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2026年广东省广州市二模模拟试卷九年级数学
一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．计算的结果为（　　）
A． B． C．1 D．5
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．鹊桥二号中继星成功减速并进入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功．请你把数据440万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：440万即4400000，
∴，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．在①；②；③；④中，计算结果为的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：因为，，，计算结果为的有2个．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．中国初创企业“深度求索”公司， 其自主研发的人工智能 () 大语言模型，凭借“好用、 开源、 免费”三大特点， 在全球范围内引发热烈反响． 公司记录了7名工程师在某项任务中编写代码的行数， 数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、 众数和平均数分别是（　　）
A．30， 25， 30 B．35， 25，
C．30， 25， D．25， 30， 35
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数为：30，众数为：25，平均数为：，
故选：．
【分析】根据中位数，众数，平均数的定义即可求出答案.
5．如图，在中，D，E分别是的中点，点F是上的一点，且，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：A
【分析】根据三角形中位线定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故选：C．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
7．将多项式分解因式，结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故选：D．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
8．体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设小亮的速度是米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故选B．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．如图，等边的顶点，分别在函数图象的两个分支上，且经过原点．当点在函数的图象上移动时，顶点始终在函数的图象上移动，则的值为（　　）
A．6 B．9 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：函数图象关于原点对称，
，
连接，过作轴于，过作轴于，
是等边三角形，
，
，，
，
设，则，，
轴，轴，
，
，
，
，
顶点在函数图象的两个分支上，
，
，
顶点始终在函数的图象上，
，
故选：B．
【分析】根据反比例函数的对称性可得，连接，过作轴于，过作轴于，根据等边三角形性质可得，，设，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理看的，则，再根据反比例函数k的几何意义可得，则，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
10．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数与函数不具有“对偶关系”；
②函数与函数的“对偶值”为；
③若1是函数与函数的“对偶值”，则：
④若函数与函数具有“对偶关系”，则．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①设函数上点坐标轴为 ，
∵关于轴对称
∴点坐标为
若点或点的纵坐标称相等，
∴解得：，
则存在这样的点，使得他们关于轴对称，
∴函数与函数具有“对偶关系”
所以①错误；故不符合题意；
②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意；
③当时，则，解得；
因为是函数与函数的“对偶值”，
所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意；
④设点坐标为，则点坐标为 ，
∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等
∴，整理得，
∵，对于函数，y随m的增大而增大，
当时，；
当时，；
∴，而不是，所以④错误，故不符合题意；
故选：B.
【分析】根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
11．化简　 　．
【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：，
，
．
【分析】根据实数的绝对值即可求出答案.
12．在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：中，
，
解得．
即自变量的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
13．“如果，那么，”的逆命题为：　 　．
【答案】如果，，那么
【知识点】逆命题；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：“如果，那么，”的逆命题为：如果，，那么．
故答案为： 如果，，那么．
【分析】根据逆命题的定义即可求出答案.
14．如图，在五边形中，点M，N分别在边，上．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
六边形的内角和为：，
．
故答案为：．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
15．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定；切线的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据切线性质可得，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据正切定义即可求出答案.
16．如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为　 　．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当点M在线段上时，过点B作于点H，连接，
在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
如图，当点M在直线上时，过点B作于点H，连接，
在平行四边形中，，
∴，
∴，即此时点M与点H重合，
∵垂直平分，
∴，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：当点M在线段上时，过点B作于点H，连接，根据平行四边形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AH，根据勾股定理可得BH，BM，再根据边之间的关系即可求出答案；当点M在直线上时，过点B作于点H，连接，根据平行四边形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AH，再根据勾股定理可得BH，再根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，满分72分）
17．计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0
【答案】解：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0=+3﹣1=2+2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
19．矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当平分时，求证：．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
．
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中点，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得AE=DE，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，根据矩形性质可得，，则，即，再根据等角对等边可得，再根据线段中点，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：四边形是矩形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
．
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中点，
，
∴．
20．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
【答案】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：
，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣a）×=900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，列式计算即可求出答案.
21．2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．
【答案】（1），
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量为，
故答案为：50
【分析】（1）根据3D打印的人数与占比可得总人数，求出无人机社团人数，再补全图形即可.
（2）根据1000乘以机器人社团的学生人数占比即可求出答案.
（3）根据统计量的意义即可求出答案.
（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）．
22．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．
（1）如图①，求∠BOD及∠A的大小；
（2）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．
【答案】（1）解：∵点C，D是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为，圆周角为
∴，，
∴，．
（2）解：如图，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据半圆所对的圆心角为，半圆所对的圆周角为求解即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）∵点C，D是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为，圆周角为
∴，，
∴，．
（2）如图，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的长为．
23．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______；
（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度．
【答案】（1）11.3
（2）11.2
（3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G，
由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，
则，
故答案为∶11.3；
（2）解：
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，即，
解得，
则旗杆高度为11.2米
故答案为∶11.2；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，结合平行投影即可求出答案.
