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广东珠海市第九中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
1．的值是（　　）
A．4 B． C．2 D．8
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．故答案为：A
【分析】算术平方根的结果为非负数。
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意；
不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意；
，与不是同类二次根式，故C选项不合题意；
，与是同类二次根式，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】把各个根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行识别即可。
3．下列条件中，使不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，故是直角三角形，故A不符合题意；
由题意：令，则，，
∴，，，
∴，故是直角三角形，故B不符合题意；
，故是直角三角形，故C不符合题意；
由，则：
最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
4．菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分.
故答案为：A.
【分析】菱形的性质：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
矩形的性质：具有平行四边形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分.
5．一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为8cm，
∴其边长为cm，
∴它的对角线长为：cm，
故选：C．
【分析】
由正方形的面积可得其边长，正方形的对角线与两边构成等腰直角三角形， 由勾股定理， 可得其对角线的长．
6．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
∵在中，，，
．
故答案为：B
【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，即， 在中，结合和三角形内角和性质计算出，根据等角对等边，证明出AD=BD， 最后在中利用 30° 角的性质求出 CD。
7．如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，沿将圆柱侧面展开，
由题意得，，
线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，
在中，由勾股定理得，
∴蚂蚁爬行的最短路程是，
故选：D．
【分析】
圆柱侧面最短路径问题的核心是 “化曲为直”，把曲面展开成平面，再用勾股定理求直线距离；
沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程 ，利用底面周长和高，结合 勾股定理求出的长即可得到答案 。
8．如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴点A表示的实数是，
故选C．
【分析】根据边之间的关系可得DB，再根据勾股定理可得DC，再根据边之间的关系可得OA，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　）
A．100° B．120° C．130° D．150°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=25°，
∴∠EPF=130°，
故选C．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。由此得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
10．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵为的中点，
∴点M在上，且，
∴当最小时，最小，
根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短．
，
即，
∴．
故答案为：D
【分析】，，可得出是直角三角形，进而得出四边形是矩形，与互相平分且相等，当时，最小，然后根据面积相等得出答案．
11．当 　 　 时，二次根式 有意义．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，∴x+2≥0，解得x≥-2．
故答案为≥-2．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为　 　．
【答案】4
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量，
故答案为：4．
【分析】常量是一个确定的数值，和 “是否为数字” 无关，核心是 “不随其他量变化而改变”。在这个公式里，4 是固定的系数，而和会随着正方形大小变化而改变，因此 4 是常量。
13．在平行四边形中，如果，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
解得：，
．
故答案为：
【分析】平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补（和为），根据此性质计算即可。
14．在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为　 　．
【答案】10或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为m，分情况讨论：
（1）若8是直角边，则第三边m是斜边，
由勾股定理得，，解得：；
（2）若8是斜边，则第三边m为直角边，
由勾股定理得，，解得．
所以第三边长为10或．
故答案为：10或．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
15．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】9
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设的三边为，，，
由题意得，，；由勾股定理，
已知，即，整理得，
解得，
阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度，
所以阴影面积为．
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此，，。由勾股定理可知，结合已知条件，将面积替换为边长的平方，得到，再代入勾股定理的关系式，化简可得，求出。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为，代入的值即可求出阴影部分面积。
16．计算：
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算法则和平方差公式），进行计算即可．
17．如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 已知AE⊥BD，CF⊥BD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得AE∥CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠AEB=∠CFD=，∠ABE=∠CDF，可得，由此可得结果。
18．某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
【答案】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∴该汽车的速度为，
∵，
∴可疑汽车超速了．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理．先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，再将速度与进行比较，据此可作出判断．
19．已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
．
∴．
（2）解：，
，
．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先求出，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）先求出，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）解：，
，
．
∴．
（2）解：，
，
．
∴．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一条线段，使线段；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．，
【答案】（1）解：如图①中，线段即为所求．
（2）解：如图②中，即为所求．
（3）解：如图③中，即为所求．
【知识点】勾股定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】 基于勾股定理，通过构造不同边长的直角三角形来得到所需的线段长度。
(1)根据勾股定理，可用1，4，勾股数构造，做法：在的网格中连接最远端的两个端点即可；
(2)等腰直角三角形的三边比分别是，即构造出等比例的等腰直角三角形即可；
(3)根据勾股定理，可用，，勾股数构造，做法：分别利用、、的网格做出，，的三边即可。
（1）如图①中，线段即为所求．
（2）如图②中，即为所求．
（3）如图③中，即为所求．
21．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴
（2）解：①3；
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：①当时，，，，
∴中最长边的长度为．
故答案为：3.
