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贵州省贵阳市2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷
1．下列数中，能使不等式成立的x的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图， ∠ACD是△ABC的外角， ∠A=75°， ∠ACD=135°，则∠B的度数为（　　)
A．60° B．50° C．45° D．40°
3．如图，在△ABC中， AB=AC， AD⊥BC， BD=3，则 BC的长为（　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
4．如图，已知传送带与水平面所成角度是 30°，如果它把物体送到离地面 5米高的地方，那么物体所经过的路程为（　　)米
A．5 B． C． D．10
5．用反证法证明命题“在△ABC中， AB=AC，求证： ∠B<90°”，应先假设（　　)
A．∠B≥90° B．∠B>90° C．∠B≠90° D．AB≠AC
6．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　)
A．x>-2 B．x≥2 C．-27．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　)
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
8．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
9．如图， OP平分∠AOB， PC⊥OA于点 C，点 D在 OB上.若 OD=6， △POD的面积为 9，则 PC的长为（　　)
A．3 B．6 C．8 D．9
10．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　）
A． B． C． D．5
11．若 x12．马扎（图 1)是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带.图 2为其侧面示意图，AB∥CD，AD与 BC交于点 O，若 AO=BO， ∠ABO=53°，则∠CDO的度数为　 　.
13．如图， 在正五边形 ABCDE的内部作正三角形 ABF， 则∠EAF=　 　 °.
14．如图，等边三角形 ABD与等边三角形 CEF，点 A，B在边 EF上，EA=FB=2AB，点 D在△CEF内， 且. 则△CEF的边长为　 　 .
15．解不等式组： 并写出所有整数解.
解：解不等式①得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为 ▲ ，
所以，原不等式组的整数解为 ▲ .
16．在△ABC中， AB=AC.
（1）利用直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和 AB 的垂直平分线，交点为 P （不写作法，保留作图痕迹)
（2）连接 PB，若∠ABC=70°，求∠ABP的度数.
17．如图，是两个长度相同的梯子 BC与 EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度 AC与右边梯子水平方向的长度 DF相等.
（1） △ABC与△DEF全等吗 请说明理由.
（2）若 DF=3m，DE=6m，AD=2.6m，求线段 BF的长度.
18．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品.已知商店每副羽毛球拍的售价是 50元，每副乒乓球拍的售价是 42元，如果该要购进羽毛球拍和乒乓球拍共 100副，且总费用不超过 4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副
19．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
20．为了吸引游客，某森林公园景区推出了甲、乙两种购票方式.
甲：按照次数收费，门票每人每次 25元.
乙：购买一张森林公园景区年卡后，门票每人每次按五折优惠.
设某人一年内去该森林公园景区的次数为 x，选择甲、乙两种购票方式所需费用分别为 y甲、yz元，且所需费用 y与次数 x的函数关系如图所示.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买一张森林公园景区年卡的费用为　 　元.
（2）直接写出选择甲、乙两种购票方式时，y关于 x的函数表达式.
（3）小明准备利用假期时间去森林公园景区完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算 请说明理由.
21．如图
完成下列各题：
（1）问题的提出：如图 1，在△ABC中， AB=AC，请你运用所学的全等知识，证明： ∠B=∠C.
（2）知识的运用：如图 2，已知△ABC是等边三角形，若 D是 BC边的中点，点 P在射线 AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为　 　.
（3）拓展延伸：如图 3，已知△ABC是等边三角形，若 D在 BC边上， ∠ADG=60°， DG与∠ACB的外角平分线交于点 于点 H，求 AH、AC、CD之间的关系.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
观察各选项，只有，
故选：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
解：∵∠A=75 ，∠ACD=135 ；
∴∠B=135 75 =60 ；
∴∠B =60 。
故答案为：A
【分析】本题的核心解题思路是：识别∠ACD为三角形的外角，直接应用“三角形外角等于不相邻两内角之和”的定理，通过简单的减法运算即可求出未知内角∠B 的度数，无需复杂辅助线或多步推导。
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BD=3，
∴BC=2×3=6。
故答案为：C.
