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广东深圳市龙岗区坪地中学等校2025—2026学年第二学期学科素养期中诊断 八年级数学（第一章～第四章）
1．下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意；
D、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意．
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
因此选项A，B，C都是不符合题意；
由不等式性质3，两边同时乘上，得，
因此选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形，
∴，，，，
故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意．
故答案为：C
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
5．如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据角平分线性质可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；反证法；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：对选项A，等腰三角形只有顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，不是任意的高、中线、角平分线都重合，因此该说法错误，符合题意；
对选项B，“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题，该说法正确，不符合题意；
对选项C，用反证法证明时，需要假设结论的反面成立，原结论是“必有一个角不大于”，其反面就是“每个内角都大于”，该说法正确，不符合题意；
对选项D，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，该说法正确，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质的性质可判断A；根据逆命题判断B；根据反证法可判断C，再根据垂直平分线性质可判断D.
7．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵一次函数与的图象交于点，
∴的解集为，
即不等式的解集为．
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质可得，即一次函数的图象在的图象下方，结合函数图象即可求出答案.
8．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当时，设直线与直线交点为H，与交点为K，
∴，
∵，（因为），
∴，
∴，
∴旋转时间为．
故答案为：A
【分析】当时，设直线与直线交点为H，与交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得∠HKB，再根据角之间的关系可得即可求出答案.
9．因式分解：=　 　。
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．若点与点关于原点O成中心对称，则　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点关于原点中心对称点为：，
∴，，
则．
故答案为：-1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①：，
解不等式②：，
∵不等式组无解，
∴，
则．
故答案为：
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组无解建立不等式，解不等式即可求出答案.
12．如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，　 　．
【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
由题意可知，垂直，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
设，则，
在中，，得到
，
解得
∴．
故答案为：5
【分析】根据勾股定理可得AB，由题意可知，垂直，平分，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得BE，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点P作，连接，如图所示：
∵等边三角形的边长为6，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
当三点共线时，，
当时，有最小值，垂线段最短，
则，，
此时的值最小，
在中，，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）．
故答案为：
【分析】过点P作，连接，根据等边三角形性质可得，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，则，当三点共线时，，当时，有最小值，垂线段最短，则，，此时的值最小，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
∴不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示如图所示．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
15．在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步
任务：
（1）________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误．
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．
【答案】（1）小圳，一
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误．
故答案为：小圳，一
【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减即可求出答案.
（2）根据平方差公式化简，合并同类项化简即可求出答案.
（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误．
（2）解：
．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为．
（1）点的坐标为________，请画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．
【答案】（1），
（2）解：所作如图所示：
（3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据对称性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
17．如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点．
（1）若的周长为，求的长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，分别垂直平分和，
，，
．
∵的周长为，
，
；
（2）解：在中，，
，
，，
，，
．
，
即的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据边之间的关系，结合三角形周长即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，分别垂直平分和，
，，
．
∵的周长为，
，
；
（2）解：在中，，
，
，，
，，
．
，
即的度数为．
18．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”．
例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”．
（1）是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”）
（2）是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号）
（3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________；
（4）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围．
【答案】（1）是
（2）③
（3）6，
（4）解：∵是关于的方程的解，
∴，
即，
将，代入不等式组，得
解得，
∴n的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解得，
，
当时，，
∴是方程与不等式的“和谐解”；
（2）解：解，得
，
解，得
，
∴不是不等式的解，①不符合题意；
解，得
，
∴不是不等式的解，②不符合题意；
解，得
，
∴是不等式的解，③符合题意；
（3）解：将代入，得
，
解得，
∴将代入，得
，
即，
由关于的不等式组有解，
∴，
∵是该不等式组的一个解，
∴，
解得，
∴，；
【分析】（1）根据和谐解的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据和谐解的定义进行判断即可求出答案.
（3）将代入，求出，结合和谐解的定义即可求出答案.
