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2026年广西南宁市初中毕业班质量调研(一模)数学
1．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（　　）
A． B． C． D．
2． 南宁青秀山风景区某日入园游客约234200人次，数据234200用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
5． 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．体育课上，小冬的铅球成绩是，他投出的铅球落在的区域是（　　）
A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D
7．一个六边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
8． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，射线的方向是北偏东，若射线与射线垂直，则射线的方向是（　　）
A．北偏西 B．西北方向 C．北偏西 D．西偏北
11． 《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少. 现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当x=40时，y=15，则下列说法错误的是
A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数
B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加
C．当x=50时，平均每人分到粮食12千克
D．这批粮食总量有500千克
12．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，数轴上点表示数，将点向右平移个单位长度后表示的数是　 　．
14． 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是　 　调查（填“全面”或“抽样”).
15．若n为正整数，且满足，则　 　．
16．如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；
②分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧在右侧相交于点E；
③作射线，交边于点F．根据作图，的值是　 　．
17．计算与解不等式
（1）计算：；
（2）解不等式：．
18．如图，与相交于点O，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花．
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克．
20．为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛，现从七、八、九年级各随机抽取10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分）如下：
【收集数据】
七年级代表队：9，8，9，9，10，7，10，9，9，10；
八年级代表队：8，9，9，10，8，9，10，9，10，8；
九年级代表队：8，8，9，8，10，9，10，8，10，10．
【整理数据】
代表队 平均数 中位数 众数 方差
七年级代表队 9 9 m 0.8
八年级代表队 9 9 9
九年级代表队 9 n 8和10 0.8
【分析数据】
（1）填空：m的值为________，n的值为________；
（2）计算八年级代表队竞赛成绩的方差；
【评估结果】
（3）现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度，评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优．请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序）．
21．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定．
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为．
【求解模型】
（1）求；
（2）求第一根品丝的有效弦长及．
【检验模型】
（3）制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由．
22．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点．
（1）如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形；
（2）如图2，当时，交于点，以为直径作经过点．
①求的长；
②求证：是的切线；
（3）当点落在的三等分线上时，请直接写出的长．
23．【研究内容】二次积点函数
将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为．
【特殊感知】
（1）一次函数的图象经过点，，完成下列问题：
①求y的解析式；
②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标；
【探索求证】
（2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵水位升高时水位变化记作，
∴水位下降时水位变化记作．
故选：D．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：A、a=0.2342＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.342 满足1≤a<10的要求，且n=5 ，正确；
C、a=2.342满足要求，但 n=4错误，2.342×104=23420，比原数少一个0，错误；
D、a=2342＞10，不满足a＜10的要求，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查科学记数法，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数234200，确定a的值应为2.342，再根据小数点向左移动的位数确定n的值为5.
3．【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A．
【分析】根据面动成体，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线作为旋转轴，而另一条直角边和斜边在旋转的过程中分别形成圆锥的底面半径和母线，据此可得答案.
4．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时．
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，
∴选到“篮球”的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题是一个古典概型的问题，已知有“编程、书法、篮球”3门选修课，小明随机选1门，所以所有可能的选择结果一共有3种，且每种选择的可能性相等，题目要求选到“篮球”，符合这个条件的情况只有1种，故根据概率公式.
6．【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：观察图中信息，且结合，
∴小冬投出的铅球落在的区域是区域D．
故答案为：D
【分析】结合图形即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：A.
【分析】选项A：“与”是同类项，根据合并同类项法则“系数相加减，字母及字母的指数不变”，判断该计算结果正确；
选项B：“”是幂的乘方，法则为“底数不变，指数相乘”，因此选项B结果错误；
选项C：“”是积的乘方，法则为”将每一个因式分别乘方再相乘”，因此选项C结果错误；
选项D：“”是同底数幂相乘，法则为“底数不变，指数相加”，因此选项D结果错误.
