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广东广州大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、2是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 属于无限不循环小数，属于无理数 ，故此选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角，
故答案为：A
【分析】根据对顶角定义逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图进行标注，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质得到，然后利用平角解题即可．
4．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A在第二象限，
∴；
∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，
∴，
∴点A的坐标为；
故选：A．
【分析】根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，但选项结果为，错误．
B、，（因，其平方为），错误．
C、表示16的算术平方根，结果为，而非，错误．
D、，故，正确．
故选：D．
【分析】分别求出算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有个人，辆车，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，建立方程组即可求出答案.
7．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若，则；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题；开立方（求立方根）；平行公理
【解析】【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题是真命题；
④若，则，即，原命题是真命题；
⑤实数和数轴上的点一一对应，原命题是真命题；
⑥无理数都是无限不循环小数，因此无理数都是无限小数，原命题是真命题．
∴真命题有4个．
故选：B
【分析】
平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补），前提必须是两直线平行。因此 ① 是假命题；
平行公理 “过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，“点”必须在直线外。所以 ② 是假命题。
8．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（　　）
A．8 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出．
故选：C．
【分析】此类型题要严格按照流程图的分支判断：结果是有理数→继续循环（取立方根 / 再取算术平方根）；结果是无理数→直接输出。
9．春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（　　）
A．70元，140元 B．50元，100元 C．56元，126元 D．140元，70元
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元，
根据题意有：，
解得：，
则甲，乙两种服装的标价分别为70元，140元，
故选：A．
【分析】
通过设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元，列出方程组，解方程组即可。
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
11．比较大小：4　 　．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，以及平方根的定义，根据，得到，即可得到答案．
12．若，则　 　．
【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
【分析】观察式子，可以把它改写为：，直接代入计算即可。
13．已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为　 　．
【答案】8
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：8．
【分析】根据平方根的定义建立方程，解方程即可求出答案.
14．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则　 　．
【答案】11
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴根据题中的新运算，得
解得
∴，
∴．
故答案为：11
【分析】根据新定义建立方程组，解方程组即可求出答案.
15．在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵线段轴，点的坐标是，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴设，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为或．
【分析】平行于轴的一条线上的点的坐标特点为纵坐标相同，根据轴可知点的纵坐标为4，根据可知或．
16．将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为　 　．
【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：由题意得，，，
如图1，当时，延长交于点，
①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
当时，延长交于点I，
在上方时，，
，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为15或60或105，
故答案为：15或60或105．
【分析】由题意得，，，分情况讨论：当时，延长交于点，①在上方时，②在下方时，根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；当时，延长交于点I，在上方时，②在下方时，根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
17．计算： ．
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质分别化简每一项，最后合并计算即可；
18．解二元一次方程组：．
【答案】解：把①代入②得，解得，
把代入①得，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】通过代入消元，将中①代入②即可消去求出，然后再代入①中求出。
19．求下列各式中的x：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∴
∴
∴或．
（2） 解：∴
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】
（1） 两边同除以， 开平方，利用平方根的定义分两种情况求解即可；
（2）立方根只有一个实数根，利用立方根的定义解方程即可．
（1）解：
∴
∴
∴或．
（2）解：
∴
∴．
20．如图，已知，， 交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后根据等量代换得到∠DCE=∠D，进而得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，，即可得到，再根据题意得到，利用平角的定义求得的度数解答即可．
21．实数和在数轴上对应的点如图所示．
（1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列；
（2）若实数为8的立方根，求代数式的值．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，则；
（2）解：∵实数为8的立方根，∴；
由数轴可得，
∴，
∴
．
【知识点】实数在数轴上的表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1） 从数轴上可知： ，因为是负数，所以是正数，且；因为是正数，所以是负数，且，因此可得；
（2）根据立方根的定义求出c的值， 根据数轴判断符号，即，据此化简代数式 ，再根据整式的加减运算法则化简即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求，则；
（2）解：∵实数为8的立方根，
∴；
由数轴可得，
∴，
∴
．
22．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
【答案】解：，
，得，即③，
把③代入①，得，
即．
把代入③，得．
则方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
23．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目 用水量 费用（元）
1月 11 28
2月 15 44
（1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
（2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
【答案】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；
（1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，选取表格中的数据利用加减消元即可解出答案；
（2） 分段计费问题，要分 “标准内” 和 “超标部分” 两段分别计算，再求和 ；先列式计算水费，再与50元比较即可；
（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30元.
