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广东省A20联盟2026年中考模拟（一）数学试题
1．在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为 （　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．方程的解为（　　）
A． B． C． D．无解
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
11．一组数据2，1，2，5，2，6的众数是　 　．
12．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有　 　个．
13．一元二次方程的一个解为，则　 　．
14．计算　 　 ．
15．如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为　 　．
16．计算：；
17．如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）请在图中，作出半圆的圆心；
（2）若，，，求的半径．
18．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
（1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
（2）图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
19． 在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示．
（1）求九（1）班A等级的百分比．
（2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩．
（3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数．
20．新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．
（1）【建立模型】
设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；
（2）【设计方案】
当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？
（3）【实际需求】
若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.
21．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
（1）如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
（2）如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
22．如图
（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：．
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
23．阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”．
（1）如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据．
（2）如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：．
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据“负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B符合题意；
C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以C符合题意。
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3240万=3.24×107.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法：a×10n，（其中1≤a＜10，n为正整数，且比原整数位少1），正确表示即可。
4．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵直线
∴∠1=∠3=50°
∵直线，即∠2+∠3=90°
∴∠2=90°-∠3=40°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠1=∠3=50°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A正确；
B ：，所以B不正确；
C：左边不是同类项，不能合并，所以C不正确；
D ：，所以D不正确。
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方及积的乘方可得出A正确；根据单项式乘单项式可得出B不正确；根据合并同类项法则可得出C不正确；根据完全平方公式可得出D不正确。
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故答案为：C．
【分析】
先利用树状图法与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果：共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再根据公式概率所求情况数与总情况数之比，计算求解即可解答．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AD // EF // BC，GH //AB // CD，
∴四边形 BGPE、四边形PFDH 为平行四边形.
∵，，，
∴S=11，S△PHD-=5，S=1，
∴S四边形AEPH=S-S△PHD-S=11-5-1=5.
故答案为：B。
【分析】首先根据平行四边形的性质，可得出S=11，S△PHD-=5，S=1，进而即可得出S四边形AEPH=S-S△PHD-S=11-5-1=5.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由点C(2，0)代入抛物线， 得a=-1，
∴抛物线解析式为y=x2+4x-12，开口向上，与x轴交于x=-6和x=2。
∴ 当x1<-6时，y1 > 0；
∴当-62 < 2时，y2 < 0。
因此，y1>0>y2.
故答案为：D.
【分析】首先把点C(2，0)代入抛物线解析式可得出a=-1，进而可得出解析式为y=x2+4x-12，根据二次函数函数图象与系数的关系可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得：（x+2）2-16=x2-4，
去括号，得：x2+4x+4-16=x2-4，
移项，合并同类项，得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2代入x2-4中，得：x2-4=0，
所以原分式方程无解。
故答案为：D.
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求得整式方程的解，进而把解代入最简公分母进行检验，即可得出分式方程的解。
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
11．【答案】2
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵2出现3次，而其它数据均是一次，
∴这组数据的众数是2。
故答案为：2.
【分析】根据众数的定义，即可得出答案。
12．【答案】3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：有数轴可得出不等式组的解集为-2≤x＜1，
∴x的整数解为：-2，-1，0共3个。
故答案为：3.
【分析】首先根据数轴上解集的表示方法可得出解集为-2≤x＜1，进而即可得出整数解，进而得出答案即可。
13．【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得．
故答案为：．
【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于参数a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。
14．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解： =
故答案为：.
【分析】把a-2作为一个整体，进行异分母分式加法，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵、、分别是，，的中点，
∴DE=，EF=，
∴的周长为：2（DE+EF)=2(3+5)=16（cm）。
故答案为：16cm.
【分析】首先根据三角形中位线定理可得出DE=，EF=，进而根据平行四边形周长的定义即可得出的周长为：2（DE+EF)=2(3+5)=16（cm）。
16．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据负整数指数幂的性质，算术平方根，特殊锐角的三角函数值，实数的绝对值的性质进行化简，然后再进行实数的混合运算即可。
17．【答案】（1）解：延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点E、F在的垂直平分线上，
∴，，
∴点O为半圆的圆心；
（2）解：分别过点C、D作，垂足分别为G、H，如图所示：
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心；根据作图可得出EA=EB，FA=FB，故而得出点E、F在的垂直平分线上，即可得出点O为半圆的圆心；
（2）分别过点C、D作，垂足分别为G、H，首先可证得四边形是平行四边形，即可得出，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出BG=AH=2，进而得出AB=6，进一步即可得出的半径为3.