（2）由反射定律可知，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）过点D作，垂足为点H，交于点G，由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，根据边之间的关系可得CG，DH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，
则，
故答案为∶11.3；
（2）解：
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，即，
解得，
则旗杆高度为11.2米
故答案为∶11.2；
（3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G，
由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
24．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）若该函数图象经过点，求点的横坐标；
（2）若，点和在该函数图象上，证明：；
（3）若是等腰三角形，求的值．
【答案】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式可得二次函数为，再根据对称轴公式可得点A的横坐标.
（2）将点P，Q坐标代入解析式可得y1，y2，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，将解析式转换为顶点式，可得顶点，，根据两点间距离可得AB，BC，AC，再根据等腰三角形性质分类讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
25．某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长．
【答案】（1）2；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，分别是正方形、的对角线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴正方形的边长为：．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAC，∠PAQ，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，根据正方形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据正方形性质可得AQ，BP，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 12026年广东省广州市二模模拟试卷九年级数学
一、单选题（本大题共10题，每题3分，满分30分）
1．计算的结果为（　　）
A． B． C．1 D．5
2．2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．鹊桥二号中继星成功减速并进入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功．请你把数据440万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．在①；②；③；④中，计算结果为的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．中国初创企业“深度求索”公司， 其自主研发的人工智能 () 大语言模型，凭借“好用、 开源、 免费”三大特点， 在全球范围内引发热烈反响． 公司记录了7名工程师在某项任务中编写代码的行数， 数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、 众数和平均数分别是（　　）
A．30， 25， 30 B．35， 25，
C．30， 25， D．25， 30， 35
5．如图，在中，D，E分别是的中点，点F是上的一点，且，则的长是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，的半径为2，直径、互相垂直，则弧的长是（　　）
A． B． C． D．
7．将多项式分解因式，结果为（　　）
A． B． C． D．
8．体育测试中，小明和小亮进行1500米跑测试，小明的速度是小亮的1.25倍，比小亮少用了1分钟，设小亮的速度是米/秒，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，等边的顶点，分别在函数图象的两个分支上，且经过原点．当点在函数的图象上移动时，顶点始终在函数的图象上移动，则的值为（　　）
A．6 B．9 C．2 D．3
10．若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：
①函数与函数不具有“对偶关系”；
②函数与函数的“对偶值”为；
③若1是函数与函数的“对偶值”，则：
④若函数与函数具有“对偶关系”，则．
其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
11．化简　 　．
12．在函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．“如果，那么，”的逆命题为：　 　．
14．如图，在五边形中，点M，N分别在边，上．若，则的度数为　 　．
15．如图，与相切于点，连接，过点作的垂线，交于点，连接，交线段于点．若，则的值为　 　．
16．如图，在平行四边形中，，点P为射线上一动点，连接，点M、N分别为直线，上的点，且垂直平分，若，则线段的长为　 　．
三、解答题（本大题共9题，满分72分）
17．计算：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0
18．先化简，再求值：，其中．
19．矩形中，是的中点，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）当平分时，求证：．
20．某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？
21．2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量为___________，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）
（2）若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；
（3）根据上述统计分析情况，请你为该校科技社团活动的顺利开展给出一条合理建议．
22．已知AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点．连接AC，DO．
（1）如图①，求∠BOD及∠A的大小；
（2）如图②，过点C作CF⊥AB于点F，交⊙O于点H，若⊙O的半径为2．求CH的长．
23．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______；
（3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度．
24．已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点．
（1）若该函数图象经过点，求点的横坐标；
（2）若，点和在该函数图象上，证明：；
（3）若是等腰三角形，求的值．
25．某校数学活动小组在一次活动中．对一个数学问题作如下探究．
【问题发现】
（1）如图①，在等边，中，点P是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接，求的长为______；
【问题提出】
（2）如图②，在等腰，中，，点 P 是边上任意一点，以为腰作等腰 ，使 ，，连接，求证：；
【问题解决】
（3）如图③，在正方形中，点P 是边上一点，以为边作正方形，点Q是正方形的对称中心，连接，若正方形的边长为，，求正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：440万即4400000，
∴，
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：因为，，，计算结果为的有2个．
故选：B．
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据的中位数为：30，众数为：25，平均数为：，
故选：．
【分析】根据中位数，众数，平均数的定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：A
【分析】根据三角形中位线定理可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵直径、互相垂直，
∴，
∴的长是，
故选：C．
【分析】根据弧长公式即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式．
故选：D．
【分析】提公因式，结合完全平方公式进行因式分解即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意，得
．
故选B．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：函数图象关于原点对称，
，
连接，过作轴于，过作轴于，
是等边三角形，
，
，，
，
设，则，，
轴，轴，
，
，
，
，
顶点在函数图象的两个分支上，
，
，
顶点始终在函数的图象上，
，
故选：B．
【分析】根据反比例函数的对称性可得，连接，过作轴于，过作轴于，根据等边三角形性质可得，，设，根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理看的，则，再根据反比例函数k的几何意义可得，则，再根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：①设函数上点坐标轴为 ，
∵关于轴对称
∴点坐标为
若点或点的纵坐标称相等，
∴解得：，
则存在这样的点，使得他们关于轴对称，
∴函数与函数具有“对偶关系”
所以①错误；故不符合题意；
②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意；
③当时，则，解得；
因为是函数与函数的“对偶值”，
所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意；
④设点坐标为，则点坐标为 ，
∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等
∴，整理得，
∵，对于函数，y随m的增大而增大，
当时，；
当时，；
∴，而不是，所以④错误，故不符合题意；
故选：B.