24．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分．
（1）a＋b＋c＝　 　；
（2）点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值；
（3）如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
【答案】（1）-5
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），∴，
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴，
∵，
∴点P到BC的距离为：，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线或直线上，
∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为：．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，
∴E（2n，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分是2，
∴，
∴．
故答案为：-5．
【分析】
（1）根据b为的整数部分，求出b的值为2，再根据 ，求出a ，c的值代入 ，即可得出答案；
（2）根据（1）求出，则根据，的值可求得点P到BC的距离，根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值；
（3）根据三角形面积和坐标的关系计算：连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标．
（1）解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分是2，
∴，
∴．
故答案为：-5．
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），
∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），
∴，
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴，
∵，
∴点P到BC的距离为：，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线或直线上，
∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为：．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，
∴E（2n，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．综合与实践：后视镜的视角问题
【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【素材二】三角形三个内角的和等于．
如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．
【问题解决】
（1）如图2，当时，
①若，求反射角的大小；
②若入射光线恰好平行于，求此时的大小；
【拓展应用】
（2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由；
（3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌．
①人眼沿射线方向向前移动；
②人眼沿射线方向向右移动；
③后视镜绕点逆时针转动；
④后视镜绕点顺时针转动．
【答案】（1）①解：如图，设与交于点．
，，
∴，
∴，
，
，
，
∴在中，；
②解：，
，
，
，，
∴，，
根据题意，，
∴，
∴；
（2）解：的值不会发生变化，理由如下：
设与交于点，
∵是入射光线，是反射光线，是法线，
∴，．
同理，是入射光线，是反射光线，是法线，
∴，．
∴.
∵，
∴，
移项化简，得．
∵为定值，
∴的值始终不变．
（3）解：①人眼沿射线向前移动，的角度减小，则反射角角度增大，视野范围扩大，符合题意；
②人眼沿射线向右移动，的角度减小，同理，符合题意；
③后视镜绕点逆时针转动，此时入射点上移，的角度增大，则反射角角度减小，视野范围缩小，不符合题意；
④相反，后视镜绕点顺时针转动，可增大视野，符合题意；
故答案为：①②④．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】
（1）设与交于点利用，结合求出，再利用三角形的外角性质求出，再根据法线与镜面垂直，算出反射角；
②先由法线与镜面垂直求出；再根据、得及内错角相等（），结合反射角等于入射角得到；即可求出．
（2）先根据反射定律，将转化为，转化为；再利用三角形角的关系得到，将转化后的角代入等式；最后通过移项化简，推导得出与定值的关系，判断其值是否变化．
（3）分析每种操作对视野范围的影响，人眼沿向前移动或沿向右移动，会减小相关角的度数，增大反射角，扩大视野；后视镜绕点顺时针转动可扩大侧后方视野，逆时针转动则缩小视野；据此排除不符合要求的操作，选出能观察到障碍物全貌的选项．
1 / 1广东广州大学附属中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点A在第二象限，且点A到x轴的距离是3，到y轴的距离是5，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：现有人和车若干，若每辆车坐3个人，则空出两辆车；若每辆车坐2个人，则有9个人需要步行，问人和车各有多少？如果设有个人，辆车，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．下列命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；④若，则；⑤实数和数轴上的点一一对应；⑥无理数都是无限小数．其中真命题的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64时，输出的值是（　　）
A．8 B． C． D．2
9．春节期间商场优惠促销，将甲，乙两种服装分别按标价的八折和九折出售．某顾客购买甲，乙两种服装各1件，共付182元，两种服装的标价之和为210元，则甲，乙两种服装的标价分别为（　　）
A．70元，140元 B．50元，100元 C．56元，126元 D．140元，70元
10．已知关于的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论取何值：的值不可能互为相反数；
④都为自然数的解有2对．
以上说法中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．③④ D．①②④
11．比较大小：4　 　．
12．若，则　 　．
13．已知一个正数的两个平方根分别是a和，则a的值为　 　．
14．对于实数x，y，我们定义一种新运算（其中m，n均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，例如．若，，则　 　．
15．在平面直角坐标系中，已知线段轴，且，点的坐标是，则点的坐标为　 　．