9．【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，
又∵点的坐标为，即，
∴对称点的坐标为．
故答案为：B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
∵射线与射线垂直，
∴，
∴，
故射线的方向是北偏西．
故答案为：A
【分析】根据角之间的关系，结合方位角即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设粮食总量为k千克，依题可列，
∵当x=40时，y=15，
∴，解得k=600，
∴；
A、平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，正确；
B、根据反比例函数性质：当k>0时，y随x的增大而减小，所以当x越小时，y越大，正确；
C、当x=50时，，正确；
D、因为k=600，所以这批粮食总量有600千克，错误.
故答案为：D.
【分析】本题以古代“均赋”思想为背景，考查反比例函数的识别与计算.关键在于利用“总量固定”建立模型，求出k=600，逐一判断即可找出错误选项 D.
12．【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：依题意，
解得：
又∵
∴
故答案为：B
【分析】根据矩形面积建立方程，化简即可求出答案.
13．【答案】3
【知识点】平移的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：将点向右平移个单位长度后表示的数是．故答案为：3
【分析】根据数轴上点的平移性质：右加左减即可求出答案.
14．【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本题调查目的为“某品牌新能源汽车的抗撞击能力”，抗撞击能力测试通常需要进行破坏性试验（如碰撞测试），如果对每一辆汽车都进行测试，所有被测试的汽车都会被损坏，无法再销售或使用.全面调查（普查）在实际操作中不可行且成本极高；对于具有破坏性的调查，通常采用抽样调查，用样本估计整体情况.
故答案为：抽样.
【分析】解答本题先应明确“全面调查”、“抽样调查”的概念.本题的关键词是“抗撞击能力”，暗示了破坏性测试，因此必须选择抽样调查.这类问题判断依据通常是：调查是否具有破坏性，以及总体是否过大.
15．【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
即，
又∵，为正整数，
∴，
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴；
由作图得，，垂直平分，
∴平分，
连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，由作图得，，垂直平分，则平分，连接，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
18．【答案】（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：在中，，，
∴．
由（1）知，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠A，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：在中，，，
∴．
由（1）知，，
．
19．【答案】（1）；
（2）解：依题意，得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
智能采摘机器人平均每天采摘量：．
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；
采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）；
故答案为：；
【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，建立代数式即可求出答案.
（2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；
采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）；
（2）解：依题意，得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
智能采摘机器人平均每天采摘量：．
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克．
20．【答案】(1)；
（2）解：依题意，方差；
（3）解：依题意，七年级代表队，八年级代表队和九年级代表队的成绩的平均数都是分，
∵八年级代表队的成绩的方差为，七年级代表队和九年级代表队的成绩的方差为，且，
∴相对于七年级和九年级，八年级学生更了解防溺水知识；
∵七年级和九年级的成绩的平均数，方差都是相同的，且九年级的竞赛成绩大于平均数分的人数较多，
∴相对于七年级，九年级学生更了解防溺水知识；
故了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：七年级代表队的成绩为分出现次数最多，故众数；
依题意，把九年级代表队的成绩从小到大排序后，排在中间位置的分数是第名和第名
∴中位数；
故答案为：9；9
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义即可求出答案.
（3）根据个统计量的意义即可求出答案.