【分析】（1）利用海伦公式，代入计算即可；
（2）①把代入计算即可求解
②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，化简，根据取最大值且为整数，利用三角形的三边关系确定出的值，进而确定出 、、的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，
∴中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
22．我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程：
如图①，在锐角中，过点A作于点D．
在中，
在中，
由上面两个等式，等量代换得： ；
所以，化简为 ；
（1）请你补充完成上面横线上所缺的过程；
（2）善学小组在探究中发现，如图②，当为钝角三角形（为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由；
（3）如图③，在四边形中，，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接，过点D作于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：如图2，作交的延长线于点D，则．
在中，．
在中，．
∴．即，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于点F．
由勾股定理得，．
由题意知，是锐角三角形，
∴，即，解得．
∴．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，．
∴，
所以，化简为：
．
故填：；
【分析】 这道题的关键是利用 “构造高” 的方法，将斜三角形转化为两个直角三角形，再通过勾股定理建立等式关系。
（1）根据题意，直接计算，由．．可得，然后作答即可；
（2）作交的延长线于点D，则．在中，得，．在中，得．两式联立即．整理得；
（3）连接，作于点F．依据（1）中结论考虑，关键是求得DF的长，由勾股定理得，．由题意知，是锐角三角形，则，即，解得．．根据，计算求解即可．
（1）解：∵，．
∴，
所以，化简为：
．
（2）解：，理由如下：
如图2，作交的延长线于点D，则．
在中，．
在中，．
∴．即，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于点F．
由勾股定理得，．
由题意知，是锐角三角形，
∴，即，解得．
∴．
∴．
23．综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度．
【答案】解：（1）四边形是正方形，
，
，
∵点E绕点C逆时针旋转得到点，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴四边形的形状都是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（2），理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，是的中点，
∴是的中点，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是的中点，
∴，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：（3）取的中点M，取的中点N，
连接，，，，
∴，
∵，
∴，
根据（2）得，，
∴，，，
∴，，，
∵四边形是正方形，是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，
过点M作于点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据正方形性质可得，则，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得是的中点，，，，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得OC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，，，根据正方形性质可得∠AOB=90°，OA，根据勾股定理可得AC，OM，过点M作于点Q，解直角三角形可得MQ，再根据勾股定理可得NQ，根据边之间的关系可得ON，再根据勾股定理可得FN，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东珠海市第九中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
1．的值是（　　）
A．4 B． C．2 D．8
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列条件中，使不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．菱形和矩形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相平分 B．有一组邻边相等
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
5．一个正方形的面积为8cm，则它的对角线长为（　　）
A．2cm B．2cm C．4cm D．3cm
6．如图，在中，，，过点作，交于点，若，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，一圆柱体底面周长为，高为，是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求出爬行的最短路程等于（　　）
A． B． C． D．
8．如图，点B，D在数轴上，，长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝25°，则∠EPF的度数是（　　）
A．100° B．120° C．130° D．150°
10．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（　　）
A． B．2 C． D．
11．当 　 　 时，二次根式 有意义．
12．正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为　 　．
13．在平行四边形中，如果，则　 　．
14．在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为　 　．
15．如图，在中，，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为　 　．
16．计算：
17．如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形．
18．某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？
19．已知，求下列代数式的值：
（1）；
（2）．
20．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求作图．
（1）在图①中，画一条线段，使线段；
（2）在图②中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数；
（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．，
21．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
（2）利用材料2解决下面的问题：
已知三条边的长度分别是，记的周长为．
①当时，请直接写出中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
22．我们知道直角三角形的三边长满足，那么在锐角三角形和钝角三角形中，三边长又满足什么关系呢？勤思小组做了进一步探究，以下是部分探究过程：
如图①，在锐角中，过点A作于点D．
在中，
在中，
由上面两个等式，等量代换得： ；
所以，化简为 ；
（1）请你补充完成上面横线上所缺的过程；
（2）善学小组在探究中发现，如图②，当为钝角三角形（为钝角）时，也有类似的结论．请类比勤思小组的方法写出该结论，并说明理由；
（3）如图③，在四边形中，，求该四边形的面积；敏学小组的思路是连接，过点D作于点F，请利用敏学小组的思路直接写出四边形的面积．
23．综合与实践
问题情境：
数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F．
特例研究：
启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为正方形．
探究发现：
（1）博学小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明；
（2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由；
拓展应用：
（3）在（2）的条件下，已知，，直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：．故答案为：A
【分析】算术平方根的结果为非负数。
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；同类二次根式
【解析】【解答】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意；
不能化简，与不是同类二次根式，故B选项不合题意；
，与不是同类二次根式，故C选项不合题意；
，与是同类二次根式，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】把各个根式化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行识别即可。
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，故是直角三角形，故A不符合题意；
由题意：令，则，，
∴，，，
∴，故是直角三角形，故B不符合题意；
，故是直角三角形，故C不符合题意；
由，则：
最大的角，故不是直角三角形，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
∴菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分.