【分析】本题的解题思路是：先识别出△ABC是等腰三角形，再利用等腰三角形 “三线合一” 的性质，判断出AD是底边的中线，从而得出BC=2BD，直接计算出BC的长度
4．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，设物体经过的路程（即传送带的斜边长度）为L米，物体离地面的高度为直角三角形中30 角所对的直角边，长度为5米。
∵在直角三角形中，有一角为30 ；
∴5=L；
∴L=10。
故答案为：D。
【分析】本题的解题思路是：将传送带的实际情境抽象为直角三角形模型，其中传送带与水平面的夹角为30 ，物体离地面的高度为30 角所对的直角边，物体经过的路程为斜边。利用“直角三角形中30 角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，直接求出斜边长度。
5．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是：∠B<90 。
∴它的反面是：∠B≥90 。
故答案为：A.
【分析】本题的解题思路是：掌握反证法的核心步骤就是反设，即先否定要证明的结论。要找 “∠B<90 ”的否定，需注意否定形式是 “≥” 而非 “>”，要包含等于的情况，因此直接得出假设为∠B≥90 。
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可得：
∴x≥2
故答案为：B.
【分析】本题的解题思路是：先根据数轴表示规则，分别读出两个不等式的解集，再利用“同大取大”的口诀，找到两个解集的公共部分，即为不等式组的解集
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点P，
∴PA=PB=PC
∴满足到 A、B、C 三点距离相等的点，是AC、BC 两边垂直平分线的交点，
故答案为：C.
【分析】本题主要是将实际问题转化为几何模型，核心需求是找到到三角形三个顶点距离相等的点。根据线段垂直平分线的性质，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点，就是任意两条边的垂直平分线的交点。
8．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE；
又∵△POD的面积为9，OD=6，
∴S△POD=ODPE=9
∴PE=3
∴PC=3。
故答案为：A.
【分析】本题主要是先利用角平分线的性质，得出点P到OB的距离等于PC的长度；再结合△POD的面积和底边长OD，通过三角形面积公式求出高PE的长度，进而得到PC的长度
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为24，
∴，，，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵四个三角形为全等的直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积之和，
故阴影部分的面积之和就是梯形的面积，
∴
，
图中非阴影部分的面积之和为 ，
故选：A．
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
11．【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：已知 x 2y
故答案为：> .
【分析】本题的解题思路是：直接应用不等式的基本性质，当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向必须反向，从而判断出 2x与 2y的大小关系
12．【答案】53°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠A=∠ABO，
∵∠ABO=53 ，
∴∠A=53 ，
∵AB∥CD，
∴∠CDO=∠A，
∴∠CDO=53 。
故答案为：53 .
【分析】本题的解题思路是：先利用等腰三角形的性质，由AO=BO和∠ABO=53 求出∠A的度数；再根据平行线的内错角相等，将∠CDO与∠A建立等量关系，从而求出∠CDO的度数。
13．【答案】48
【知识点】等边三角形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，
∴内角和为：(5 2)×180 =540 ，
∴每个内角的度数为：540 5=108 ，即∠EAB=108 。
又∵△ABF是正三角形，
∴∠FAB=60 ，
∴∠EAF=∠EAB ∠FAB=108 60 =48 ，
故答案为：48 .
【分析】本题的解题思路是：先利用正多边形内角和公式求出正五边形的内角∠EAB，再利用正三角形的性质求出∠FAB，最后通过两个角的差，计算出∠EAF的度数
14．【答案】5
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC、CD交EF于G，
∵△ABD与△CEF为等边三角形，
∴AD=BD，EC=CF，∠ADB=60°，
∴点C、点D在线段EF的垂直平分线上。
∴CG是线段EF的垂直平分线。
∴CG⊥EF。
∴∠ADG=30°，
∴∠ADC=150°。
∵AP=PC，
∴∠PAD=∠APD，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD、
∵∠APD=180°-2∠PDA，
∠DPC=180°-2∠PDC
∴∠APD+∠DPC=360°-2（∠PDC+∠PDC）=60°，
∴△PCA为等边三角形。
∴AC=PC=，
设DA=x，
∴AB=AD=x，
∴AE=BF=2AB=2x，
∴EF=5x ，AG=，
在Rt△CEG中，CG=.