21．【答案】解：，
．
又，
．
．
（2）
解：由（1）得，
，
，即．
解得．
在中，．
（3）
解：合格，理由如下：
，
．
在中，
．
．
．
，
∴该品丝合格．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）由（1）得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得P1B，再根据正切定义即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得P2B，解直角三角形可得P2Q2，根据边之间的关系可得P3B，再比较即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
关于直线对称
四边形是矩形；
（2）解：①由（1）知，
∴，，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：，即；
②如图，过圆心作直线于点，交于点
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
又∵是的中点
∴是的中位线
∴
∴
在中，
∴，即为的半径
又∵
∴是的切线；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图所示，当时，
∴
关于直线对称
∴
∵
∴；
如图所示，当时，延长交于点，
关于直线对称
，，
∴
∴
设，则，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：，即
综上所述，当点落在的三等分线上时，或．
【分析】（1）根据矩形性质可得，根据对称性质可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）①根据全等三角形性质可得，，，，再根据矩形性质可得，则，即，根据等角对等边可得，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
②过圆心作直线于点，交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，即，再根据三角形中位线定理可得ON，根据边之间的关系可得OM，再根据勾股定理可得BE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，根据角之间的关系可得∠ABF，根据对称性质可得，再根据正切定义即可求出答案；当时，延长交于点，根据对称性质可得，，，则，设，则，根据正切定义可得FG，再根据边之间的关系可得BG，再根据余弦定义可得BG，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是矩形
关于直线对称
四边形是矩形；
（2）解：①由（1）知，
∴，，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：，即；
②如图，过圆心作直线于点，交于点
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
又∵是的中点
∴是的中位线
∴
∴
在中，
∴，即为的半径
又∵
∴是的切线；
（3）解：如图所示，当时，
∴
关于直线对称
∴
∵
∴；
如图所示，当时，延长交于点，
关于直线对称
，，
∴
∴
设，则，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：，即
综上所述，当点落在的三等分线上时，或．
23．【答案】解：①一次函数的图象经过点，，
根据题意得，
解得
∴y的解析式为．
②二次积点函数为，
．
∴顶点坐标为．
（2）
解：∵二次积点函数为，
由，整理得，
，
．
∴该方程总有实数根．
∴y与其二次积点函数的图象必有交点．
（3）
解：的二次积点函数为，
由，解得，，
∴交点A，B坐标分别为，；
又C为，
为直角三角形．
；
∴的长为外接圆的直径d，
，
当时，或，
当时，或，
，
∴抛物线开口向上，
又抛物线的对称轴为，
①当时，随b的增大而增大，
∴当，即时，，
②当时，随b的增大而减小，
∴当，即时，，
综上，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点，，代入解析式即可求出答案.
②根据根据二次积点函数定义得，再转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）联立二次积点函数与一次函数解析式可得关于x的二次方程，再根据判别式，可得方程有解，即y与其二次积点函数的图象必有交点．
（3）联立二次积点函数与一次函数解析式可得关于x的二次方程，解方程可得交点A，B坐标分别为，，根据直角三角形判定定理可得为直角三角形，，则的长为外接圆的直径d，根据勾股定理求出d，b，分情况讨论，结合二次函数的性质即可求出答案.
1 / 12026年广西南宁市初中毕业班质量调研(一模)数学
1．如果水位升高时水位变化记作，那么水位下降时水位变化记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵水位升高时水位变化记作，
∴水位下降时水位变化记作．
故选：D．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2． 南宁青秀山风景区某日入园游客约234200人次，数据234200用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：A、a=0.2342＜1，不满足a≥1的要求，错误；
B、 a=2.342 满足1≤a<10的要求，且n=5 ，正确；
C、a=2.342满足要求，但 n=4错误，2.342×104=23420，比原数少一个0，错误；
D、a=2342＞10，不满足a＜10的要求，错误.
故答案为：B.
【分析】本题考查科学记数法，需熟知科学记数法的表示形式为“”，其中，n为整数.对于原数234200，确定a的值应为2.342，再根据小数点向左移动的位数确定n的值为5.
3．如图，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点、线、面、体及之间的联系
【解析】【解答】解：根据题意，得将直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周后形成的几何体是圆锥，
故答案为：A．
【分析】根据面动成体，将直角三角形绕它的一条直角边所在直线作为旋转轴，而另一条直角边和斜边在旋转的过程中分别形成圆锥的底面半径和母线，据此可得答案.
4．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时．
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
5． 小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，选到“篮球”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：∵小明准备在编程、书法、篮球三门选修课中随机选择一门参加，
∴选到“篮球”的概率为，
故答案为：B.
【分析】本题是一个古典概型的问题，已知有“编程、书法、篮球”3门选修课，小明随机选1门，所以所有可能的选择结果一共有3种，且每种选择的可能性相等，题目要求选到“篮球”，符合这个条件的情况只有1种，故根据概率公式.
6．体育课上，小冬的铅球成绩是，他投出的铅球落在的区域是（　　）
A．区域A B．区域B C．区域C D．区域D
【答案】D
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：观察图中信息，且结合，
∴小冬投出的铅球落在的区域是区域D．
故答案为：D
【分析】结合图形即可求出答案.
7．一个六边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得：，
故选：C．
【分析】根据多边形内角和即可求出答案.
8． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A正确；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D错误.
故答案为：A.