故答案为：A.
【分析】菱形的性质：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
矩形的性质：具有平行四边形的性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为8cm，
∴其边长为cm，
∴它的对角线长为：cm，
故选：C．
【分析】
由正方形的面积可得其边长，正方形的对角线与两边构成等腰直角三角形， 由勾股定理， 可得其对角线的长．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
，
∵在中，，，
．
故答案为：B
【分析】先利用等腰三角形的性质和求出底角为，即， 在中，结合和三角形内角和性质计算出，根据等角对等边，证明出AD=BD， 最后在中利用 30° 角的性质求出 CD。
7．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图所示，沿将圆柱侧面展开，
由题意得，，
线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程，
在中，由勾股定理得，
∴蚂蚁爬行的最短路程是，
故选：D．
【分析】
圆柱侧面最短路径问题的核心是 “化曲为直”，把曲面展开成平面，再用勾股定理求直线距离；
沿将圆柱侧面展开，根据两点之间线段最短可知，线段的长即为蚂蚁爬行的最短路程 ，利用底面周长和高，结合 勾股定理求出的长即可得到答案 。
8．【答案】C
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴点A表示的实数是，
故选C．
【分析】根据边之间的关系可得DB，再根据勾股定理可得DC，再根据边之间的关系可得OA，再根据数轴上点的位置关系即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴PE=AD，PF=BC，
∵AD=BC，
∴PE=PF，
∴∠PFE=∠PEF=25°，
∴∠EPF=130°，
故选C．
【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。由此得到PE= AD，PF=BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
10．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理的逆定理；矩形的性质；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图．
在中，，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
∵，
∴四边形是矩形，
∴与互相平分，
∵为的中点，
∴点M在上，且，
∴当最小时，最小，
根据直线外一点到直线上任意一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样最短．
，
即，
∴．
故答案为：D
【分析】，，可得出是直角三角形，进而得出四边形是矩形，与互相平分且相等，当时，最小，然后根据面积相等得出答案．
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，∴x+2≥0，解得x≥-2．
故答案为≥-2．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量，
故答案为：4．
【分析】常量是一个确定的数值，和 “是否为数字” 无关，核心是 “不随其他量变化而改变”。在这个公式里，4 是固定的系数，而和会随着正方形大小变化而改变，因此 4 是常量。
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
解得：，
．
故答案为：
【分析】平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补（和为），根据此性质计算即可。
14．【答案】10或
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设第三边为m，分情况讨论：
（1）若8是直角边，则第三边m是斜边，
由勾股定理得，，解得：；
（2）若8是斜边，则第三边m为直角边，
由勾股定理得，，解得．
所以第三边长为10或．
故答案为：10或．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
15．【答案】9
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设的三边为，，，
由题意得，，；由勾股定理，
已知，即，整理得，
解得，
阴影部分是一个三角形，以等长的边为底，高等于的长度，
所以阴影面积为．
故答案为：．
【分析】本题考查勾股定理与正方形面积的关系，核心是将正方形面积转化为直角三角形边长的平方。设Rt△ABC的三边为AB=a，AC=b，BC=c，根据正方形面积公式，正方形的面积等于边长的平方，因此，，。由勾股定理可知，结合已知条件，将面积替换为边长的平方，得到，再代入勾股定理的关系式，化简可得，求出。观察图形可知阴影部分是直角三角形，其面积为，代入的值即可求出阴影部分面积。
16．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式混合运算法则和平方差公式），进行计算即可．
17．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】垂线的概念；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】 已知AE⊥BD，CF⊥BD，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，可得AE∥CF，在△ABE和△CDF中，AB=CD，∠AEB=∠CFD=，∠ABE=∠CDF，可得，由此可得结果。
18．【答案】解：∵，，，