在Rt△ACG中，AC2=CG2+AG2，
，
解得，x=1，
∴EF=5，
∴△CEF的边长为5.
故答案为：5.
【分析】先连接AC、CD交EF于G，由△ABD与△CEF为等边三角形，证明CG是线段EF的垂直平分线由等腰三角形的性质求∠APC=60，进一步证明△PCA为等边三角形，得AC=，在Rt△CEG中，表示CG，进一步用勾股定理求AD长，最后求出△CEF的边长。
15．【答案】解：解不等式①得x≥1，
解不等式②得x<3，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为1≤x<3，
所以，原不等式组的整数解为1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题的解题思路是：先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再通过数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有整数解。核心是掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法。
16．【答案】（1）解：如图；
（2）解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
即∠ABC=∠ACB=70 。
∴∠BAC=180 70 70 =40 ，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC=×40 =20 ，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形，两底角相等，
∴∠ABP=∠BAP=20 。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法，按步骤完成作图；
（2）先利用等腰三角形的性质求出顶角∠BAC，再结合角平分线的性质求出∠BAP，最后利用垂直平分线的性质（PA=PB），得到等腰△PAB，从而求出∠ABP的度数。
17．【答案】（1）解：全等，理由如下：
由题意可知， AC=DF， BC=EF， ∠BAC=∠EDF=90°，
∴在 Rt△ABC和 Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL)
（2）解：由(1)中Rt△ABC Rt△DEF，
∴AB=DE=6 m；
∵DF=3 m，AD=2.6 m；
观察图形得：BF=AB+AD+DF
∴ BF=6+2.6+3=11.6 m。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）先识别出两个直角三角形，再根据 “斜边和一条直角边对应相等” 的条件，用 HL 定理判定它们全等；
（2）利用全等三角形的性质得到对应边相等，再根据线段的和差关系，直接计算出BF的长度
18．【答案】解：设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍(100 x)副
根据题意，总费用不超过 4500 元，
可列不等式：50x+42(100 x)≤4500
解这个不等式： 50x+4200 42x≤4500
8x+4200≤4500
8x≤4500 4200
8x≤300
x≤37.5
∵x为整数（球拍的数量必须是整数），
∴x的最大值为 37。
答：该校最多能购进羽毛球拍37副。
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，先设未知数，根据 “总费用不超过 4500 元” 的限制条件，列出一元一次不等式并求解不等式，从而得到未知数的取值范围，结合实际意义（球拍数量为整数），确定未知数的最大值，得到答案
19．【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。
（2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。
20．【答案】（1）100
（2）解：
（3）解：当小明去森林公园景区的次数小于 8时，选择甲种购票方式更划算；次数为 8时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；大于 8时，选择乙种购票方式更划算.
理由如下：
由（2）知
当 y甲即当小明去森林公园景区的次数小于 8时，选择甲种购票方式更划算；当 时， 解得 x=8，
即当小明去森林公园景区的次数为8时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；当 时， 解得 x>8，
即当小明去森林公园景区的次数大于 8时，选择乙种购票方式更划算
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可知，当x=0（未去景区）时，乙方案的费用为100元，这部分费用即为购买年卡的固定成本，因此购买一张森林公园景区年卡的费用为100 元。
故答案为：100.