【分析】选项A：“与”是同类项，根据合并同类项法则“系数相加减，字母及字母的指数不变”，判断该计算结果正确；
选项B：“”是幂的乘方，法则为“底数不变，指数相乘”，因此选项B结果错误；
选项C：“”是积的乘方，法则为”将每一个因式分别乘方再相乘”，因此选项C结果错误；
选项D：“”是同底数幂相乘，法则为“底数不变，指数相加”，因此选项D结果错误.
9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，
又∵点的坐标为，即，
∴对称点的坐标为．
故答案为：B
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
10．如图，射线的方向是北偏东，若射线与射线垂直，则射线的方向是（　　）
A．北偏西 B．西北方向 C．北偏西 D．西偏北
【答案】A
【知识点】方位角
【解析】【解答】解：依题意，如图所示：
∵射线与射线垂直，
∴，
∴，
故射线的方向是北偏西．
故答案为：A
【分析】根据角之间的关系，结合方位角即可求出答案.
11． 《九章算术》中记载了古代“均赋”思想：当物资总量一定时，分摊的人数越多，平均每人分到的数量越少. 现有一批粮食总量固定，设分摊人数为x人，平均每人分到粮食为y千克，且当x=40时，y=15，则下列说法错误的是
A．平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数
B．当分摊人数减少时，平均每人分到粮食的数量增加
C．当x=50时，平均每人分到粮食12千克
D．这批粮食总量有500千克
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设粮食总量为k千克，依题可列，
∵当x=40时，y=15，
∴，解得k=600，
∴；
A、平均每人分到的粮食数量y是分摊人数x的反比例函数，正确；
B、根据反比例函数性质：当k>0时，y随x的增大而减小，所以当x越小时，y越大，正确；
C、当x=50时，，正确；
D、因为k=600，所以这批粮食总量有600千克，错误.
故答案为：D.
【分析】本题以古代“均赋”思想为背景，考查反比例函数的识别与计算.关键在于利用“总量固定”建立模型，求出k=600，逐一判断即可找出错误选项 D.
12．如图是一张边长为a的正方形纸片，先沿某一方向剪去一个宽为2的矩形，再沿另一方向剪去一个宽为x的矩形，两次剪下的矩形面积恰好相等，则b可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：依题意，
解得：
又∵
∴
故答案为：B
【分析】根据矩形面积建立方程，化简即可求出答案.
13．如图，数轴上点表示数，将点向右平移个单位长度后表示的数是　 　．
【答案】3
【知识点】平移的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：将点向右平移个单位长度后表示的数是．故答案为：3
【分析】根据数轴上点的平移性质：右加左减即可求出答案.
14． 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是　 　调查（填“全面”或“抽样”).
【答案】抽样
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：本题调查目的为“某品牌新能源汽车的抗撞击能力”，抗撞击能力测试通常需要进行破坏性试验（如碰撞测试），如果对每一辆汽车都进行测试，所有被测试的汽车都会被损坏，无法再销售或使用.全面调查（普查）在实际操作中不可行且成本极高；对于具有破坏性的调查，通常采用抽样调查，用样本估计整体情况.
故答案为：抽样.
【分析】解答本题先应明确“全面调查”、“抽样调查”的概念.本题的关键词是“抗撞击能力”，暗示了破坏性测试，因此必须选择抽样调查.这类问题判断依据通常是：调查是否具有破坏性，以及总体是否过大.
15．若n为正整数，且满足，则　 　．
【答案】2
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
即，
又∵，为正整数，
∴，
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
16．如图，在中，，，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；
②分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧在右侧相交于点E；
③作射线，交边于点F．根据作图，的值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴；
由作图得，，垂直平分，
∴平分，
连接，则，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，由作图得，，垂直平分，则平分，连接，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
17．计算与解不等式
（1）计算：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
18．如图，与相交于点O，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：在中，，，
∴．
由（1）知，，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠A，再根据全等三角形性质即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
．
（2）解：在中，，，
∴．
由（1）知，，
．
19．为了缓解茉莉花采摘中的劳动力短缺及降低生产成本，茉莉园引进智能采摘机器人．已知一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍，用一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天．设一个工人平均每天可采摘x千克茉莉花．
（1）用含x的式子填空：一台智能采摘机器人平均每天可采摘________千克茉莉花；一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花需要________天；
（2）求一台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花多少千克．
【答案】（1）；
（2）解：依题意，得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
智能采摘机器人平均每天采摘量：．
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；
采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）；
故答案为：；
【分析】（1）根据一台智能采摘机器人平均每天采摘量是一个工人平均每天采摘量的5倍可得一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；采摘200千克茉莉花需要的时间=总重量÷每天采摘量，建立代数式即可求出答案.