（4）将x=n代入方程可得，再代入不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：解得，
，
当时，，
∴是方程与不等式的“和谐解”；
（2）解：解，得
，
解，得
，
∴不是不等式的解，①不符合题意；
解，得
，
∴不是不等式的解，②不符合题意；
解，得
，
∴是不等式的解，③符合题意；
（3）解：将代入，得
，
解得，
∴将代入，得
，
即，
由关于的不等式组有解，
∴，
∵是该不等式组的一个解，
∴，
解得，
∴，；
（4）解：∵是关于的方程的解，
∴，
即，
将，代入不等式组，得
解得，
∴n的取值范围是．
20．阅读材料，并解决问题：
（1）【思维指引】如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求的度数．
解决此题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F为边上两点，且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论；
（3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，，，请你求出的最小值．
【答案】（1）等边；
（2）解：．证明如下：
如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即；
（3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，
∴，
，
，
∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．
过点A作的垂线，交延长线于点H．
，
，
，
，
∴，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，
，
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；
【分析】（1）将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，则，根据全等三角形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点A作的垂线，交延长线于点H，根据角之间的关系可得∠ACH在，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得HC，再根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，
，
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
（2）解：．证明如下：
如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即；
（3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，
∴，
，
，
∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．
过点A作的垂线，交延长线于点H．
，
，
，
，
∴，
．
1 / 1广东深圳市龙岗区坪地中学等校2025—2026学年第二学期学科素养期中诊断 八年级数学（第一章～第四章）
1．下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，将平移一定的距离得到，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，是的平分线，于点E，于点F．若，，，则的长是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
6．下列说法中，错误的是（　　）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“对顶角相等”的逆命题是假命题
C．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这一点到这个三角形三个顶点的距离相等
7．如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．将一副三角板如图放置，点B，D重合，点F在上，与交于点G．，，，现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，当的对应边所在直线与垂直时，旋转时间为（　　）
A．15秒 B．秒 C．10秒 D．5秒
9．因式分解：=　 　。
10．若点与点关于原点O成中心对称，则　 　．
11．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是　 　．
12．如图，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，　 　．
13．如图，等边三角形的边长为6，D为边的中点，P是线段上一动点，当的值最小时，的长为　 　．
14．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
15．在对“”进行因式分解时，小深和小圳同学产生了分歧．下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
小深： 原式第一步 第二步 ．第三步 小圳： 原式第一步 第二步 ．第三步
任务：
（1）________（填“小深”或“小圳”）的解答错误，从第________步开始出现错误．
（2）按照解答错误同学的思路，写出正确的解答过程．
16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且与关于原点O成中心对称，点A的坐标为．
（1）点的坐标为________，请画出；
（2）是的边上一点，将平移后点P的对应点是，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为________．
17．如图，在中，，分别垂直平分和，交于M，N两点．
（1）若的周长为，求的长；
（2）若，求的度数．
18．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目。学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球。已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元。
（1）求排球、足球的单价各是多少元
（2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用。
19．定义：如果某个未知数的值同时使一个方程和一个不等式（组）成立，则称这个值为该方程与不等式（组）的“和谐解”．
例如：已知方程和不等式，对于未知数，当时，使得，同时成立，则称是方程与不等式的“和谐解”．
（1）是否是方程与不等式的“和谐解”？________；（填“是”或“不是”）
（2）是方程与不等式（组）①，②，③中________的“和谐解”；（只填序号）
（3）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，那么________，的取值范围是________；
（4）如果是关于的方程与关于的不等式组的“和谐解”，求出的取值范围．
20．阅读材料，并解决问题：
（1）【思维指引】如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求的度数．
解决此题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________；
（2）【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F为边上两点，且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论；
（3）【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，，，请你求出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意；
D、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意．
故答案为：C
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
因此选项A，B，C都是不符合题意；
由不等式性质3，两边同时乘上，得，
因此选项D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵将三角形平移一定的距离得到三角形，
∴，，，，
故A，B，D选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意．
故答案为：C
【分析】根据平移的性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣提公因式法；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A： 中，式子5-不是整式，所以A不是因式分解；
B：（b-1）2=b2-2b+1，所以左右两边不相等，所以B不是因式分解；C：右边不是积的形式，所以C不是因式分解；
D ：符合因式分解的定义，所以D是因式分解。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，逐项进行分析，即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B
【分析】根据角平分线性质可得，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；反证法；对顶角及其性质；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：对选项A，等腰三角形只有顶角的角平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，不是任意的高、中线、角平分线都重合，因此该说法错误，符合题意；
对选项B，“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，因此逆命题是假命题，该说法正确，不符合题意；
对选项C，用反证法证明时，需要假设结论的反面成立，原结论是“必有一个角不大于”，其反面就是“每个内角都大于”，该说法正确，不符合题意；
对选项D，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，该说法正确，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据等腰三角形性质的性质可判断A；根据逆命题判断B；根据反证法可判断C，再根据垂直平分线性质可判断D.
7．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵一次函数与的图象交于点，
∴的解集为，
即不等式的解集为．
故答案为：B
【分析】根据不等式的性质可得，即一次函数的图象在的图象下方，结合函数图象即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，当时，设直线与直线交点为H，与交点为K，
∴，
∵，（因为），
∴，
∴，
∴旋转时间为．
故答案为：A
【分析】当时，设直线与直线交点为H，与交点为K，根据直角三角形两锐角互余可得∠HKB，再根据角之间的关系可得即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：=2a(x2-2y2)=2a(x+2y)(x-2y).
故答案为：2a(x+2y)(x-2y)
【分析】首先提取公因式2a，进而再根据平方差公式即可得出因式分解的结果。
10．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：点关于原点中心对称点为：，
∴，，
则．
故答案为：-1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①：，
解不等式②：，
∵不等式组无解，
∴，
则．
故答案为：
【分析】分别解两个不等式，再根据不等式组无解建立不等式，解不等式即可求出答案.