（2）甲方案：按次收费，每次 25 元，因此费用与次数的关系为：=25x(x≥0，且x为整数)；
乙方案：先购买 100 元年卡，再享受每次门票五折优惠（25×0.5=12.5=元/次），因此费用与次数的关系为：=x+100 (x≥0，且x为整数)。
【分析】(1)从函数图象中提取关键信息，当自变量x=0（未产生消费次数）时，乙方案的初始费用即为年卡的固定成本，直接读取图像纵轴截距即可得到答案。
(2)根据两种购票方式的收费规则，分别建立一次函数模型。甲方案是纯按次收费，费用与次数成正比例关系；乙方案是 “固定年卡费 + 折扣按次收费”，属于一次函数（含常数项），根据题意直接写出表达式即可。
(3)通过比较两个一次函数的函数值大小，分三种情况讨论不同次数下哪种购票方式更划算。核心是通过解一元一次方程找到费用相等的分界点，再通过解一元一次不等式，分别判断分界点前后哪种方案更省钱，从而得出不同次数下的最优购票策略
21．【答案】（1）证明：如图，
△ABC中，若 AB=AC，取 BC中点 D，则 BD=CD，连接 AD，在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD （SSS) ，
∴∠B=∠C
（2）30 或75 或120
（3）解：关系为AC+CD=2AH，证明如下：
如图，过点D作DE∥AC，交AB于点E。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60 ，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠ACB=60 ，
∴△BDE是等边三角形，BE=BD，
∴AB BE=BC BD，即AE=CD。
∵∠ACB=60 ，
∴∠ACB的外角为120 ，
∵CG平分该外角，
∴∠ACG=60 ，
∴∠DCG=60 +60 =120 ，
又∵∠AED=180 ∠BED=120 ，
∴∠AED=∠DCG。
∵∠ADG=60 ，∠EDB=60 ，
∴∠ADE+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60 ，
∴∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△GDC中：
∠AED=∠DCG，AE=CD，∠ADE=∠CDG
∴△ADE △GDC（ASA），
∴AD=GD。
在Rt△ADH和Rt△GDH中：
AD=GD，DH=DH
∴Rt△ADH Rt△GDH（HL），
∴AH=GH。
在Rt△GHC中，∠GCH=60 ，
∴∠CGH=30 ，
∴CH=CG，
又由△ADE △GDC，得CG=DE=BD，
∴CH=BD。
∵AC=BC=BD+CD，
∴BD=AC CD，
又∵AH=AC+CH=AC+BD， 代入BD=AC CD，
∴AH=AC+(AC CD)=
∴AC+CD=2AH。
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（2） ∵△ABC是等边三角形，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC，∠BAC=60 ， ∴∠DAC=30 。∵△PAD为轴对称图形，即△PAD为等腰三角形，
分三种情况讨论：情况 1：AD=AP 此时等腰△PAD中，顶角为∠PAD=30 ， ∴∠APD==75 。
情况 2：AD=PD 此时等腰△PAD中，底角为∠PAD=30 ， ∴∠APD=∠PAD=30 。
情况 3：AP=PD 此时等腰△PAD中，底角为∠PAD=30 ，∴∠APD=180 2×30 =120 。
故答案为：30 或75 或120 。
【分析】（1）基础证明：通过构造全等三角形，证明等腰三角形底角相等，巩固 SSS 全等判定；
（2）分类讨论：结合轴对称图形（等腰三角形）的性质，分三种情况讨论点P的位置，求出所有可能的∠APD；
（3）拓展探究：通过构造辅助线，证明两次全等三角形，推导出AH、AC、CD之间的数量关系
1 / 1贵州省贵阳市2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷
1．下列数中，能使不等式成立的x的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
观察各选项，只有，
故选：D．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
2．如图， ∠ACD是△ABC的外角， ∠A=75°， ∠ACD=135°，则∠B的度数为（　　)
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】
解：∵∠A=75 ，∠ACD=135 ；
∴∠B=135 75 =60 ；
∴∠B =60 。
故答案为：A
【分析】本题的核心解题思路是：识别∠ACD为三角形的外角，直接应用“三角形外角等于不相邻两内角之和”的定理，通过简单的减法运算即可求出未知内角∠B 的度数，无需复杂辅助线或多步推导。
3．如图，在△ABC中， AB=AC， AD⊥BC， BD=3，则 BC的长为（　　)
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵BD=3，
∴BC=2×3=6。
故答案为：C.
