在-之间，由于直线斜率改变，说明快车到达终点，慢车还在行驶。则根据，两个时刻，计算快车比慢车早到达终点的时间，由此推出C。结合行程公式：速度=路程÷时间，可计算出快车和慢车的速度，由此可将D排除。
13．若 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，
∴x-3≥0
∴x≥3
故填：x≥3.
【分析】 由二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
14．如图，某小区要在一块空地上围一个四边形花坛，，分别是边，的中点，且米，则的长为　 　米．
【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，分别是边，的中点，米，
∴（米），
∴的长为米．
故答案为：．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
15．如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，
四边形为菱形，
，
又，，
，
，
，
四边形的面积为：．
故答案为：24．
【分析】由题意得：，根据菱形性质可得AC⊥BD，再根据勾股定理可得BD，再根据菱形面积即可求出答案.
16．如图，边长为2的等边的顶点在原点，点在轴上，正方形的边长为4，点在轴上，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着的边按顺时针方向运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着正方形的边也按顺时针方向运动，点比点迟4秒出发，则点运动2026秒后，的值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：动点以每秒1个单位长度的速度运动，点比点迟4秒出发，
当点运动2026秒后，点的运动路程为个单位长度、点的运动路程为个单位长度，
等边的边长为2，点从点出发在边上按顺时针方向运动；正方形的边长为4，点从点出发在正方形边上也按顺时针方向运动，
由，可知点在2026秒后停在点处、点在2022秒后停在中点处，
由此可得点、点，所以答案为
故答案为：.
【分析】 等边边长为 2，周长为
，点的运动周期为秒。正方形边长为 4，周长为，点的运动周期为秒，比迟 4 秒出发，运动时间为 秒。 动点以每秒1个单位长度的速度运动，点比点迟4秒出发，点运动2026秒后，计算出点的位置，、点在2026秒后停在点处、点在2022秒后停在中点处。则点、点，根据两点之间距离公式即可求得。
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1） 先把化简， 再合并同类二次根式即可；（2）先计算根式除法和乘法，再加减即可。
（1）解：
；
（2）解：
．
18．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为．
（1）求快递投放点B，C之间的距离；
（2）为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
【答案】（1）解：∵，，，∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，∴，
在中，，
∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1） "点C的正北方有一小区A"， 说明是直角三角形，根据勾股定理求解即可；
（2） 利用 “” 这个条件，设未知数后再用勾股定理列方程求解即可。
（1）解：∵，，，
∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，
∴，
在中，，
∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
19．周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：
（1）求书店离小钱家多少千米．
（2）请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米．
【答案】（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米；
（2）解：当时，设函数表达式是，
将点代入得：
，
解得，
所以，
当时，．
答：第18分钟时，小钱离家还有千米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1） 图像是“小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系”，的最大值即为书店离小钱家的距离；
（2）选取直线上任意两点，根据待定系数法求得一次函数的解析式，将代入解析式即可。
（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米；
（2）解：当时，设函数表达式是，
将点代入得：
，
解得，
所以，
当时，．
答：第18分钟时，小钱离家还有千米．
20．如图，在中，点分别在的延长线上，且．连接，交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
，
则，
在中，，则，
在中，，则，
，
则．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定与性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，求证、的关系即可；
（2）四边形是平行四边形，，求得，在中，、求得、，代入即可。
（1）证明：在中，，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知四边形是平行四边形，
，
则，
在中，，则，
在中，，则，
，
则．
21．综合与实践：结合相对容量选择电动汽车电池
电动汽车作为高效、清洁的新型交通工具，深受广大购车用户青睐．电池是电动汽车的核心部件，其相对容量直接决定车辆续航能力，是购车时重点关注的指标．研究表明，电动汽车电池的相对容量易受温度等外界环境影响．相对容量指电池实际能储存的电量与额定容量的比值，额定容量指在标准放电条件下，电池能够存储的电能总量．
【数据整理】
下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．设温度为（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．
（1）【图象绘制】利用函数图象可以刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，请在坐标系中根据上述表格补全与的其它对应点，并画出与的函数图象；
（2）【数据分析】温度为 时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为 时，锰酸锂电池的相对容量最高；
（3）温度为 时，两款电池相对容量相同；
（4）随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量分别呈现怎样的变化趋势？
（5）【实际应用】李华居住在广西南宁，计划购买家用电动汽车，优先考虑续航持久性．在不考虑价格等其他因素的前提下，请结合南宁气候特点，给出选择磷酸铁锂电池或锰酸锂电池的建议，并说明理由．
【答案】（1）解：由表格数据，可得下图：
（2）；
（3）20
（4）随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势
（5）解：建议李华选择锰酸锂电池．理由：∵南宁的常年平均气温为以上，
∴以上锰酸锂电池的相对容量较高，
故建议李华选择锰酸锂电池．
【知识点】描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；数据分析；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
解：（2）由图象可得，温度为时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为时，锰酸锂电池的相对容量最高．
故答案为：；.