∴根据勾股定理可得：，
∴该汽车的速度为，
∵，
∴可疑汽车超速了．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理．先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，再将速度与进行比较，据此可作出判断．
19．【答案】（1）解：，
，
．
∴．
（2）解：，
，
．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先求出，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）先求出，，再化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（1）解：，
，
．
∴．
（2）解：，
，
．
∴．
20．【答案】（1）解：如图①中，线段即为所求．
（2）解：如图②中，即为所求．
（3）解：如图③中，即为所求．
【知识点】勾股定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】 基于勾股定理，通过构造不同边长的直角三角形来得到所需的线段长度。
(1)根据勾股定理，可用1，4，勾股数构造，做法：在的网格中连接最远端的两个端点即可；
(2)等腰直角三角形的三边比分别是，即构造出等比例的等腰直角三角形即可；
(3)根据勾股定理，可用，，勾股数构造，做法：分别利用、、的网格做出，，的三边即可。
（1）如图①中，线段即为所求．
（2）如图②中，即为所求．
（3）如图③中，即为所求．
21．【答案】（1）解：∵，∴，
∴
（2）解：①3；
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
【知识点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【解答】解：①当时，，，，
∴中最长边的长度为．
故答案为：3.
【分析】（1）利用海伦公式，代入计算即可；
（2）①把代入计算即可求解
②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，化简，根据取最大值且为整数，利用三角形的三边关系确定出的值，进而确定出 、、的值，代入秦九韶公式计算即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，
∴中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴
，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴
．
22．【答案】（1）；
（2）解：，理由如下：如图2，作交的延长线于点D，则．
在中，．
在中，．
∴．即，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于点F．
由勾股定理得，．
由题意知，是锐角三角形，
∴，即，解得．
∴．
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；求算术平方根；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）∵，．
∴，
所以，化简为：
．
故填：；
【分析】 这道题的关键是利用 “构造高” 的方法，将斜三角形转化为两个直角三角形，再通过勾股定理建立等式关系。
（1）根据题意，直接计算，由．．可得，然后作答即可；
（2）作交的延长线于点D，则．在中，得，．在中，得．两式联立即．整理得；
（3）连接，作于点F．依据（1）中结论考虑，关键是求得DF的长，由勾股定理得，．由题意知，是锐角三角形，则，即，解得．．根据，计算求解即可．
（1）解：∵，．
∴，
所以，化简为：
．
（2）解：，理由如下：
如图2，作交的延长线于点D，则．
在中，．
在中，．
∴．即，
∴；
（3）解：如图3，连接，作于点F．
由勾股定理得，．
由题意知，是锐角三角形，
∴，即，解得．
∴．
∴．
23．【答案】解：（1）四边形是正方形，
，
，
∵点E绕点C逆时针旋转得到点，
∴，
∵，
，
，
，
∴，
∴四边形的形状都是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（2），理由如下：
连接，
∵四边形是正方形，是的中点，
∴是的中点，，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，是的中点，
∴，，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴．
（3）
【知识点】旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：（3）取的中点M，取的中点N，
连接，，，，
∴，
∵，
∴，
根据（2）得，，
∴，，，
∴，，，
∵四边形是正方形，是的中点，，
∴，，，
∴，
∴，
过点M作于点Q，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）根据正方形性质可得，则，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据正方形性质可得是的中点，，，，则，根据线段中点可得，根据勾股定理可得OC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）取的中点M，取的中点N，连接，，，，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，，，根据正方形性质可得∠AOB=90°，OA，根据勾股定理可得AC，OM，过点M作于点Q，解直角三角形可得MQ，再根据勾股定理可得NQ，根据边之间的关系可得ON，再根据勾股定理可得FN，再根据边之间的关系即可求出答案.
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