18．【答案】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
∵，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）如图，连接，延长交于点，设的半径为，则，根据垂径定理可得出，在中，根据勾股定理可得出，解方程可得出r的值，进而即可得出FH的长即可；
（2）如图，延长，交于点，首先在中，解直角三角形可得出，在中，可得出，进而通过证明四边形是矩形，即可得出。
19．【答案】（1）解：由题意可得
总人数为：9+12+4+5=30
∴A等级的百分比为
（2）解： 将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九(1)班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是86 ×2-87 =85分
（3）解：名
答：估计该校A等级的总人数为280人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求出总人数，再根据A等级的人数除以总人数即可求出答案.
（2）根据中位数定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以对应占比即可求出答案.
20．【答案】（1）解：由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，
设降价为x元，则销量增加量为千克
总销量为千克．
又此时售价变为元/千克，
销售额y与x的函数关系式为：
（2）解：由题意，结合
当时，y取最大值，最大销售额为720元．
答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）解：由题意，令，
或
二次函数的图象开口向下，
∴时，，
∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，，
∴，
对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先根据降价为x元，可得出总销量为千克．售价为元/千克，进而根据销售额=售价×销量，即可得出
（2）又（1）得：根据二次函数的最大值即可得出当时，y取最大值，最大销售额为720元．即当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）解不等式，可得出，再根据，即可得出，进而即可得出这个蔬菜应参考的售价范围。
21．【答案】（1）解：如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，
设该圆弧所在圆的半径为，
依题意，得，在中，
，
垂直平分．
．
在中，，
即，
解得或（负值舍去）．
即秋千的长度为．
（2）解：设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．
射线与，分别相交于点，，则．
又，
与均为等腰直角三角形．
，．
当时，，
连接，又，，
又，，
．
．
而，
．
从而应向右平移的最大值．
应将挡光板沿方向向右最多平移约．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；垂径定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设该圆弧所在圆的半径为，则：，根据垂径定理可得出．在中，，即可得出方程，解方程即可；
（2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．首先可证得与均为等腰直角三角形．可得出，．进而可得出，进而根据HL可证得．得出．进一步即可得出，最后即可得出应向右平移的最大值．
22．【答案】（1）证明：∵四边形、为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
，
∵四边形和四边形都是矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
又∵是直角三角形，，
∴或
当时，如图，过点作的垂线交于点，则，
，
∴，
设，则，
∴，
设，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，四边形和四边形都是矩形，
此时，
过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
∵四边形和四边形都是矩形，，，设，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
解得，
∴，即点Q与点O重叠，
此时；
综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或．【分析】（1）根据ASA即可证得；
（2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，根据AA可证得，进而得出，通过计算可得出，进而得出；
（3）因为是直角三角形，，所以或，当时，如图，过点作的垂线交于点，则，通过证明，根据，即可得出；
当时，四边形和四边形都是矩形，此时，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，通过证明，根据，可得出；进而得出ON的长为或．
23．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）；
（2）解：过点C作于点D，如图，
∵，
∴在中，，
∴；
设，
∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵，即
解得：，
∵，
∴
∴，
在等腰直角三角形中，；
（3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角，
∵是直角三角形，
∴不可能为斜边，即，
∴或，
①当时，如图3，
过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则．
∴，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴
∵，，
∴，，
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：（舍去）．
∴，
∴反比例函数解析式为；
②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N．
则．
∴．
∴．
∴，
∵为卓越边，为卓越角，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，．
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，反比例函数解析式为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定；一元二次方程的应用-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出是等边三角形，进而在中，根据勾股定理可得出，根据“卓越三角形”可得出是“卓越三角形”（答案不唯一）；
（2）过点C作于点D，如图，根据卓越三角形的定义可得出，进而在中，根据勾股定理得：，进而在等腰直角三角形中，；
（3）因为是直角三角形，根据为卓越边，为卓越角，可得出不可能为斜边，即，所以可分为：或，①当时，可得反比例函数解析式为；②当时，反比例函数解析式为；
1 / 1广东省A20联盟2026年中考模拟（一）数学试题
1．在，，，这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：．
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于；②负数都小于；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小．根据“负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小”可得答案．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以A不符合题意；
B：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以B符合题意；
C：既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以C符合题意。
D：是轴对称图形，不是中心对称图形，所以D不符合题意。
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可得出答案。
3．拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3240万=3.24×107.