【分析】本题的解题思路是：先识别出△ABC是等腰三角形，再利用等腰三角形 “三线合一” 的性质，判断出AD是底边的中线，从而得出BC=2BD，直接计算出BC的长度
4．如图，已知传送带与水平面所成角度是 30°，如果它把物体送到离地面 5米高的地方，那么物体所经过的路程为（　　)米
A．5 B． C． D．10
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可知，设物体经过的路程（即传送带的斜边长度）为L米，物体离地面的高度为直角三角形中30 角所对的直角边，长度为5米。
∵在直角三角形中，有一角为30 ；
∴5=L；
∴L=10。
故答案为：D。
【分析】本题的解题思路是：将传送带的实际情境抽象为直角三角形模型，其中传送带与水平面的夹角为30 ，物体离地面的高度为30 角所对的直角边，物体经过的路程为斜边。利用“直角三角形中30 角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，直接求出斜边长度。
5．用反证法证明命题“在△ABC中， AB=AC，求证： ∠B<90°”，应先假设（　　)
A．∠B≥90° B．∠B>90° C．∠B≠90° D．AB≠AC
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是：∠B<90 。
∴它的反面是：∠B≥90 。
故答案为：A.
【分析】本题的解题思路是：掌握反证法的核心步骤就是反设，即先否定要证明的结论。要找 “∠B<90 ”的否定，需注意否定形式是 “≥” 而非 “>”，要包含等于的情况，因此直接得出假设为∠B≥90 。
6．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（　　)
A．x>-2 B．x≥2 C．-2【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由图可得：
∴x≥2
故答案为：B.
【分析】本题的解题思路是：先根据数轴表示规则，分别读出两个不等式的解集，再利用“同大取大”的口诀，找到两个解集的公共部分，即为不等式组的解集
7．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使文化广场到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　)
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作线段AC的垂直平分线和线段BC的垂直平分线，相交于点P，
∴PA=PB=PC
∴满足到 A、B、C 三点距离相等的点，是AC、BC 两边垂直平分线的交点，
故答案为：C.
【分析】本题主要是将实际问题转化为几何模型，核心需求是找到到三角形三个顶点距离相等的点。根据线段垂直平分线的性质，到两点距离相等的点在这两点连线的垂直平分线上，因此到三个顶点距离相等的点，就是任意两条边的垂直平分线的交点。
8．如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：当x＞-3时，函数图象在x轴上方
故不等式的解集是x＞-3.
故答案为：x＞-3.
【分析】观察函数图象在x轴上方时所对应的自变量x的取值范围即可得出答案。
9．如图， OP平分∠AOB， PC⊥OA于点 C，点 D在 OB上.若 OD=6， △POD的面积为 9，则 PC的长为（　　)
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PC=PE；
又∵△POD的面积为9，OD=6，
∴S△POD=ODPE=9
∴PE=3
∴PC=3。
故答案为：A.
【分析】本题主要是先利用角平分线的性质，得出点P到OB的距离等于PC的长度；再结合△POD的面积和底边长OD，通过三角形面积公式求出高PE的长度，进而得到PC的长度
10．如图，四个全等的直角三角形围成正方形和正方形，连接，交，于点M，N．已知，正方形的面积为，则图中非阴影部分的面积之和为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为24，
∴，，，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∴，
又∵四个三角形为全等的直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积之和，
故阴影部分的面积之和就是梯形的面积，
∴
，
图中非阴影部分的面积之和为 ，
故选：A．
【分析】根据正方形的面积可得正方形边长的平方，设，则，根据勾股定理可得的值，再根据题意可得，然后可得阴影部分的面积之和为梯形的面积．
11．若 x【答案】>
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：已知 x 2y
故答案为：> .
【分析】本题的解题思路是：直接应用不等式的基本性质，当不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向必须反向，从而判断出 2x与 2y的大小关系
12．马扎（图 1)是中国传统手工艺制品，可以合拢，方便携带.图 2为其侧面示意图，AB∥CD，AD与 BC交于点 O，若 AO=BO， ∠ABO=53°，则∠CDO的度数为　 　.