（2）根据“一台智能采摘机器人采摘200千克茉莉花比4个工人采摘这些茉莉花要少用1天”列分式方程，解方程即可求出答案.
（1）解：根据题意得：一台智能采摘机器人平均每天可采摘千克茉莉花；
采摘200千克茉莉花需要的时间为（天）；
（2）解：依题意，得，
解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
智能采摘机器人平均每天采摘量：．
答：这台智能采摘机器人平均每天可采摘茉莉花50千克．
20．为加强学生防溺水安全教育，某校组织开展“平安防溺，知识争先”主题安全知识竞赛，现从七、八、九年级各随机抽取10名学生组成年级代表队参赛，竞赛满分为10分，各代表队参赛学生成绩（单位：分）如下：
【收集数据】
七年级代表队：9，8，9，9，10，7，10，9，9，10；
八年级代表队：8，9，9，10，8，9，10，9，10，8；
九年级代表队：8，8，9，8，10，9，10，8，10，10．
【整理数据】
代表队 平均数 中位数 众数 方差
七年级代表队 9 9 m 0.8
八年级代表队 9 9 9
九年级代表队 9 n 8和10 0.8
【分析数据】
（1）填空：m的值为________，n的值为________；
（2）计算八年级代表队竞赛成绩的方差；
【评估结果】
（3）现根据各代表队的成绩，评估三个年级对防溺水知识的了解程度，评估方式如下：首先比较平均数，平均数较大的年级更优；若平均数相等，则比较方差，方差较小的年级更优；若平均数、方差都相等，则竞赛成绩大于平均数的人数较多的年级更优．请直接写出三个年级对防溺水知识了解程度的顺序（按由高到低排序）．
【答案】(1)；
（2）解：依题意，方差；
（3）解：依题意，七年级代表队，八年级代表队和九年级代表队的成绩的平均数都是分，
∵八年级代表队的成绩的方差为，七年级代表队和九年级代表队的成绩的方差为，且，
∴相对于七年级和九年级，八年级学生更了解防溺水知识；
∵七年级和九年级的成绩的平均数，方差都是相同的，且九年级的竞赛成绩大于平均数分的人数较多，
∴相对于七年级，九年级学生更了解防溺水知识；
故了解程度由高到低的顺序为：八年级，九年级，七年级．
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：七年级代表队的成绩为分出现次数最多，故众数；
依题意，把九年级代表队的成绩从小到大排序后，排在中间位置的分数是第名和第名
∴中位数；
故答案为：9；9
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据方差的定义即可求出答案.
（3）根据个统计量的意义即可求出答案.
21．综合与实践：数学与音乐
【问题背景】制作尤克里里
尤克里里是一种小巧的弹拨乐器，它的结构如图1所示，弹奏时，琴弦的振动频率与有效弦长密切相关，而有效弦长由品丝位置决定．
【建立模型】
小州设计了如下确定品丝（如图1的）位置的方法：如图2，设琴枕为点A，弦桥为点B，则完整琴弦为，以为直角边构造，在上截取．，在处确定第一根品丝，则第一根品丝的对应有效弦长为，过作交于点，接着在上截取，在处设计第二根品丝，则第二根品丝的对应有效弦长为，以此类推确定后续品丝位置．在制作过程中，为了让发音和谐，根据十二平均律，小州取长为，长为．
【求解模型】
（1）求；
（2）求第一根品丝的有效弦长及．
【检验模型】
（3）制作完成后，经实际测量第三根品丝的位置到弦桥B的长度约为，若允许偏差是，请判断该品丝是否合格，并说明理由．
【答案】解：，
．
又，
．
．
（2）
解：由（1）得，
，
，即．
解得．
在中，．
（3）
解：合格，理由如下：
，
．
在中，
．
．
．
，
∴该品丝合格．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）由（1）得，根据边之间的关系建立方程，解方程可得P1B，再根据正切定义即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得P2B，解直角三角形可得P2Q2，根据边之间的关系可得P3B，再比较即可求出答案.