12．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
∴，
由题意可知，垂直，平分，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
设，则，
在中，，得到
，
解得
∴．
故答案为：5
【分析】根据勾股定理可得AB，由题意可知，垂直，平分，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得BE，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】最简二次根式；垂线段最短及其应用；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点P作，连接，如图所示：
∵等边三角形的边长为6，
∴，
∵D为边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
当三点共线时，，
当时，有最小值，垂线段最短，
则，，
此时的值最小，
在中，，
∴，
∴，
解得（负值已舍去）．
故答案为：
【分析】过点P作，连接，根据等边三角形性质可得，，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，则，当三点共线时，，当时，有最小值，垂线段最短，则，，此时的值最小，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：解不等式，得．
解不等式，得．
∴不等式组的解集为：，
其解集在数轴上表示如图所示．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集，再将解集在数轴上表示出来即可.
15．【答案】（1）小圳，一
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误．
故答案为：小圳，一
【分析】（1）根据平方差公式及整式的加减即可求出答案.
（2）根据平方差公式化简，合并同类项化简即可求出答案.
（1）解：由平方差公式及整式的加减运算法则可知，小圳的解答错误，从第一步开始出现错误．
（2）解：
．
16．【答案】（1），
（2）解：所作如图所示：
（3）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于原点的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据对称性质即可求出答案.
（1）解：如图所示：
则点的坐标为；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：∵和关于某一点成中心对称，
∴图中点即为对称中心，的坐标为．
17．【答案】（1）解：∵，分别垂直平分和，
，，
．
∵的周长为，
，
；
（2）解：在中，，
，
，，
，，
．
，
即的度数为．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可得，，再根据边之间的关系，结合三角形周长即可求出答案.
（2）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，分别垂直平分和，
，，
．
∵的周长为，
，
；
（2）解：在中，，
，
，，
，，
．
，
即的度数为．
18．【答案】（1）解：设排球的单价是元，足球的单价是元，
根据题意，得，
解得。
答：排球的单价是90元，足球的单价是70元
（2）解：设购买个排球，则购买个足球，
根据题意，得，
解得。
设学校购买排球和足球的总费用为元，则，
即，
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最小值5100，此时（个）。
答：最省钱的一种购买方案为：购买45个排球，15个足球，此时的总费用是5100元。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设排球的单价是元，足球的单价是元，根据 购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元 ，可得出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买个排球，则购买个足球， 购买足球的数量不多于排球数量的，且总费用不超过5200元，可得出不等式组，解不等式组可得出m的取值范围，进而设学校购买排球和足球的总费用为元，则，根据一次函数的性质，结合不等式组的整数解，即可得出最省钱的一种购买方案。
19．【答案】（1）是
（2）③
（3）6，
（4）解：∵是关于的方程的解，
∴，
即，
将，代入不等式组，得
解得，
∴n的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：解得，
，
当时，，
∴是方程与不等式的“和谐解”；
（2）解：解，得
，
解，得
，
∴不是不等式的解，①不符合题意；
解，得
，
∴不是不等式的解，②不符合题意；
解，得
，
∴是不等式的解，③符合题意；
（3）解：将代入，得
，
解得，
∴将代入，得
，
即，
由关于的不等式组有解，
∴，
∵是该不等式组的一个解，
∴，
解得，
∴，；
【分析】（1）根据和谐解的定义进行判断即可求出答案.
（2）根据和谐解的定义进行判断即可求出答案.
（3）将代入，求出，结合和谐解的定义即可求出答案.
（4）将x=n代入方程可得，再代入不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：解得，
，
当时，，
∴是方程与不等式的“和谐解”；
（2）解：解，得
，
解，得
，
∴不是不等式的解，①不符合题意；
解，得
，
∴不是不等式的解，②不符合题意；
解，得
，
∴是不等式的解，③符合题意；
（3）解：将代入，得
，
解得，
∴将代入，得
，
即，
由关于的不等式组有解，
∴，
∵是该不等式组的一个解，
∴，
解得，
∴，；
（4）解：∵是关于的方程的解，
∴，
即，
将，代入不等式组，得
解得，
∴n的取值范围是．
20．【答案】（1）等边；
（2）解：．证明如下：
如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即；
（3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，
∴，
，
，
∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．
过点A作的垂线，交延长线于点H．
，
，
，
，
∴，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，
，
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；
【分析】（1）将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，则，根据全等三角形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，再根据勾股定理定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，根据勾股定理可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长，过点A作的垂线，交延长线于点H，根据角之间的关系可得∠ACH在，再根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理可得HC，再根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接，
，
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
（2）解：．证明如下：
如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理，得，
即；
（3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接．
由旋转的性质，得，，，，
∴，
，
，
∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．
过点A作的垂线，交延长线于点H．
，
，
，
，
∴，
．
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