【答案】53°
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AO=BO，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠A=∠ABO，
∵∠ABO=53 ，
∴∠A=53 ，
∵AB∥CD，
∴∠CDO=∠A，
∴∠CDO=53 。
故答案为：53 .
【分析】本题的解题思路是：先利用等腰三角形的性质，由AO=BO和∠ABO=53 求出∠A的度数；再根据平行线的内错角相等，将∠CDO与∠A建立等量关系，从而求出∠CDO的度数。
13．如图， 在正五边形 ABCDE的内部作正三角形 ABF， 则∠EAF=　 　 °.
【答案】48
【知识点】等边三角形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵在正五边形ABCDE中，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，
∴内角和为：(5 2)×180 =540 ，
∴每个内角的度数为：540 5=108 ，即∠EAB=108 。
又∵△ABF是正三角形，
∴∠FAB=60 ，
∴∠EAF=∠EAB ∠FAB=108 60 =48 ，
故答案为：48 .
【分析】本题的解题思路是：先利用正多边形内角和公式求出正五边形的内角∠EAB，再利用正三角形的性质求出∠FAB，最后通过两个角的差，计算出∠EAF的度数
14．如图，等边三角形 ABD与等边三角形 CEF，点 A，B在边 EF上，EA=FB=2AB，点 D在△CEF内， 且. 则△CEF的边长为　 　 .
【答案】5
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接AC、CD交EF于G，
∵△ABD与△CEF为等边三角形，
∴AD=BD，EC=CF，∠ADB=60°，
∴点C、点D在线段EF的垂直平分线上。
∴CG是线段EF的垂直平分线。
∴CG⊥EF。
∴∠ADG=30°，
∴∠ADC=150°。
∵AP=PC，
∴∠PAD=∠APD，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD、
∵∠APD=180°-2∠PDA，
∠DPC=180°-2∠PDC
∴∠APD+∠DPC=360°-2（∠PDC+∠PDC）=60°，
∴△PCA为等边三角形。
∴AC=PC=，
设DA=x，
∴AB=AD=x，
∴AE=BF=2AB=2x，
∴EF=5x ，AG=，
在Rt△CEG中，CG=.
在Rt△ACG中，AC2=CG2+AG2，
，
解得，x=1，
∴EF=5，
∴△CEF的边长为5.
故答案为：5.
【分析】先连接AC、CD交EF于G，由△ABD与△CEF为等边三角形，证明CG是线段EF的垂直平分线由等腰三角形的性质求∠APC=60，进一步证明△PCA为等边三角形，得AC=，在Rt△CEG中，表示CG，进一步用勾股定理求AD长，最后求出△CEF的边长。
15．解不等式组： 并写出所有整数解.
解：解不等式①得 ▲ ，
解不等式②得 ▲ ，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为 ▲ ，
所以，原不等式组的整数解为 ▲ .
【答案】解：解不等式①得x≥1，
解不等式②得x<3，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集：
所以，原不等式组的解集为1≤x<3，
所以，原不等式组的整数解为1，2.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】本题的解题思路是：先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再通过数轴找出两个解集的公共部分，得到不等式组的解集，最后在解集中找出所有整数解。核心是掌握一元一次不等式的解法和不等式组解集的确定方法。
16．在△ABC中， AB=AC.
（1）利用直尺和圆规完成如下操作，作∠BAC的平分线和 AB 的垂直平分线，交点为 P （不写作法，保留作图痕迹)
（2）连接 PB，若∠ABC=70°，求∠ABP的度数.
【答案】（1）解：如图；
（2）解：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
即∠ABC=∠ACB=70 。
∴∠BAC=180 70 70 =40 ，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC=×40 =20 ，
∵点P在AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形，两底角相等，
∴∠ABP=∠BAP=20 。
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）掌握角平分线和线段垂直平分线的尺规作图方法，按步骤完成作图；
（2）先利用等腰三角形的性质求出顶角∠BAC，再结合角平分线的性质求出∠BAP，最后利用垂直平分线的性质（PA=PB），得到等腰△PAB，从而求出∠ABP的度数。
17．如图，是两个长度相同的梯子 BC与 EF靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度 AC与右边梯子水平方向的长度 DF相等.