故答案为：B.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法：a×10n，（其中1≤a＜10，n为正整数，且比原整数位少1），正确表示即可。
4．如图，直线，直线，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图
∵直线
∴∠1=∠3=50°
∵直线，即∠2+∠3=90°
∴∠2=90°-∠3=40°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质可得∠1=∠3=50°，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A正确；
B ：，所以B不正确；
C：左边不是同类项，不能合并，所以C不正确；
D ：，所以D不正确。
故答案为：A.
【分析】根据幂的乘方及积的乘方可得出A正确；根据单项式乘单项式可得出B不正确；根据合并同类项法则可得出C不正确；根据完全平方公式可得出D不正确。
6．如图，电路图有3只未闭合的开关，一个电源和一个小灯泡，已知电路图上的每个部分都能正常工作，任意闭合其中两只开关，使得小灯泡发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：将开关依次编号为，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡能发光的结果有4种，
使得小灯泡能发光的概率为，
故答案为：C．
【分析】
先利用树状图法与列表法不重复不遗漏的列出所有可能的结果：共有6种等可能的结果，其中使得小灯泡发光的结果有4种，再根据公式概率所求情况数与总情况数之比，计算求解即可解答．
7．如图，点在的对角线上，过点作，．已知，，，则四边形的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵AD // EF // BC，GH //AB // CD，
∴四边形 BGPE、四边形PFDH 为平行四边形.
∵，，，
∴S=11，S△PHD-=5，S=1，
∴S四边形AEPH=S-S△PHD-S=11-5-1=5.
故答案为：B。
【分析】首先根据平行四边形的性质，可得出S=11，S△PHD-=5，S=1，进而即可得出S四边形AEPH=S-S△PHD-S=11-5-1=5.
8．已知抛物线，若点、、均在该抛物线上，且，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由点C(2，0)代入抛物线， 得a=-1，
∴抛物线解析式为y=x2+4x-12，开口向上，与x轴交于x=-6和x=2。
∴ 当x1<-6时，y1 > 0；
∴当-62 < 2时，y2 < 0。
因此，y1>0>y2.
故答案为：D.
【分析】首先把点C(2，0)代入抛物线解析式可得出a=-1，进而可得出解析式为y=x2+4x-12，根据二次函数函数图象与系数的关系可得出答案。
9．方程的解为（　　）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母，得：（x+2）2-16=x2-4，
去括号，得：x2+4x+4-16=x2-4，
移项，合并同类项，得：4x=8，
解得：x=2，
把x=2代入x2-4中，得：x2-4=0，
所以原分式方程无解。
故答案为：D.
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，可求得整式方程的解，进而把解代入最简公分母进行检验，即可得出分式方程的解。
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
11．一组数据2，1，2，5，2，6的众数是　 　．
【答案】2
【知识点】众数
【解析】【解答】解：∵2出现3次，而其它数据均是一次，
∴这组数据的众数是2。
故答案为：2.
【分析】根据众数的定义，即可得出答案。
12．关于的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有　 　个．
【答案】3
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：有数轴可得出不等式组的解集为-2≤x＜1，
∴x的整数解为：-2，-1，0共3个。
故答案为：3.
【分析】首先根据数轴上解集的表示方法可得出解集为-2≤x＜1，进而即可得出整数解，进而得出答案即可。
13．一元二次方程的一个解为，则　 　．
【答案】1
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程的一个解为，
，
解得．
故答案为：．
【分析】将已知的方程解代入原方程，得到关于参数a的一元一次方程，求解该方程即可得到a的值。
14．计算　 　 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分式的加减法；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解： =
故答案为：.