（3）由图象可得，温度为时，两款电池相对容量相同．
故答案为：.
（4）由图象可得，随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势．
【分析】重点在于区分“ 为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量”．
（1）由表格数据，填入图象，连接即可；
（2）最小， 磷酸铁锂电池的相对容量最低；最大， 锰酸锂电池的相对容量最高；
（3）图象交点即两款电池相对容量相同；
（4）观察图像分析即可；
（5）根据南宁的常年平均气温为以上，而以上锰酸锂电池的相对容量较高，故建议李华选择锰酸锂电池。
（1）解：由表格数据，可得下图：
（2）解：由图象可得，温度为时，磷酸铁锂电池的相对容量最低，温度为时，锰酸锂电池的相对容量最高．
（3）解：由图象可得，温度为时，两款电池相对容量相同．
（4）解：由图象可得，随着温度逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小的变化趋势．
（5）解：建议李华选择锰酸锂电池．
理由：∵南宁的常年平均气温为以上，
∴以上锰酸锂电池的相对容量较高，
故建议李华选择锰酸锂电池．
22．根据以下素材，探索完成任务.
设计合适的盒子
素材1 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意，小志制作了一面圆形团扇作为春节礼物，这把团扇的扇面圆面积为，手柄长为.
素材2 为了美观，小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装.
任务 （1）根据素材1，该圆形团扇的半径为__________； （2）根据素材2，求出该长方体盒子的长和高； （3）如果不考虑团扇和盒子的厚度，这个长方体盒子能装得下这面团扇吗？请说明理由.
【答案】（1）；
（2）∵小志设计一个正面的面积为，且长、高比为的长方体纸盒进行包装
∴可设长为，高为，
∵，
解得（舍负），
∴该长方体盒子的长为，高为；
（3）这个长方体盒子能装得下这面团扇，理由如下：
圆形团扇的直径为，总高度为，
∵，，
∴这个长方体盒子能装得下这面团扇．
【知识点】无理数的估值；二次根式的实际应用；几何体的表面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：（1）设该圆形团扇的半径为
团扇面积为，
∴，
解得（舍负）
故答案为：9．
【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可；
（2）根据长方形的面积公式以及“长、高比为”的关系联立求解即可；
（3）能否装得下这面团扇是根据团扇的总高度和长方体盒子的高比较计算，若团扇的总高度小于长方体盒子的高，则能，反之则不能。先求出圆形团扇的直径为，总高度为，再与长方体盒子的长和高比较即可．
23．综合与探究
在《第二十一章 四边形》学习过程中，我们积累了四边形的研究经验，请运用已有经验与方法，对“邻等对补四边形”进行探究．
定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．
（1）【概念理解】下列初中阶段常见的四边形中，一定属于邻等对补四边形的是　 　（填序号）．
①平行四边形； ②矩形； ③菱形； ④正方形．
（2）【特例探究】如图1，在邻等对补四边形中，，．求证：；
（3）如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为邻等对补四边形．
（4）【拓展应用】如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，直接写出的度数．
【答案】（1）④
（2）证明：邻等对补四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：在四边形中，，
如图，在上截取，连接，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为邻等对补四边形；
（4）解：在中，，，，
四边形是邻等对补四边形，
①当，时，如图，
，，；
②当时，如图，
，，，，，；
③当时，同②；
④当时，，如图，
；
综上所述，的度数为或或．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义；
③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义；
故答案为：④.
【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义： 一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． 逐项分析即可；
（2）根据邻等对补四边形的定义，得出，再根据，得出，即可求得；
（3）属于截长补短模型，根据邻等对补四边形的定义，由于，只需证明出即可，因此可在上截取，连接，证明，得到，推出，，即可得到结论；
（4）分四种情况：①当，时；②当时；③当时；④当时，；分别求解即可．
（1）解：①平行四边形邻边不一定不相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
②矩形邻边不一定不相等，对角互补，不满足邻等对补四边形的定义；
③菱形邻边相等，对角相等，不一定互补，不满足邻等对补四边形的定义；
④正方形邻边相等，对角互补，满足邻等对补四边形的定义；
（2）证明：邻等对补四边形，
，
，
，
，
，
；
（3）证明：在四边形中，，
如图，在上截取，连接，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为邻等对补四边形；
（4）解：在中，，，，
四边形是邻等对补四边形，
①当，时，如图，
，，；
②当时，如图，
，，，，，；
③当时，同②；
④当时，，如图，
；
综上所述，的度数为或或．
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