16．将一副三角板如图所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图，，，且，若边与三角板的一条直角边边，平行时，则所有满足条件的的值为　 　．
17．计算： ．
18．解二元一次方程组：．
19．求下列各式中的x：
（1）
（2）
20．如图，已知，， 交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
21．实数和在数轴上对应的点如图所示．
（1）将和对应的点标在数轴上，并将，，，按从小到大的顺序用“”排列；
（2）若实数为8的立方根，求代数式的值．
22．阅读下面解方程组的过程，回答相应的问题．
解方程组：
，得，即．③
把③代入①，得，
解得．
把代入③，得．
所以原方程组的解为，
以上解方程组的方法叫做消常数项法．
请用上面的方法解方程组：；
23．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表：
时间项目 用水量 费用（元）
1月 11 28
2月 15 44
（1）请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？
（2）小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？
24．请用我们学过的知识解决下列问题：如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），，b为的整数部分．
（1）a＋b＋c＝　 　；
（2）点P为坐标平面内的一个动点，若S△PBC＝2S△ABC，求点A与点P距离的最小值；
（3）如图2，点D在线段AB上，将点D向右平移4个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标．
25．综合与实践：后视镜的视角问题
【素材一】光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图（反射角等于入射角，法线与平面镜垂直，垂足为入射点）．
【素材二】三角形三个内角的和等于．
如图2，小明将后视镜抽象成平面镜，画出了汽车与左侧后视镜的示意图，汽车用长方形表示，司机位于车内左前方，眼睛用点表示，，左侧后视镜用线段表示，左后视镜打开后与形成的可在一定范围内调节，不小于，不大于，点为线段上的任意一点，且点为入射点，为法线，图上各点均在同一平面内．
【问题解决】
（1）如图2，当时，
①若，求反射角的大小；
②若入射光线恰好平行于，求此时的大小；
【拓展应用】
（2）如图3，，为入射光线，，为反射光线，，为法线．司机在调节左侧后视镜(即的大小)和移动眼睛的位置时，满足大于．若的大小始终不变，试判断的值是否会发生变化，并说明理由；
（3）汽车起步时，司机要观察汽车周围环境，如图4，汽车尾部左侧有一障碍物，但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌，此时_______(填写序号)，司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌．
①人眼沿射线方向向前移动；
②人眼沿射线方向向右移动；
③后视镜绕点逆时针转动；
④后视镜绕点顺时针转动．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、2是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
C、 属于无限不循环小数，属于无理数 ，故此选项符合题意；
D、是整数，是有理数，不是无理数，故此选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角，
故答案为：A
【分析】根据对顶角定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】角的运算；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如下图进行标注，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质得到，然后利用平角解题即可．
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A在第二象限，
∴；
∵点A到轴的距离是3，到轴的距离是5，
∴，
∴点A的坐标为；
故选：A．
【分析】根据点的坐标与象限的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，但选项结果为，错误．
B、，（因，其平方为），错误．
C、表示16的算术平方根，结果为，而非，错误．
D、，故，正确．
故选：D．
【分析】分别求出算术平方根逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：依题意得：．
故选：D．
【分析】根据“若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐人，则有人步行”，建立方程组即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】无理数的概念；真命题与假命题；开立方（求立方根）；平行公理
【解析】【解答】解：①两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题；
③直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题是真命题；
④若，则，即，原命题是真命题；
⑤实数和数轴上的点一一对应，原命题是真命题；
⑥无理数都是无限不循环小数，因此无理数都是无限小数，原命题是真命题．
∴真命题有4个．
故选：B
【分析】
平行线的性质（内错角相等、同位角相等、同旁内角互补），前提必须是两直线平行。因此 ① 是假命题；
平行公理 “过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”，“点”必须在直线外。所以 ② 是假命题。
8．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：按照流程依次输出：是有理数，是有理数；再次求算术平方根得是无理数，输出．
故选：C．
【分析】此类型题要严格按照流程图的分支判断：结果是有理数→继续循环（取立方根 / 再取算术平方根）；结果是无理数→直接输出。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元，
根据题意有：，
解得：，
则甲，乙两种服装的标价分别为70元，140元，
故选：A．
【分析】
通过设甲，乙两种服装的标价分别为x元，y元，列出方程组，解方程组即可。
10．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入原方程组得，
解得：，将其代入，解得：，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
方程组，由得：，当，解得：，故②正确；
设，代入解得，此时，，互为相反数，故③错误；
解方程，解得：，
当 时，，，
当 时，，，
当 时，，，
因此存在三对自然数解，④错误，
综上所述：①②正确.