（1） △ABC与△DEF全等吗 请说明理由.
（2）若 DF=3m，DE=6m，AD=2.6m，求线段 BF的长度.
【答案】（1）解：全等，理由如下：
由题意可知， AC=DF， BC=EF， ∠BAC=∠EDF=90°，
∴在 Rt△ABC和 Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL)
（2）解：由(1)中Rt△ABC Rt△DEF，
∴AB=DE=6 m；
∵DF=3 m，AD=2.6 m；
观察图形得：BF=AB+AD+DF
∴ BF=6+2.6+3=11.6 m。
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）先识别出两个直角三角形，再根据 “斜边和一条直角边对应相等” 的条件，用 HL 定理判定它们全等；
（2）利用全等三角形的性质得到对应边相等，再根据线段的和差关系，直接计算出BF的长度
18．为了让更多的同学参与到课外活动中去，某校计划购买羽毛球拍和乒乓球拍这两种体育用品.已知商店每副羽毛球拍的售价是 50元，每副乒乓球拍的售价是 42元，如果该要购进羽毛球拍和乒乓球拍共 100副，且总费用不超过 4500元，那么该校最多能购进羽毛球拍多少副
【答案】解：设该校购进羽毛球拍x副，则购进乒乓球拍(100 x)副
根据题意，总费用不超过 4500 元，
可列不等式：50x+42(100 x)≤4500
解这个不等式： 50x+4200 42x≤4500
8x+4200≤4500
8x≤4500 4200
8x≤300
x≤37.5
∵x为整数（球拍的数量必须是整数），
∴x的最大值为 37。
答：该校最多能购进羽毛球拍37副。
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【分析】根据题意，先设未知数，根据 “总费用不超过 4500 元” 的限制条件，列出一元一次不等式并求解不等式，从而得到未知数的取值范围，结合实际意义（球拍数量为整数），确定未知数的最大值，得到答案
19．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长.
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°
（2）解：∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质以及线段平行的性质即可求出∠F的度数。
（2）根据△EDC为等边三角形，即可得到答案。
20．为了吸引游客，某森林公园景区推出了甲、乙两种购票方式.
甲：按照次数收费，门票每人每次 25元.
乙：购买一张森林公园景区年卡后，门票每人每次按五折优惠.
设某人一年内去该森林公园景区的次数为 x，选择甲、乙两种购票方式所需费用分别为 y甲、yz元，且所需费用 y与次数 x的函数关系如图所示.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买一张森林公园景区年卡的费用为　 　元.
（2）直接写出选择甲、乙两种购票方式时，y关于 x的函数表达式.
（3）小明准备利用假期时间去森林公园景区完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算 请说明理由.
【答案】（1）100
（2）解：
（3）解：当小明去森林公园景区的次数小于 8时，选择甲种购票方式更划算；次数为 8时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；大于 8时，选择乙种购票方式更划算.
理由如下：
由（2）知
当 y甲即当小明去森林公园景区的次数小于 8时，选择甲种购票方式更划算；当 时， 解得 x=8，
即当小明去森林公园景区的次数为8时，选择甲、乙两种购票方式同样划算；当 时， 解得 x>8，
即当小明去森林公园景区的次数大于 8时，选择乙种购票方式更划算
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（1）由函数图象可知，当x=0（未去景区）时，乙方案的费用为100元，这部分费用即为购买年卡的固定成本，因此购买一张森林公园景区年卡的费用为100 元。
故答案为：100.