【分析】根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】实数的绝对值
【解析】【解答】解：，
，
．
【分析】根据实数的绝对值即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：中，
，
解得．
即自变量的取值范围是．
故答案为：
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
13．【答案】如果，，那么
【知识点】逆命题；二次根式的乘法
【解析】【解答】解：“如果，那么，”的逆命题为：如果，，那么．
故答案为： 如果，，那么．
【分析】根据逆命题的定义即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
六边形的内角和为：，
．
故答案为：．
【分析】根据多边形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的判定；切线的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】根据切线性质可得，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据正切定义即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【解答】解：如图，当点M在线段上时，过点B作于点H，连接，
在平行四边形中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
如图，当点M在直线上时，过点B作于点H，连接，
在平行四边形中，，
∴，
∴，即此时点M与点H重合，
∵垂直平分，
∴，
∴；
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
【分析】分情况讨论：当点M在线段上时，过点B作于点H，连接，根据平行四边形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AH，根据勾股定理可得BH，BM，再根据边之间的关系即可求出答案；当点M在直线上时，过点B作于点H，连接，根据平行四边形性质可得，则，根据含30°角的直角三角形性质可得AH，再根据勾股定理可得BH，再根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：﹣2cos45°+（）﹣1﹣（π﹣1）0=+3﹣1=2+2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：原式
；
当时，原式
【知识点】完全平方公式及运用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合平方差公式，完全平方公式化简，再将x值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
．
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中点，
，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据线段中点可得AE=DE，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，根据矩形性质可得，，则，即，再根据等角对等边可得，再根据线段中点，结合边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：四边形是矩形，
，
．
是的中点，
．
在和中，
，
，
．
，
四边形是平行四边形；
（2）证明：平分，
．
∵四边形是矩形，
∴，，
，
，
∴
是的中点，
，
∴．
20．【答案】解：（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，
根据题意得：
，
解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y元，
根据题意得：（40﹣a）×=900，
解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）×=990（元）．
答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该商店3月份这种商品的售价为x元，则4月份这种商品的售价为0.9x元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x的分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设该商品的进价为y元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，列式计算即可求出答案.
21．【答案】（1），
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）．
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的样本容量为，
故答案为：50
【分析】（1）根据3D打印的人数与占比可得总人数，求出无人机社团人数，再补全图形即可.
（2）根据1000乘以机器人社团的学生人数占比即可求出答案.
（3）根据统计量的意义即可求出答案.
（1）解：本次调查的样本容量为，
无人机社团人数为（人），
补全图形如下：
（2）解：（人），
答：估计计划参加“机器人”社团的学生人数约为320人.
（3）解：建议开展形式多样的科技活动（答案不唯一）．
22．【答案】（1）解：∵点C，D是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为，圆周角为
∴，，
∴，．
（2）解：如图，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的长为．
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据半圆所对的圆心角为，半圆所对的圆周角为求解即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）∵点C，D是半圆O的三等分点，且半圆所对的圆心角为，圆周角为
∴，，
∴，．
（2）如图，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，即的长为．
23．【答案】（1）11.3
（2）11.2
（3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G，
由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，
则，
故答案为∶11.3；
（2）解：
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，即，
解得，
则旗杆高度为11.2米
故答案为∶11.2；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质，结合平行投影即可求出答案.
（2）由反射定律可知，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）过点D作，垂足为点H，交于点G，由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，根据边之间的关系可得CG，DH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AH，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵影长恰好等于自己的身高，
∴是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，
则，
故答案为∶11.3；
（2）解：
由反射定律可知，
又，
∴，
∴，即，
解得，
则旗杆高度为11.2米
故答案为∶11.2；
（3）解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G，
由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，，
∴，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴旗杆的高度约为．
24．【答案】（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标系中的两点距离公式；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点代入解析式可得二次函数为，再根据对称轴公式可得点A的横坐标.
（2）将点P，Q坐标代入解析式可得y1，y2，再根据作差比较法比较大小即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，将解析式转换为顶点式，可得顶点，，根据两点间距离可得AB，BC，AC，再根据等腰三角形性质分类讨论：当时，当时，当时，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵二次函数图象过点，
∴，
解得：，
∴二次函数为，
∴，
∴点的横坐标为.
（2）解：∵点和在函数图象上，
∴，，
∵，
，
∴.
（3）解：在函数中，
当时，，
∴，
∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点
∴，，
∴，，，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，则，
解得：（舍去），，
当时，∴，，则和重合，舍去，
当时，则，
解得：（舍去），，，
综上：或.
25．【答案】（1）2；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，分别是正方形、的对角线，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形的边长为，，
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
解得：，（不符合题意舍去），
∴正方形的边长为：．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，是等边三角形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：2
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAC，∠PAQ，再根据边之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，根据正方形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据正方形性质可得AQ，BP，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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