故答案为：A.
【分析】将a=1代入原方程组求解得出x、y的值，再根据二元一次方程解的定义，将x、y的值代入x-y=2a-1算出a的值即可判断①正确；将原方程组的两个方程相加得到5x+y=6+3a，再结合5x+y=3可得关于字母a的方程求出a的值，即可判定②正确；设令x+y=0，并将x+y=0代入原方程组求出a的值，进而再算出此时x、y的值，即可判断③错误；将a作为字母参数解出原方程组的解进而求出该方程组的自然数解，即可判断④错误.
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了实数比较大小，以及平方根的定义，根据，得到，即可得到答案．
12．【答案】4
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴．
【分析】观察式子，可以把它改写为：，直接代入计算即可。
13．【答案】8
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：8．
【分析】根据平方根的定义建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】11
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵，，
∴根据题中的新运算，得
解得
∴，
∴．
故答案为：11
【分析】根据新定义建立方程组，解方程组即可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：∵线段轴，点的坐标是，
∴点的纵坐标为，
∵，
∴设，
∴，
∴或，
∴或，
故答案为或．
【分析】平行于轴的一条线上的点的坐标特点为纵坐标相同，根据轴可知点的纵坐标为4，根据可知或．
16．【答案】或或
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；平行线的应用-三角尺问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：由题意得，，，
如图1，当时，延长交于点，
①在上方时，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
；
当时，延长交于点I，
在上方时，，
，，
，
，
，
，
，
即，
；
②在下方时，，
，，，
，
，
，
，
，
即，
（不符合题意，舍去），
综上，所有满足条件的的值为15或60或105，
故答案为：15或60或105．
【分析】由题意得，，，分情况讨论：当时，延长交于点，①在上方时，②在下方时，根据直线平行判定定理及性质即可求出答案；当时，延长交于点I，在上方时，②在下方时，根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】
利用有理数的乘方法则，算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质分别化简每一项，最后合并计算即可；
18．【答案】解：把①代入②得，解得，
把代入①得，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】通过代入消元，将中①代入②即可消去求出，然后再代入①中求出。
19．【答案】（1）解：∴
∴
∴或．
（2） 解：∴
∴．
【知识点】利用开平方求未知数；利用开立方求未知数
【解析】【分析】
（1） 两边同除以， 开平方，利用平方根的定义分两种情况求解即可；
（2）立方根只有一个实数根，利用立方根的定义解方程即可．
（1）解：
∴
∴
∴或．
（2）解：
∴
∴．
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等得到，然后根据等量代换得到∠DCE=∠D，进而得到结论；
（2）根据平行线的性质得到，，即可得到，再根据题意得到，利用平角的定义求得的度数解答即可．
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，则；
（2）解：∵实数为8的立方根，∴；
由数轴可得，
∴，
∴
．
【知识点】实数在数轴上的表示；整式的加减运算；二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1） 从数轴上可知： ，因为是负数，所以是正数，且；因为是正数，所以是负数，且，因此可得；
（2）根据立方根的定义求出c的值， 根据数轴判断符号，即，据此化简代数式 ，再根据整式的加减运算法则化简即可得到答案．
（1）解：如图所示，即为所求，则；
（2）解：∵实数为8的立方根，
∴；
由数轴可得，
∴，
∴
．
22．【答案】解：，
，得，即③，
把③代入①，得，
即．
把代入③，得．
则方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据代入消元法解方程组即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30元.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-计费
【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用；
（1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，选取表格中的数据利用加减消元即可解出答案；
（2） 分段计费问题，要分 “标准内” 和 “超标部分” 两段分别计算，再求和 ；先列式计算水费，再与50元比较即可；
（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元，
由题意，得，
解得，
答：正常收费标准为2元，超过部分4元．
（2）解：元，
，
不够，
元，
答：不够交水费，还差30元.