（2）甲方案：按次收费，每次 25 元，因此费用与次数的关系为：=25x(x≥0，且x为整数)；
乙方案：先购买 100 元年卡，再享受每次门票五折优惠（25×0.5=12.5=元/次），因此费用与次数的关系为：=x+100 (x≥0，且x为整数)。
【分析】(1)从函数图象中提取关键信息，当自变量x=0（未产生消费次数）时，乙方案的初始费用即为年卡的固定成本，直接读取图像纵轴截距即可得到答案。
(2)根据两种购票方式的收费规则，分别建立一次函数模型。甲方案是纯按次收费，费用与次数成正比例关系；乙方案是 “固定年卡费 + 折扣按次收费”，属于一次函数（含常数项），根据题意直接写出表达式即可。
(3)通过比较两个一次函数的函数值大小，分三种情况讨论不同次数下哪种购票方式更划算。核心是通过解一元一次方程找到费用相等的分界点，再通过解一元一次不等式，分别判断分界点前后哪种方案更省钱，从而得出不同次数下的最优购票策略
21．如图
完成下列各题：
（1）问题的提出：如图 1，在△ABC中， AB=AC，请你运用所学的全等知识，证明： ∠B=∠C.
（2）知识的运用：如图 2，已知△ABC是等边三角形，若 D是 BC边的中点，点 P在射线 AC上，若△PAD为轴对称图形，则∠APD的度数为　 　.
（3）拓展延伸：如图 3，已知△ABC是等边三角形，若 D在 BC边上， ∠ADG=60°， DG与∠ACB的外角平分线交于点 于点 H，求 AH、AC、CD之间的关系.
【答案】（1）证明：如图，
△ABC中，若 AB=AC，取 BC中点 D，则 BD=CD，连接 AD，在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD （SSS) ，
∴∠B=∠C
（2）30 或75 或120
（3）解：关系为AC+CD=2AH，证明如下：
如图，过点D作DE∥AC，交AB于点E。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60 ，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠ACB=60 ，
∴△BDE是等边三角形，BE=BD，
∴AB BE=BC BD，即AE=CD。
∵∠ACB=60 ，
∴∠ACB的外角为120 ，
∵CG平分该外角，
∴∠ACG=60 ，
∴∠DCG=60 +60 =120 ，
又∵∠AED=180 ∠BED=120 ，
∴∠AED=∠DCG。
∵∠ADG=60 ，∠EDB=60 ，
∴∠ADE+∠ADG=∠CDG+∠ADG=60 ，
∴∠ADE=∠CDG。
在△ADE和△GDC中：
∠AED=∠DCG，AE=CD，∠ADE=∠CDG
∴△ADE △GDC（ASA），
∴AD=GD。
在Rt△ADH和Rt△GDH中：
AD=GD，DH=DH
∴Rt△ADH Rt△GDH（HL），
∴AH=GH。
在Rt△GHC中，∠GCH=60 ，
∴∠CGH=30 ，
∴CH=CG，
又由△ADE △GDC，得CG=DE=BD，
∴CH=BD。
∵AC=BC=BD+CD，
∴BD=AC CD，
又∵AH=AC+CH=AC+BD， 代入BD=AC CD，
∴AH=AC+(AC CD)=
∴AC+CD=2AH。
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（2） ∵△ABC是等边三角形，D是BC中点， ∴AD平分∠BAC，且AD⊥BC，∠BAC=60 ， ∴∠DAC=30 。∵△PAD为轴对称图形，即△PAD为等腰三角形，
分三种情况讨论：情况 1：AD=AP 此时等腰△PAD中，顶角为∠PAD=30 ， ∴∠APD==75 。
情况 2：AD=PD 此时等腰△PAD中，底角为∠PAD=30 ， ∴∠APD=∠PAD=30 。
情况 3：AP=PD 此时等腰△PAD中，底角为∠PAD=30 ，∴∠APD=180 2×30 =120 。
故答案为：30 或75 或120 。
【分析】（1）基础证明：通过构造全等三角形，证明等腰三角形底角相等，巩固 SSS 全等判定；
（2）分类讨论：结合轴对称图形（等腰三角形）的性质，分三种情况讨论点P的位置，求出所有可能的∠APD；
（3）拓展探究：通过构造辅助线，证明两次全等三角形，推导出AH、AC、CD之间的数量关系
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