【分析】把a-2作为一个整体，进行异分母分式加法，即可得出答案。
15．如图，等腰中，，、、分别是，，的中点，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；多边形的周长
【解析】【解答】解：∵、、分别是，，的中点，
∴DE=，EF=，
∴的周长为：2（DE+EF)=2(3+5)=16（cm）。
故答案为：16cm.
【分析】首先根据三角形中位线定理可得出DE=，EF=，进而根据平行四边形周长的定义即可得出的周长为：2（DE+EF)=2(3+5)=16（cm）。
16．计算：；
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；求算术平方根
【解析】【分析】首先根据负整数指数幂的性质，算术平方根，特殊锐角的三角函数值，实数的绝对值的性质进行化简，然后再进行实数的混合运算即可。
17．如图，为半圆的直径，四边形中，，．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）请在图中，作出半圆的圆心；
（2）若，，，求的半径．
【答案】（1）解：延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点E、F在的垂直平分线上，
∴，，
∴点O为半圆的圆心；
（2）解：分别过点C、D作，垂足分别为G、H，如图所示：
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为3．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）延长、交于点E，连接、交于点F，连接并延长交于点O，则点O即为所求作的圆心；根据作图可得出EA=EB，FA=FB，故而得出点E、F在的垂直平分线上，即可得出点O为半圆的圆心；
（2）分别过点C、D作，垂足分别为G、H，首先可证得四边形是平行四边形，即可得出，进而根据含30°锐角的直角三角形的性质可得出BG=AH=2，进而得出AB=6，进一步即可得出的半径为3.
18．在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．
（1）图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离．
（2）图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为，
由题意可知，，
，，
∵，
弓形高，，
，，
在中，，
，
解得，
，
即圆心 到的距离为．
（2）解：如图，延长，交于点，
由题意可知，，，
在中，，
，
将绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，，
，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
．
即的长度约为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）如图，连接，延长交于点，设的半径为，则，根据垂径定理可得出，在中，根据勾股定理可得出，解方程可得出r的值，进而即可得出FH的长即可；
（2）如图，延长，交于点，首先在中，解直角三角形可得出，在中，可得出，进而通过证明四边形是矩形，即可得出。
19． 在学校组织的知识竞赛中，成绩分为，，，四个等级，表示竞赛成绩（单位：分），其中九（1）班竞赛成绩统计图如图所示．
（1）求九（1）班A等级的百分比．
（2）已知九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九（1）班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，求小义的成绩．
（3）金乌同学为了预估全校1000名同学中A等级的总人数，随机抽取了50名学生的成绩，结果A等级人数比九（1）班的多了5人，请你估计该校A等级的总人数．
【答案】（1）解：由题意可得
总人数为：9+12+4+5=30
∴A等级的百分比为
（2）解： 将这30名学生的成绩按照从高到低的顺序排列，中位数为第15名的成绩和第16名的成绩的平均数，
∵九（1）班竞赛成绩的中位数为86分，小艾、小义本次成绩在九(1)班排名（从高到低）分别是第15名、第16名，小艾的成绩是87分，
∴小义的成绩是86 ×2-87 =85分
（3）解：名
答：估计该校A等级的总人数为280人
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）求出总人数，再根据A等级的人数除以总人数即可求出答案.
（2）根据中位数定义即可求出答案.
（3）根据1000乘以对应占比即可求出答案.
20．新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．
（1）【建立模型】
设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；
（2）【设计方案】
当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？
（3）【实际需求】
若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.