22．综合与探究
图形的变化强调从运动变化的观点来研究图形，通过轴对称变换研究图形关系，体会图形的变化规律和变化中的不变量．下面我们来探究以下问题：
在矩形中，，，点是边上一动点，连接，作关于直线对称的，点的对称点为点．
（1）如图1，当点落在边上时，求证：四边形是矩形；
（2）如图2，当时，交于点，以为直径作经过点．
①求的长；
②求证：是的切线；
（3）当点落在的三等分线上时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形
关于直线对称
四边形是矩形；
（2）解：①由（1）知，
∴，，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：，即；
②如图，过圆心作直线于点，交于点
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
又∵是的中点
∴是的中位线
∴
∴
在中，
∴，即为的半径
又∵
∴是的切线；
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（3）解：如图所示，当时，
∴
关于直线对称
∴
∵
∴；
如图所示，当时，延长交于点，
关于直线对称
，，
∴
∴
设，则，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：，即
综上所述，当点落在的三等分线上时，或．
【分析】（1）根据矩形性质可得，根据对称性质可得，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）①根据全等三角形性质可得，，，，再根据矩形性质可得，则，即，根据等角对等边可得，设，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
②过圆心作直线于点，交于点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，即，再根据三角形中位线定理可得ON，根据边之间的关系可得OM，再根据勾股定理可得BE，再根据切线判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当时，根据角之间的关系可得∠ABF，根据对称性质可得，再根据正切定义即可求出答案；当时，延长交于点，根据对称性质可得，，，则，设，则，根据正切定义可得FG，再根据边之间的关系可得BG，再根据余弦定义可得BG，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是矩形
关于直线对称
四边形是矩形；
（2）解：①由（1）知，
∴，，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴
∴
设，则，
在中，
∴
解得：，即；
②如图，过圆心作直线于点，交于点
∴
∴四边形是矩形
∴，
∴
又∵是的中点
∴是的中位线
∴
∴
在中，
∴，即为的半径
又∵
∴是的切线；
（3）解：如图所示，当时，
∴
关于直线对称
∴
∵
∴；
如图所示，当时，延长交于点，
关于直线对称
，，
∴
∴
设，则，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：，即
综上所述，当点落在的三等分线上时，或．
23．【研究内容】二次积点函数
将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为．
【特殊感知】
（1）一次函数的图象经过点，，完成下列问题：
①求y的解析式；
②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标；
【探索求证】
（2）猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围．
【答案】解：①一次函数的图象经过点，，
根据题意得，
解得
∴y的解析式为．
②二次积点函数为，
．
∴顶点坐标为．
（2）
解：∵二次积点函数为，
由，整理得，
，
．
∴该方程总有实数根．
∴y与其二次积点函数的图象必有交点．
（3）
解：的二次积点函数为，
由，解得，，
∴交点A，B坐标分别为，；
又C为，
为直角三角形．
；
∴的长为外接圆的直径d，
，
当时，或，
当时，或，
，
∴抛物线开口向上，
又抛物线的对称轴为，
①当时，随b的增大而增大，
∴当，即时，，
②当时，随b的增大而减小，
∴当，即时，，
综上，或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的外接圆与外心；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）①根据待定系数法将点，，代入解析式即可求出答案.
②根据根据二次积点函数定义得，再转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）联立二次积点函数与一次函数解析式可得关于x的二次方程，再根据判别式，可得方程有解，即y与其二次积点函数的图象必有交点．
（3）联立二次积点函数与一次函数解析式可得关于x的二次方程，解方程可得交点A，B坐标分别为，，根据直角三角形判定定理可得为直角三角形，，则的长为外接圆的直径d，根据勾股定理求出d，b，分情况讨论，结合二次函数的性质即可求出答案.
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