24．【答案】（1）-5
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），∴，
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴，
∵，
∴点P到BC的距离为：，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线或直线上，
∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为：．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，
∴E（2n，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分是2，
∴，
∴．
故答案为：-5．
【分析】
（1）根据b为的整数部分，求出b的值为2，再根据 ，求出a ，c的值代入 ，即可得出答案；
（2）根据（1）求出，则根据，的值可求得点P到BC的距离，根据点P在一条平行于y轴的直线上，根据垂线段最短，即可得出点A与点P距离的最小值；
（3）根据三角形面积和坐标的关系计算：连接OD、OE，设点D的坐标为（m，n），根据，得出，根据平移的性质，得出E（2n，n），根据列出关于n的方程，解方程即可得出n的值，得出D点的坐标．
（1）解：∵，
∴，解得：，
∵，
∴的整数部分是2，
∴，
∴．
故答案为：-5．
（2）解：∵A（a，0），B（0，b），C（0，c），
∴A（-4，0），B（0，2），C（0，-3），
∴，
∵S△PBC＝2S△ABC，
∴，
∵，
∴点P到BC的距离为：，
∵点B、C在y轴的直线上，
∴点P在平行于y轴的直线上，且与y轴的距离为8，
∴点P在直线或直线上，
∵点A到直线的最小距离为，点A到直线的最小距离为：
∴点A与点P之间最小距离为：．
（3）解：连接OD、OE，如图所示：
设点D的坐标为（m，n），
∵，
∴，
∴，
∴D点坐标为（2n-4，n），
∵点D向右平移4个单位长度得到点E，
∴E（2n，n），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）①解：如图，设与交于点．
，，
∴，
∴，
，
，
，
∴在中，；
②解：，
，
，
，，
∴，，
根据题意，，
∴，
∴；
（2）解：的值不会发生变化，理由如下：
设与交于点，
∵是入射光线，是反射光线，是法线，
∴，．
同理，是入射光线，是反射光线，是法线，
∴，．
∴.
∵，
∴，
移项化简，得．
∵为定值，
∴的值始终不变．
（3）解：①人眼沿射线向前移动，的角度减小，则反射角角度增大，视野范围扩大，符合题意；
②人眼沿射线向右移动，的角度减小，同理，符合题意；
③后视镜绕点逆时针转动，此时入射点上移，的角度增大，则反射角角度减小，视野范围缩小，不符合题意；
④相反，后视镜绕点顺时针转动，可增大视野，符合题意；
故答案为：①②④．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】
（1）设与交于点利用，结合求出，再利用三角形的外角性质求出，再根据法线与镜面垂直，算出反射角；
②先由法线与镜面垂直求出；再根据、得及内错角相等（），结合反射角等于入射角得到；即可求出．
（2）先根据反射定律，将转化为，转化为；再利用三角形角的关系得到，将转化后的角代入等式；最后通过移项化简，推导得出与定值的关系，判断其值是否变化．
（3）分析每种操作对视野范围的影响，人眼沿向前移动或沿向右移动，会减小相关角的度数，增大反射角，扩大视野；后视镜绕点顺时针转动可扩大侧后方视野，逆时针转动则缩小视野；据此排除不符合要求的操作，选出能观察到障碍物全貌的选项．
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