【答案】（1）解：由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，
设降价为x元，则销量增加量为千克
总销量为千克．
又此时售价变为元/千克，
销售额y与x的函数关系式为：
（2）解：由题意，结合
当时，y取最大值，最大销售额为720元．
答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）解：由题意，令，
或
二次函数的图象开口向下，
∴时，，
∵该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，，
∴，
对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元．
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）首先根据降价为x元，可得出总销量为千克．售价为元/千克，进而根据销售额=售价×销量，即可得出
（2）又（1）得：根据二次函数的最大值即可得出当时，y取最大值，最大销售额为720元．即当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元．
（3）解不等式，可得出，再根据，即可得出，进而即可得出这个蔬菜应参考的售价范围。
21．你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千静止时，下端离地面的距离为．
（1）如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即），当秋千分别荡到两边的最高点，位置时，若交于点，，且，请你计算秋千的长度．
（2）如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为的挡光板，用于遮挡阳光，点，，都在上，已知，，如果把挡光板沿方向向右平移，但为安全起见，要求与秋千运动弧线最近点的距离不小于，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到）
【答案】（1）解：如图，秋千侧视图可看成以点为圆心的一段圆弧，
设该圆弧所在圆的半径为，
依题意，得，在中，
，
垂直平分．
．
在中，，
即，
解得或（负值舍去）．
即秋千的长度为．
（2）解：设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．
射线与，分别相交于点，，则．
又，
与均为等腰直角三角形．
，．
当时，，
连接，又，，
又，，
．
．
而，
．
从而应向右平移的最大值．
应将挡光板沿方向向右最多平移约．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；垂径定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设该圆弧所在圆的半径为，则：，根据垂径定理可得出．在中，，即可得出方程，解方程即可；
（2）设挡光板沿方向平移后最多应到如图的位置，作且与切相切于点，挡光则板与秋千运动弧线的最近点为点．首先可证得与均为等腰直角三角形．可得出，．进而可得出，进而根据HL可证得．得出．进一步即可得出，最后即可得出应向右平移的最大值．
22．如图
（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明：．
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O 旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
【答案】（1）证明：∵四边形、为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
，
∵四边形和四边形都是矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：或．
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）∵四边形是平行四边形，，，
∴，，
又∵是直角三角形，，
∴或
当时，如图，过点作的垂线交于点，则，
，
∴，
设，则，
∴，
设，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，四边形和四边形都是矩形，
此时，
过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，
∵四边形和四边形都是矩形，，，设，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
∴，
∴，
解得，
∴，即点Q与点O重叠，
此时；
综上所述，当与重叠部分的面积是的面积的时，的长为或．【分析】（1）根据ASA即可证得；
（2）过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，根据AA可证得，进而得出，通过计算可得出，进而得出；
（3）因为是直角三角形，，所以或，当时，如图，过点作的垂线交于点，则，通过证明，根据，即可得出；
当时，四边形和四边形都是矩形，此时，过点作的平行线交于点，交于点，过点作垂线交于点，通过证明，根据，可得出；进而得出ON的长为或．
23．阅读材料：有一边是另一边倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”．
（1）如图①，在菱形中，对角线相交于点O，已知，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据．
（2）如图②，是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，若，求的长．
（3）如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越，是卓越角，是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为，顶点B、C均在反比例函数的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为，当是直角三角形时，求反比例函数的表达式．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∴是“卓越三角形”（答案不唯一，，，也满足）；
（2）解：过点C作于点D，如图，
∵，
∴在中，，
∴；
设，
∵是卓越三角形，是卓越角，是卓越边，
∴，
∵，
∴，
在中，根据勾股定理得：，
∵，即
解得：，
∵，
∴
∴，
在等腰直角三角形中，；
（3）解：在卓越中，为卓越边，为卓越角，
∵是直角三角形，
∴不可能为斜边，即，
∴或，
①当时，如图3，
过点B作轴于点E，过点C作交延长线于点F，过点C作轴于点G，则．
∴，
∴，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴
∵，，
∴，，
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：（舍去）．
∴，
∴反比例函数解析式为；
②当时，如图4，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N．
则．
∴．
∴．
∴，
∵为卓越边，为卓越角，
∴，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，，
∴，．
∵点B，C在函数的图象上，
∴，
解得：，
∴，
∴；
综上所述，反比例函数解析式为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定；一元二次方程的应用-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据菱形的性质可得出是等边三角形，进而在中，根据勾股定理可得出，根据“卓越三角形”可得出是“卓越三角形”（答案不唯一）；
（2）过点C作于点D，如图，根据卓越三角形的定义可得出，进而在中，根据勾股定理得：，进而在等腰直角三角形中，；
（3）因为是直角三角形，根据为卓越边，为卓越角，可得出不可能为斜边，即，所以可分为：或，①当时，可得反比例函数解析式为；②当时，反比例函数解析式为；
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